3. EA2 - Unidad 3 (Cap 3)_clases Al 09Jun15
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I N G E N I E R A
C I V I L I N D U S T R I A L
Estadstica Aplicada II Dayana Jaque S.
-
I N G E N I E R A
C I V I L I N D U S T R I A L
UNIDAD III PARTE 1: DISEO DE EXPERIMENTOS
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Definiciones Preliminares
Para llevar a cabo diseos de experimentos a menudo
utilizaremos los conceptos Factor y Niveles, lo que se
define a continuacin.
Factor: Es la caracterstica que diferencia a los
tratamientos o poblaciones entre s. Puede ser cuantitativo
o cualitativo.
Niveles: Los diferentes tratamientos o poblaciones.
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Qu es un diseo de experimento?
Es el estudio del efecto que distintas situaciones
experimentales tienen sobre ciertas respuestas
cuantitativas.
Ejemplos: Un experimento para estudiar los efectos de cinco
marcas de gasolina en el desempeo de un motor de automvil (mpg).
Un experimento para estudiar los efectos de la presencia de cuatro soluciones azucaradas (glucosa, sacarosa, fructuosa y una mezcla de las tres) en el desarrollo bacteriano.
Un experimento para investigar si la concentracin de madera dura en la pulpa (%) tiene un efecto en la resistencia a la tensin de bolsas hechas de pulpa.
Un experimento para decidir si la densidad de color de especmenes de tela depende de la cantidad de colorante utilizado.
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Diseo de Experimentos
Todo experimento involucra una secuencia de actividades:
1. Conjetura: la hiptesis original que motiva el experimento.
2. Experimento: prueba efectuada para investigar la conjetura.
3. Anlisis: anlisis estadstico de los datos obtenidos del
experimento.
4. Conclusin: lo que se ha aprendido de la conjetura original
con la realizacin del experimento. A menudo, sta
conduce a una conjetura nueva y a un experimento nuevo,
y as sucesivamente.
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Diseo de Experimentos de Un Factor
Unidad III, Captulo 3: Diseo de Experimentos
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Diseo de Experimentos de Un Factor
Lo que deseamos probar es si la media de cada nivel del factor
(de cada tratamiento) es igual para todos, o bien, si el efecto de
cada nivel del factor es nulo sobre la verdadera media
poblacional, es decir:
La hiptesis alternativa es que al menos una de las verdaderas
medias de los tratamientos difiere de las dems.
Efecto del
tratamiento
sobre la variable
de respuesta
(nulo)
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejercicio 3.1
Ejemplo 10.1 de Devore:
El artculo Compression of Single-Wall Corrugated Shipping Containers Using Fixed and Floating Test Platens (J. Testing and Evaluation, 1992: 318-320) describe un experimento en el cual se compararon varios tipos
diferentes de cajas con respecto a resistencia a la compresin (lb).
La tabla siguiente presenta los resultados de un experimento ANOVA
unifactorial que implica 4 tipos de cajas (las medias y desviaciones
estndar muestrales concuerdan con los valores dados en el artculo).
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejercicio 3.1
Con i denotando la resistencia a la compresin promedio verdadera de las cajas de tipo i (i : 1, 2, 3, 4), la hiptesis nula es:
H0: 1 = 2 = 3 = 4.
Anlisis de caja comparativo:
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Diseo de Experimentos de Un Factor
ijiijY
Modelo estadstico lineal:
Tambin puede escribirse:
Efecto del i-simo tratamiento
ijiijY
Observaciones Tratamiento Totales Promedios
1 y 11 y 12 y 1n y 1 .
2 y 21 y 22 y 2n y 2 .
. . . . . .
. . . . . .
nA y nA1 y nA2 y nAn y nA .
y..
