3. Calculo diferencial
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Transcript of 3. Calculo diferencial
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Matemticas administrativas
Clculo diferencial y sus aplicaciones
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I
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U
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A
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Estructura del Contenido nuclear
Metodologa de trabajo
Presentacin de la Unidad
Competencia especfica y propsitos
Problemtica
La derivada
Concepto, frmulas y reglas de derivacin
Razn o tasa promedio e instantnea de cambio e incertidumbre
Derivadas de orden superior
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
Clculo de mximos y mnimos
Funciones crecientes y decrecientes
Criterio de la primera y segunda derivada
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Estructura del Contenido nuclear
Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y costos en problemas de
maximizacin
Diferencial de una funcin
Diferencial implcita
Diferencial logartimica
Elasticidad
Cierre de Unidad
Recursos de apoyo para el aprendizaje
Fuentes de consulta
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Recuerda:
Consultar la Foro de la unidad, en dicho espacio tu docente publicar la planeacin
de cada unidad.
Revisar el documento Actividades.(Se encuentra en Material de apoyo)
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Metodologa
de trabajo
A continuacin se presenta el contenido del curso donde abordars el
estudio sobre la importancia y utilidad del Clculo diferencial y sus
aplicaciones en escenarios empresariales reales y que adems forman
parte de la vida diaria de cualquier profesionista, por ello, es importante que
tu aprendizaje sea significativo.
Con esta nueva metodologa vivirs experiencias referentes a situaciones
reales que te llevan desde el inicio a ubicar la importancia de los mtodos
cuantitativos en la toma de decisiones a nivel empresarial.
Asimismo, el contenido nuclear representa el inicio de las temticas que
comprende este curso, por lo que es necesario que tu participacin sea
activa y constante en las actividades que tu docente en lnea te
proporcionar, mismas que debers entregar en tiempo y forma.
Recuerda que en esta modalidad tu aprendizaje es autogestivo;
adicionalmente podrs contar con el apoyo de tu docente en lnea, quien te
apoyar para que puedas alcanzar las competencias de esta asignatura.
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Presentacin de la Unidad
En las unidades anteriores se vieron 7las funciones ms comunes,
los lmites y continuidad de una funcin y los conceptos derivados de
dichos temas.
En la presente unidad se estudiarn los conceptos y reglas de
derivacin, lo que ayudar en la solucin de problemas de
optimizacin de utilidades y su impacto en las funciones de ingreso y
costo total, asimismo se ver la aplicacin e interpretacin de la
derivada en el anlisis marginal y su definicin como la razn o tasa
promedio e instantnea de cambio, as como su aplicacin en los
conceptos de elasticidad de demanda.
Finalmente, estudiars la diferencial cuyo significado se encuentra implcito dentro de la derivada,
as como su importancia para generar resultados que permitan dar una mejor interpretacin a los
problemas que en las reas econmico-administrativas se pueden presentar.
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Aplica el clculo diferencial para la solucin de problemas de
lmites y continuidad de una funcin y determinar su impacto a
travs de frmulas y conceptos del clculo diferencial integral y
su aplicacin en las matemticas financieras.
Identificars los elementos del lgebra de lmites y terico
prctico de la continuidad de una funcin.
Aplicars los elementos del lgebra de lmites para
determinar el alcance de un proceso desde el punto de
vista econmico-administrativo.
Calculars la continuidad de una funcin en relacin a los
puntos en los que el proceso de produccin presenta una
tendencia diferente de costos.
Competencia especfica
Propsitos
Competencia especfica y propsitos
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Problemtica
Hasta el momento has comprendido que los eventos cotidianos de una
empresa pueden ser representados a travs de una funcin, la cual puede
ser evaluada con base en los conceptos de lmite y continuidad.
Percepciones que permiten a la empresa confirmar si la rentabilidad de la
organizacin est comprometida, pero no son los nicos asuntos que
interesan a una empresa, muchos empresarios se cuestionan
constantemente:
Y es aqu donde las reglas de derivacin aplicadas a la funcin en cuestin,
permiten obtener las respuestas adecuadas a las preguntas previamente
referidas.
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Problemtica
La derivada
El modelado de los procesos econmico-administrativos est
asociado a la identificacin del valor que optimiza a una
funcin, esto es, que si se trata de un problema de costos se
requiere conocer el costo mnimo y el valor para el que se
produce, as como para ingresos y utilidades es de inters
saber cmo se alcanzan los valores mximos que se pueden
tener a partir de una produccin o venta, ya sea de un producto
o servicio.
