2ingenieria Economica Factores v1

LOGODocente: Christian Arce R.

Ingeniero Civil Industrial

FACTORES: COMO EL TIEMPO Y EL INTERS AFECTAN EL DINERO

FACTORES DE PAGO NICO (F/P y P/F)

Es aquel que determina la cantidad de dinero F que se acumuladespus de n periodos, a partir de un valor nico presente P coninters compuesto una vez por periodo.

El diagrama de flujo de caja para este factor es el siguiente:

1 20 n-1 n3

Fn = ?

P = dado

..i = dado

Factor de cantidad compuesta de pago nico (FCCPU) o factor F/P


Derivacin del Factor F/P

Final de n periodos F = P (1 + i)n

Factor de conversin F/P que cuando se multiplica por P, produce la cantidad F deuna inversin inicial P despus de n periodos, a la tasa de inters i.

Factor de cantidad compuesta de pago nico (FCCPU) o factor F/P


Factor de valor presente de pago nico (FVPPU) o factor P/F

Es aquel que determina el valor presente P de una cantidad futura F,despus de n periodos a una tasa de inters i.


1 20 n-1 n3

Fn = dado

P = ?

..i = dado

El valor de P se obtiene invirtiendo la situacin anterior, es decir:

P = F n(1 + i)

1


Notacin estndar de los factores

Incluye dos smbolos de flujo de caja: i y n. Se presenta siempre de la siguiente forma:

( X / Y , i% , n)

Valor dado?

Para los factores vistos anteriormente la notacin es la siguiente:

Para simplificar clculos se han elaborado tablas de valores de factores, las cuales se encuentran al final del libro (L.Blank y A.Tarkin).


Notacin estndar de los factores

Cmo se utiliza esta tabla de factores?

Para un factor, tasa de inters y tiempo dados, el valor correcto delfactor se encuentra en la interseccin del nombre del factor y n.

Por ejemplo: Encuentre el valor del factor (P/F, 5%, 10)

La tabla a utilizar es la que corresponde a la tasa de inters i = 5%.Luego interceptando: n = 10 con (P/F) se obtiene que (P/F, 5%, 10) = 0,6139.Este mismo valor se obtiene aplicando la frmula antes vista:

(P/F, i%, n) = n(1 + i)

110(1 + 0,05)

1= = 0,6139


Ejemplo

Si F = $100.000 despus de 9 aos. Cul es el valor equivalente hoy de este valor si la tasa de inters es 15% anual?

Solucin: El diagrama de flujo de caja es el siguiente:

1 20 93

Fn = 100.000

P = ?

..i = 15%

P0 = $100.000(P/F, 15%,9) = $100.000 (1/(1.15)9)

= $100.000 (0,2842) = $28.426 en t = 0

FACTORES DE PAGO UNIFORME(P/A y A/P)

Factor de valor presente de serie uniforme (FVPSU) o factor P/A

Es aquel que determina el valor presente P equivalente deuna serie uniforme A de flujo de efectivo al final del periodo.


1 20 n-1 n3

P = ?

A = dado

..i = dado

FACTORES DE PAGO NICO (P/A y A/P)


Determinacin del Factor P/A

El valor presente P de una serie uniforme A, puede obtenerseconsiderando cada valor de A como un valor futuro F y luegosumar estos resultados:

Los trminos entre corchetes representan los factores P/F durante los aos 1 hasta n.Si se factoriza A se obtiene:



Para simplificar la ecuacin 1 y obtener el factor P/A, se debemultiplicar esta ecuacin por el factor 1/(1+i):

Para obtener P en funcin de A, se debe restar la ecuacin (1) de la (2).



Simplificando an ms la ecuacin 3 se obtiene la siguiente expresin

P = n+1(1 + i)

1A-i

- 1 P = A ni (1 + i)

(1+i) - 1n

i 0

Factor P/A que calcula el valor P equivalente en el ao 0 para una serieuniforme de final de periodo de valores A, que empiezan al final del periodo1 y se extienden durante n periodos.


Factor de recuperacin del capital (FRC) o factor A/P

Es aquel que determina el valor anual uniforme equivalente A durante n aos de un valor P dado en el ao 0, cuando la tasa de inters es i.


1 20 n-1 n3

P = dado

A = ?

..i = dado


Determinacin del Factor A/P

De la ecuacin (3) obtenida anteriormente despejar A en trminos de P:

A = P

ni (1 + i)

(1+i) - 1n

El Factor A/P calcula el valor anualuniforme equivalente A durante n aos deuna P dada en el ao 0 cuando la tasa deinters es i.