. 1 y
. 2 y
. nA y
.. y
... 2, 1,
... 2, 1,
nj
ni A
Residuo ~ N(0,2) n: cantidad de
observaciones por
tratamiento
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Diseo de Experimentos de Un Factor
Los efectos de los tratamientos corresponden a desviaciones
respecto de la media global .
Luego:
La prueba de hiptesis est definida por:
An
i
i
1
0
iH
H
ia
nA
una para menos al 0:
0...: 210
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Diseo de Experimentos de Un Factor
Los efectos de los tratamientos se anulan entre s
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Tipos de Experimentos
Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados
Modelo de Efectos Fijos Modelo de Efectos Aleatorios
Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos
similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el
experimento no constituyen una muestra aleatoria)
Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos
similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una
muestra aleatoria)
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Modelos de Efectos Fijos
Variabilidad
Variabilidad Total de los Datos (SST)
Variabilidad debido al tratamiento (SSTr)
(Variabilidad Entre)
Variabilidad inherente de los datos (SSE)
(Variabilidad Dentro)
SSESSTrSST
AAA n
i
n
j
iij
n
i
i
n
i
n
j
ij yyyynyy1 1
2
1
2
1 1
2
......
Dif. entre tratamientos (variabilidad entre)
Error aleatorio (variabilidad dentro)
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Modelos de Efectos Fijos
Definiciones
An
i
iA nnSSTrE1
221 Puede demostrarse que:
Luego, si H0 se cumple, entonces:
2
1
An
SSTrE
Pero, si Ha es cierta, entonces:
11
1
2
2
A
n
i
i
A n
n
n
SSTrE
A
Cuadrado medio de los tratamientos
Si H0 es falsa, MSTr sobreestima a 2 , pero si H0 es verdadera MSTr es
estimador insesgado de 2
Considerando las hiptesis:
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Modelos de Efectos Fijos
Definiciones
Tambin puede demostrarse que: 21 nnSSEE A
Luego, sin importar si H0 es cierta o falsa, se cumple que:
2
1
nn
SSEE
A
Error cuadrtico medio
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Modelos de Efectos Fijos
Estadstico de Prueba
Si las poblaciones son normales, es demostrable que el estadstico F0
sigue una distribucin F-Fisher:
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Modelos de Efectos Fijos
Estadstico de Prueba
Regin de Rechazo: f c
0| es verdaderaP F c H
TEOREMA:
Sea F = MSTr/MSE el estadstico de un ANOVA de un factor con nA poblaciones y el tamao de cada muestra es n. Cuando H0 es verdadera y se cumplen las suposiciones anteriormente planteadas,
entonces F tiene una distribucin F con 1 = nA - 1 y 2 = nA(n - 1).
Es una prueba de cola superior, cuya regin de rechazo es de la forma:
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Modelos de Efectos Fijos
Frmulas de Clculo
An
i
n
j A
ijnn
yySST
1 1
2
2..
An
i A
i
nn
y
n
ySSTr
1
22 ...
Muestras con distinto tamao en cada tratamiento
Muestras con igual tamao en cada tratamiento
SSTrSSTSSE
A in
i
n
j
ijN
yySST
1 1
2
2..
An
i i
i
N
y
n
ySSTr
1
22 ...
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Modelos de Efectos Fijos
ANOVA
TABLA ANOVA (con igual tamao muestral en cada tratamiento)
Todos los clculos necesarios para llegar al estadstico f pueden
escribirse utilizando el formato de la tabla.
TABLA ANOVA (con distinto tamao muestral en cada tratamiento)
Fuente de Variacin
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio f
Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1) MSTr/MSE
Error N-nA SSE MSE = SSE / [N-nA]
Total N-1 SST
Fuente de Variacin
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio f
Tratamientos nA-1 SSTr MSTr = SSTr / (nA-1) MSTr/MSE
Error nA(n-1) SSE MSE = SSE / [nA(n-1)]
Total nAn-1 SST
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Ejercicio 3.2
(Ejemplo 10.13 J.L. Devore)
Los datos adjuntos se obtuvieron con un experimento que compara el
grado de manchado de telas copolimerizadas con tres mezclas
diferentes de cido metracrlico (datos similares aparecieron en el
artculo Chemical Factors Affecting Soiling and Soil Release from Cotton DP Fabric, American Dyestuff Reporter, 1983: 25-30).