As es como se ve la importancia de la derivada dentro de los
problemas de optimizacin y sus aplicaciones en las
situaciones de oferta, demanda, elasticidad y productividad.
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Problemtica
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
La
derivada
Es la representacin del cambio infinitesimal de una funcin a medida que
va cambiando el valor de la variable independiente, as, la derivada de una
funcin f(x) se representa como f(x), que se lee: f prima y se define para cualquier funcin f(x) de la siguiente manera:
x y y: incrementos de las variables x, y, respectivamente.
, representa a la razn o tasa promedio de cambio de y con
respecto a x en el intervalo (x1, x2), esto es que tanto vara el
valor de y por cada unidad de cambio en x.
, se interpreta como la razn o tasa instantnea de cambio
de y con respecto a x, en el punto x1
En donde:
1
2
3
De manera
prctica la
notacin para la
derivada es:
que se lee: la derivada de y con respecto a x.
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Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
Al igual que con los lmites existen frmulas y reglas que
permiten calcular las derivadas de funciones algebraicas, para lo
cual se presenta a continuacin un formulario en el que se
deber tomar en cuenta que:
Reglas y
frmulas
de
derivacin
u, v, w: son funciones cuya variable
independiente es x
a, b, c, n: son nmeros constantes
e: 2.71828...
Ln u: es el logaritmo natural de u, en donde
u > 0.
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Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
Frmulas y reglas de derivacin
1
2
3
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5
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7
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11
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13
14
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A continuacin se resuelven las derivadas de algunas funciones utilizando las frmulas y reglas de derivacin:
De las
derivadas
Sea la f(x) = 4, cul ser su derivada?
Solucin: Se tiene que para una funcin
constante se utiliza la frmula 1:
en donde para este caso: c = 4, por lo que
sustituyendo se tiene que:
Determine la derivada de: f(x) = x5
Solucin: De acuerdo con la regla de derivacin
3:
se tiene que para este caso: c = 1, x = x, n = 5
por lo que:
1 2
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
-
Problemtica
Sea la funcin , determine su derivada:
Solucin: Aplicando la regla 4 de derivacin, se tiene que:
En donde:
u = 4x6 v = 5x4 w = -7x3 y = -x z = 12
para las cules aplican las siguiente reglas:
Por lo que se tiene que la derivada de la funcin h(x) es:
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
3
-
Problemtica
Cul es la derivada de la funcin ?
Solucin: Para este caso la frmula que se aplica es:
Para la que en este caso:
As, sustituyendo en la frmula, la derivada de la funcin g(x) con respecto a
x: g(x), queda:
4
u = x3 2x v = -3x2 + 5
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
-
Problemtica
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
Determina la derivada de la funcin:
Solucin: En este caso en particular, lo conveniente es plantear la funcin
de la siguiente manera:
Para la cual aplica la frmula:
En este caso:
c = 1 x = x n = 6/4
As, se tiene que:
5
-
Problemtica
Es aplicada cuando se tiene una funcin dentro de una funcin
elevada a una potencia, sea la siguiente funcin:Regla de la
cadena
La frmula general de la regla de la cadena dice que:
Sin embargo, una manera ms fcil de interpretarla es mediante el siguiente
enunciado:
Calcular la derivada de la funcin en el interior del parntesis y multiplicarla
por la derivada del exterior.
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
-
Problemtica
Conceptos, frmulas y reglas de derivacin
Es decir, si se toma en cuenta la funcin mostrada en el ejemplo, se tiene que:
Representa a la funcin en el interior del parntesis y cuya derivada es:
Ahora bien, con respecto a la derivada del exterior, se refiere al exponente fuera del
parntesis que encierra a la funcin, as, se tomara como funcin exterior a:
Finalmente, siguiendo el enunciado que dice que hay que multiplicar la derivada del interior por la derivada del exterior, se tiene que la derivada de:
Ser
Que corresponde a la
derivada del interior
Y considerando a la funcin dentro del parntesis
como si fuera una sola variable, as se tiene que
la derivada del exterior estara dada de la
siguiente manera:
-
Problemtica
Razn o tasa promedio e instantnea de
cambio e incertidumbre
Como se vio anteriormente, la razn o tasa
promedio de cambio se define como:
Considerando que la oferta O de un determinado artculoen funcin del precio p sigue la siguiente funcin:
Solucin: De acuerdo
a la definicin de razn
o tasa promedio de
cambio, se tiene que:
Determine cul ser la razn promedio de cambio en la oferta cuando el precio vara de p = 10 a
p = 11?
