hermessuspendeme.com 2A... · 2016. 9. 13. · LESTAD ETSEIAT− UPC Enunciats d’exercicis M....

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

M. Albareda I. Algaba

S. Casadesús A. Jurado M. Pepió

Laboratori d’Estadística

ETSEIAT – UPC

PROBLEMES D’ESTADÍSTICA

M. Albareda I. Algaba

S. Casadesús A. Jurado M. Pepió

Laboratori d’Estadística C/ Colom 11

08222 Terrassa Juliol 2016

ÍNDEX

EXERCICIS PROPOSATS ....................................................... 5

SOLUCIONS ...................................................................... 43

EEXXEERRCCIICCIISS PPRROOPPOOSSAATTSS

LESTAD ETSEIAT− UPC

Enunciats d’exercicis M. Albareda I. Algaba S. Casadesús A. Jurado M. Pepió

7

1. Calcula la probabilitat que en llençar 4 vegades 2 daus equilibrats, un blanc i l’altre negre, el resultat del negre sempre sigui superior al del blanc.

0,0005 0,0052 0,0090 0,0126 0,0280 0,0301 0,0452 0,0723 0,1736 0,2436 .................

2. Sigui un vector (X, Y) tal que P(X ≥ 2) = 0,6; P(Y ≤ 5) = 0,5; P(X



8

9. Les avaries d’un sistema reparable es produeixen segons un procés de Poisson de mitjana una avaria cada 50 dies. En el moment en què es produeix la quarta avaria es canvia tot el sistema. Calcula l’esperança matemàtica del temps (dies) fins el canvi.

0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 200,00 250,00 300,00 350,00 400,00 .................

10. La càrrega d’un bolígraf permet escriure una línia de longitud N(m; 2). Les longituds escrites amb 10 bolígrafs han donat X= 1810 i S2 = 64. Quin és el valor mínim, amb un risc del 5%, en què es pot es‐timar la variància de la longitud escrita per un bolígraf?

27,98 30,28 31,85 32,12 33,64 34,04 34,92 35,78 37,21 38,41 .................

11. D’una variable aleatòria contínua U[0; a] s’ha extret una mostra de grandària 10 i el valor màxim ob‐tingut ha estat igual a 125,6. A partir d’aquesta dada quin és, amb un risc del 5%, el valor mínim en què es pot estimar a?

85,3 91,4 95,7 105,6 112,1 116,5 126,2 130,4 134,9 136,5 .................

12. El temps entre avaries d’un equip es pot considerar exponencial amb esperança matemàtica igual a 25h. Una empresa ha comprat 10 equips d’aquestes característiques. Què val la probabilitat que tin‐gui com a màxim un total de 20 avaries en 40h?

0,1083 0,1931 0,2757 0,3565 0,3825 0,4667 0,6990 0,7423 0,8682 0,9869 .................

13. Se sap que la probabilitat que un aparell funcioni després de la primera hora d’ús és 0,80 i que si fun‐ciona després de n hores d’ús, 1 ≤ n ≤ 50, la probabilitat de funcionar l’hora següent és igual a 0,9; mentre que si està espatllat després de n hores d’ús té una probabilitat igual a 0,3 de ser reparat per estar funcionant a l’hora següent. Calcula la probabilitat que funcioni al cap de 2 hores.

0,35 0,52 0,67 0,70 0,75 0,78 0,81 0,85 0,87 0,90 .................

14. La durada d’uns fluorescents es pot considerar N(2000 h; 1002 h2) i un lot de 12 fluorescents es con‐sidera acceptable si el nombre total d’hores de llum supera les 25000. Per mesurar el nombre total d’hores de llum s’ha fet un assaig consistent en encendre un fluorescent i, just en el moment en què falla, encendre el següent. Així, a les 11500h ha fallat el 5è fluorescent del lot. Quina és la probabili‐tat que el lot estudiat resulti acceptable?

0,0829 0,1292 0,2236 0,3540 0,3865 0,5739 0,6390 0,8708 0,9345 0,9706 .................

15. La funció de densitat de la durada (h) d’un producte és f(x) = ∙∙x‐1∙exp(‐∙x) amb x > 0; = 0,01 i = 2. Calcula P(X



9

Es disposa de dues màquines A i B per omplir pots de pintura que estan treballant simultàni‐ament. La A omple els pots a doble velocitat que la B, però la A també genera un percentatge de pots que no arriben al volum nominal de 750 ml, indicat en l’etiqueta, més gran que el 1,5% obtingut amb la B. El volum (ml) envasat per A és N(m = 765; 2 = 58,57) i el de B també és Normal amb la mateixa esperança.

16. S’ha mesurat el volum d’un pot del magatzem i s’ha vist que no arriba al nominal. Quina és la probabilitat que s’hagi envasat amb la màquina B?

0,0985 0,1254 0,1653 0,1782 0,1883 0,2175 0,2308 0,2417 0,2537 0,2698 ............................

17. Quina és la probabilitat que agafant 4 pots de la màquina B n’hi hagi un nombre senar que no ar‐ribin al valor nominal?

0,0235 0,0384 0,0414 0,0448 0,0533 0,0552 0,0574 0,0612 0,0646 0,0755 ............................

18. Quina és la probabilitat que agafant 10 pots envasats per A es tinguin més de 7,60 litres de pintu‐ra?

0,6026 0,6517 0,6985 0,7422 0,7823 0,7967 0,8925 0,9505 0,9808 0,9934 ............................

19. Amb un risc del 3%, quin és el volum de pintura mínim que es pot trobar en un pot d’una caixa de 10 pots envasats per A?

741,35 743,57 744,03 744,72 745,03 747,17 750,00 750,61 751,61 751,99 ............................

20. Agafant un pot de A i un de B, quina és la probabilitat que el valor absolut de la diferència de vo‐lums envasats sigui inferior a 10 ml?

0,6629 0,6680 0,6729 0,6778 0,6827 0,9845 0,9904 0,9960 0,9976 0,9994 ............................

21. Es disposa d’una nova màquina, C, amb un volum envasat N(m = 765; c2). El cost de la pintura s’avalua en 0,01€/ml. S’ha mesurat el volum de 10 pots i ha resultat una mitjana mostral igual a 754,6 ml i una desviació tipus S = 5,5. Amb un risc del 5%, quin és el valor màxim en què es pot es‐timar la variància del cost de la pintura envasada en un pot?

0,0082 0,0094 0,0104 0,0114 0,0125 0,8188 0,9422 1,0405 1,1436 1,2516 ............................

22. Agafant 4 pots de A, calcula la probabilitat que 3 tinguin un volum de pintura inferior a 765 ml i l’altre superi els 772 ml

0,0056 0,0094 0,0149 0,0223 0,0227 0,0322 0,0375 0,0595 0,0907 0,1289 ............................



10

23. L’energia anual (Kwh) generada per un panell solar es pot considerar Weibull amb esperança mate‐màtica igual a 180 i variància igual a 1750. Amb un risc del 5%, quin és l’extrem inferior de l’interval de probabilitat de l’energia anual que, en mitjana, es genera per cada panell d’un parc 1700 panells?

177,88 177,95 178,01 178,07 178,12 178,22 178,28 178,33 178,38 178,42 ............................

24. D’un arxiu meteorològic es treu que les tempestes a la ciutat de Barcelona, en l’interval abril‐setembre, es poden considerar Poisson amb mitjana 0,13 tempestes diàries. En un dia de juliol s’observa que en els últims 5 dies no hi ha hagut cap tempesta. Quina és la probabilitat que encara es trigui més de 100 hores a tenir tempesta?

0,0125 0,1458 0,2582 0,3385 0,4437 0,5081 0,5818 0,6954 0,7182 0,8336 ............................

25. En un taller es tallen uns tubs, que originalment mesuren exactament 1 m de llargada, per obtenir dos tubs de 50 cm cadascun. Sigui (X, Y) el vector aleatori format per les longituds dels dos trossos de tub obtinguts en tallar‐ne un. La precisió del tallant és tal que les marginals de X i Y són U(48,5 cm; 51,5 cm). Quant val V(2X + 4Y)?

3,00 6,75 12,00 15,00 18,75 21,75 27,00 30,00 39,75 51,00 ............................

Les mesures de l’excentricitat (micres) d’uns forats obtingudes en un assaig són: 19,4; 46,5; 29,1; 12,6; 0,3 i 77,5. S’ha verificat amb un gràfic probabilístic la distribució exponencial i s’ha ajustat la recta de pendent 0,0311.

26. Estima la probabilitat que l’excentricitat d’un forat superi a la mitjana de la mostra estudiada en més de 10 micres.

0,1512 0,1894 0,2538 0,2636 0,2662 0,2743 0,2803 0,3004 0,3073 0,3157 ............................