Las frmulas de ambos factores se derivan con el valor presente P y laprimera cantidad anual uniforme A, con un ao (o un periodo) dediferencia. Es decir, el valor presente P siempre debe localizarse unperiodo antes de la primera A.


Determinacin del Factor A/P

Notacin, ecuacin y funciones para los factores P/A y A/P


Ejemplo

Cunto dinero debera ahorrarse hoy para recibir $6.000anuales durante 9 aos, a partir del prximo ao, si la tasade rendimiento es 16% anual?

Solucin: El diagrama de flujo de caja que se ajusta al factor P/A es:

1 20 3

P = ??

A = $6.000

i = 16%

5 64 7 8 9

El valor presente es:

P = A ( P/A, 16%, 9 ) = A ni (1 + i)

(1+i) - 1n

= 600 (4,6065) = $ 27.639,3

FACTORES PARA SERIES UNIFORMES (A/F y F/A)

Factor de Fondo de Amortizacin o factor A/F

Es aquel que determina la serie de valor anual uniforme A quesera equivalente a un valor futuro determinado F.

El diagrama de flujo de caja que se ajusta a este factor es:

1 20 n-1 n3

F = dado

A = ?

..

i = dado

n-2

La serie uniforme A se inicia al final del periodo 1 y contina a lo largo de la F dada.


Factor de Fondo de Amortizacin o factor A/F

Determinacin del factor A/F

Recuerde que:

P = F n(1 + i)

1A = P

ni (1 + i)

(1+i) - 1n

Sustituyendo P : ni (1 + i)

(1+i) - 1n

F n(1 + i)

1A =

Simplificando esta expresin se obtiene:

i

(1+i) - 1nFA = Factor A/F


Factor de Cantidad Compuesta, Serie Uniforme (FCCSU) o factor F/A.

Es aquel que determina el valor futuro F de una serie uniforme A.El diagrama de flujo caja que se ajusta a este factor es:

1 20 n-1 n3

F = ?

A = dado

..

i = dado

n-2

Nota: La cantidad futura F ocurre durante el mismo periodo que la ltima A.



Determinacin del factor F/AConsiderando la expresin obtenida anteriormente:

i

(1+i) - 1nFA =

Y reordenndola se obtiene:

i

(1+i) - 1n

AF = Factor F/A



Notacin, ecuacin y funciones para los factores A/F y F/A


EjemploEl presidente de la empresa F&P quiere saber el valor futuroequivalente de una inversin de capital de $1.000.000 cada aodurante 8 aos, empezando a partir de hoy.El capital de la empresa gana a una tasa de 14% anual.

Solucin: El diagrama de flujo de caja para esta situacin es:

1 20 3

F = ??

A = $1.000.000

i = 14%

5 64 7 8

El valor F en 8 aos es:

F=A ( F/ A,14%,8) =i

(1+i) - 1n

A = $1.000.000 (13 ,2328) = $ 13.232.800


EjemploEl presidente de la empresa F&P quiere saber el valor futuroequivalente de una inversin de capital de $1.000.000 cada aodurante 8 aos, empezando a partir de hoy.El capital de la empresa gana a una tasa de 14% anual.

Solucin: El diagrama de flujo de caja para esta situacin es:

1 20 3

F9 = ??

A = $1.000.000

i = 14%

5 64 7 8 9

El valor F en 9 aos es:

??


EjerciciosCunto dinero necesita depositar Carolina cada ao,despus de un ao a partir de hoy, a una tasa de 5%anual, para que pueda acumular $6.000 en 7 aos?.

Solucin: $725 , 76

RESUMEN DE FACTORES

FACTORES PARA SERIES GRADIENTE

El modelo de flujo de efectivo de una serie uniforme (A)no es la nica aplicacin que se puede encontrar en losproblemas de ingeniera econmica.

Existen tambin otros dos modelos de final de periodo muy comunes:

FLUJO DE EFECTIVO DEUNA SERIE DEGRADIENTE ARITMTICO

FLUJO DE EFECTIVO DEUNA SERIE DE GRADIENTEGEOMTRICO


Es una serie de flujos de efectivo que aumenta odisminuye en una cantidad constante durante nperiodos de tiempo. La cantidad de aumento odisminucin se denomina GRADIENTE.

