8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

1/9

 

 

 

     

     

 

 

 

 

 

 

 

 

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

2/9

   

◦ 

   

 

 

 

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

3/9

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

m1ẍ + (K 1 + k2)x1 − k2x2 = 0m2ẍ + (K 2 + k3)x2 − k2x1 = 0

 

 

X 1(t) = X 1cos(wt + φ1)

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

4/9

   

◦ 

X 2(t) = X 2cos(wt + φ2)

 

M  Ẍ  +  KX  = 0

 m1   00   m2

ẍ1ẍ2

 

      1 + k2    2

  2    2 + k3

x1x2

 

  00

 |−Mw2 +k|  

 

  1 + k2 − m1w

2   2

  2    2 + k3 − m2w2  m1m2w

4 − w2(m1(K 2 + k3) + m2(K 1 + k2)) − k22 + ((K 1 + k2)(K 2 + k3) = 0

 

λ =  w2

m1m2λ2 − λ(m1(K 2 + k3) + m2(K 1 + k2)) − k22 + ((K 1 + k2)(K 2 + k3) = 0

  λ  

λ1,2  =  m1(K 2+k3)+m2(K 1+k2)±

√ m1(K 2+k3)+m2(K 1+k2)−4m1m2(−k22+((K 1+k2)(K 2+k3))

2m1m2

 w1,2  

w1 =√ λ1

w2 =√ λ2

  w1     w2  

 

 X 1     X 2  

 w1     w2  

r1  =  x

(1)2

x(1)1

=  k1+k2−m1w21

k2

r2  =  x

(2)2

x(2)1

=  k1+k2−m1w22

k2

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

5/9

 

X 2 =  r1X 1

 

 X 1  

 

  (1)1

 

(1)2

 

   

  (1)1

  1X (1)1

 X 2  

 

  (2)1

 

(2)2

 

   

  (2)1

  2X (2)1

 

X (1)1   (t)    

  (1)1   (t)

 

(1)2   (t)

      (1)

1   cos(w1t + φ1)

  1X (1)1   cos(w1t + φ1)

X 

(1)2   (t)  

 

  (2)1   (t)

 

(2)2   (t)

 

   

  (2)1   cos(w2t + φ2)

  2X (2)1   cos(w2t + φ2)

X 1(t) = X (1)1   cos(w1t + φ1) + X 

(2)1   cos(w2t + φ2)

X 2(t) = r1X (1)1   cos(w1t + φ1) + r2X 

(2)1   cos(w2t + φ2)

 

 

X (1)1   =

  1r2−r1

 (r2x1(0) − x2(0))2 +   1w21 (

  ˙x2(0) − r2   ˙x1(0))2

X (2)1   =

  1r2−r1

 (x2(0) − r1x1(0))2 +   1w22 (r1

  ˙x1(0) −   ˙x2(0))2

φ1  =  tan−1(

  ˙x2(0)−r2   ˙x1(0)w1(r2x1(0)−x2(0)

)

φ2  =  tan−1(   (r1

  ˙x1(0)−   ˙x2(0)w2(x2(0)−r1x1(0))

)

   

 

 

 

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

6/9

   

◦ 

 

m1 = 10Kg

m2 = 1Kg

K 1 = 30N m

K 2 = 5N m

x1(0) = 1m

x2(0) = 0

ẋ1(0) = 0

ẋ2(0) = 0

r1  = 2

r2  = −5

 

 

m1ẍ + (K 1 + k2)x1 − k2x2 = 0

m2ẍ + K 2x2 − k2x1  = 0

 M  Ẍ  +  KX  = 0  

m1   00   m2

ẍ1ẍ2

 

      1 + k2    2

  2    2

x1x2

 

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

7/9

10kg   0

0 1kg

ẍ1ẍ2

 

   

 

  x1x2

 

  00

 

| − Mw2 + k|  2    

2

 10kg2w4 − w2(50kgN m  + 35kgN m) − 25N m + 175N m  = 0

10kg2w4 − w285kg N m

 + 150N m

 = 0

10kg2λ2 − 85kgN mλ + 150N m  = 0

  λson :

λ1 = 2,5

λ2 = 6

w1 = √ 

2,5 = 1,5811 rads

w2 =√ 

6 = 2,449 rads

 

r1  =  x

(1)2

x(1)1

=  35N/m−10kg∗(1,5811 rad

s  )2

5N/m   = 2

r2  =  x

(2)2

x(2)1

=  35N/m−10kg∗(2,449 rad

s  )2

5N/m  = −5

 

X (1)1   =

  1−5−2 

(−5 ∗ 1m)2 +   12,5

(0)2

X (1)1   =

  1−5−2

 (−5 ∗ 1m)2 +   12,5(0)2 = −0,71428m

X (2)1   =

  1−7

 (−(2) ∗ 1m)2  

φ1  =  tan−1(

  ˙x2(0)−r2   ˙x1(0)w1(r2x1(0)−x2(0)

)

φ1  =  tan−1(   0

1,5811 rads  (−5∗1m)

) = 0

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

8/9

   

◦ 

φ2  =  tan−1(   (r1

  ˙x1(0)−   ˙x2(0)w2(x2(0)−r1x1(0))

)

φ2  =  tan−1(   0

2,449 rads  ∗(−2∗1m)

) = 0

 

 

 X 1  

 

  (1)1

 

(1)2

 

   

 

   

   

 

 

 X 2  

 

  (2)1

 

(2)2

 

   

 

   

   

 

 

 

X (1)1   (t)  

 

  (1)1   (t)

 

(1)2   (t)

 

   

 

 

X (1)2   (t)  

 

  (2)1   (t)

 

(2)2   (t)

 

   

 

 

X 1(t) = −0,71428 ∗ cos(1,5811 rads   t) + 0,285m ∗ cos(2,449 rads   t)

X 2(t) = −1,42856m ∗ cos(1,5811 rads   t) − 1,425m ∗ cos(2,449 rads   t)

 

   

 

   

 

 

 

 

 

8/17/2019 2gld sistemas vibratorios

9/9