27. Quin és el valor màxim en què es pot estimar l’esperança matemàtica amb un risc del 5%? 25,83 30,65 61,88 68,89 70,95 73,43 78,19 81,74 84,20 92,78 ............................

28. Quina és l’ordenada del punt del gràfic probabilístic exponencial que té com abscissa 0,3? ‐1,246 ‐0,618 ‐0,133 0,087 0,288 0,539 0,875 0,910 1,386 2,485 ............................

29. La fabricació d’un tipus de bola de coixinet dóna lloc a un 5 per cent de defectuoses. Un coixinet es fabrica amb 12 boles d’aquest tipus i es considera defectuós si té 2 o més boles defectuoses. Quina és la probabilitat que en una caixa de 10 coixinets n’hi hagi 3 de defectuosos?

0,065 0,082 0,100 0,135 0,144 0,166 0,327 0,479 0,803 0,933 ............................



11

Un engranatge sinteritzat es fabrica amb dents prefabricades que posteri‐orment són soldades sobre un eix de diàmetre D. L’espai ocupat per una dent és un arc de circumferència de longitud (mm) X N(m = 12; 2 = 0,25).

30. En un engranatge de 32 dents, quina és la probabilitat que la dent que ocupi menys espai tingui una X entre 11,4 i 11,6 mm?

0,0195 0,0248 0,0313 0,0445 0,0782 0,8695 0,9215 0,9422 0,9528 0,9615 ............................

31. En un engranatge de 26 dents, quina és la probabilitat que la variància dels espais ocupats per les dents sigui superior a 0,1312?

0,001 0,005 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 ............................

32. Quin és el valor del diàmetre D que garanteix poder muntar un engranatge amb 28 dents el 97,5% de les vegades?

77,79 82,63 97,05 103,29 108,60 115,69 116,30 123,95 124,00 132,21 ............................

33. L’alçada d’una dent és H N(m = 15; 2 = 0,35) i el diàmetre de l’eix és D N(m = 150; 2 = 0,122). Agafant una dent a l’atzar, i amb un risc del 3,92%, quin és el valor del radi màxim de l’engranatge en aquest punt?

90,7227 90,7333 90,7438 90,7744 90,7941 91,0165 91,0317 91,0466 91,0901 91,1181 ............................

34. En un petit gimnàs hi ha 6 guixetes i cal trobar‐ne una de buida per deixar les coses. Sabent que n’hi ha 4 d’ocupades no detectables a simple vista, (cal obrir‐la per veure si és plena o buida), quina és la probabilitat que calgui obrir‐ne més de 2 fins poder deixar les coses?

0,1429 0,2000 0,2857 0,3000 0,3571 0,4000 0,4500 0,5500 0,5823 0,7223 ............................

35. En un taller es disposa d’un lot de 625 tubs de longitud U(99; 101) cm que es tallen a una distància de l’extrem X N(m = 70 cm; 2 = 2). Amb un risc del 1,5 %, quin és el valor mínim de la longitud mitjana dels trossos de tub sobrants?

29,3732 29,3949 29,8674 29,8879 30,3565 30,3752 30,8513 30,8693 31,3618 31,3814 ............................



12

36. L’excentricitat d’un forat, X, és exponencial. Si aquesta supera 1 mm, el forat es conside‐ra defectuós, si està entre 0,5 i 1 mm es considera de baixa qualitat i és d’alta quali‐tat si està per sota de 0,5 mm. En la produc‐ció hi ha un 5 per mil de forats defectuosos. Mesurant l’excentricitat de 2 forats, quina és la probabi‐litat que cap sigui defectuós però tampoc siguin de la mateixa qualitat?

0,0514 0,0841 0,0979 0,1110 0,1199 0,1221 0,1318 0,1365 0,1405 No es pot ..........................

37. La durada d’unes bombetes és W( = 1,1; = 190). Amb un risc del 5%, quina és la durada màxima de la bombeta més bona d’un lot de 15?

921,6 945,8 970,1 994,3 1018,6 1079,2 1107,6 1136,0 1164,4 1192,8 ..........................

38. El pes total d’un paquet és N(5 kg; 0,12 kg2). El paquet està format per 12 pots plens de producte po‐sats dins una caixa de cartró. El pes de la caixa és N(100 g; 22 g2) i cada pot buit té un pes que és N(20 g; 1,2 g2). Quin és l’extrem inferior de l’interval de probabilitat del 95% del contingut net en grams de producte en un paquet?

3926,13 3926,54 3952,78 3953,21 3980,49 3980,93 4009,37 4009,83 4039,59 4040,08 ..........................

39. Les avaries d’un procés es produeixen segons una llei de Poisson. S’ha recollit informació sobre els temps de bon funcionament fins tenir 10 avaries, i s’ha obtingut una mitjana de 8,5 hores. Amb un risc del 5%, quin és el valor màxim de la probabilitat estimada de no tenir cap avaria en 40 hores de treball?

0,0510 0,0778 0,1071 0,1340 0,2028 0,2520 0,2790 0,3110 0,3839 0,4220 ..........................

40. En un taller es tallen tubs per obtenir trossos de 50 cm. La precisió de la màquina de tall és tal que les longituds de tots el trossos són U(48,5 cm; 51,5 cm). Quina és la probabilitat que amb 100 d’aquests trossos s’assoleixi una longitud total superior a 50,20 m?

0,0003 0,0019 0,0104 0,0418 0,1251 0,4000 0,4167 0,4333 0,4500 0,4667 ..........................

41. El vector aleatori (X, Y) té funció de densitat ‐3x/2 y/2f(x, y) = e e si x+y 0 i x y. Altrament, f(x, y) = 0. Calcula la funció de densitat marginal de X en x = 1,5

0,235 0,268 0,272 0,282 0,295 0,347 0,421 0,444 0,477 0,483 ............................

1 X0,50

Alta qualitat Baixa qualitat Defectuós



13

Una colla de 19 amics ha planificat un viatge. Han d’agafar un tren, cadascun d’ells en una estació dife‐rent. El tren té 8 vagons, i cada membre de la colla escull un vagó a l’atzar.

42. El vagó n. 3 està avariat i durant el viatge es queda sense llums. Quin és el nombre esperat de membres de la colla que hauran de viatjar a les fosques?

0,000 2,111 2,375 2,714 3,167 4,750 7,257 9,500 15,725 19,000 ............................

43. Un vintè amic, en Joan, arriba a l’estació just quan el tren està arrencant, i decideix prendre una via alternativa: agafar un autobús. El temps d’espera d’aquest bus és N(20 min; 4 min2), i la dura‐da del trajecte, N(90 min; 21 min2). D’altra banda, a la resta de la colla els queden 8 estacions, que entre circulació i aturades, representa un temps que es pot considerar N(94 min; 19,12 min2). Quina és la probabilitat que la colla hagi d’esperar en Joan més de 10 minuts?

0,5319 0,5596 0,5636 0,6179 0,6255 0,6879 0,7258 0,7422 0,8159 0,8849 ............................

44. Es llença un dau equilibrat 4 cops. Calcula la probabilitat que el màxim sigui parell. 0,1401 0,3085 0,5390 0,5989 0,6644 0,7386 0,8027 0,8549 0,9029 0,9373 ............................

45. Un metge d’ambulatori dedica a cada pacient un temps en minuts N(m=8; 2 = 1,5). Quina és la pro‐babilitat que per atendre 22 pacients necessiti més de 3 hores?

0,0162 0,2420 0,3192 0,4404 0,5557 0,6591 0,7422 0,7518 0,9773 0,9995 ............................

En un carrer s’instal∙la un comptador dels vehicles que hi circulen des de les 7 fins les 10 del matí. El nombre de vehicles que hi circulen és acceptablement Poisson amb λ = 5,5 vehicles/minut.

46. A les 9 es porten enregistrats 650 vehicles. Què val la probabilitat que a les 10, quan es retiri el comptador, es tingui un registre total superior a 1000 vehicles?

0,1292 0,1357 0,4880 0,5000 0,8577 0,8643 0,9474 0,9505 0,9850 0,9861 ............................

47. El carrer, de fet, creua una propietat privada, però es deixa obert al públic perquè no hi ha cap via alternativa entre els seus extrems. Si es cobrés un peatge de 10 cèntims a cada cotxe, quina seria l’esperança matemàtica dels ingressos en € per aquesta via en les tres hores analitzades?

55,9 59,4 64,3 74,8 79,2 84,7 99,0 112,5 118,8 138,6 ............................

48. Les vendes mensuals d’una botiga d’electrodomèstics segueixen una Normal amb = 900€. Les da‐des de vendes del darrer any han permès obtenir com interval de confiança per l’esperança matemà‐tica de les vendes mensuals [9663; 10839]. Quin és el risc de l’interval?