Use el anlisis de varianza (ANOVA) para determinar si existe un efecto
de las mezclas de cido metracrlico en el grado de manchado de las
telas copolimerizadas.
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejercicio 3.2 Solucin:
La hiptesis a probar es:
Se deben calcular las sumas de cuadrados a fin de completar la tabla ANOVA.
A una significancia del 5%, F5%,2,12 = 3,89
Conclusin: Como el estadstico de prueba (f=0,987) es menor al punto crtico (F=3,89) no hay evidencia para rechazar Ho, por lo tanto, no se puede decir que existen diferencias significativas entre las mezclas que afecten en el manchado.
Fuente de Variacin
Grados de Libertad
Suma de Cuadrados
Cuadrado Medio
f
Tratamientos 2 0,061 0,0304
0,987 Error 12 0,370 0,0308
Total 14 0,431
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Mtodo LSD de Fisher
Mtodo de Tuckey
Fcil de calcular
Trabaja con la distribucin t Student
Muy sensible a pequeas variaciones
El nivel de confianza es individual y no grupal
Trabaja con la distribucin de rango estudentizado
Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias
El nivel de confianza viene dado en forma grupal
Concepto de tasa de error por experimento
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Definiciones
Sea la variable T:
Un Intervalo de Confianza del 100(1-)% para la media de los Tratamientos i es:
)1(~/
nn
ii
At
nMSE
YT
n
MSEty
n
MSEty nniinni AA )1(,2/)1(,2/
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Definiciones
El inters es encontrar un IC para la diferencia entre las medias de dos tratamientos, digamos i j . El estimador puntual de i j es:
La varianza de este estimador es:
As, la varianza estimada y su desviacin estndar son:
ji YY
nnn
YYV ji222 2
n
MSEs
n
MSEs
jiji YYYY
222
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Definiciones
Luego se tiene que:
Intervalo de Confianza del 100(1-)% para la Diferencia entre las Medias de dos Tratamientos i - j es:
)1(~
/2
nn
jiji
At
nMSE
YYT
n
MSEtyy
n
MSEtyy nnjijinnji AA
22)1(,2/)1(,2/
Si el IC calculado contiene el 0, diremos que las medias de los
tratamientos, no son significativamente distintas.
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
1. Mtodo LSD de Fisher (least significant difference)
Sea la variable T:
Entonces, el par de medias i - j se considerar significativamente diferente si:
)1(~2
nn
ji
At
n
MSE
YYT
LSDyyji
n
MSEtLSD nnA
2)1(,2/
ji
nNnn
MSEtLSDA
11,2/
Igual tamao de muestra por tratamiento
Distinto tamao de muestra por tratamiento
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Ejercicio 3.3
Un fabricante de papel utilizado para fabricar bolsas de caramelo, est
interesado en mejorar la resistencia a la tensin del producto. El grupo
de ingeniera del producto piensa que la resistencia a la tensin es una
funcin de la concentracin de madera dura en la pulpa, y que el
rango de inters prctico de las concentraciones de madera dura est
entre 5% y 20%.
El equipo de ingenieros responsable del estudio decide investigar
cuatro niveles de concentracin de madera dura: 5, 10, 15 y 20%. Para
ello, deciden fabricar seis especmenes de prueba para cada nivel de
concentracin, utilizando una planta piloto.
Los 24 especmenes se someten a prueba en un probador de tensin
de laboratorio, en orden aleatorio.
