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3-1 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin TANGENCIAS Y ENLACES 3 TANGENCIAS EN EL PLANO Tangencias y enlaces. Óvalos y ovoides. Espirales. Curvas cíclicas. TEMPORALIZACIÓN: 6 horas Enlace es la unión de dos o más líneas, curvas entre sí o rectas y curvas, de modo que parezca una línea continua y sin alteraciones. Propiedades: - En cualquier circunferencia, un radio y la tangente en su extremo son perpendicu- lares. - Si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia están alineados. - La mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por el centro. Posiciones relativas de recta y circunferencia. Fig.3.1 Posiciones relativas a dos circunferencias. Fig.3.2

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3-1 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

TANGENCIAS Y ENLACES

3TANGENCIAS EN EL PLANO

Tangencias y enlaces. Óvalos y ovoides. Espirales. Curvas cíclicas.TEMPORALIZACIÓN: 6 horas

Enlace es la unión de dos o más líneas, curvas entre sí o rectas y curvas, de modoque parezca una línea continua y sin alteraciones. Propiedades:

- En cualquier circunferencia, un radio y la tangente en su extremo son perpendicu-lares.

- Si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia estánalineados.

- La mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por el centro.

Posiciones relativas de recta y circunferencia. Fig.3.1

Posiciones relativas a dos circunferencias. Fig.3.2

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Tangencias en el plano 3-2

Fig.3.5

Consideraciones

1.- Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la linea queune los centros.2.- Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia es el pie dela perpendicular trazada por el centro de la circunferencia a la recta tangente.3.- El radio perpendicular a una cuerda la divide en dos partes iguales, así como alarco que subtiende. De la misma forma la mediatriz de una cuerda pasa por elcentro de la circunferencia.

Hacer pasar un arco de radio conocido R,por dos puntos dados A y B. Fig.3.4

Únanse por medio de una recta dichos puntos.Se levanta la perpendicular en su punto medio.Desde cualquiera de los puntos y con radio Rtrácese un arco que corte a la perpendicular. Enel punto de intersección O estará el centro delarco pedido.

Hacer pasar un arco por 3 puntos no alinea-dos. Fig.3.5

Únanse dichos puntos por medio de las rectasAB y BC. Trácese la mediatriz de cada una delas rectas. El punto O, intersección de ambasmediatrices será el centro de la circunferenciapedida, pues equidistará de los tres puntos.

Fig.3.4

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Fig.3.7

Fig.3.8 Fig.3.9

Dada una recta AB trazar una circunferencia tan-gente a ésta y que pase por un punto dado N.Fig.3.6

Sea C un punto cualquiera de la recta AB y N el puntoexterior por el que debe pasar la circunferencia. Le-vántese una perpendicular a dicha recta por C. Se uneC con N y se levanta una perpendicular en su puntomedio. La intersección de las dos perpendicularesserá el centro de la circunferencia pedida.

Describir una circunferencia tangente a los lados deun ángulo ABC. Fig.3.7

Trácese la bisectriz del ángulo ABC. En un punto cualquie-ra D de uno de los lados levántese una perpendicular. Elcentro O se encontrará en el punto de intersección de estaperpendicular con la bisectriz del ángulo.

Describir una circunferencia tangente a los lados deuna línea poligonal convexa. Fig.3.8

Trácense las bisectrices de los ángulos ABC y BCD. Desde el punto O de laintersección de las bisectrices levántese la perpendicular OE, al lado CD. La rectaOE será el radio de la circunferencia.

Inscribir una circunferencia en un triángulo cualquiera ABC. Fig.3.9

Se trazan las bisectrices de dos de sus ángulos. Desde el punto de intersección delas bisectrices, trácese una perpendicular a un lado cualquiera del triángulo. La rectaOD es el radio de la circunferencia pedida.

Fig.3.6

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Tangencias en el plano 3-4

Fig.3.11 Fig.3.12

Trazar 3 circunferencias exteriores a los la-dos de un triángulo. Fig.3.10

Prolónguense los lados del triángulo formandoasí sus lados exteriores. Se trazan las bisectri-ces de dichos ángulos exteriores y se prolonganhasta que se corten dos a dos. Los segmentosO'I, O''G y O'''H, serán los radios de dichas cir-cunferencias.

Trazar una tangente a una circunferencia enun punto cualquiera de ella. Fig.3.11

Basta trazar un radio desde el punto citado y levantar una perpendicular en esepunto N.

Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. Fig.3.12

Se une el punto exterior A con el centro de la circunferencia O. Se traza la mediatrizde este segmento para hallar el punto D. Por D y con radio DO se traza un arco quecortará en BE a la circunferencia. Por dichos puntos pasarán las dos tangentes,únicas posibles, que pueden trazarse desde el punto A.

Trazado de tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. Fig.3.13

Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la diferencia de los radios delas dos circunferencias dadas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendocentro en M, trácese una circunferencia que pase por O' y O. Por las interseccionesde esta circunferencia con la circunferencia auxiliar O', hágase pasar dos rectas quecortarán a la circunferencia mayor en dos puntos P y Q que son los puntos detangencia. Desde el punto O, se trazan las rectas OB y OD respectivamenteparalelas a PO' y O'Q. Uniendo los puntos B y P, así como DQ, y prolongando las

Fig.3.10

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Fig.3.14Fig.3.13

rectas se obtienen las tangentes pedidas.

Trazado de tangentes interiores a dos circunferencias dadas. Fig.3.14

Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la suma de radios de las doscircunferencias propuestas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendo centroen M, trácese una circunferencia que pase por O' y O, que cortará a la auxiliar en Py P'. Se unen estos puntos con el centro O'. Las intersecciones de estas rectas conla circunferencia serán los puntos de tangencia. Los otros dos puntos N y N' sehallan por medio de paralelas a O'P y O'P'.

Trazar las tangentes exteriores a dos circunferencias, por homotecia. Fig. 3.15

Se unen los centros de las dos circunferencias.

1Se halla el centro de homotecia. Para ello se dibuja un radio cualquiera O A y otro

2paralelo al primero, O B.

1 2Se prolonga AB hasta que corte a O O , con lo que se obtiene H. A continuación se

1 2trazan las tangentes a la circunferencia de centro O y O que partan de H. Elsegmento CD será la tangente buscada.El mismo procedimiento sirve para hallar las tangentes interiores. Fig.3.16

Fig.3.15

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Tangencias en el plano 3-6

Fig.3.17 Fig.3.18

Construir circunferencias de radio conocido r que cumplen dos de las trescondiciones siguientes: Pasar por un punto, ser tangentes a una recta o sertangentes a una circunferencia.

Propiedades: 1.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que pasan por un

punto fijo P, es la circunferencia de centro P y radio r. 2.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r que son tangen-

tes a la recta R, son dos paralelas a ambos lados de la recta R y a una distanciaigual a r.

3.- El lugar geométrico de los centros de las circunferencias de radio r, que sontangentes a una circunferencia de radio R son las concéntricas a éstas con radiosR+r y R-r.

Trazar una circunferencia tangente a otra dada O y a una recta AB, en un puntodeterminado de ella. Fig.3.17

Se levanta una perpendicular en el punto N y se prolonga. A ambos lados del puntoN se toma una distancia NC-NC' igual al radio de la circunferencia O. Se unen estospuntos C y C' con O y se levantan sus mediatrices. En las intersecciones de estasperpendiculares con la perpendicular levantada en el punto N, se hallarán loscentros de las dos circunferencias tangentes O' y O''.

Fig.3.16

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Fig.3.20Fig.3.19

Describir una circunferencia tangente, interior o exteriormente, a otra determi-nada O, y que pase por un punto conocido N. Fig.3.18

Sea un punto cualquiera A de la circunferencia O, y N el punto determinado pordonde ha de pasar la circunferencia cuyo radio se busca. Se unen con A el centro Oy el punto N. Se levanta una perpendicular en el punto medio de AN. La intersecciónde esta perpendicular con OA será el centro O' de la circunferencia pedida.

Construir un círculo de radio determinado que sea tangente a las rectasconcurrentes AB y CD. Fig.3.19

Se construyen rectas paralelas a las concurrentes a una distancia igual al radio r. Ensu intersección se hallará el centro del círculo que se desee. Para hallar el punto detangencia bájese una perpendicular a cada una de las rectas desde el centrohallado.

Construir un círculo de radio determinado que sea tangente a una recta AB y aun círculo O'. Fig.3.20

Trazamos una paralela a la recta AB a una distancia igual al radio r. Con el radio dela circunferencia dada, más r, y con centro en O' se traza un arco que corte a laparalela en O, punto centro del círculo tangente a la circunferencia O' y a la rectaAB.

Trazar una tangente a un arco de circunferencia de centro desconocido, por unpunto T del arco. Fig.3.21

Se toman dos arcos iguales TM y MN. Con centro en T y radio TN trácese un arco.Nuevamente, con centro en M y radio MN trácese otro arco. Estos dos arcos secortan en el punto S. La recta ST es la tangente pedida.