0,0119 0,0150 0,0207 0,0238 0,0262 0,0300 0,0322 0,0414 0,0524 0,0643 ............................



14

49. La vida (hores) d’unes làmpades (A) de 1Kw és N(m =900;2=225) i es serveixen en caixes de 20 uni‐tats. La d’unes altres (B) també de 1Kw és W(=50; =50) i també es serveixen en caixes de 20 uni‐tats. El preu de l’electricitat consumida és de 0,063€/Kwh. Calcula la variància del cost en € del con‐sum elèctric produït pel funcionament de 20 caixes A i 30 B.

359,73 360,99 363,52 364,78 367,30 5710,03 5730,05 5770,08 5790,10 5830,13 ............................

50. El temps (minuts) que una persona necessita per sortir d’un cert edifici en una evacuació és W( = 2,5; = 4). Amb un risc del 5%, quin és el temps mínim necessari per evacuar aquest edifici (tothom fora) un dia en què dins hi ha 1000 persones, considerant que els temps de cadascuna són independents?

6,07 6,17 6,90 7,12 7,25 7,69 7,92 8,09 8,21 8,43 ............................

51. Sigui X una v.a. definida de − a . Per x 0, 2x1F(x) = e3 . Per x > 0, x2f(x) = e

3 . Calcula P(X 2)

0,518 0,576 0,612 0,633 0,647 0,851 0,910 0,945 0,967 0,980 ............................

52. Les trucades al telèfon del servei de postvenda d’una empresa, amb atenció les 24 hores, arriben se‐gons un procés de Poisson, amb mitjana 4 trucades/hora. Sigui X el nombre de trucades rebudes du‐rant un període de temps de 7 hores. Què val E(X2)?

156 246 272 316 394 420 600 752 812 878 ............................

53. Es llença un dau equilibrat 4 cops. Calcula la probabilitat que el màxim superi estrictament al mínim. 0,97222 0,97840 0,98175 0,98578 0,99091 0,99537 0,99628 0,99923 0,99987 0,99998 ............................

En un carrer s’instal∙la un comptador dels vehicles que hi circulen des de les 7 fins les 10 del matí. El nombre de vehicles que hi circulen és acceptablement Poisson amb λ = 5,5 vehicles/minut.

54. Quina és la variància del temps necessari (minuts) per tenir 40 registres de pas? 0,661 1,322 1,653 1,983 2,314 13,223 52,893 82,645 119,008 161,983 ............................

55. Què val la probabilitat que el registre n. 880 es faci abans de les 9h i 30 minuts del matí? 0,0322 0,1762 0,4761 0,4880 0,5120 0,5239 0,5359 0,8238 0,9678 0,9973 ............................



15

56. Una moneda equilibrada es llença 5 cops. Si surten cinc cares es cobren 50€, amb quatre es cobren 40€ , amb tres 30€, amb dues 20 € i amb una 10€. Inicialment es paguen 15€ per poder jugar. Calcula l’esperança matemàtica del guany en una partida.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ............................

Un taxista està estudiant formalitzar un contracte per fer viatges entre dues delegacions d’una empresa que disten 300Km. Sap que el 40% dels cops aquest trajecte està afectat per caravana. Quan hi ha caravana el temps necessari per fer‐lo (minuts) és N(m1 = 200; 12 = 64) amb un consum de combustible (litres/100 km) N(m2 = 8; 22=0,40). Quan no hi ha caravana, el temps passa a ser N(m3=180; 32=25) i el consum (litres/100 km) passa a N(m4=6; 42 =0,25). El preu del combustible és de 1,40€/litre i el preu de l’hora de conductor es considera de 15€/h.

57. Quina és la probabilitat que el temps per fer un viatge superi els 190 minuts? 0,071 0,136 0,271 0,311 0,371 0,518 0,594 0,842 0,931 0,986 ............................

58. Considerant 6 viatges sense caravana, què val la probabilitat que algun viatge tingui un cost de combustible superior a 26€?

0,234 0,351 0,491 0,511 0,584 0,602 0,634 0,829 0,954 0,993 ............................

59. La vida (hores) d’unes làmpades de 1000 w és N(m; 2 = 225) i es serveixen en caixes de 20 unitats. Una caixa es considera “no conforme" si el total d’hores de llum que produeix no supera les 4850 h. Amb una caixa s’ha obtingut un total de 9800h de llum. Amb un risc del 2,68%, quin és el valor mínim en què es pot estimar m?

482,587 482,837 483,087 483,337 483,527 483,587 483,777 484,027 484,277 484,527 ............................

60. Amb els valors de les resistències d’uns cinturons de seguretat s’ha construït un gràfic probabilístic Weibull i s’ha obtingut un ajust molt raonable a una recta de pendent igual a 3 i ordenada a l’origen igual a −11,8. Es ma la probabilitat que, d’un lot de 15 cinturons, el més bo ngui una resistència entre 70 i 80?

0,036 0,091 0,310 0,345 0,418 0,556 0,609 0,634 0,889 0,921 ............................

61. En un carrer s’instal∙la un comptador de vehicles que hi circulen des de les 7 fins les 10 del matí. El nombre de vehicles que hi circulen és acceptablement Poisson amb λ = 5,6 vehicles/minut. Abans de les 9 s’ha espatllat el registrador i ja portava comptabilitzats 684 vehicles. Que val la probabilitat que de 7 a 9 hagin passat més de 700 vehicles?

0,022 0,087 0,135 0,215 0,316 0,387 0,411 0,434 0,630 0,860 ............................



16

Cal enviar un missatge urgent i de gran importància per via telemàtica i, per seguretat, es fa simul‐tàniament a través de dos servidors independents. El primer està connectat el 20% dels cops que s’intenta utilitzar i l’altre el 60%. Quan el primer està connectat envia correctament (i els rep el des‐tinatari) el 80% dels missatges entrats (i perd el 20% restant); mentre que el segon envia el 60% i perd el 40%. Tots dos servidors envien, amb èxit, al remitent “avís de transmissió” un 90% dels cops que trameten un missatge cap al destinatari.

62. Calcula la probabilitat que es rebi el missatge. 0,05 0,23 0,32 0,46 0,54 0,75 0,81 0,92 0,95 0,98 ............................

63. Calcula la probabilitat que el missatge es perdi 0,05 0,23 0,32 0,46 0,54 0,75 0,81 0,92 0,95 0,98 ............................

64. Calcula la probabilitat que es tingui constància que el missatge s’ha rebut (s’hagi rebut l’avís de transmissió).

0,358 0,379 0,390 0,400 0,416 0,421 0,442 0,454 0,468 0,494 ............................

65. Calcula la probabilitat que l’avís de transmissió falli en algun dels dos servidors. 0,0514 0,0520 0,0767 0,0780 0,1017 0,1040 0,1264 0,1300 0,1508 0,1560 ............................

66. Un cert servidor perd el 0,5 per mil dels e‐mails que gestiona. Se sap que un dia que ha gestionat 2000 e‐mails n’ha perdut algun. Què val la probabilitat que n’hagi perdut com a mínim 2?

0,022 0,087 0,135 0,209 0,316 0,368 0,418 0,500 0,630 0,736 ............................

Es disposa de trossos d’un metre de fil de coure. El diàmetre, X, es pot considerar constant en cada tros i independent tros a tros, i és tal que X N(0,9 mm; 0,0005 mm2). El cost d’un metre de fil, C, depèn del diàmetre segons la funció C = 5,2 X + 2,5. Es fabriquen cables trenats de 20 filaments. En l’operació de trenat es perd un 30% de la longitud inicial del filament.

67. Agafant 10 trossos de 70 cm de cable cadascun, què val la probabilitat que cap costi més de 145? 0,0036 0,0351 0,0714 0,2106 0,3510 0,4378 0,6482 0,8115 0,9649 0,9923 ............................

68. Una unitat de cable de 70 cm que costa més de 144, quina probabilitat té de costar més de 145? 0,0036 0,0081 0,0162 0,0714 0,2207 0,4378 0,6482 0,8115 0,9649 0,9923 ............................



17

Les mesures d’elongació (%) d’una molla sota càrrega de 500g obtingudes en un assaig són: 169; 155; 148; 163; 178; 142 i 138. S’ha verificat amb un gràfic probabilístic la distribució Normal i s’ha ajustat molt bé una recta de pendent 0,0664 i ordenada −10,371.

69. Quin és el valor mínim en què es pot estimar m amb un risc del 5%? 141,15 142,26 142,60 143,22 143,67 144,09 144,06 145,13 145,39 146,28 ............................

70. Quin és el valor màxim en què es pot estimar amb un risc del 5%? 12,23 14,65 19,25 22,59 28,05 30,33 31,12 32,25 33,67 34,82 ............................

