Para poder plantear la ecuación de la integral primero graficamos las funciones.

Tabla de valores

G(x)=1-x

x g(x)0,0 10,2 0,80,4 0,60,6 0,40,8 0,21,0 0

F(x)=x2+2

x f(x)0,0 20,2 2,040,4 2,160,6 2,360,8 2,641,0 3

Vemos que el área entre las funciones

∫0

1

((x2¿+2)−(1−x))dx¿

∫0

1

(x2+x¿+1)dx¿

⌈ x3

3+ x

2

2+x ⌉

0

1

( 13

3+ 12

2+1)−( 03

3+ 02

2+0)=1

3+ 1

2+1=2+3+6

6=11

6unidades cuadradas

f ( x )=x2−2x+1g ( x )=−x+3Igualamos las funciones para encontrar los puntos de intersección entre las curvas.

x2−2 x+1=−x+3

x2−2 x+1+x−3=0

x2−x−2=0 factorizando

( x−2 ) ( x+1 )=0

puntos decorte x=2 x=−1

Grafica

∫−1

2

((¿−x+3)−(x2−2 x+1))dx¿

∫−1

2

(−x2+x¿+2)dx¿

⌈− x3

3+ x

2

2+2 x ⌉

−1

2

(−23

3+ 22

2+2(2))−(−(−1 )3

3+

(−1 )2

2+2(−1))

¿(−83

+2+4)−( 13+ 1

2−2)=−8

3+6−1

3−1

2+2

5−12=9

2=4.5unidades cuadradas

1. Hallar el área de la superficie lateral del solido que se obtiene al rotar la gráfica de y=2√ x entre x=3 y x=8 alrededor del eje x

f ( x )=2√ x=2 x12 f , ( x )=2.

12x

−12 = 1

√ x

( f , ( x ) )2=1x

A=2π∫a

b

f (x)√1+¿¿¿

A=4 π∫3

8

√ x(1+ 1x )dx

A=4 π∫3

8

√ x+1dx u=x+1du=dx

A=4 π∫4

9

u1 /2du A=4 π ( 23 )⌈ u3/2⌉ 9

4

A=π ( 83 ) [93 /2−43 /2 ]

A=π ( 83 )19=162

3πund cuadradas

Un objeto se empuja en el plano desde x=0, hasta x=10, pero debido al viento la fuerza que debe

aplicarse en el punto x es: f ( x )=3 x2−x+10 ¿Cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia?

X1=0

X2=10

Trabajo realizado:

∫0

10

3 x2−x+10dx=|x3− x2

2+10 x|

0

10

=(103−102

2+10 (10 ))− (0 )=(1000−50+100 )−0=1050Julios

10. Primero consideremos el sistema físico utilizado, consideremos que el resorte está ubicado a lo largo del eje x, con uno de sus extremos sujeto al punto 0:

La ley de Hooke expone que F ( x )=kx, y debido a la relación proporcionada se sabe que para una fuerza de 40 libras se tiene una elongación de 0,5 pulgadas. Así se determina k:

k=F ( x )x

= 200,5

=40

Finalmente se determina el trabajo entre los puntos determinados, donde 8 pulgadas es el punto 0 (x=0) y 11 pulgadas es el punto 3 (x=3):

∫0

3

kxdx=k|x2

2 |0

3

=( 40 )( 92 )=180 Lb−fuerza

11. Para calcular el excedente del consumidor se aplica la siguiente expresión:

∫0

Q

(D ( x )−Po)dx

Donde Po es el precio inicial para el producto, que se halla determinando el intersecto de las curvas de oferta y demanda:

50− x2

2=26+x

0=−50+ x2

2+26+x

0= x2

2+x−24

0=x2+2 x−48

0=(x+8)(x−6)

x=−8 ox=6

Debido a los valores lógicos del problema, el punto de equilibrio de las curvas va a ser x=6.

Hallamos Po, reemplazando x=6 en la ecuación de demanda u oferta:

Po=D (6 )=50−62

2=32

Finalmente se aplica la integral para hallar el excedente para el consumidor:

∫0

6

(50− x2

2−32)dx=|18 x− x

3

6 |0

6

=(18 (6 )−63

6 )−(0 )=108−36=72unidades

12. Para calcular el excedente del consumidor se aplica la siguiente expresión:

∫0

Q

(D ( x )−Po)dx

Donde Po es el precio inicial para el producto, que se halla determinando el intersecto de las curvas de oferta y demanda, que corresponde al punto de equilibrio:

4− x3=x

0= x3+x−4

0=4 x3

−4

4=4 x3

x=(4∗3)/4

x=3

Debido a los valores lógicos del problema, el punto de equilibrio de las curvas va a ser x=3.

Hallamos Po, reemplazando x=3 en la ecuación de demanda u oferta, que corresponde al precio en el equilibrio:

Po=D (3 )=4−( 33)=3

Finalmente se aplica la integral para hallar el excedente para el consumidor:

∫0

3

(4− x3−3)dx=|x− x2

6 |0

3

=(3−32

6 )−(0 )=3−32=3/2unidades

A través de la siguiente expresión se halla el excedente del productor:

∫0

Q

(Po−S(x ))dx=∫0

3

(3−x)dx=|3 x− x2

2 |0

3

=(3 (3 )−32

2 )−0=9−92−0=9

2unidades