Asimismo, la razn o tasa
instantnea de cambio se
define como:
-
Razn o tasa promedio e instantnea de
cambio e incertidumbre
Tomando en cuenta los datos del problema anterior,
determine cul ser la razn de cambio en la oferta con
respecto al precio de venta, cuando p = 10 (cambio
instantneo)?
Solucin: De acuerdo con la
definicin de razn o tasa
cambio instantnea, se tiene
que calcular la derivada de la
funcin de oferta:
Por lo que cuando el precio de venta es: p = 10, la razn de cambio instantneo ser:
= 140
Es decir que, cuando el precio es de 10, la oferta cambia en 140 unidades cuando el
precio cambia una unidad.
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Problemtica
Hasta ahora se ha calculado la primera derivada de una funcin, sin embargo, tambin es posible,
siempre que no se llegue a un valor de cero, obtener la segunda, tercera, cuarta, quinta, y n-simaderivada de una funcin.
La primera derivada se representa o denota como:
La segunda derivada se representa o denota como:
La tercera derivada se representa o denota como:
Y as sucesivamente hasta llegar a la n-sima derivada de una funcin.
o
Determine la tercera
derivada de la:
Solucin: La primera derivada estar dada
por:
As, la segunda derivada ser
Derivadas de orden superior
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Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Ingreso marginalDescribe cmo se ven afectados los ingresos por cada unidad nueva que se produce y se vende, y se determina como la derivada de la funcin de ingresos, lo que representa una aproximacin del ingreso real cuando se vende una unidad ms de cierto producto o servicio.
As, considerando que representa a los ingresos obtenidos al vender x nmero de artculos, el
ingreso marginal muestra cul ser el ingreso que se obtiene al vender el artculo x + 1, esto es:
Es decir, los ingresos de venta de x nmero de artculos incrementada en 1, menos los ingresos de
la venta de x artculos.
Finalmente, cmo se considra el incremento de unidades de artculos, esto es: lo que
implica una razn de cambio de los ingresos cuando aumenta la produccin en una unidad; es
decir:
Lo que corresponde a
la derivada de la
funcin de ingreso, la
cual representa al
ingreso marginal.
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Problemtica
Una compaa turstica tiene un ingreso mensual en la venta de sus
paquetes regionales representado por la siguiente funcin:
Pesos cuando produce y vende x unidades por
mes.
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Solucin: Para calcular el ingreso adicional que genera la implementacin y venta del
paquete turstico nmero 21, con la funcin de ingreso marginal que es la derivada de la
funcin de ingreso, se tiene que:
Y para el caso particular del paquete nmero 20, se obtiene que:
Hasta el da de hoy, la compaa ofrece 20 paquetes
vacacionales, sin embargo, planea aumentar a 21 el nmero
de paquetes que ofrece. Cul ser el ingreso que generar la
implementacin y venta del paquete vacacional nmero 21?
Este valor sera una
aproximacin al ingreso que
generara por incorporar en
sus paquetes tursticos
regionales el paquete 21.
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Problemtica
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Sin embargo, si se desea
conocer cul sera el
ingreso exacto al
incorporar y vender el
paquete 21, se tiene que:
Ya que dentro de esta operacin ya est incorporado el paquete 21, en (x + 1), entonces se
sustituye x por 20 en la expresin encontrada:
Que representara el ingreso exacto al incorporar y vender el paquete 21 en la lista de
paquetes tursticos regionales en la compaa turstica.
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Problemtica
Costo marginal
Es la derivada de la
funcin de costo: el valor
que se obtiene es una
aproximacin al costo
verdadero cuando se
produce o genera una
unidad ms de cierto
producto o servicio.
As, si se requiere saber el costo
que implica el producir x
unidades de un artculo ms una
unidad, es recomendable recurrir
a la derivada del costo y de
manera similar al ingreso
marginal se tiene que para los
costos marginales se cumple:
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
-
Problemtica
Los costos de produccin de x tarjetas de felicitacin en una imprenta
se representan por la siguiente funcin:
Pesos
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Determina cmo ser el costo de producir 200 tarjetas
con respecto a la produccin de una tarjeta ms.