71. Quina és l’ordenada del punt del gràfic probabilístic normal associat a la mediana mostral? No se sap −1,47 −0,79 −0,37 0 0,37 0,79 1,47 2,23 3,09 ............................

72. Amb Yexp(λ) es defineix X = Y2. Es fa el gràfic probabilístic de la variable X. Què val l’ordenada del punt n. 3 amb n = 16?

0,029 0,170 0,347 0,950 1,234 1,856 2,056 3,025 3,981 4,102 ............................

Sigui X una variable aleatòria amb f(x) = 2x si 0 ≤ x ≤ 1 i, altrament, f(x) = 0.

73. Es treu una mostra de grandària 4. Calcula l’esperança matemàtica del màxim de la mostra. 0,000 0,500 0,533 0,750 0,857 0,889 0,909 0,923 0,933 1,000 ............................

74. Es treu una mostra de grandària 2. Calcula l’esperança matemàtica del mínim de la mostra. 0,000 0,500 0,533 0,750 0,857 0,889 0,909 0,923 0,933 1,000 ............................

75. Una gran empresa es planteja utilitzar tòners reciclats. El contingut d’aquests tòners es considera Normal. Per tal d’estimar la seva variància, s’han consumit 10 tòners imprimint sistemàticament línies d’un gruix constant, per a les quals se sap que es requereix 1,2 ml de tòner per cada metre de línia. Les longituds, en metres, impreses amb aquests tòners han donat una mitjana de 3,2 i una variància 0,0064. Quin és el valor mínim de la variància del contingut d’un tòner reciclat (ml), amb un risc del 5%?

0,00336 0,00363 0,00385 0,00412 0,00444 0,00459 0,00490 0,00515 0,00545 0,00581 ............................



18

76. Un semàfor està format per 50 leds de cada un dels 3 colors, i es revisa cada setmana per canviar els leds fosos. Els leds tenen una vida mitjana constant i igual a 6000 hores. Què val la probabilitat que quan es vagi a revisar s’hagi de canviar algun led?

0,337 0,349 0,411 0,631 0,688 0,716 0,814 0,920 0,965 0,985 ............................

77. La durada, X, d’unes piles (hores) és X W(2; 50). Una llanterna porta una pila d’aquest tipus i tenim 4 llanternes que s’han encès simultàniament. Què val la probabilitat de quedar‐se sense llum abans de 100 hores?

0,337 0,349 0,411 0,604 0,697 0,863 0,895 0,912 0,929 0,946 ............................

Essent f(x, y) = 2 per x > 0; y > 0; x + y ≤ 1 i altrament, f(x, y) = 0.

78. Calcula E(12 X) 1 2 3 4 5 6 9 10 12 15 ............................

79. Calcula E(Y/12) 0,0222 0,0278 0,0417 0,0556 0,0667 0,0833 0,1111 0,1250 0,1667 0,3333 ............................

80. Les freqüències mitjanes de pas de trens de les línies L1 i L2, úniques que circulen per una estació, es poden considerar constants i iguals a un tren L1 cada 20 minuts i dos trens L2 cada 10 minuts. Els trens que circulen per cada línia són independents. Entre 9 i 10 han passat 10 trens per l’estació, quina és la probabilitat que de 9 a 12 n’hagi passat menys de 35?

0,0219 0,1572 0,4757 0,5315 0,7973 0,8014 0,8923 0,9537 0,9937 0,9995 ............................

Un pot conté producte pur i additiu. El pes de producte pur en un pot és N(10g; 0,64g2) i el d’additiu és N(5g; 0,25g2). El cost de producte pur és 45€/g i el d’additiu 5€/g. Es posa a la venda en paquets de 8 pots.

81. Amb un risc del 1,5%, quin és el cost mínim del contingut en 15 paquets? 13104,2 27292,8 30462,5 37299,6 44832,7 56142,2 67460,3 75009,5 82029,4 93828,1 ............................

82. Què val la probabilitat que només un pot dels continguts en un paquet tingui un cost de producte pur superior a 500€ ?

0,0581 0,0963 0,1515 0,1945 0,2701 0,3608 0,4306 0,4553 0,4846 0,6796 ............................



19

83. Si es compren 20 pots, amb un risc del 5%, quin és el pes de producte pur que no serà superat en cap pot?

12,240 12,300 12,344 12,400 12,416 12,464 12,500 12,512 12,843 12,927 ............................

84. Comprant 10 paquets, quina és la probabilitat que el cost mitjà per pot atribuïble a l’additiu sigui superior a 25,2€?

0,0021 0,0158 0,0367 0,0641 0,0764 0,1365 0,1397 0,1946 0,2358 0,2999 ............................

Una empresa disposa d’un gran nombre d’equips del mateix model i marca, distribuïts en 3 seus (A, B i C). En la seu A hi ha la meitat d’equips que a la B i el triple que a la C. Totes les avaries les resol el ma‐teix taller que les classifica com lleus o greus. De les avaries de A, un 20% són greus, i de les de B ho són un 40%. En total, un 32% de les avaries són greus.

85. Quina és la probabilitat que el taller hagi d’atendre més de 10 avaries fins trobar‐ne una proce‐dent de C ?

0,1053 0,1853 0,2061 0,2288 0,2824 0,3487 0,3688 0,4305 0,5664 0,6313 ............................

86. Quina és la probabilitat que una avaria greu que acaba d’arribar al taller vingui de la seu C? 0,0235 0,0330 0,0625 0,0767 0,0909 0,1176 0,1429 0,1667 0,1832 0,2023 ............................

87. El temps (minuts) de reparació d’una avaria greu és W(G = 0,5; G = 5) i el d’una lleu és W(L = 0,5; L = 2). En un període de temps en què s’han produït 800 avaries greus i 500 de lleus, quina és la probabilitat que el temps total de reparació hagi superat 160 hores?

0,0655 0,2389 0,3707 0,4168 0,4880 0,5596 0,6293 0,6700 0,7258 0,8665 ............................

Tenim 2 monedes equilibrades i 2 daus, A i B. El dau A és equilibrat i el B és tal que P(X = x) = x/21 per x = 1, ..., 6. Es llencen les dues monedes, i seguidament es llença el dau A un nombre de cops igual al nombre de cares obtingudes i el B un nombre de cops igual al nombre de creus obtingudes.

88. Sabent que el producte dels punts obtinguts amb els daus està entre 26 i 35, calcula la probabili‐tat que les dues monedes hagin donat diferent resultat

0,0251 0,1128 0,1268 0,2014 0,4768 0,4924 0,5188 0,7291 0,7768 0,7915 ............................

89. Sigui el vector aleatori (X, Y) on X és el nombre de cares obtingudes i Y el nombre de resultats pa‐rells obtinguts amb el dau B. Calcula E(20XY)

1,3104 1,4286 1,8535 2,3885 2,8571 4,2857 5,7143 7,1429 12,9975 16,7508 ............................



20

Unes peces es poden classificar com bones, regulars i dolentes. El 80% són bones i el 15% regulars. Es considera que un paquet és millor que un altre si en té més de bones.

90. Quina és la probabilitat que de 15 paquets de 20 peces cadascun, el pitjor tingui com a màxim 7 peces que no siguin bones?

0,0436 0,1806 0,3004 0,3986 0,4570 0,5558 0,5933 0,6130 0,6760 0,7134 ............................

91. Un control elimina totes les peces dolentes i les restants les comercialitza en paquets de 10 pe‐ces. Quina és la probabilitat que en un paquet només n’hi hagi una de regular?

0,1206 0,1531 0,2136 0,2251 0,2861 0,3363 0,4760 0,5311 0,6388 0,9121 ............................

92. Una màquina envasadora dosifica dos líquids A i B simultàniament dins una ampolla de 5 litres. Per qualsevol interval de temps, la velocitat mitjana de dosificació del A (L/min) es pot considerar U[0,5; 1] i la del B, en cada instant, és un 50% superior a la del A. Amb un risc del 5%, quin és el volum (L) màxim que s’introduirà a l’ampolla en 1,3 minuts?

2,035 2,210 2,530 2,681 2,925 3,084 3,169 3,291 3,413 3,656 ............................

La durada d’unes peces és exponencial amb mediana igual a 25h i quan una falla es substitueix imme‐diatament per una de nova.

93. Calcula la probabilitat que amb 500 peces es cobreixi un temps total de funcionament superior a 18000 hores.

0,0154 0,0344 0,1151 0,2810 0,4560 0,5160 0,6417 0,7454 0,8519 0,9956 ............................

94. Sabent que en 150h ha fallat alguna peça quina és la probabilitat que n’hagi fallat exactament 2? 0,1141 0,1373 0,1401 0,1522 0,1646 0,1784 0,1884 0,1903 0,1947 0,1979 ............................