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Tangencias en el plano 3-8

Fig.3.21 Fig.3.22

Fig.3.23

Trazar circunferencias tangentes a una recta AB, que pasen por un punto P yque tengan un radio dado r. Fig.3.22

Trazamos la paralela a la recta AB, a una distancia igual al radio r. Trácese unacircunferencia auxiliar que tenga como centro el punto dado P y radio r. Los puntosde intersección de la paralela y la circunferencia auxiliar son los centros de lassoluciones, cuyos puntos de tangencia son T y T'.

Trazar circunferencias tangentes a una recta AB, dada, y que pasen por lospuntos P y Q. Fig.3.23

Por dos puntos pasan infinitas circunferencias, incluidas las incógnitas. Por los dospuntos PQ pasará el eje radical común a todo el haz. Unimos P y Q prolongándolohasta M. En un punto cualquiera de la mediatriz de PQ, por ejemplo por O, dibuja-mos una circunferencia auxiliar que pase por los puntos P y Q, y desde M se traza la

1 1 2 3tangente MT ; con centro en M y radio MT cortamos a la recta dada AB=r en T y Tque son los puntos de tangencia en dicha recta.

1 2Trazando las perpendiculares a la recta AB por ellos, se obtienen los centros O y Ode las soluciones.

Fig.3.24

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Trazar las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan conociendo elradio de estas. Fig. 3.24

Dado que las circunferencias deben ser tangentes a las rectas dadas, se trazanparalelas a las rectas r y t dadas a una distancia igual al radio de las circunferenciastangentes.

Trazar las posibles circunferencias, quecon un radio dado, sean tangentes a unacircunferencia y una rectas dadas. Fig. 3.25

Trazar las posibles circunferencias quecon radio dado sean tangentes a dos cir-cunferencias dadas, secantes entre si.Fig.3.26

Trazar las posibles circunferencias tangentes a tresrectas dadas, siendo dos de ellas paralelas y latercera secante a las mismas. Fig.3.27

Se traza la linea media de las dos rectas paralelas,lugar en el que se encontrarán los centros de las circun-ferencias tangentes.Se hallan las bisectrices de los ángulos formados porlas rectas r-w y s-w. Cuando las bisectrices corten a larecta media tendremos los centros de las circunferen-cias tangentes.

Fig.3.25

Fig.3.26

Fig.3.27Fig.3.28

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Tangencias en el plano 3-10

Trazar dos o más circunferencias tangentes a dos rectas convergentes dadas,siendo a su vez tangentes entre si. Fig.3.28

Se halla la bisectriz del ángulo formado por las dos rectas. Por ejemplo por medio dedos rectas paralelas situadas a igual distancia. Se dibuja la primera circunferencia con centro en un punto cualquiera de la bisectriz.Puede ser el punto de intersección entre las dos paralelas.Para hallar el centro de la segunda circunferencia se dibuja por el punto de intersec-ción de la circunferencia con la bisectriz, una tangente. La bisectriz del ánguloformado por la tangente y la recta concurrente r'dará el centro de la segundacircunferencia.

Trazar las posibles circunferencias tangentes a tres circunferencias dadas, deigual radio. Fig. 3.29

Por tratarse de tres circunferencias de igual radio, los puntos de tangencia han deresultar equidistantes de sus centros, luego el problema se reduce a hallar el centro

1 2 3de una circunferencia que pase por 3 puntos: O , O y O , centro de las circunferen-cias dadas.Obtenido este centro en la intersección de las mediatrices de los segmentos deunión de los tres centros dados, se trazarán con centro en el mismo las dos circunfe-rencias resultado, tangentes interior y exterior a las dadas.

Fig.3.30

Fig.3.29

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Fig.3.33

Trazar las posibles circunferencias tangentes a dos rectas r y s, dado el puntode tangencia T en una de ellas. Fig.3.30

Trazar la circunferencia tangente a tres rectas dadas r, s y t cuando al menosdos de las rectas se cortan fuera del dibujo. Fig.3.31

Trazar las circunferencias tangentes a otra dada y a una recta r, dado el puntode tangencia T en la circunferencia. Fig.3.32

Trazar circunferencias tangentes a otras dadas conocidos los puntos detangencia. Ejemplos de tangencias simples por inversión. Ver capítulo 5

