VECTORESVECTORES

REPRESENTACIÓN DE FUERZASHay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES

Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una cantidad y su unidad correspondiente:

L (Longitud) = 12’35 mm (Masa) = 5’678 kgd (Densidad) = 3’4 g/cm3

Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados). Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha para indicar que se trata de una magnitud vectorial:

vr

vr

Fr a

r

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Las características de un vector son cuatro:

�MÓDULO

�DIRECCIÓN�DIRECCIÓN

�SENTIDO

� PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala Þ 1 cm : 2 N

3 cm . 2 N = 6 N

1 cm

DIRECCIÓNLa DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

120º

- 100º = 260º- 30º = 330º

!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:

2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

SENTIDOEl SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

45º

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,Fr

TierraLuna,Fr

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

TRIGONOMETRIA

• Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,

navegación e ingeniería.

• Podemos desarrollar el tema

de trigonometría por medio de

dos enfoques, éstos son:– El círculo

– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo

rectángulo

hipotenusa

γγγγ

rectángulo

αααα ββββ

catetosCaracterística principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los

triángulos rectángulos.

�Un triángulo consta de tres lados y de

tres ángulos.

�La suma de los tres ángulos es 1800γγγγ�La suma de los tres ángulos es 180

�La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

�Sea c la hipotenusa, a y b los catetos,

entonces c2 = a2 + b2

γγγγ

�Los ángulos se nombran con letras para

identificarlos. Algunas de las letras que

utilizamos son del alfabeto griego como por

ejemplo;

γγγγ “gamma”; αααα“alpha” ; ββββ “betha”

• Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

• Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

• Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN

TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicasRelaciones recíprocas

opuestoladoseno =γ opuestolado

hipotenusa

senecante ==

γγ

1cos

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusaseno

=

=

=

γ

γ

γ

tangente

coseno

opuestoladosenγ

adyacentelado

hipotenusa

enoante ==

γγ

cos

1sec

opuestolado

adyacenteladoangente ==

γγ

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

• Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo γγγγ

γγγγ

Lado

adyacent

e a

“gamma”

Lado

opuesto

a

“gamma

”

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

=

=

=

γ

γ

γ

tangente

coseno

EJEMPLO 1

4==

opuestoladoγ

5

2591634 22

22

=

=+=+=

+=

c

c

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

γγγγ

4

3

51==γ

3

4 tangente

5

3 coseno

5

4

= =

= =

==

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

γ

γ

γ4

51cos ==

γγ

senecante

3

5

cos

1sec ==

γγ

enoante

4

3

tan

1cot ==

γγangente

Continuación EJEMPLO 1

33.13

4 tangente6.0

5

3 coseno8.0

5

4= = == == γγγseno

γγγγ

25.14

5cos ==γecante 67.1

3

5sec ==γante 75.

4

3cot ==γangente

Podemos utilizar cualquiera de los γγγγ

4

3

Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la

medida del ángulo γγγγ

Veamos el siguiente ejemplo

γγγγ

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno γγγγ es .8 , si necesito hallar la medida de γ y

Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información que te provea el ejercicio.

8.05

4==γseno

La razón seno γγγγ es .8 , si necesito hallar la medida de γ y

conozco el valor de seno γ , la función inversa de seno me

permite encontrar el valor de γγγγ de la siguiente forma:

)8(.,8. 1−== senoentoncessenoSi γγ

)8(.

,8.

1−=

=

seno

entonces

senoSi

γ

γ

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Presenta la respuesta en :

Grados___

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Pantalla

Grado

53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes) antes de hacer los cómputos.

4

3ββββ

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para ββββ

ββββ2. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación coseno.

3. Halla el valor de ββββ , en grados utilizando la relación tangente.

Respuestas -PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas

para ββββ

75.4

3 tangente

8.5

4 coseno

6.5

3

= =

==

==

β

β

βseno67.1

3

5cos ==βecante

25.14

5sec ==βante

33.13

4cot ==βangente

2. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación coseno.2. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación coseno.

87.366435.

)8(.1

cos8.5

4 coseno

gradosradianes

eno =−

==β

3. Halla el valor de ββββ , en grados, utilizando la relación

tangente.

087.366435.

)75(.1

tan;75.4

3 tangente

gradosradianes

γβ =−

= =

Compara las relaciones trigonométricas seno y coseno

de γγγγ y ββββ

4

6.5

3==βseno

ββββ = 36.870γγγγ=53.130

3

8.05

4==γseno

8.5

4 coseno ==β6.0

5

3 coseno == γ

La suma de γγγγ y ββββ es 900

Por tanto γγγγ y ββββ son ángulos complementarios.

SeanSeanSeanSean γγγγ y ββββ dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones:

βγ

βγ

seccsc

cos

=

= sen

γβ

γβ

seccsc

cos

=

= sen

βγ

βγ

cottan

seccsc

=

=

γβ

γβ

cottan

seccsc

=

=

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 2

1`. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.