El pes de producte dins un envàs és N(10Kg; 0,025Kg2) i el seu cost és de 25€/Kg. Els envasos plens s’empaqueten en caixes de 10. Un envàs buit val 0,5€ i el seu pes és N(0,5Kg; 0,0025Kg2). El pes i cost de les caixes buides es consideren menyspreables en comparació a la resta

95. Amb un risc del 1,5%, quin és el cost màxim del producte contingut en un envàs? 255,317 255,864 256,957 257,748 257,866 258,578 259,012 259,419 259,915 260,527 ............................

96. Quina és la probabilitat que el cost d’una caixa no superi els 2525€? 0,51595 0,60257 0,65542 0,71226 0,78814 0,88493 0,94520 0,96784 0,97725 0,99889 ............................



21

97. Tenim 2 monedes equilibrades i 2 daus, A i B. El dau A és equilibrat i el B és tal que P(X = x) = x/21 per x = 1, ..., 6. Un joc consisteix en llençar les dues monedes, si surten 2 cares es llença 2 cops el dau A, si surten 2 creus es llença 2 cops el dau B i si els resultats de les monedes són diferents es llencen simultàniament els dos daus. El resultat del joc és la suma dels punts obtinguts amb els daus. Calcula la probabilitat que després d’haver jugat 4 cops, només en un d’ells s’hagi obtingut un resultat igual a 11

0,0707 0,1192 0,2267 0,2746 0,3118 0,3444 0,3602 0,3740 0,5900 0,9242 ............................

Una empresa disposa d’un gran nombre d’equips del mateix model i marca, distribuïts en 3 seus (A, B i C). En la seu A hi ha el triple d’equips que a la B i la meitat que a la C. Totes les avaries les resol el ma‐teix taller que les classifica com lleus o greus. De les avaries de A, un 20% són greus, i de les de B ho són un 10%. En total, un 24% de les avaries són greus.

98. Quina és la probabilitat que una avaria greu no sigui de C? 0,154 0,206 0,212 0,226 0,241 0,292 0,305 0,318 0,367 0,542 ............................

99. Per una avaria, sigui el vector (X, Y) tal que X = ‐1, 0, 1 segons vingui de A, B o C, respectivament. Y = 0 si l’avaria és lleu i 1 si és greu. Calcula CoV(X, Y)

0,018 0,024 0,038 0,073 0,087 0,108 0,156 0,188 0,220 0,231 ............................

100. Per volar entre dos aeroports concrets hi ha tres línies aèries: L1, L2 i L3. La L1 ho fa sempre amb vol directe (0 escales). L2 ofereix vols directes i vols amb una escala. L3 té les opcions d’una i dues esca‐les. Al cap de l’any L1 ha absorbit el 50% dels vols entre els dos aeroports. D’altra banda, el 77% dels passatgers han anat amb vol directe i el 8% han fet 2 escales. El 10% dels passatgers de L2 han triat l’opció d’una escala. Sabent que un passatger ha fet només una escala, quina és la probabilitat que hagi volat amb L2?

0,062 0,104 0,176 0,200 0,273 0,333 0,429 0,448 0,562 0,570 ............................

101. Un teixit industrial destinat a filtres de campanes extractores es comercialitza en unitats de 1 m2 de teixit. El nombre de defectes per m2, X, és tal que P(X = x) = 0,8 ∙ 0,2x. S’aplica un control de qualitat que classifica com defectuosa qualsevol unitat amb 2 o més defectes. S’han controlat 15 unitats i s’ha trobat alguna unitat defectuosa. Quina és la probabilitat que les unitats defectuoses hagin estat exactament 2?

0,155 0,188 0,193 0,216 0,236 0,250 0,253 0,292 0,333 0,375 ............................



22

102. Sigui (X, Y) un vector aleatori amb E(X) = 2; E(Y) = 1,2; E(XY) = 1,4; E(X2) = 5,25 i XY = −0,90. Calcula V(2X – 6Y + 10)

8,95 13,89 16,95 20,80 25,89 29,69 36,80 40,56 49,69 64,56 ............................

Una cadena està formada per 12 baules. Se sap que les dimensions B i C en mm són independents tals

que B N(mB = 135; 2B= 1,44) i C N(mC = 45; 2C = 0,50).

103. Amb un risc del 3%, quina és la longitud màxima, en mm, que pot assolir la cadena? 1447,38 1462,72 1718,04 1737,20 1988,65 2011,70 2259,22 2286,19 2529,75 2560,69 ............................

104. Sabent que la resistència d’una baula (Kg) és N(m = 5020; 2 = 102), calcula la probabilitat que la cadena aguanti més de 5000 Kg.

0,1052 0,3159 0,3382 0,5849 0,6608 0,6920 0,7246 0,7587 0,7944 0,8644 ............................

105. Sigui f(x, y) = x(1+3y2)/15 per 1



23

108. Si ja han passat 25 minuts des de l’inici d’un viatge i el client encara no ha arribat a destí, quina és la probabilitat que trigui encara més de 5 minuts en arribar?

0,0030 0,0062 0,0122 0,0228 0,0282 0,0401 0,0588 0,1157 0,2153 0,3792 ............................

109. La tarifa regular és de 2€ per baixada de bandera i a partir de k minuts 0,60€/minut. Pels clients habituals hi ha una tarifa plana basada en comprar un abonament de 200€ que permet fer 15 viatges. L’empresa ha valorat que només en un 10% dels abonaments en què es fan tots els viat‐ges hi surt perdent respecte al que ingressaria amb la tarifa regular. Quin és el temps de baixada de bandera, k?

1,88 2,10 2,13 2,43 2,66 2,99 3,15 3,56 4,05 4,26 ............................

La durada en cicles d’un component a un assaig de fatiga és Weibull amb = 7 i = 950

110. Es considera que un component és inacceptable si dura menys de 540 cicles, de baixa qualitat si dura entre 540 i 650 i bo en la resta. Calcula la probabilitat que comprant 3 d’aquests components se’n tingui un de cada tipus.

0,00518 0,00753 0,00934 0,01133 0,01276 0,01459 0,04200 0,05030 0,07883 0,08493 ............................

111. Calcula la probabilitat que comprant‐ne 10 només els dos millors superin el valor de l’esperança matemàtica dels cicles de vida.

0,0168 0,0294 0,0502 0,0633 0,0834 0,1336 0,2922 0,5305 0,6249 0,8914 ............................

112. En un edifici de 12 pisos la probabilitat que l’usuari de l’ascensor baixi en un pis és igual al quadrat de la probabilitat que baixi al de sota. Calcula la probabilitat que un usuari que agafa l’ascensor a la planta baixa baixi abans de la 7a. o després de la 4a.

0,00 0,27 0,42 0,54 0,57 0,61 0,65 0,80 0,88 1,00 ............................

113. S’estan estudiant les pujades de tensió d’una instal∙lació elèctrica i s’ha observat que aquestes es donen amb la mateixa freqüència a totes les franges horàries, amb una mitjana constant de 4 puja‐des al dia. S’ha comprat un sistema de protecció per a la instal∙lació, però cal substituir‐lo després de 200 pujades. Quina és la probabilitat que es tinguin entre 45 i 52 dies fins a la substitució?

0,02136 0,06076 0,18028 0,38881 0,53099 0,60644 0,63639 0,72307 0,79149 0,87616 ............................



24

114. Es dispara a l’atzar sobre la diana de radis 4; 6; 10 i 14. En aquesta diana es defineixen 4 zones: el cercle central, A; el primer anell, B; el segon anell, C i l’anell extern, D. Es fan 3 llançaments. Calcula la probabilitat que estiguin en zones contigües i cada una més propera al centre que la de l’impacte anterior

0,00598 0,01739 0,01837 0,01904 0,01973 0,02077 0,02118 0,03591 0,04536 0,06075 ............................

El pes d’una taronja d’una determinada varietat es pot considerar N(m = 200g: 2 = 25g2).

115. Una fruiteria ven aquestes taronges a 0,5€ cada una. Quin és el pes mínim, amb un risc del 2,5%, que es pot comprar per 10€?

1521,6 1572,3 2282,4 2366,1 3043,2 3160,8 3423,6 3558,4 3804,0 3956,2 ............................

116. S’han retirat de la venda 12 taronges amb pesos inferiors a 190g. Quina és la probabilitat que, entre aquestes, n’hi hagi com a màxim una que pesi menys de 187,5g?

0,0145 0,0556 0,1201 0,1962 0,3125 0,8829 0,9108 0,9280 0,9396 0,9514 ............................

117. La fruiteria s’està plantejant la possibilitat de vendre‐les a k€/Kg en lloc dels 0,5€ la unitat a que les venia abans. Quant ha de valer k per tal que el risc que una taronja tingui un preu més baix amb el nou sistema tarifari sigui igual a 0,015?

