2_FISICA_OPTO
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2. C 2. CÁ LCULO VECTORIAL. LCULO VECTORIAL. 2.1 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. 2.2 Sistemas de coordenadas. Componentes de un vector. 2.3 Operaciones con vectores.
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OPTICA
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2. C2. CÁÁLCULO VECTORIAL.LCULO VECTORIAL.
2.1 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
2.2 Sistemas de coordenadas. Componentes de un vector.
2.3 Operaciones con vectores.
2.2. CALCULO VECTORIAL. CALCULO VECTORIAL.
2.1 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.2.1 Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales.
2.1
2 tipos de magnitudes:
* Escalares: se describen mediante un parámetro (número).
* Vectoriales: se describen mediante tres parámetros: módulo,
dirección y sentido
Ejemplos:
- Temperatura, volumen, masa, energía… ➜ M. Escalares
- Fuerza, velocidad, desplazamiento, campo eléctrico…
➜ M. Vectoriales.
En física, las magnitudes vectoriales se describen mediante
vectores libres
☞ Dos vectores son iguales si tienen igual módulo, dirección y
sentido.
☞ Dos vectores son iguales si pueden superponerse
perfectamente por traslación.
Para describir correctamente un vector es necesario recurrir a un
sistema de coordenadas.
Debe constar de:
* Un punto de referencia fijo O, denominado origen.
* Un conjunto de ejes con una adecuada escala.
Es conveniente tomar una sistema de ejes ortogonales(≈ perpendiculares)
2.2 Sistemas de coordenadas. Componentes de un vector.2.2 Sistemas de coordenadas. Componentes de un vector.
2.2
☞ Vectores unitarios
Sistema cartesiano (en el plano):
€
r i ,
r j
r i
r j
O x
y
(x, y) ☞ Coordenadas de un punto
Componentes de un vector en el plano:Componentes de un vector en el plano:
La proyección de un vector sobre cada eje del Sistema de
coordenadas nos da sus componentes
O x
y
€
r A
Ax
Ay
€
r A = Ax
r i + Ay
r j ≡ (Ax , Ay )
2.3
Si conocemos el módulo del vector, A, y el ángulo θ que forma
con el eje x,
€
Ax = A ⋅cosθ
Ay = A⋅senθ
O x
y
€
r A
Ax
Ayθ
A
€
Ay
Ax
= tgθ
€
θ = arctgAy
Ax
€
Ax
2
+ Ay
2
= A2
€
A = Ax
2
+ Ay
2( )1/ 2
☞
☞
Componentes de un vector en el espacio:Componentes de un vector en el espacio:
y
O x
€
r A
Ax
Ay
z
Az
€
r i
€
r j
€
r k
€
A = Ax
2
+ Ay
2
+ Az
2( )1/ 2
€
r A = Ax
r i + Ay
r j + Az
r k ≡ ( Ax , Ay , Az )
La posición de un punto P en el espacio (o en el plano) viene
definida por su vector de posición
€
OP
O x
z
P
€
OP
y
Trasladamos uno de ellos al origen del otro.
☞ Se obtiene construyendo un
paralelogramo de lados A y B y trazando su
diagonal desde el origen común.
En coordenadas:
2.3 Operaciones con vectores.2.3 Operaciones con vectores.
2.4
☞ Se suman las coordenadas.
1. Suma de dos vectores.
€
r A +
r B =
r C
La suma de vectores es:
- Conmutativa
- Asociativa
€
r A
€
r B
€
r B
€
r C =
r A +
r B
€
r C
€
r A +
r B = (Ax
r i + Ay
r j ) + (Bx
r i + By
r j ) =
= (Ax + Bx )r i + (Ay + By )
r j
€
r A +
r B =
r B +
r A
€
(r A +
r B ) +
r C =
r A + (
r B +
r C )
Es otro vector con la misma dirección y sentido, y de módulo el
producto del módulo del vector por el escalar.
2. Producto de un escalar por un vector.
Para una suma de vectores,
€
r C =
r A +
r B
€
λr A = λ (Ax
r i + Ay
r j ) =
= λ Ax
r i + λ Ay
r j
€
r A
€
λr A
€
λr C = λ (
r A +
r B ) = λ
r A +λ
r B ☞
€
r A
€
r B
€
r C
€
λr C
€
λr A
€
λr B
El que sumado a su opuesto nos da el vector nulo.