Curva envolvente de una poligonal. Fig.3.33

Se trata de ir uniendo los puntos de una poligonalcon arcos de circunferencia tangentes entre sí.Se ha de tener en cuenta que los centros de lascircunferencias están en la mediatriz de cadasegmento, y también que para que la curva seatangente a la anterior, ha de estar en una rectaque llamaremos línea de centros y que une elfinal de la última curva trazada con su centro. Elpunto de corte de ambas rectas, mediatriz y líneade centros, nos da el centro de la siguiente cir-cunferencia.El procedimiento a seguir será: hallamos la me-

Fig.3.31Fig.3.32

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Tangencias en el plano 3-12

ENLACES

Fig.3.34

Fig.3.35

1diatriz de AB y en ella elegimos cualquier punto O como centro de la primera curva.Para trazar la segunda curva, dibujamos la mediatriz de BC, al igual que la línea de

1 2centros BO . Donde se cortan ambas rectas, nos dará el punto O que será el centrode la segunda curva.

Enlazar dos rectas perpendiculares por un arcode circunferencia de radio dado. Fig.3.34

Se traza desde el punto A, corte de las perpendicu-lares, un arco DE con un radio r igual al dado. Conla misma abertura de compás, y centro en D y E, setrazan dos arcos que se cortarán en O. Desde Ocomo centro y con radio R, se traza el arco desde D,hasta E.

Enlazar dos rectas paralelas por medio de dosarcos de igual radio, pero en diferente sentido,tangentes a las rectas en los puntos A y E. Fig.3.35

Únanse por una recta los puntos A y E, y determíneseel punto medio F. En los puntos A y E trácense dosrectas perpendiculares a las rectas dadas. Trácensemediatrices en los puntos medios de los segmentos dela recta AF y FE. Los puntos O y O' determinan loscentros de las curvas.

Enlazar dos rectas paralelas por medio de dosarcos. Fig.3.36

Unanse los puntos de tangencia A y C; por A y C setrazan perpendiculares a las rectas B y D. Por el puntomedio G, del segmento AC se traza la paralela a lasrectas dadas y se lleva GP=GA; la perpendicular por Pal segmento AC determina los centros O y E de losarcos.

Fig.3.36

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Fig.3.37

Fig.3.38

Fig.3.39

Enlazar dos circunferencias por medio de un arco de radio conocido. Fig.3.37

1 2 1Describimos con centros en O y O y radios R +R y

2R +R arcos, los cuales en su intersección O, determinanel centro del arco de enlace. Otra solución se obtiene

1 2trazando los arcos con diferencia de radios S-R y S-R

Enlazar dos rectas, AB y CD, no paralelas, por dos arcos de circunferencia,conocidos los puntos M y N de contacto y el radio de uno de los arcos. Fig.3.38

Trazar a cada una de las rectas dadas unaperpendicular en los puntos M y N de contacto.A partir del punto N, llévese de N hacia O, elradio r y con centro O, descríbase el arco NF.Levántese desde M la perpendicular MO' y enella y a partir de M llévese una distancia MT =r. Únase T con O, y trácese una perpendicularUO' en su punto medio. El punto O' de encuen-tro de la perpendicular con la trazada al princi-pio MO' es el centro del otro arco. Para deter-minar el punto de tangencia F se une O con O'.

Enlazar dos circunferencias por medio de unarco de radio dado. Fig.3.39

1 2Describimos arcos con centros en O y O y

1 2radios R+R y R-R , los cuales en su intersec-ción O determinan el centro del arco de enlace.

1 2Los puntos de tangencia T y T se encontraránen los puntos de corte de las rectas que unen

1 2los centros O O y O O con la circunferencia.

Dada una recta y una circunferencia, enlazar-las mediante un arco, conocidos el punto T detangencia en la recta. Fig.3.40

Se dibuja la perpendicular a la recta por el puntode tangencia. A continuación de T se lleva el radiode la circunferencia con lo que se obtiene el puntoA.Se une A con el centro O de la circunferencia. Sedibuja la mediatriz de OA . Esta mediatriz corta a

Fig.3.40

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Tangencias en el plano 3-14

OVALOS Y OVOIDES

Fig.3.41 Fig.3.42

Fig.3.43

1la perpendicular por T en O que resulta ser el centro de la circunferencia tangente.

Trazar un ovoide conociendo su anchura b. Fig.3.41

Tomando AB como diámetro, trácese una circunferencia. Perpendicularmente a ABtrácese otro diámetro. Unase con rectas indefinidas 2 y 4, 3 y 4. Haciendo centrosucesivamente en 2, 3 y 4, llévense los tres arcos con un trazo continuo.