2,479 2,505 2,575 2,615 2,643 2,668 2,709 2,734 2,783 2,954 ............................

118. Un joc consisteix en llençar una moneda equilibrada. Si surt cara paguem X = 14€ i tirem una segona moneda amb p(cara) = 0,4. Si a la primera tirada surt creu paguem X = 10€ i tirem una segona mone‐da amb p(cara) = 0,6. Si el segon llançament dóna cara cobrem Y = 12€ i si dóna creu cobrem Y = 8€. Calcula CoV(X, Y)

‐12,20 ‐9,80 ‐8,60 ‐7,20 ‐6,20 ‐4,80 ‐3,20 ‐2,40 ‐1,80 ‐0,80 ............................

119. En una certa franja horària, els cotxes que circulen per dues carreteres que conflueixen en una única via, que no té cap altra entrada, són processos de Poisson independents. Per una de les carreteres, en mitjana, passa un cotxe cada 5 segons i per l’altra un cada 8 segons. Quina és la probabilitat que per la via única passin, com a mínim, 1200 cotxes en una hora?

0,01102 0,01160 0,01415 0,01463 0,04040 0,04093 0,07200 0,07353 0,18825 0,19489 ............................

AC

D

B



25

En una web hi ha dos tipus d’accessos. Per una banda, els accessos a través d’enllaços des d’altres pàgines (tipus A), defineixen un procés de Poisson amb una mitjana de 10 accessos/hora. D’altra banda, i de forma independent, els accessos directes (tipus B), defineixen un altre procés de Poisson de mitjana 6 accessos/hora. (En conseqüència P(A) = 10/16). A la web hi ha un enllaç publicitari que segueixen un 13 % dels visitants tipus A, i un 5% dels de tipus B.

120. Quina és la probabilitat que un usuari que segueix l’enllaç publicitari hagi arribat a la web de forma directa?

0,0625 0,0750 0,0938 0,1000 0,1250 0,1500 0,1875 0,2000 0,2500 0,3000 ............................

121. Quina és la probabilitat que, dels propers 15 usuaris, més de 4 segueixin l’enllaç publicitari? 0,0127 0,0556 0,0617 0,1642 0,1773 0,3135 0,3518 0,4845 0,5387 0,7031 ............................

122. Si fa 2 minuts que no hi ha hagut cap visita a la web, quina és la probabilitat que encara passin almenys 3 minuts més fins el proper accés?

0,0141 0,0584 0,0875 0,1546 0,2019 0,2636 0,3442 0,4493 0,6225 0,8193 ............................

123. Quina és la probabilitat que, en un mes de març de qualsevol any, hi hagi més de 4350 accessos de tipus B a aquesta web?

0,7696 0,7881 0,8096 0,8289 0,8637 0,8687 0,9016 0,9192 0,9394 0,9554 ............................

124. El vector aleatori (X, Y) té funció de densitat conjunta 3xf(x,y) 3xe en 0 y x. Quina és la proba‐

bilitat que X sigui inferior a 1,5 si supera a 0,5? 0,0870 0,1260 0,1439 0,3038 0,3209 0,5831 0,6785 0,7592 0,7987 0,9612 ............................

La taula següent correspon a la distribució de probabilitat conjunta del vector (X, Y) X

Y 0 5

1 ??? 0,1 10 0,2 0,4

125. Quant val V(8X – 3Y) 196,21 237,96 292,21 331,21 358,96 399,96 438,21 481,21 574,96 681,21 ............................

126. Si W = X+Y, quant val la funció de distribució de la variable W en 0,4? 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 1,0 ............................



26

Durant la seva vida útil, el temps que unes escales mecàniques funcionen correctament des que es reparen fins que es tornen a avariar, es pot considerar Normal, amb esperança 20 dies i variància 9. El temps que dura una reparació d’aquestes escales, també es pot considerar Normal amb esperança 1 dia i variància 0,01. Assumint independència sempre que calgui:

127. Si l’operari se’n va de vacances just després d’haver fet una reparació, quant temps pot ser fora, com a màxim, per garantir, amb un risc del 0,1% que estarà disponible quan les escales es tornin a espatllar?

10,73 13,49 13,64 13,91 14,12 25,88 26,09 26,36 26,51 29,27 ............................

128. Quina és la probabilitat que, des que es va acabar la primera reparació de les escales, fins que s’acaba la 15ena, aquestes hagin estat funcionant, almenys, un 95% del temps?

0,1075 0,1143 0,2107 0,4412 0,5023 0,5675 0,8238 0,8531 0,9706 0,9989 ............................

129. Si l’operari ha fet 10 reparacions, quina és la probabilitat que la més breu hagi durat entre 0,75 i 0,95 dies?

0,8332 0,8560 0,8751 0,8818 0,8991 0,9093 0,9146 0,9165 0,9289 0,9587 ............................

130. Mentre es feia una còpia de seguretat dels arxius d’un PC hi ha hagut un pic de corrent que ha cre‐mat el disc dur. Fins aleshores, s’havia copiat un 50% dels arxius del PC els quals suposen un 10% dels arxius PDF que hi havia, un 40% dels fulls de càlcul i la totalitat dels altres tipus d’arxiu. Els fulls de càlcul representaven un 20% del nombre d’arxius del PC. Quin percentatge representen els PDF del total d’arxius copiats?

0,94 8,44 11,46 19,00 27,63 32,57 50,67 59,86 82,33 92,34 ............................

131. Per aixecar una roca de 100Kg es vol utilitzar una palanca com la de la figura, posant a l’extrem opo‐sat sacs de sorra amb un contingut en Kg distribuït N(1; 0,12). Quants sacs cal posar per garantir, amb una seguretat d’almenys un 98,3% que seran suficients per aixecar la roca?. Recorda que per a que una palanca simple estigui en equilibri cal que es compleixi F1l1 = F2l2

13 14 15 16 19 20 23 24 26 27 ............................

100 Kg



27

132. Per a la variable aleatòria X amb densitat 23f(x) |x| 12

per ‐1 x 1, calcula V(2,3 X)

0,529 1,875 2,304 3,449 5,184 6,864 7,225 7,990 8,836 9,025 ............................

133. En la campanya de declaració de la renda, una oficina dóna cites prèvies durant 30 dies laborables. Se “sap” que un 25% de les declaracions amb cita prèvia realitzades resulten negatives. Si cada dia l’oficina fa 20 declaracions, quina és la probabilitat que cap dia hagin sortit més de 8 declaracions ne‐gatives?

0,1325 0,1527 0,1673 0,1882 0,2021 0,2319 0,2448 0,2857 0,3252 0,3520 ............................

134. La durada (hores) d’uns dispositius segueix una llei de Weibull amb = 2,5 i esperança matemàtica igual a 1800. Si un dispositiu fa més de 1000 hores que funciona, quina és la probabilitat que superi les 1200 hores?

0,7412 0,7985 0,8538 0,9062 0,9551 0,9703 0,9829 0,9916 0,9970 0,9995 ............................

S’està estudiant l’efectivitat d’un recobriment per augmentar la resistència d’un material emprat en el fuselatge d’un avió (actualment la seva mitjana és igual a 280). S’han fet 20 mesures de resistència (suposadament normal) del material amb el nou recobriment i s’ha obtingut X= 280,368 i S = 1,24.

135. Quin és el nivell de significació de la prova per veure si, pel que fa a la mitjana, val la pena fer servir el recobriment?

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 ............................

136. També es vol comprovar, amb = 5% i n= 20, que 2 ≤ 1,5. Quin és el risc associat a 2 = 1,0318? 0,001 0,002 0,005 0,010 0,025 0,950 0,975 0,990 0,995 0,999 ............................

137. Es vol estudiar el consum de 2 motors, que es pot considerar Normal, amb les dades següents i un risc del 5% per qualsevol prova.

mesures X S2

Motor A 24,3 25,9 25,3 24,1 25,4 25,00 0,59

Motor B 22,7 21,2 26,8 22,7 20,1 22,70 6,455

Què val l’estadístic de la prova per verificar si les mitjanes són iguals?

No es pot 1,571 1,612 1,640 1,687 1,711 1,766 1,785 1,850 1,862 1,938 ...............



28

138. En una prova d’hipòtesi d’una llei N(m; 2 = 4) es dubta si plantejar H0: m ≤ 10 o H0: m ≥ 10. En el plantejament correcte el risc associat a m = 12, per mostres de grandària 8, val 0,5438. Què val XL?

11,583 11,618 11,696 11,922 11,951 12,049 12,078 12,304 12,382 12,417 ............................