Concentracin de
madera dura (%)
Observaciones
1 2 3 4 5 6
5 7 8 15 11 9 10
10 12 17 13 18 19 15
15 14 18 19 17 16 18
20 19 25 22 23 18 20
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Ejercicio 3.3
Los datos son:
nA = 4, n = 6, MSE = 6,51 y t0,025;20 = 2,086.
Las medias de cada tratamiento son:
A partir del mtodo LSD de Fisher concluya si existe diferencia entre los
tratamientos, identificndolos.
[psi] 17,21
[psi] 00,17
[psi] 67,15
[psi] 00,10
4
3
2
1
y
y
y
y
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Ejercicio 3.3
Solucin:
El valor de LSD es:
Por lo tanto cualquier par de medias observadas de tratamiento que difiera en
ms de 3,07 (LSD), implica que el correspondiente par de medias son distintas.
Comparaciones entre las medias de tratamiento observadas:
07,36
51,62086,2
220;025,0
n
MSEtLSD
3,07 5,67 00,1067,15 1 v/s2
3,07 1,33 67,1500,17 2 v/s3
3,07 7,00 00,1000,17 1 v/s3
3,07 4,17 00,1717,21 3 v/s4
3,07 5,50 67,1517,21 2 v/s4
3,07 11,17 00,1017,21 1 v/s4
12
23
13
34
24
14
yy
yy
yy
yy
yy
yy
31
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Ejercicio 3.3
Solucin:
A partir del anlisis, se deduce que existen diferencias significativas entre todos
los pares de medias excepto los pares 2 y 3. Esto implica que el 10% y 15% de
concentracin de madera dura producen aproximadamente la misma
resistencia a la tensin y que todos los otros niveles de concentracin probados
producen diferentes resistencias a la tensin.
En ocasiones es de utilidad dibujar un grfico de las medias de tratamiento
observadas con las medias que no difieren significativamente subrayadas. Este
grfico revela los resultados del experimento y muestra que el 20% de madera
dura produce la mxima resistencia a la tensin.
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Mtodos de Comparaciones Mltiples
Mtodo LSD de Fisher
Mtodo de Tukey
Fcil de calcular
Trabaja con la distribucin t Student
Muy sensible a pequeas variaciones
El nivel de confianza es individual y no grupal
Trabaja con la distribucin de rango estudentizado
Requiere de fuerte evidencia para detectar diferencias
El nivel de confianza viene dado en forma grupal
Concepto de tasa de error por experimento
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
2. Mtodo de Tukey
Objetivo: Identificar cules son las medias que difieren entre s.
Utiliza una distribucin de probabilidad llamada Distribucin de rango estudentizado.
Esta distribucin depende de dos parmetros: grados de libertad m del numerador y grados de libertad del denominador.
Ver Tabla de valores crticos para la distribucin de Rango Estudentizado (Pg. 682, J.L. Devore)
,,mQ Valor crtico de cola superior donde m = nA y = nA(n - 1)
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
2. Mtodo de Tukey
Proposicin:
Con el reemplazo de los valores apropiados en el enunciado siguiente
se obtienen enunciados simultneos de confianza acerca de las
diferencias entre las medias de tratamiento
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1)1(,,)1(,,
n
MSEQYY
n
MSEQYYP nnnjijinnnji AAAA
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
2. Mtodo de Tukey
Procedimiento:
1. Seleccione y encuentre Q, nA, nA(n - 1) de la tabla.
2. Determine:
3. Haga una lista de las medias muestrales en orden creciente y subraye los pares que difieren en menos de W. Cualquier par de medias muestrales no subrayadas por la misma lnea corresponde a un par de medias de tratamiento significativamente diferentes.
36
nMSEQW nnn AA /)1(,,
Cualquier par de medias que difieran en ms que la cantidad definida por W, sern juzgadas como significativamente diferentes entre s.