Solucin: Primero se determinar
la funcin de costo marginal:
De acuerdo a esto, se
tiene que el costo
aproximado de producir
201 tarjetas de
felicitacin ser de:
-
Problemtica
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Ahora bien, ya que se requiere conocer cmo es el costo aproximado con respecto al real,
se tiene que:
Sustituyendo ahora el valor de x = 200, para as obtener el costo de produccin de 201 tarjetas
de felicitacin:
Con lo que se observa que la diferencia entre el costo exacto y el costo marginal es mnima:
0.8005 pesos, as se puede concluir que con el costo marginal tambin se obtienen
resultados confiables al igual que con la frmula de ingreso marginal.
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Problemtica
Costo promedio o medio marginal
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Es la derivada de la funcin de costo promedio: el valor que se obtiene
es una medida de la razn de cambio de la funcin de costo promedio
en funcin del nmero de unidades o servicios producidos/ vendidos.
El costo total de produccin mensual de x nmero de taparroscas
para envases de agua embotellada est dado por:
Pesos
Determine cmo ser el costo de producir la unidad
1001 de taparroscas si actualmente se producen 1000
tapas por mes.
-
Problemtica
Solucin: Primero se determinar la funcin de costo promedio:
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
A continuacin se obtiene la funcin de costo promedio marginal, derivando la funcin de costo
promedio:
De acuerdo a esto, se
tiene que el costo
aproximado de producir
1001 de taparroscas
ser de:
-
Problemtica
Utilidad marginal
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
Es la derivada de la funcin de utilidad: y es una aproximacin a la
utilidad obtenida de la produccin y venta de una unidad ms de cierto
producto o servicio.
As, si se requiere saber cules son las utilidades que generar el producir
x unidades de un artculo ms una unidad, es recomendable recurrir a la
derivada de las utilidades, con lo que se demuestra que:
En una fbrica se determin que cuando se producen x nmero de
artculos, se tena que:
Miles de pesos
Y que cada artculo vendido generaba ingresos de $10.00 pesos.
Determine las utilidades que se generarn si se producen y venden 100 unidades.
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Problemtica
Solucin: Primero se determinar la funcin de utilidad, si se sabe que:
Anlisis marginal: ingreso, costo y utilidad marginal
En donde para este caso:
Miles de pesos
Se tiene que:
Por lo que la utilidad marginal ser:
De acuerdo a esto, se tiene que las utilidades generadas aproximadamente al producir 100
artculos sern de:
Lo que significa que se
tienen -63.34 miles de pesos
de prdidas en este proceso
-
Problemtica
Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
La elasticidad de la demanda, , es una aproximacin del cambio porcentual de la
demanda y es originado por un incremento
del 1% en el precio y est representada por
la siguiente frmula:
Y se interpreta de la siguiente
manera:
-
Problemtica
Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
Si la demanda y el precio de ciertos envases de plstico estn
representados por:
Para 0 p , determine el punto de elasticidad de la demanda en que es elstica la demanda, en funcin de los precios de los envases
de plstico.
Solucin: Se sabe que:
En donde para este caso en particular
As, la elasticidad de la demanda ser:
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Problemtica
Elasticidad de la demanda y niveles de elasticidad
Ahora bien, la demanda de los envases ser elstica si:
Por lo que la demanda ser elstica cuando el precio sea superior a 93.
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Problemtica
Clculo de mximos y mnimos
Generalmente en nuestra vida estamos buscando formas para
resolver problemas. Las matemticas y en particular el clculo
diferencial nos ayudan a encontrar las respuestas que estamos
buscando.
Entre los valores que puede tener una funcin (y) puede haber
uno que sea el ms grande y otro que pueda ser ms pequeo.
A esto valores se le pueden llamar punto mximo y punto
mnimo.
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Problemtica
Funciones crecientes y decrecientes
Una funcin es creciente en el intervalo I, si para dos
nmeros x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se
tiene que:f(x1) < f(x2).
Una funcin es decreciente en el intervalo I, si para dos
nmeros x1, x2 cualesquiera en I, tales que x1 < x2, se
tiene que:
f(x1) > f(x2).
A continuacin se muestra
grficamente cmo decrece y
crece una funcin:
-
Problemtica
Criterio de la primera y segunda derivada
Los criterios de la primera y segunda derivada ayudan a determinar el comportamiento de
una funcin mediante un clculo exacto y analtico.
