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Estructuras II (B) 13 Z X Y xy x y z xz zx zy yz yx UNIDAD 2.10 ANÁLISIS DE TENSIONES EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL Al aplicar fuerzas exteriores aparecen esfuerzos internos (tensiones). En cada punto aparecen todas las tensiones (nueve) Si la cara superior se anula tendremos un estado bidimensional. Se suele dar en secciones delgadas τ xz no puede existir ya que no existe τ zx , Lo mismo sucede con YZ τ y ZY τ σ z = τ zx = τ zy = τ xz = τ yz = 0 tensión plana Corresponden a elementos donde una de las dimensiones es chica frente a las otras dos. Existe otro caso bidimensional que es el de deformación plana. Deformación especifica cero corresponde a elementos continuos de espesor muy grande cuyas secciones son idénticas entre sí (elementos prismáticos de gran ancho). 0 γ γ 0 γ γ 0 ε = = = = = yz xz zy zx z Estado tensional simple o unidimensional. 0 = = = = = = = = zy zx yx yz xz xy z y G G τ τ τ τ τ τ 0 ≠ x G Estado tensional triple o tridimensional xy x y yx Estado tensional doble o bidimensional B Grande Z
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Estructuras II (B)
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Z
XY
xyx
y
z
xz
zxzy
yz
yx
UNIDAD 2.10 ANLISIS DE TENSIONES EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL Al aplicar fuerzas exteriores aparecen esfuerzos internos (tensiones).
En
cada punto aparecen
todas las tensiones
(nueve)
Si la cara superior se anula tendremos un estado bidimensional. Se suele dar en secciones delgadas xz no puede existir ya que no existe zx, Lo mismo sucede con YZ y ZY
z = zx = zy = xz = yz = 0 tensin plana Corresponden a elementos donde una de las dimensiones es chica frente a las otras dos. Existe otro caso bidimensional que es el de deformacin plana. Deformacin especifica cero corresponde a elementos continuos de espesor muy grande cuyas secciones son idnticas entre s (elementos prismticos de gran ancho).
0
0
0
==
==
=
yzxz
zyzx
z
Estado tensional simple o unidimensional.
0======== zyzxyxyzxzxyzy GG
0xG
Estado tensional triple o tridimensional
xyx
y
yx Estado tensional doble o bidimensional
B Gran
de
Z
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ESTADO DE TENSIN DOBLE O BIDIMENSIONAL
> 0 Traccin > 0 Traccin de la diagonal principal Diagonal principal: pasa por 1 y 3 cuadrante del sistema de coordenadas
b = espesor en una direccin cualquiera es positivo si tiene el sentido que surge de rotar el sentido positivo de Gxy un ngulo de 90 (sentido antiohario).
0sen.Acos.cosAsen.cos.Acossen.Asen.AF
0sen2
dS.Acos.cos2
dS.Asen.M
, ,,,,
yxxyyx
yxxyyxxy0
yxxyxy
.tan
incgnitasconocidassuponen Se
==
===
43421434214342143421
43421434214342143421
FF
DistFciaDisFuerza
( ) ( )
2cos2sen2
sencoscossen
0cosAcossenAsensenAcoscosAsenAF
cossen2cossen
xyyx
22xyyx
yxxyyx
xy2
y2
x
+
=
+=
=++=
++=
dx
dyxx
y
y
yx
xy
yx
xy
Diag
. Ppa
l.Y
X
Pcipa
l.
se acorta
Se alarga
dx
dyxds A=bxds
Asen
o
Acos
X
yx
xy
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DIAGRAMA POLAR DE TENSIONES
dmax
d
2
xy
2yx2
2yx
22
: elimina se Si
+
=++
Si tomamos como ejes coordenados G y esta ecuacin representa una circunferencia cuyo
centro esta en medyx
2=
+= , y su radio sera max 2xyyx 2
=+
=r
Esta recibe el nombre de: CIRCUNFERENCIA DE MOHR
maxm2
maxm1
=+=
Para los valores mx. y mn. de 21 GyG resulta 0=
Veamos en que planos actua 21 GyG . Los normales a dichos planos formaran angulos
21 y con el eje X. Imponiendo en (2) la condicion 0= :
max.mi
n
y
x
m x
xymax.
y
r=dm
ax
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De estas infinitas soluciones quedan slo dos direcciones perpendiculares entre s siendo todas
las dems coincidentes con ellas.