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Ejercicio 3.4
(J.L. Devore)
Se efectu un experimento para comparar 5 marcas distintas de filtros
de aceite automotrices, en relacin con su capacidad para capturar
materia extraa. Se us una muestra de nueve filtros de cada marca y
se obtuvieron las siguientes cantidades promedio:
Los datos indican que la cantidad promedio real de material
capturado depende de la marca de los filtros? Utilice un nivel = 0,05.
Si es as, use el mtodo T para identificar diferencias significativas.
37
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Ejercicio 3.4
38
1.- Hiptesis a probar:
2.- Calcular estadstico de prueba a partir de la tabla ANOVA
f=37,73
3.- Comparar con valor crtico
F, nA - 1, nA (n - 1) = F0,05, 4, 40 = 2,61
4.- Concluir
Como 37,73 >>> 2,61, H0 es rechazada al nivel 0,05
En caso de que la Ho se rechace, utilizamos el test de Tukey para
determinar si existe diferencia significativa entre los tratamientos.
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Ejercicio 3.4
39
Procedimiento de Tukey:
1.- Para = 0,05 el valor de Q, nA, nA (n - 1) es igual a: Q0,05; 5; 40 = 4,04 2.- Clculo de W:
3.- Listado de las medias: Las cinco medias muestrales se disponen en orden creciente y se subraya cada par que difiera en menos de 0,4.
4. Conclusiones:
Las marcas 1 y 4 no son considerablemente diferentes entre s, pero son considerablemente ms altas que las otras tres marcas en el verdadero promedio de su contenido.
La marca 2 es considerablemente mejor que la 3 y la 5, pero peor que la 1 y la 4; y las marcas 3 y 5 no difieren en forma significativa.
4,09/088,004,4/)1(,, nMSEQW nnn AA
5 3 2 4 1y y y y y
13,1 13,3 13,8 14,3 14,5
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Modelos de Efectos Fijos
Mtodos de Comparaciones Mltiples
2.1. Procedimiento de Tukey Kramer (tamaos muestrales desiguales)
Se consideran tamaos muestrales diferentes n1, n2, ..., nnA razonablemente cercanos entre s. Se utilizan promedios en parejas (es decir 1/ni en vez de 1/n).
El nivel de confianza simultneo es al menos del 100(1-)% (solo aproximado, no exacto), para tamaos muestrales desiguales.
40
ji
nNnijnn
MSEQW
AA
11
2,,
-
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Ejercicio 3.5
(J.L. Devore)
Un artculo present los siguientes datos del mdulo de elasticidad, en
GPa, obtenidos con un nuevo mtodo ultrasnico, para muestras de
cierta aleacin producida con tres mtodos de colado diferente.
Los datos indican que el mdulo de elasticidad promedio depende
de la forma del proceso de colado que se utilice? Si es as, utilice el
procedimiento de Tukey-Kramer para identificar diferencias
significativas entre las medias de tratamiento.
41
ni yi. i.
Moldeo permanente 45,5 45,3 45,4 44,4 44,6 43,9 44,6 44 8 357,7 44,71
Colado a presin 44,2 43,9 44,7 44,2 44 43,8 44,6 43,1 8 352,5 44,06
Moldeo de yeso 46,0 45,9 44,8 46,2 45,1 45,5 6 273,5 45,58
y.. 22 983,7
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Ejercicio 3.5
42
1.- Hiptesis a probar:
2.- Calcular estadstico de prueba a partir de la tabla ANOVA
f=12,56
3.- Comparar con valor crtico
F, na - 1, N-na = 3,52
4.- Concluir
Como 12,56 >>> 3,52, H0 es rechazada al nivel 0,05, por lo tanto, hay pruebas convincentes para llegar a la conclusin de que el mdulo de elasticidad promedio depende de cierta forma del proceso de colado que se utilice.