Criterio de la
primera derivada
Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la primera derivada son:
1. Obtener la derivada de la funcin.
2. Determinar los valores crticos, esto es, los valores de x en la derivada de la funcin
cuando:
3. Se marcan los valores crticos en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre
cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la derivada, con lo que se
determinar el signo de la derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos antes
y despus del valor crtico.
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Problemtica
4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica el
siguiente criterio:
Si los signos son (+)(-), se tiene un mximo local. Si los signos son (-)(-), se tiene un mnimo local. Si los signos son (+)(+) o (-)(-), no hay extremo local.
Criterio de la primera y segunda derivada
Considerando el criterio de la primera derivada, determine los
intervalos en donde la funcin: es creciente o
decreciente.
Solucin: Aplicando el criterio de la primera derivada se tiene lo siguiente:
Calculado la primera derivada de la funcin:
Igualando
a cero la
derivada
de la
funcin:
-
Problemtica
Que son las races o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos
para x en la derivada sern (valores crticos en la recta numrica):
Criterio de la primera y segunda derivada
Ahora bien, evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos, esto es:
para los valores entre , como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la funcin
en ese punto dar:
Y como entonces la funcin es creciente en
para los valores entre , como por ejemplo 1, entonces se tiene que la derivada de la
funcin en ese punto dar:
Y como entonces la funcin es creciente en
-
Criterio de la primera y segunda derivada
para x = 0, se tiene que la derivada de la funcin en ese punto dar:
Y como entonces la funcin es decreciente en
Es decir, que si se aplica el criterio de la primera derivada para determinar si hay extremos
locales, se tiene:
-
Problemtica
Criterio de la
segunda derivada
Los pasos a seguir para evaluar una funcin con el criterio de la segunda derivada son:
1. Obtener la segunda derivada de la funcin.
2. Determinar los puntos de inflexin, esto es, los valores de x en la segunda derivada de la
funcin cuando es cncava hacia arriba o hacia abajo.
3. Se marcan los puntos de inflexin en la recta numrica y se escoge un valor cualquiera entre
cada intervalo y se sustituye el valor seleccionado en la segunda derivada, con lo que se
determinar el signo de la segunda derivada en esos puntos. Esto se realiza en los intervalos
antes y despus de los puntos de inflexin.
Criterio de la primera y segunda derivada
-
Problemtica
4. De acuerdo a los signos obtenidos al evaluar la derivada en cada intervalo, se aplica
el siguiente criterio:
Si , entonces la funcin es cncava hacia arriba en ese intervalo.
Si , entonces la funcin es cncava hacia abajo en ese intervalo.
Considerando el criterio de la segunda derivada, determine los
intervalos en donde la funcin: es cncava hacia
arriba o hacia abajo.
Solucin: Aplicando el criterio de la segunda derivada, se tiene lo siguiente:
Calculado hasta la segunda derivada de la funcin:
Criterio de la primera y segunda derivada
-
Problemtica
Igualando a cero la segunda derivada de la funcin:
Que son las races o valores de x, con lo que se puede observar que los intervalos establecidos
para x en la derivada sern (puntos de inflexin en la recta numrica):
Ahora bien, evaluando la derivada de la funcin en los intervalos establecidos, esto es:
para los valores entre como por ejemplo 5, entonces se tiene que la segunda derivada de
la funcin en ese punto dar:
Y como entonces la funcin es cncava hacia arriba en,
Criterio de la primera y segunda derivada
-
Problemtica
para los valores entre como por ejemplo 5, entonces se tiene que la derivada de la funcin en ese punto dar:
Criterio de la primera y segunda derivada
Y como entonces la funcin es cncava hacia abajo en
Es decir, que si se aplica el criterio de la segunda derivada para determinar la concavidad de
la funcin, se tiene:
Finalmente se puede resumir que
para el uso de los criterios de la
primera y segunda derivada, es ms
prctico llenar la siguiente tabla gua:
-
Problemtica
Interpretacin del concepto de ingreso y costo
marginal
Dentro de la prctica profesional en las reas
econmico-administrativas, es muy importante la
determinacin de maximizacin de la ganancia o la
utilidad, as como el minimizar los costos de venta y
produccin, esto es, en general, optimizar los recursos
de la empresa, es decir, maximizar los beneficios y
minimizar los costos.