139. En un estudi de fiabilitat amb 25 dades, 4 de les quals estaven censurades, s’ha fet un gràfic proba‐bilístic exponencial amb resultat satisfactori i s’ha estimat una vida mitjana de 530 h. Estima la fiabili‐tat a les 500 h.

0,0100 0,1951 0,3893 0,4924 0,6480 0,7857 0,8095 0,8877 0,9239 0,9500 .........................

140. Un dispositiu està format per 3 tipus de components. El temps de vida (h) dels uns és W( = 1; = 250), el d’uns altres és W( = 0,5; = 250) i el de la resta W( = 1,5; = 250). El disposi‐tiu és un sistema en sèrie format per 2 subsistemes de 2 elements en paral∙lel cadascun. El primer subsistema té un component en vida útil i l’altre en fase d’envelliment i el segon té els dos compo‐nents en període de garantia (infància). Calcula la fiabilitat del dispositiu a les 50 h

0,751 0,776 0,803 0,830 0,856 0,883 0,906 0,932 0,978 0,988 ............................

S’han estudiat els factors X1 (nivells: 5; 10; 15) i X2 (nivells: 8; 10; 12). S’han combinat tots els nivells del factor X1 amb tots els del factor X2 i s’ha repetit cada punt dos cops. Els resultats definitius han estat Ŷ = 1,25 + 2,60 X1 + 0,38 X12 − 0,20 X1X2 amb diag (X’X)‐1 = (3,1667 0,1812 0,0004 0,0002);

R2 = 0,9962 i 2ˆ = 5,66

141. Què val l’estadístic de la prova H0: 1 = 11 = 12 = 0? 15,32 22,06 28,97 36,81 45,24 54,52 95,26 300,98 864,93 1223,40 ............................

142. Què val l’estadístic de la prova per verificar si 1 ≥ 2? ‐3,22 ‐2,89 ‐1,38 ‐0,89 ‐0,39 0,10 0,19 0,36 0,59 0,89 ............................

143. Per X1 = X2 = 10, l’estimació de la variància de m̂ ha estat igual a 0,167. Quin és l’extrem superior de l’interval de predicció de risc 10% per la Y d’aquest punt?

36,11 38,06 38,92 40,07 41,00 49,50 50,43 51,58 52,44 54,39 ............................

144. S’ha mesurat el desgast (mm) als 20000 Km de 10 pastilles de frens de cadascu‐na de les marques A i B. Els gràfics probabilístics normals resultants es mostren a la figura. Amb = 5%, quin és el valor màxim de l’estadístic per acceptar H0 en la prova per verificar la igualtat de mitjanes?

2,032 2,042 2,056 2,074 2,101 2,110 2,131 2,160 2,201 2,262 .........................



29

145. Un sistema està format per 3 components en sèrie del mateix tipus i tals que cadascun té una taxa de fallada constant i estimada, a partir d’una mostra de grandària 5, com 0,001 fallades/h. Amb risc del 5%, quin és el valor mínim de l’estimació de la fiabilitat del sistema a les 50h?

0,612 0,644 0,650 0,681 0,692 0,719 0,735 0,760 0,782 0,803 ............................

146. Una màquina mecanitza eixos amb diàmetres N(20; 0,22) que es consideren defectuosos si estan fo‐ra de l’interval [19,5; 20,5]. Si la proporció de defectes augmenta crea grans pèrdues econòmiques i d’imatge. Una altra màquina dóna lloc a diàmetres N(20; 2). Amb mostres de grandària 5, quin és el valor frontera de l’estadístic de la prova de risc 2,5% per decidir si val la pena treballar amb la nova màquina?

0,484 0,831 1,237 1,690 2,180 11,143 12,833 14,449 16,013 17,535 ...............................

Es disposa d’una mostra amb nX = 9 de XN(mX; 2X =9) i d’una mostra amb nY = 4 de YN(mY; 2Y =12),

amb X i Y independents, i es vol verificar H0: mX – mY 0,10 contra H1: mX – mY



30

151. Quina de les següents superfícies de resposta podria correspondre al model?

A B C D E Cap ..................

152. El resultat d’un procés és N(m; 2 = 0,742) i es vol verificar que m = 30 amb = 0,05. La probabilitat que la mitjana d’una mostra de grandària 4 indiqui que cal rebutjar H0 és 0,27140 quan m = 30,5. Què valdria aquesta probabilitat si es fessin servir mostres de grandària 9?

0,01761 0,02500 0,05000 0,11153 0,27140 0,32662 0,38224 0,43260 0,48011 0,52793 ...............................

153. En l’estudi de la vida (h) d’un component d’una turbina, els punts del gràfic probabilístic Weibull s’han ajustat satisfactòriament a una recta amb pendent igual a 1,25 i ordenada a l’origen ‐12,40. Quina és la fiabilitat estimada a les 15000 hores d’un component que ja porta 10000 hores funcio‐nant correctament?

0,375 0,424 0,450 0,477 0,505 0,567 0,640 0,679 0,719 0,762 ...............................

154. Quant val la desviació tipus del temps de vida d’un sistema en sèrie format per 3 components, si tots ells tenen vida exponencial de paràmetres 0,12, 0,02 i 0,06, respectivament?

3,333 3,667 4,167 4,250 4,545 5,000 5,556 6,000 6,250 6,667 ...............................

La vida (h) d’unes làmpades és acceptablement exponencial. Cal verificar si λ 0,02953, amb = 0,05.

155. En un assaig s’han obtingut les següents durades: 18; 26; 7,5; 9,4; 17; 16 i 38. Quin és el nivell de significació de la prova?

0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 ............................

156. Quin és el valor mínim que pot assolir la mitjana d’una mostra de grandària 8 per admetre, amb = 0,05, que λ 0,02953?

8,29 10,39 11,76 13,20 15,53 16,85 17,35 20,44 28,70 30,88 ............................



31

157. Essent Yexp(λ) es defineix X = Y2. Es fa el gràfic probabilístic de la variable X amb els valors mostrals de X: 123, 87, 235, 387, 54, 90, 459. Quina és l’abscissa del punt del gràfic corresponent a la mediana de la mostra?

9,8 11,1 12,8 13,7 15,2 96,0 123,0 164,0 187,0 230,0 ............................

Una empresa comercialitza sensors de dues qualitats diferents. La durada d’un dels tipus és X N(mx=100; x2= 16) i la de l’altre és Y N(mY=105; Y2= 25). Un distribuïdor de la marca, que rep sistemàticament partides d’un dels tipus però no sap mai quin és, estableix una prova que classifica el lot com X si la durada mitjana de 10 sensors és inferior o igual a 102 i en cas contrari el classifica com Y.

158. Calcula el risc associat a una partida de sensors tipus X 0,008 0,013 0,019 0,023 0,029 0,031 0,042 0,045 0,057 0,079 ............................

159. Calcula el risc associat a una partida de sensors tipus Y 0,0082 0,0126 0,0188 0,0228 0,0287 0,0307 0,0418 0,0446 0,0571 0,0793 ............................

S’ha mesurat la duresa Vickers (acceptablement Normal) de dues mostres, de 13 cargols cadascuna, de

dos tipus diferents. Els resultats obtinguts han estat: X 344,25 ; 2XS 174,46 ; Y 354,78 ; 2YS 9,10 . A més, fent Q = Y – X s’ha obtingut: Q 10,53 ;

2QS 166,71 .

160. Amb = 0,05, quin és el valor de l’estadístic de la prova per verificar si les mitjanes dels dos ti‐pus són iguals?

2,198 2,307 2,458 2,579 2,802 2,940 3,109 3,262 3,562 3,737 ............................

161. Amb = 0,05, quina és la màxima diferència, en valor absolut, entre les mitjanes de les dues mostres per admetre que les mitjanes poblacionals són iguals?

5,877 5,975 6,879 6,916 7,756 7,803 9,002 9,236 10,275 10,796 ............................

162. Es vol establir un control del diàmetre, X, de les peces procedents d’un procés de mecanitzat auto‐màtic on, inicialment, X N(mX = 20mm; X2 = 0,04mm2). Amb mostres de grandària 5, cal verificar que la variància no augmenta i que l’esperança no canvia i, en cas de que es donés qualsevol dels dos problemes, s’aturaria el procés per revisar‐lo. Atesa la importància de la producció, es considera molt negatiu haver d’aturar el procés indegudament. En la prova de la variabilitat, quin és el valor frontera de la variància de la mostra per decidir si s’atura o no el procés, amb un risc del 5%?

0,0047 0,0071 0,0092 0,0109 0,0124 0,0804 0,0839 0,0886 0,0949 0,1042 ............................