Gradiente Aritmtico

Siempre est constituido por dos componentes:

a) La cantidad anual base, A

b) El cambio aritmtico constante, G (positivo o negativo)

El diagrama de flujo de caja de una serie de gradiente aritmtico se muestra a continuacin:


Diagrama de flujo de caja de gradiente aritmtico creciente

1 20 3 n-1 n

A1

A1+G

A1+2G

A1+(n-2)G

A1+(n-1)G


EjemploUna persona compra un automvil usado con un ao degaranta, por lo que durante el primer ao slo debe pagar$150.000 correspondiente a la gasolina y el seguro. A partirdel segundo ao esta persona debe solventar adems lasreparaciones, costo que se espera que aumentar cada aoen $5.000.

Cul ser el diagrama de flujo de efectivo de esta situacin para n aos?

Solucin: Considerando que los valores para A y G son $150.000 y$5.000 respectivamente, el diagrama de flujo de caja de seriearitmtica sera el siguiente:


1 20 3 n-1 n

$150.000

$150.000 + $5.000

$150.000 + 2 x $5.000

$150.000 + (n-2) x $5.000

$150.000 + (n-1) x $5.000


Ignorando la cantidad base, el diagrama de flujo de cajageneralizado de gradiente aritmtico creciente es el siguiente:

1 20 3 n-1 n

G

2G

(n-2) G

(n-1) G

El flujo de caja en el ao n (FCn)se calcula como: FCn = Cantidad Base + (n-1) G


En este curso se utilizarn tres factores para los gradientes aritmticos:

FACTOR P/G

FACTOR A/G

FACTOR F/G

Para el Valor Presente

Para la Serie Anual

Para el Valor Futuro

Para derivar estos factores se utilizar el factor de valor presente con pago nico (P/F, i, n)

FACTORES PARA SERIES GRADIENTE (P/G, A/G, F/G)

Derivacin del Factor de Valor Presente de Gradiente Aritmtico o Factor P/G.

Este factor servir para determinar el valor presente de la serie de gradiente aritmtica sin considerar la cantidad anual base, es decir:

0 1 2 3 4 n-1 n


Segn la figura el valor presente P en el ao 0 es igual a lasumatoria de los valores presentes de los pagosindividuales, donde cada valor se considera como unacantidad futura, es decir:

P = G (P/F, i%, 2) + 2G (P/F, i%, 2) + ..+ [(n-2)G ] (P/F, i%, n-1) + [(n-1)G ] (P/F, i%, n)

Factorice esta expresin por G y aplique la frmula de P/F


Al multiplicar ambos lados de la ecuacin (1) por (1+ i)1 se obtiene :

Reste la ecuacin 1 de la 2 :

Factor P/A


Sustituyendo la frmula del factor P/A en la ecuacin ydespejando P se obtiene la siguiente expresin simplificada :

P = ni(1 + i)

Gi

-n

(1 + i) - 1

n(1 + i)

n

Esta ecuacin expresada como una relacin de ingeniera econmica tiene la siguiente forma :

P = G (P/G ,i , n) Factor P/G

RECUERDE: G empieza en el periodo 2 y P est en el periodo 0.


El factor P/G se puede expresar de dos formas :


Derivacin del Factor de Gradiente Aritmtico de una Serie Uniforme o Factor A/G.

Este factor permite determinar la serie anual uniformeequivalente (A) de un gradiente aritmtico G.

Esto se obtiene mediante el producto de:

A = G (P / G, i, n) (A / P, i, n)


De la expresin anterior se obtiene la siguiente ecuacin:

Esta ecuacin expresada como una relacin de ingeniera econmica tiene la siguiente forma :

A = G (A/G ,i ,n) Factor A/G


Derivacin del Factor de Gradiente Aritmtico de una Serie Uniforme o Factor F/G.

Esto se obtiene mediante el producto de:

F = G (P / G, i, n) (F / P, i, n)


Para series de flujos de caja que impliquen gradientes se debe tener presente:

La cantidad base es la cantidad A de serie uniforme queempieza en el ao 1 y se extiende hasta el ao n. Suvalor presente se simboliza con PA.

Para un gradiente creciente, la cantidad gradiente debeagregarse a la cantidad de la serie uniforme. El valorpresente es PG.

Para un gradiente decreciente, la cantidad gradientedebe restarse a la cantidad de la serie uniforme. El valorpresente es -PG.


Por lo tanto, las ecuaciones generales para calcular el valor presente total PT de los gradientes aritmticos son:

PT = PA + PG y PT = PA - PG

Y para las series anuales totales equivalentes:

AT = AA + AG y AT = AA - AG

Donde AA = cantidad base anualAT = cantidad anual equivalente de la serie uniforme


EjemploConsidere el siguiente flujo de caja

0 1 2 3 4 5

G = 100/ao

Determine el valor presente PT

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