1 corresponde a la tensin principal mxima 1G y 2 a la tensin principal mnima 2G .
Para medir los ngulos en la
circunferencia de Mohr en el mismo sentido que en la estructura, vamos a tomar el sentido positivo de hacia abajo (de lo contrario se mediran en sentido inverso).
De los valores obtenidos por la
frmula (1) debemos determinar cules corresponden a 1 y 2 y para ello seguiremos dos criterios: el de y el de . Si x > y segn el primer criterio la direccin 1 estar ms cerca de la direccin que corresponda a la
tensin mayor entre x y y. Segn el 2 criterio la direccin 1 estar ms cerca de la diagonal traccionada por corte que de la comprimida.
Si se aplican ambos criterios:
Como resultante de esto deducimos que la direccin principal 1 pasa por el ngulo de 45 comprendido entre la tensin normal algebraicamente mayor y la diagonal traccionada por el corte.
90n2
2arct
180n2
arct2
22tg
2cos2sen2
02cos2sen2
xy
xy2,1
xy
xy2,1
xy
xy2,1
2,1xy2,1yx
2,1xy2,1yx
=
=
=
+
=+
=
an
an
mx
max.y
eje 1
eje x
x1
y2
x
(1)
2
2tgyx
xy1
=
1
2
Primer criterio
Segundo criterio
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Ejemplo: para los tres puntos de la figura, determinar analticamente y grficamente mediante el crculo de Mohr.
a. Las componentes del tensor de tensiones en el sistema XY; x, y y xy.
b. Las direcciones y tensiones principales 1 y 2. y la tensin tangencial mxima mx.
c. El estado tensional en un plano cuya normal forma un ngulo de 30 con el eje X.
Vemos que los tres puntos a estudiar estan fuera de la zona de efectos locales definida por Saint Venant y por lo tanto podemos calcular las tensiones por la teora simplificada de barras. Punto 1: a._
bhF3
bhFh3
12bh
4hFh
IMy 3
2
3x ==
==z
y tiene valores significativos solamente en puntos muy cercanos a la aplicacin de la carga. Fuera de la zona de efectos locales su valor se hace despreciable entonces podemos considerar y = 0.
h/4
h/4
h
h
(3/8
)h
2
1
G
F
3
A 1
Zona de efectos locales segn Saint Venant
x
y
1 x
yx
xy
bh1
89F
b12
3bh32bh3F
323bhSh
83
4bhS
bIS
yxxy
2
yxxy
21A1A
z
1Ayxxy
donde
==
==
====V
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Cul de estos valores corresponde a 1 y cul a 2?
c._
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )bhF
bhFcossen
cossen
bhF
bhFcossencos
cossensencos
1,86601,125602
3
222
1,27630301,1252303
30
2
xyxy
2
xy2
y2
x
=
=
+
=
=+=
=
++=
( )
1863690n418
2
0,7523
1,12522
22
n)(Compresi3,3751,8752
3
(Traccin)0,3751,8752
03
*1,8752
03
tgtgtg
bhF
bhF
bhF
bhF
bhF
89
bhF
2
2,1yx
xy2,1
2
22
11
.mx
22
.mx2
xy
2yx
.mx
.mxm2
.mxm1
==
+
==
=
>
=
=
=
=
=
+
=+
=
=+=
x
1
2
y x
x
y1
3,375= 2
x
20,375=
1
2
11
2
Se observa que las mx. y mn. de corte estn en planos a 45 respecto a las tensiones principales. 3,4 (Angulo que forman mx. y mn. ) = 2 90 1 45 3 = 63 , 4 = 26.
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y = 0x = -6mx
x
GRAFICO
PUNTO 2: Unidimensional de compresin simple El estado unidimensional de traccin o compresin simple se caracteriza por que la circunferencia de Mohr pasa por el origen.
m = -1,5
mn.
1
2
x
y = 0 = -1,278
x = -3
= -1,86
xy = -1,125
mx = 1,875
bhGF
bhFh
6
2x ==
bhF
3.mxx
.mx 2
==