2

2

3 γγγγ

ββββ

1`. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.

2. Halla el valor de γγγγ, en grados y en radianes.

Respuestas -PRACTICA 2

1. Halla el valor de ββββ , en grados y en radianes.

11.498571.

)1547.1(1

tan1547.13

2 tangente

gradosradianes

gente =−

==β

2. Halla el valor de γγγγ, en grados y en radianes.

En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,En la forma corta tenemos que γγγγ + ββββ= 90,Por lo tanto γ= 90 - β

γ= 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.407137.

)866(.1

tan866.2

3 tangente

gradosradianes

gente =−

==β

Observación

Si conozco dos de los lados de un

triángulo rectángulo puedo hallar la

medida de sus ángulos.

Ejemplo 2

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente

triángulo.

4012 es la medida del lado opuesto a 40

grados

12 es la medida del lado adyacente de 50

grados12

grados

668.186428.

12

126428.

1240

==

=

=

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.

12

126428.

1250cos

==

=

=

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del

siguiente triángulo

a

30

25b

a

Respuestas-PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

25

5.12)25)(5(.

2525.

2530

==

=

=

b

bparadespejamos

b

bseno

65.21)25)(87(.

2587.

2530cos

==

=

=

b

bparadespejamos

a

aeno

FUERZA RESULTANTEA menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre un

cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se suman.

En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.

1Fr

?

COMPOSICIÓN DE FUERZASA continuación estudiaremos la manera de calcular la fuerza

resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.

Vamos a distinguir varias situaciones:a) Misma dirección

a.1) Mismo sentidoa.1) Mismo sentido

a.2) Sentidos contrarios

b) Distinta dirección

b.1) Perpendiculares

b.2) No perpendiculares

c) Paralelas

c.1) Igual sentido

c.2) Sentidos contrarios

Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no siempre aplicaremos ambos. Son:

Gráfico

Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

“método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

Resultante Rr

Numérico

Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más complejas.

a) Misma direccióna.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

+ F1r

2Fr

R =r

Numéricamente:R = F1 + F2

a) Misma direccióna.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

Numéricamente:R = F1 - F2

+ F1r

2Fr

R =r

b) Distinta direcciónb.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo (para los despistados).

2Fr

2FrR

r

1Fr

22

21

2 F F R +=

1Fr

2F

RF sen 2=α

F1

RF2α R

F cos 1=α

1

2

1

2

FF

R / FR / F

cos sen tg ===α

αα

1

2

FF arctg =α

b) Distinta dirección

1Fr

b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente. El método numérico se dejará para cursos más avanzados.

2Fr

Rr

Fr

2Fr

1F 1F

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos sucesivamente, uno a uno:

Resultante Rr

c) Paralelasc.1) Igual sentido (paralelas)

d

Punto de aplicación de la

xd -x

2Fr

Fr

Fraplicación de la

resultante1Fr

2Fr

1Fr

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

Rr

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d – x) = F2 · xPor otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

c) Paralelasc.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)

d

Punto de aplicación de la

resultante 1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

2Fr

1Fr

resultante 1FNuméricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

2F

Rr

2Fr

1Fr

xd

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASDescomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la composición. Veamos algunos ejemplos:

1Fr

2Fr

Fr

Aunque hay otras posibilidades:1Fr

Fr

Fr

1F

2Fr

Y otra más:

Fr

Fr

1Fr

2Fr

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASEntonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la definición de descomposición vectorial.Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.

Fr

x

yFr

yFr

Fr x

Fr

yFr

xFr

y

De forma que…

2y

2x

2 F F F +=

FF

α sen y=

Fx

FFy

α

xF xF

Fx = componente x

α F·senF y =

FF cos x=α α F·cosF x =

Fy = componente y

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASVamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:

yxPr P

r

xPr

P

α

x

xPr

yPr

Pr

α

PP sen X=α α P·senP x =

PP

cos y=α α P·cosP y =

Py = componente normal del peso

Px = componente tangencial del peso

yPr

Pr

yPr

α α

yP

xPα

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Fr

N 3.613 3 2F F F 222y

2x ≈=+=+=

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:

y

x1 2 3 4 5 6

54321

(2,3) F =r

α

1.523

FF

tgx

y===α

)F,F( F yx

rrr=

xFr

yFr

(2,0) Fx =r

(0,3) Fy =r

56.3º 1.5 arctg ==α

1Fr

y

x1 2 3 4 5 6

54321

2Fr

(2,3) F1 =r

(4,1) F2 =r

α

Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

Rr

(4,1) (2,3) R +=r

21 FF Rrrr

+= (6,4) R =r

0.6764 tg ≈=α 33.7º 0.67 arctg ≈=α

N 7.252 46F F F 222y

2x ≈=+=+=