Al maximizar el beneficio en
cualquier empresa, se puede
lograr lo siguiente:
-
Problemtica
Interpretacin del concepto de ingreso y costo
marginal
Ahora bien, para determinar el valor mximo en una funcin se requiere la primera
derivada de la funcin, al igual que se requiere obtener la segunda derivada para
determinar el comportamiento de dicha funcin, esto es, que si se habla de utilidades
U(x), ingresos I(x) y costos C(x), entonces se est trabajando con los valores marginales
de las funciones, los cuales se muestran representados a continuacin.
En esta grfica se observa que:
La utilidad mxima se obtiene cuando
bien cuando
Se puede observar que los valores marginales de una
funcin son muy tiles, no slo para conocer los
niveles de utilidad, sino para determinar el impacto de
las utilidades cuando se presentan variaciones en los
insumos.
-
Problemtica
Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y
costos en problemas de maximizacin
Una empresa en servicio de telefona pretende incrementar sus
ventas promocionando sus servicios por televisin, para lo cual
realiz varios estudios para determinar los costos que dicha
publicidad le generar y obtuvieron las siguientes funciones de costo
por publicidad y de demanda de servicios de telefona:
En donde:
C(x) = costos por servicio de telefona en funcin de los costos de publicidad.
p(x) = precio por servicio de telefona que se presta.
x = nmero de servicios de telefona.
Determine la cantidad de servicios que se
requiere vender para maximizar la ganancia.
-
Problemtica
Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y
costos en problemas de maximizacin
Solucin: Considerando la funcin de demanda, se puede obtener la funcin de ingresos de la
empresa, recordando que:
Por lo que para este caso en particular los ingresos sern:
Ahora bien, para obtener la mxima ganancia, se requiere de los valores marginales tanto de
los ingresos como de los costos, as para el ingreso marginal se tiene:
Y para el costo marginal:
Y ya que para maximizar la ganancia se requiere que el ingreso marginal sea igual al costo
marginal:
-
Problemtica
Aplicacin de la funcin de ingresos, beneficios y
costos en problemas de maximizacin
Y aplicando los criterios de derivada
para obtener los valores mximos,
se comienza por despejar el valor de
x de la ecuacin que qued arriba:
Comprobando que se obtiene un mximo, se
calcula la segunda derivada tanto de los
ingresos como de los costos:
Es decir, se cumple que:
Por lo que se obtiene efectivamente la mxima
utilidad.
Por lo tanto, cuando la compaa de servicio
en telefona da 37,500 servicios, la utilidad
ser maximizada.
-
Problemtica
La diferencial
-
Problemtica
Incremento de una funcin
. Al trabajar con diferenciales se comparan entre los distintos valores que toman las variables dependiente e independiente, para as observar y medir los cambios que se originen.
. Es por eso que al considerar los cambios en los valores de las variables, la diferencial llega a tener una relacin directa con la derivada como razn o tasa de cambio.
Si se considera que , se observa que se ver afectada la variable y, ya que se encuentra
en funcin de los valores que tome x.
As, cuando la variable x cambia desde un valor inicial , hasta un valor final , , el
cambio se determina calculando la diferencia ( , , lo que se conoce como cambio o
incremento de una variable y se representa como:
Y que sirve para determinar los cambios ente una y otra variable y, de manera general, para
determinar los cambios en una funcin, ya sea de ingreso, costo, demanda o utilidad,
evaluando los valores iniciales y finales en la funcin correspondiente:
-
Problemtica
Incremento de una funcin
Una empresa desea determinar en cunto deber incrementar su
nivel de gastos si aumenta la produccin debido al aumento en la
demanda de sus artculos, para lo que obtiene la siguiente funcin:
En donde actualmente la demanda de artculos es de 95:
Determine en cunto se incrementarn los gastos si la produccin aumenta a 100 unidades.
Determine la razn de cambio que se dar en los gastos al incrementarse la produccin en una unidad.
Se sabe que la produccin en el inicio es de 95 unidades, por lo que los gastos iniciales sern:
Es decir, que cuando la empresa tiene una produccin de 95 unidades sus gastos son de 30125 pesos.
Ahora bien, cuando la produccin aumenta a 100 unidades, entonces se tiene que , por lo que
los gastos finales sern de:
Esto es, que aumentan en $4875.00 pesos.
-
Para determinar la razn de cambio se tomarn en cuenta los datos anteriores, de lo que se observa
que:
Incremento de una funcin
Por lo que:
Por lo tanto:
As, para la razn de cambio se tiene que:
Con lo que se observa que los gastos de
produccin por unidad se incrementan en
$975.00 pesos por unidad.