Trazar un ovoide de altura b y anchura a conocidas. Fig.3.42

Trácese A'B' igual a AB y tomándola como diámetro trácese una circunferencia.Perpendicularmente a AB, trácese otro diámetro y prolónguese. Tómese desde D',una altura D'C' igual a la propuesta. Desde los puntos extremos A' y B' llévensedistancias iguales a C'E en F y G respectivamente. Levántense las mediatrices deEF y EG que cortan el diámetro A'B' en 3 y 2. Los puntos 2, 3 y 4 son los centros delos arcos que satisfacen el problema. (C'E no puede ser mayor que la semianchura)

Trazar un óvalo o falsa elipse conociendo el eje mayor a. Fig.3.43

Trácese el eje mayor y divídase en tres seccionesiguales. Descríbanse las circunferencias O y O'. Unan-se con rectas indefinidas los puntos de intersección deestas circunferencias con los centros O y O'. Desdelos puntos 1, 2, 3 y 4 como centro, trácense los arcosque forman el óvalo.

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Fig.3.45Fig.3.44

Fig.3.46

Trazar un óvalo conociendo sus dos ejes a y b. Fig.3.44

Levántese la mediatriz de A'B'. Desde el punto O como centro, trácese una semicir-cunferencia. Señálese sobre la mediatriz la altura OC' del arco igual al de un ejemenor y únase el punto C' con los extremos A'B' de la anchura. Desde C' comocentro y con radio igual a C'F descríbase una circunferencia. En medio de cada unode los segmentos A'D y B'E levántense mediatrices que determinarán los puntos 1,2, 3 y 4 que son los cuatro centros con los que se podrá construir el óvalo propues-to.

Construir un óvalo, dado el eje mayor a. Fig.3.45

Tomando AB=a, divídase en cuatro partes iguales. Con centro en C y en E y radioigual a 1/4 de AB descríbanse dos circunferencias que serán tangentes en D.Haciendo ahora centro en C y en E y con radio CE descríbanse los cuatro arcos quese cortarán en F y en G, y únanse estos dos puntos con los centros C y E, prolon-gando los radios hasta encontrar a las circunferencias en L y M y en H e I. Concentro F y radio FL trácese el arco LM, y con el mismo radio y centro en G el arcoHI. Estos dos arcos serán tangentes a las dos circunferencias primeramentedescritas.

Construir un óvalo, dado el eje mayor a. Fig.3.46

Tomando AB igual al eje dado a, se divide en cuatro partes iguales, y con centrosucesivamente en los puntos C, D, E y radio igual a 1/4 del eje se describen trescircunferencias. Trácese por D la perpendicular al eje ypor los puntos de intersección F y G los radios FC, FE, GCy GE, prolongándolos hasta encontrar a las circunferen-cias en L, M, H, I. Con centro en F y G y con radio FLdescríbanse los arcos LM y HI, que serán tangentes a lasdos circunferencias de centros C y E en los puntos H, I, Ly M.

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Tangencias en el plano 3-16

Fig.3.48Fig.3.47

ESPIRALES

Construir un óvalo dado el eje menor. Fig.3.47

Construimos la circunferencia de diámetro CD y se trazan los diámetros perpendicu-lares. Los puntos 1, 2, 3 y 4 son los centros de los arcos de circunferencia quepermiten construir el óvalo.

Construir un óvalo conociendo los ejes mayor y menor. Fig.3.48

Se dibujan perpendiculares los ejes mayor y menor; se toman en OB y OC dossegmentos iguales BF=CE; se une E con F y obtenemos la mediatriz que corta en Ha la prolongación del eje menor. Hallamos los simétricos de F y H respecto de O yobtendremos los puntos G e I. Los puntos F, H, G e I son los centros de los arcos.

Se llama espiral a la curva plana originada por un punto al desplazarse alrededor deotro punto de forma que con cada vuelta se aleja de él. Paso es la distancia radialque existe entre dos espiras consecutivas, es decir, la distancia existente entre lasdiferentes espiras de la curva, la cuál permanece siempre constante y equivale alperímetro del polígono.

Construir la espiral de dos centros conocido el paso. Fig.3.49

Sobre una recta se marca un segmento de longitud igual a la mitad del paso, y sedescriben arcos sucesivos haciendo centro en cada uno de los extremos 1, 2, 1, 2,etc. con diámetros iguales a la mitad del paso. Con centro en el punto 1 se dibuja elarco 2A. Con centro en el punto 2, se dibuja el arco AB, etc.