32

163. Es vol establir un control de qualitat del diàmetre, X, de les peces procedents d’un procés de meca‐nitzat automàtic on, inicialment, X N(mX = 20mm; X2 = 0,03mm2). Amb mostres de grandària 5, cal verificar que la variància no augmenta en 0,01 o més i que l’esperança no canvia i, en cas de que es donés qualsevol dels dos problemes, s’aturaria el procés per revisar‐lo. Atès el valor del producte, es considera molt negatiu no detectar qualsevol degradació de qualsevol dels paràmetres. En la prova de la variabilitat, per decidir si s’atura o no el procés, quin és el nivell de significació si en la mostra ha resultat S2 = 0,1847?

0,001 0,005 0,010 0,020 0,050 0,100 0,900 0,950 0,990 0,999 ............................

Per estudiar la influència de 3 factors sobre una resposta es disposa de 20 experiències dife‐rents i, en totes elles, els factors estan dins l’interval (−2; 2). Un primer model ha donat

1 2 3 1 2Ŷ 14,01 2,18 X 4,54 X 5,11 X 5,66 X X amb SQR = 158,4; SQT = 1493,6 i

1X'X diag 0,0500 0,0625 0,0625 0,0625 0,0625 . Un segon model, que ha afegit la in‐teracció X1X3 al final de l’anterior, ha donat R2 = 0,9554 amb

1diag X'X 0,0179 0,0045 0,0045 0,0045 0,0045 0,0223 .

164. Què val l’extrem inferior de l’interval de confiança 0,95 pel coeficient de la interacció del primer model?

3,604 3,775 3,883 3,929 3,968 4,002 4,109 4,199 4,236 4,296 ............................

165. Quin és el valor màxim, amb un risc del 5%, en què es pot estimar el coeficient de la interacció en el primer model?

6,793 6,898 6,951 7,006 7,037 7,084 7,165 7,230 7,296 7,389 ............................

166. Quin és el valor mínim, amb un risc del 5%, en què es pot estimar l’esperança matemàtica de la resposta, del primer model, quan X1 = X2 =X3 = 1?

12,415 12,790 13,028 13,127 13,214 13,289 13,523 13,718 13,800 13,933 ............................

167. Per X1=X2=X3=0 i utilitzant el primer model, quin és el valor de la resposta que només serà su‐perat un 5 ‰ dels casos?

4,208 4,738 5,111 5,482 6,203 21,817 22,538 22,909 23,282 23,823 ............................

168. En el segon model, el nivell de significació per verificar si el coeficient de X1 és significatiu ha es‐tat igual a 0,05. Sabent que és negatiu, quin ha estat el valor estimat per aquest coeficient?

−0,2577 −0,2859 −0,3139 −0,3240 −0,3419 −0,3482 −0,3814 −0,3946 −0,4164 −0,4646 ............................



33

169. Què val la diferència entre el valor de l’estadístic de la prova de significació del segon ajust i el seu valor frontera per un risc del 2,5%?

51,35 52,06 52,90 53,18 53,65 54,89 55,29 56,32 57,02 58,15 ............................

170. Setze components s’han sotmès a un estudi de fiabilitat tallat a les 250h, cada 50 h s’ha retirat un component que estava funcionant bé per fer proves de resistència, i de la resta s’han obtingut les se‐güents durades en hores: 16; 28; 49; 62; 104; 160; 212 i 235h. Estima la fiabilitat d’un sistema de 3 components en paral∙lel a les 75h.

0,9466 0,9519 0,9594 0,9630 0,9684 0,9709 0,9749 0,9767 0,9834 0,9844 ............................

171. Un sistema consta de 8 components en sèrie de vida exponencial del mateix paràmetre λ. Amb una mostra de 5 components s’ha obtingut una vida mitjana de 2500h. Amb un risc del 5%, quina és l’estimació de la fiabilitat mínima que es pot assegurar al sistema a les 250 hores?

0,1457 0,1732 0,1866 0,1942 0,2110 0,2121 0,2248 0,2312 0,2462 0,2584 ............................

172. Cal muntar un sistema utilitzant 4 components de vida exponencial amb λ = 0,02 i s’han plantejat dues configuracions alternatives: A) Muntar en sèrie 2 subsistemes formats cadascun per dos com‐ponents en paral∙lel; B) Muntar en paral∙lel 2 subsistemes cadascun dels quals té 2 components en sèrie. Quina és la fiabilitat del sistema B en la mediana de vida del sistema A?

0,2961 0,3767 0,4375 0,4930 0,5345 0,6453 0,7458 0,7859 0,7958 0,8889 ............................

173. En un estudi de fiabilitat s’han obtingut les següents durades en hores: 1,5; 3,5; 7,5; 9; 12; 15; 21; 30; 42 i 75. S’han ajustat els gràfics probabilístics exponencial (A), Weibull (B) i Normal (C). Estima la fiabilitat a les 35h

0,0993 0,1353 0,1576 0,1986 0,2019 0,2466 0,3970 0,4493 0,5002 0,5488 ............................

y = 0,04x

00,51

1,52

2,53

3,5

0 50 100

A

y = x ‐ 3,22

‐4

‐3

‐2

‐1

0

1

2

0 2 4 6

B

y = 0,05x ‐ 1,00‐2

‐1

0

1

2

0 50 100

C



34

174. En un estudi de fiabilitat s’han obtingut les següents durades en hores: 840; 845; 849; 860+; 870; 885; 890; 900+; 920; 960; 1000+ i 1000+. S’han ajustat els següents gràfics probabilístics exponencial (A), Weibull (B) i Normal (C). Estima la fiabilitat a les 875h d’un sistema de 4 components en sèrie

0,0676 0,0799 0,1059 0,1217 0,1660 0,1855 0,2600 0,2826 0,4074 0,4307 .....................

Una empresa comercialitza sensors de dues qualitats diferents. La durada d’un dels tipus és X N(mX = 100; X2 = 16) i la de l’altre és Y N(mY = 105; Y2 = 25). Un distribuïdor oficial de la marca, que rep sistemàticament partides d’un dels tipus però no sap mai quin és en aquell cas, estableix una prova que classifica el lot com X si la durada mitjana de 10 sensors es inferior o igual a 102, en cas contrari el classifica com Y. El cost d’inspecció s’avalua amb 1€ per sensor. Classificar un lot X com Y representa un cost addicional de 100€, mentre que classificar com Y un X s’avalua amb 80€ addicio‐nals.

175. Calcula l’esperança matemàtica del cost de classificació d’un lot tipus X. 1,00 10,00 11,98 12,30 13,45 15,71 16,92 17,54 18,26 19,93 ............................

176. Calcula l’esperança matemàtica del cost de classificació d’un lot tipus Y. 1,00 10,00 11,98 12,30 13,45 15,71 16,92 17,54 18,26 19,93 ............................

177. La concentració de producte pur, X, obtingut en una síntesi química és N(m = 250 ppm; 2 = 16 ppm2). Es vol millorar el resultat de la síntesi i per això cal canviar el reactor per un altre de gran cost d’adquisició que només és rendible si m augmenta, al menys, 10ppm. El nou

reactor, en fase de prova, i després de 20 síntesis ha donat 2XX 259,163 i S 3,2 que poden indi‐

car canvis en m i/o en 2. Amb un risc igual a 0,05, quin és el nivell de significació de la prova sobre m que decidirà si cal canviar o no de reactor?

0,001 0,025 0,050 0,087 0,174 0,826 0,913 0,950 0,975 0,999 ............................

y = 0,0104x ‐ 8,651

0

0,4

0,8

1,2

1,6

800 850 900 950 1000

A

y = 17,452x ‐ 119,27

‐3

‐2

‐1

0

1

6,7 6,8 6,9

B

y = 0,015x ‐ 13,63

‐1,5

‐1

‐0,5

0

0,5

1

1,5

800 850 900 950 1000

C



35

178. La concentració de producte residual i altament contaminant, X, obtingut en una síntesi química és N(m = 25 ppm; 2 = 0,16 ppm2). Es vol millorar el resultat de la síntesi i per això cal canviar el reactor per un altre de gran cost d’adquisició que només és rendible si m disminueix, al menys, 1 ppm. El nou reactor, en fase de prova, i després de 20 síntesis ha donat una mitjana de 24,0718 i una variància de 0,0160 que pot indicar canvis en m i/o en 2. Amb un risc = 0,05, quin és el nivell de significació de la prova sobre m que decidirà si cal canviar o no de reactor?

0,005 0,010 0,020 0,025 0,050 0,211 0,789 0,950 0,975 0,990 ............................

179. Es vol estudiar l’efecte del factor

hermessuspendeme.com 2A... · 2016. 9. 13. · LESTAD ETSEIAT− UPC Enunciats d’exercicis M....

Documents

Transcript of hermessuspendeme.com 2A... · 2016. 9. 13. · LESTAD ETSEIAT− UPC Enunciats d’exercicis M....