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Problemtica
Diferencial de una funcin
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Problemtica
Diferencial implcita
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Diferencial logartmica
Tomando en cuenta las leyes
logartmicas:
Aplicando las leyes de
logaritmos a las funciones es
posible aplicar la diferencial
logartmica:
As, para obtener la diferencial logartmica dy de una
funcin es necesario aplicar las leyes de los logaritmos
a la funcin dada.
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Problemtica
Diferencial logartmica
Empleando la diferencial logartmica determine a partir de la siguiente
funcin:
Solucin: Aplicando a la funcin
leyes de logaritmos, se tiene:Ahora bien, diferenciando implcitamente se tiene:
Aplicando:
Se tiene la diferencial de cada parte de la funcin,
as para:
Para:
Para:
-
Problemtica
Diferencial logartmica
Y finalmente para:
Por lo que sustituyendo en la diferencial:
Factorizando a dx:
Despejando a dy:
Como:
Sustituyendo en dy, sustituyendo en:
-
Problemtica
Elasticidad
La elasticidad es un indicador
de la magnitud que cambiar
la variable dependiente si la
variable independiente se
modifica en una unidad y se
representa como:
Una manera de determinarla es a travs de
la diferencial con logaritmos y as obtener:
-
Problemtica
Determine la elasticidad de la demanda si:
Elasticidad
Solucin: Si se aplican logaritmos
a la funcin de demanda:
Diferenciando implcitamente a la
demanda en funcin del precio:
1
2
Por lo que al aplicar la frmula de
elasticidad en la demanda:
Por lo que:
3
3
As, la elasticidad de la demanda es de -3, lo que
significa que al incrementarse el precio en una unidad
monetaria, la demanda de los artculos disminuir 3
unidades.
-
Problemtica
Cierre de Unidad
En esta unidad estudiaste el concepto de
la derivada, las frmulas y los mtodos de
derivacin, as como el concepto de la
diferencial, el cual te permitir tener los
conocimientos necesarios para
comprender el anlisis marginal y sus
implicaciones en los procesos econmicos
y administrativos de una empresa.
-
Recursos de apoyo para el aprendizaje
Se ha seleccionado una serie de recursos en lnea con el fin de ofrecerte
un panorama general de la unidad y alternativas en caso de que se te
dificulte la comprensin de algn concepto o proceso.
Si deseas saber ms de estos temas se te sugiere revisar las siguientes
ligas:
Calculo diferencial e integral. Recuperado de
http://www.youtube.com/watch?v=JeMxAoJyoPQ
Derivadas mximos y mnimos, crecimiento y decrecimiento.
Recuperado de http://www.vadenumeros.es/primero/derivadas-
maximos-y-minimos.htm
Introduccin al Clculo Diferencial de Una Variable. Recuperado de
http://matematicasbachiller.com/libros/introduccion-al-calculo-
diferencial-de-una-variable
-
Fuentes de consulta
Chiang (2006). Mtodos fundamentales en economa matemtica. Mxico: McGraw-Hill.
Cissell, R., et al. (1999). Matemticas Financieras. Mxico: CECSA.
Garca, E. (1998). Matemticas Financieras por medio de Algoritmos, Calculadora Financiera y PC. Mxico: McGraw-Hill.
Harshbarger, R. J. et al. (2005). Matemticas Aplicadas a la Administracin, Economa y Ciencias Sociales. Mxico: McGraw-Hill.
Hernndez, A. (1998). Matemticas Financieras Teora y Prctica. Mxico: Ediciones Contables, Administrativas y Fiscales.
Leithold, L. (2006). El clculo. Oxford: Cspide.
Motoyuki, A. (2000). Matemticas Financieras. Argentina: Despeignes.
-
Fuentes de consulta
Render, B., et al., (2006). Mtodos cuantitativos para los negocios. Mxico: Pearson Educacin.
Spiegel, M. R. (1994). Manual de Frmulas y Tablas Matemticas. Mxico: McGraw-Hill.
Thomas (2006). Clculo de una Variable. Prentice Hall.
Toledano y Castillo, M. A., et al. (1984). Matemticas Financieras.Mxico: CECSA.
Vidaurri, H. M. (2001). Matemticas Financieras. Mxico: Thompson Learning.