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Fig.3.50

Fig.3.49

Fig.3.51

Construir la espiral de tres centros dado el paso. Fig. 3.50

Se construye un triángulo equilátero, cuyo lado mida 1/3 del paso dado. Se prolon-gan sus lados en un sentido y se numeran sus vértices 1, 2, 3. Haciendo centro encada uno de los vértices, trazamos desde el punto 3 el arco 1A, desde 1 el arco AB,y con centro en 2 describimos el arco BC; haremos la misma operación para CD,DE, etc.

Construir la espiral de cuatro centros dado el paso. Fig.3.51

Se dibuja un cuadrado de lado 1/4 del paso dado.Se prolongan sus lados en un mismo sentido y sedescriben arcos de centros en los vértices 2, 3, 4,1, 2, etc.Con centro en el vértice 2 se traza el arco A; concentro en 3 se dibuja el arco B; con centro en 4 elarco C, etc. Para dibujar más vueltas se repite estaoperación.

Construir la espiral logarítmica o aúrea. Fig.3.51bis

Sobre dos ejes que se corten perpendicularmente tenemos dos magnitudes OA yOB distintas, uniendo los extremos A y B mediante un segmento. Por B se traza unaperpendicular al segmento AB hasta cortar en C al eje horizontal. De nuevo por C sedibuja una perpendicular a BC, obteniéndose el punto D sobre el eje vertical. Elprocedimiento continúa hasta conseguir los puntos E, F,G, H, de puntos sobre los ejes, que unidos mediantelínea continua nos reproduce la espiral logarítmica. Lacurva no llegará a alcanzar al origen O, si bien se apro-ximará a él infinitamente.

Fig.3.51bis

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Tangencias en el plano 3-18

CURVAS CíCLICAS

Son las que se generan al desplazarse, sin resbalar, un punto de una circunferencia,sobre una recta o sobre una circunferencia. A las figuras móviles se las llamaruletas, y a la línea sobre la que se efectúa el movimiento se la denomina base odirectriz.

Cicloide. Fig.3.52

Es una curva plana originada por un punto de una circunferencia o ruleta que rueda,sin resbalar, sobre una recta llamada directriz.Para trazar la curva se dibuja la circunferencia, tangente a la directriz en un punto P,que es el generador de la curva. Sobre la directriz se lleva la longitud rectificada dela circunferencia, dividiendo tanto ésta como su rectificación en un mismo númerode partes iguales. Cuantas más divisiones de la ruleta más precisa será la curva.Se trazan paralelas a la directriz por todas las divisiones de la circunferencia y,asimismo, perpendiculares a la directriz por las divisiones efectuadas en ella quecorten a la paralela a la recta directriz que pasa por el centro O de la ruleta, obte-

1 2 3niéndose los centros O , O , O , etc.

1 1Para determinar el punto P , por ejemplo, de la curva se hace centro en O y con unradio igual al de la ruleta se traza un arco que corte a la paralela a la directriz 1-11;

2 2para determinar el punto P de la curva se hace centro en O y con un radio igual alde la ruleta se traza un arco que corte a la paralela a la directriz 2-10; así sucesiva-

12mente hasta determinar el punto P . Uniendo los puntos con una plantilla de curvasse obtiene la cicloide normal.En la Fig.3.52 están representadas la cicloide normal, la cicloide acortada y lacicloide alargadaSi el punto generador P no es tangente a la directriz sino que se encuentra en elradio de la ruleta, e interior, se origina una cicloide acortada. La cicloide acortadaparte de la construcción de la cicloide normal. Para construir la curva acortada se toma un punto Q del radio como punto genera-

1dor interior a la ruleta. Se lleva el segmento OQ, a partir de O , sobre la recta que

1 1 1une el centro O con el P de la ruleta normal y obtendremos un nuevo punto Q de

2la curva acortada. El punto Q se conseguirá de la misma manera a partir del centro

2 3 4O . Con el Q , Q , etc. se opera de la misma forma.La cicloide alargada se construye igual que la cicloide acortada pero en este caso elpunto generador es exterior a la ruleta. Los puntos de la curva son los puntos que se

1inician en R. La distancia OR se lleva a partir de O sobre la recta que une el centro

1 1 1O con el P de la ruleta normal y obtendremos un nuevo punto R de la curvaalargada.

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Fig.3.52

Epicicloide. Fig.3.53

Es una curva plana originada por un punto, de una ruleta, que rueda exteriormente,sin resbalar, sobre otra circunferencia llamada circunferencia directriz.Como en el caso de la cicloide existen tres tipos de epicicloide: normal, acortada yalargada, según que el punto generador se encuentre en el borde exterior, en el

interior o en el exterior de la ruleta.