2.5
3. Vector opuesto.
€
r A +
r B =
r 0 ☞ Vector opuesto de
€
r B = −
r A
€
r A
€
r B = −
r A
€
r A
4. Sustracción de vectores.
€
r A −
r B =
r A + (−
r B ) (Se suma el opuesto del sustraendo)
Es un vector de módulo unidad.
5. Vector unitario.
€
r u A =
r A
A
☞ Vector unitario (o versor) en
la dirección
€
r A
En coordenadas,
€
r A = (Ax , Ay ) ≡ Ax
r i + Ay
r j
€
A = Ax
2
+ Ay
2( )1/ 2
€
r u A =
Ax
A,Ay
A
≡
Ax
A
r i +
Ay
A
r j
2.6
Operación entre dos vectores que da lugar a un escalar,
6. Producto escalar.
* Producto escalar por un escalar
€
r A ⋅
r B = A ⋅ B ⋅cosθ
€
λ (r A ⋅
r B ) = λ A Bcosθ = (λ A) Bcosθ = A(λ B)cosθ =
= (λr A ) ⋅
r B =
r A ⋅(λ
r B )
€
r A
€
r B
€
r B
θ
€
r A ⋅
r B = A ⋅ B ⋅cosθ
€
r B ⋅
r A = B ⋅ A ⋅cos(-θ)
€
r A ⋅
r B =
r B ⋅
r A
☞ Es conmutativo
☞ Es distributivo respecto del producto por un escalar.
* Si ☞
€
r A ⊥
r B
€
r A ⋅
r B = A ⋅ B ⋅cos
π
2= 0
* ☞
€
r A ⋅
r A = A⋅ A = A
2
€
A =r A ⋅
r A [ ]
1/2
Para los vectores unitarios de un sistema de coordenadas:
€
r i ⋅
r i =
r j ⋅
r j =
r k ⋅
r k =1
€
r i ⋅
r j =
r j ⋅
r k =
r i ⋅
r k = 0
El producto escalar de un vector por un vector unitario nos
da la proyección de sobre .
€
r A
€
r A
€
r u
€
r u
€
r A ⋅
r u = A⋅ cosθ
€
r A
€
r u
θ
€
A ⋅cosθ
Producto escalar en coordenadas cartesianas:
€
r A ⋅
r B = (Ax
r i + Ay
r j + Az
r k )(Bx
r i + By
r j + Bz
r k ) =
= Ax Bx + Ay By + Az Bz
€
A2
=r A ⋅
r A = Ax
2
+ Ay
2
+ Az
2
€
A = Ax
2
+ Ay
2
+ Az
2( )1/ 2
☞
☞
€
r A ⋅
r i = Ax ;
r A ⋅
r j = Ay ;
r A ⋅
r k = Az
2.7
Operación entre dos vectores que da lugar a
un vector perpendicular a ellos,
de módulo ,
dirección
y sentido dado por la regla del tornillo
(dirección de avance al girar de a )
7. Producto vectorial.
€
r A ×
r B = A⋅ B ⋅senθ
€
r A
€
r B
€
r C =
r A ×
r B
θ
* Si ☞
€
r A ×
r B =
r 0
€
r A
r B
* Asociativo respecto del producto por un escalar:
Para los vectores unitarios de un sistema de coordenadas:
€
r i ×
r i =
r 0
€
r k ×
r i =
r j
Triedro
trirrectángulo
directo
€
r A ×
r B = (Ax
r i + Ay
r j + Az
r k ) × (Bx
r i + By
r j + Bz
r k ) =
= Ax By
r k − Ax Bz
r j
− Ay Bx
r k + Ay Bz
r i
+ Az Bx
r j − Az By
r i
= ( Ay Bz − Az By )r i + ( Az Bx − Ax Bz )
r j + (Ax By − Ay Bx )
r k
€
r A ×
r B ⊥
r A ,
r B
€
r B
€
r A
Propiedades:
* No es conmutativo ☞
€
r B ×
r A = -
r C = -(
r A ×
r B )
€
λ (r A ×
r B ) = (λ
r A ) ×
r B =
r A × (λ
r B )
* Distributiva:
€
r C × (
r A +
r B ) =
r C ×
r A +
r C ×
r B
€
r j ×
r j =
r 0
€
r k ×
r k =
r 0
€
r i ×
r j =
r k
€
r j ×
r k =
r i
O
€
r i
€
r j
€
r k
Producto vectorial en coordenadas cartesianas:
€
r A ×
r B =
r i
r j
r k
Ax Ay Az
Bx By Bz
Notación en forma
de determinante:
(Usarla si se está
familiarizado con
los determinantes)