Primer procedimiento:Para trazar la curva se dibuja la circunferencia ruleta, de radio r, tangente a lacircunferencia directriz, de radio R, en un punto P, que es el generador de la curva.La directriz, es en este caso una circunferencia y la ruleta es exterior a ella. Parapreparar el trazado de esta curva en cualquiera de sus tres variantes, dividiremos laruleta en un número de partes (se han elegido ocho en la figura) que correspondena arcos de amplitud 45° a los que les correspondan a su vez, en función del radio,una longitud del arco que será la misma que deberán recorrer sobre la base, con locual se hace necesario el cálculo en la base del valor de la amplitud del arco que aésta le corresponda.

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Tangencias en el plano 3-20

Fig.3.53

El perímetro de la ruleta será l = 2Br y la amplitud del arco de la directriz será

Para calcular en la directriz el arco correspondiente bastará aplicar una regla de tres:

de donde

Obtenido el arco de la directriz (a°), se divide en tantas divisiones como hayamoshecho en la ruleta. Habremos dibujado un ángulo central equivalente a un recorridocompleto del punto P sobre la directriz.

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3-21 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

Fig.3.54

Segundo procedimiento:Se rectifica uno de los arcos (el arcoCE) en que está dividida la ruleta yse obtiene el segmento CD. Se recti-

2fica la circunferencia de centro O yse une el punto D con el punto M,con lo que se obtiene el arco equiva-lente rectificado, CF, en la circunfe-

2rencia de centro O .Una vez hallado el ángulo central laconstrucción de la curva es idéntica a la construcción de la cicloide.

Hipocicloide. Fig.3.54

Es una curva plana, originada por un punto, de una ruleta, que rueda interiormente,sin resbalar, sobre otra circunferencia llamada circunferencia directriz.Como en el caso de la cicloide y de la epicicloide existen tres tipos de hipocicloide:normal, acortada y alargada, según que el punto generador se encuentre en elborde exterior, en el interior o en el exterior de la ruleta.Las construcciones del ángulo central y de la curva hipocicloide son idénticas a lasde la epicicloide.

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Tangencias en el plano 3-22

Cardioide. Fig.3.55

Es una curva cíclica engendrada por una circunferencia ruleta que rueda exterior-mente, y sin resbalar, por otra de igual radio que ella. El punto que genera la curvaen su posición inicial es P. Para su construcción se divide la circunferencia directrizen un número cualquiera de partes iguales, en este caso 8, y se unen con el punto Pgenerador. Se prolongan las rectas a ambos lados de P. Se llevan a ambos lados delas divisiones de la circunferencia directriz distancias iguales a su diámetro; por

1ejemplo, desde el punto 1, con el valor del diámetro determinamos los puntos P y

1 2 2P ,; desde el punto 2 determinamos los puntos P y P , y así sucesivamente hastadeterminar la curva.

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3-23 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:2, teniendo en cuenta que laposición de los centros se determina por coordenadas.Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.

Nota: No borrar las construcciones geométricas auxiliares que han servido para la determinación de la pieza.

X Y X Y X Y

A 30 30 D 203 45 G 249 120

B 60 90 E 219 45 H 249 30

C 144 60 F 219 105 I 224 75

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Tangencias en el plano 3-24

2.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:1Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.

Nota: No borrar las construcciones geométricas auxiliares que han servido para la determinación de la pieza.

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3-25 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

3.- La figura no está dibujada a escala. Se pide:A partir de las cotas que aparecen en la muestra, construir la figura a escala 1:1Se valorará la precisión de las construcciones, así como la exactitud en la localización de los puntos tangencia.

Nota: No borrar las construcciones geométricas auxiliares que han servido para la determinación de la pieza.

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Tangencias en el plano 3-26

EJERCICIOS RESUELTOS

CAPITULO 2º

1.- Se halla el segmento aúreo de asegún la teoría descrita en lapágina 1-11, con lo que se obtie-ne el segmento x, lado de unheptágono regular.Siguiendo la construcción descri-ta en la página 2-38 se consigueel polígono regular de siete ladospedido.

2.- Se aplica el proceso explicado enla página 2-38 para construir unpolígono regular de cualquier nú-mero de lados dado el tamaño dellado. Una vez dibujado el decágono esfácil hallar el radio x de la circun-ferencia donde se inscribe el polí-gono.

3.- Se dibuja un heptágono de lado 45mm. Se hallan las bisectrices de dosángulos cualesquiera del heptágonopara obtener el centro de la circunfe-rencia inscrita. El radio es la perpendi-cular a uno de los lados del heptágo-no.Obtenida la circunferencia se procedea dividirla en 6 partes iguales parainscribir el hexágono.

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3-27 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

Ejercicio 4

5.- Diagonal es el segment o que unedos vért ices no contiguos del polígo-no.Todos los ángulos de un polígonosuman 360° y por tanto cada ángulode un pentágono t iene 72° .Tómese el segmento AB igual a ladiagonal d= 45 mm.Los puntos A y B serán vért ices delpentágono. Otro vért ice será el arcocapaz de 72° . Estos tres vért icesdeterminarán la circunferencia en laque se inscribe el pentágono.

6.- Para inscribir una circunferencia en untriángulo basta hallar la intersecciónde las bisectrices de dos de sus ángu-los.Los puntos de tangencia serán lasperpendiculares trazadas desde elcentro de la circunferencia a los ladosdel triángulo.

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Tangencias en el plano 3-28

7.- Para hallar las circunferencias tangentes a lasdos dadas basta con trazar circunferenciasconcéntricas con las dadas de radios 64+ 23y 32+ 23. Los puntos de corte de estas dos

3nuevas circunferencias serán los centros O y

4O de las dos circunferencias buscadas. Lospuntos de tangencia de las circunferenciascon las dadas se encuentran en las rectas queunen los centros de las circunferencias.

8.- 1 procedimiento:er

Supongamos un triángulo equilátero de lado x. Si se traza la altura de dichotriángulo obtendremos dos triángulos rectángulos de forma que en cada uno deellos la hipotenusa vale x y el cateto menor t iene un valor de x/2. Por los datos del ejercicio se sabe quela suma de la hipotenusa AB y delcateto BC es 120 o lo que es lo mis-mo x+ x/2= 120. Resolviendo laecuación sabemos que la hipotenusaAB= 80 y el cateto menor BC= 40,con lo que puede construirse el trián-gulo.Para hallar el centro de la circunferen-cia tangente basta hallar el punto decorte de las bisectrices de los ángu-los. Los puntos de tangencia se en-cuentran en la perpendicular trazada desde el centro de la circunferencia a lasprolongaciones de los lados del triángulo.

2º Procedimiento:En un triángulo rectángulo si un vért icede la hipotenusa forma un ángulo de60° , el otro necesariamente t iene queformar un ángulo de 30° . Por tanto co-menzamos dibujando una recta igual alvalor de la hipotenusa AB más el catetoBC. Por el vért ice A dibujamos un ángulode 30° , que se cortará en C con la per-pendicular levantada por el vért ice B.Hallamos la mediatriz del segmento ACque al cortar al segmento AB nos deter-minará un punto B'. A'B' + B'C'será igual a 120.El resto del ejercicio se completa según el primer procedimiento.

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3-29 Curso de Dibujo Técnico. 2º de Bachillerato Patxi Aguirrezabal Martin

9.- Suponemos un cuadrado delado a= 45 mm. Trazamos lasemidiagonal desde el centrodel lado a. La semidiagonal esel radio de un arco que al cor-tarse con la prolongación dellado a nos determina un seg-mento del cuál el a es su seg-mento aúreo y que es el ladodel polígono estrellado de 7puntas y paso 3.Puesto que el ángulo que for-man dos lados del polígonoestrellado de 7 puntas es de26 grados construimos dicho ángulo siendo el tamaño del lado el del polígono.Determinamos así tres puntos de paso de una circunferencia donde se inscribe elpolígono.

10.- Se toma un segmento DCigual a la suma b+ c de losdos catetos, construyendoen uno de sus extremos D,un ángulo de 45° , y concentro en el otro extremo Cse describe un arco de radioigual a la hipotenusa dada.Este arco corta al lado obli-cuo del ángulo en el vért iceB. El vért ice A se obtienetrazando una perpendiculara DC desde B. El punto B'donde al arco también cortaa DE, nos proporciona otrasolución, que es simétrica a la obtenida.

A l ser el ángulo ADB de 45° y BA perpendicular a DA , el t riángulo DA B es rectángulo e

isósceles, por lo que DA = BA , lo que conf irma la const rucc ión.

11 .- El ángulo " tiene el vértice en la circunferencia y contiene el centro por lo que elvalor del ángulo es igual a la suma de dos ángulos inscritos, con vértice en lacircunferencia y en el que un lado pasa por el centro.[Ver el cuadro del capítulo 2 sobre ángulos en la circunferencia]

12.- Misma solución que el ejercicio 11.