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejercicio 3.5
43
n1 = 8, n2 = 8, n3 = 6 y na = 3, N na = 22 - 3 = 19, MSE = 0,316. Por lo tanto, un nivel de confianza simultneo de aproximadamente 95% requiere:
2. A presin 1. Permanente 3. Yeso
44,06 44,71 45,58
Esquema de subrayado:
Se concluye que 1 y 2 no son considerablemente diferentes, sin embargo, tanto 1 como 2 parecen diferir en forma significativa de 3.
Luego, utilizando el procedimiento de Tukey-Kramer, tenemos que:
771,0 ,771,0 ,713,08
1
8
1
2
316,059,3
11
2
231312
19;3;05,0
WWW
nn
MSEQW
ji
ij
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Verificacin de supuestos del Modelo por medio
de Residuos
44
i ij ij ij ie y y y y
Supuestos del modelo:
Normalidad (eij ~ N(0, 2 ))
Hacer grficas de probabilidad normal
Homocedasticidad (igualdad de varianzas)
Hacer grficas de los ei vs. los niveles del factor
Hacer grficas de los ei vs. medias de tratamiento observadas
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Ejercicio 3.6
45
Un economista obtuvo datos sobre la mejora en la productividad el ao pasado, para una muestra de empresas que producen accesorios para equipos elctricos. Las empresas fueron clasificadas de acuerdo al promedio de los gastos en investigacin y desarrollo en los ltimos 3 aos (nivel bajo, moderado y alto). Los resultados del estudio se detallan a continuacin, donde la mejora en la productividad se mide en una escala de 0 a 10.
a) Construya la tabla ANOVA para estos datos
b) Basndose en la mejora de productividad de las empresas, existe diferencia atribuible a los distintos niveles de I&D? considere una significancia del 5%. Si lo hubiera, Qu grupo de empresas difieren estadsticamente de las dems?
c) Verifique los supuestos del modelo
Gasto en
I&D
Mejora en la productividad
Bajo 8,9 8,5 8,6 5,1 6,1 8,5 5,3 6,4 5,4 7,4
Moderado 7,8 6,8 8,4 7,7 6,3 7,7 9,3 7,1 7,2 6,1
Alto 8,9 8,7 7,7 9,7 8,6 9,0 8,9 8,8 8,7 8,5
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Tipos de Experimentos
Tipos de Experimentos Completamente Aleatoriazados
Modelo de Efectos Fijos Modelo de Efectos Aleatorios
Las conclusiones obtenidas no pueden extenderse a tratamientos
similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el
experimento no constituyen una muestra aleatoria)
Las conclusiones obtenidas pueden extenderse a tratamientos
similares que no fueron considerados en el experimento (Los tratamientos usados en el experimento constituyen una
muestra aleatoria)
46
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Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Modelos de Efectos Aleatorios
En muchas situaciones, el factor de inters tiene un nmero muy grande de niveles posibles. El analista est interesado en obtener conclusiones acerca de la toda la poblacin de niveles del factor. Si el experimentador selecciona al azar nA de estos niveles de la poblacin de todos los niveles del factor, entonces se dice que el factor es un factor aleatorio.
Dado que los niveles del factor utilizados en el experimento fueron escogidos al azar, las conclusiones alcanzadas sern vlidas para toda la poblacin de niveles del factor. Se supondr que la poblacin de niveles del factor es de tamao infinito o lo bastante grande como para ser considerada infinita.
47
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Modelos de Efectos Aleatorios
ANOVA y Componentes de la Varianza
48
ijiijY
El modelo estadstico lineal es:
Variable aleatoria que explique el efecto
aleatorio del factor,
i ~ N(0,2)
... 2, 1,
... 2, 1,
nj
ni A
(Para efectos fijos, se supone que
2 = 0)
Residuos,
ij ~ N(0,2)
Los i son independientes para i = 1nA, cada uno con varianza 2
Los ij son independientes para i = 1nA, y j = 1n cada uno con 2
Los i y ij son independientes para cada combinacin de i y j
-
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Modelos de Efectos Aleatorios
ANOVA y Componentes de la Varianza
49
La hiptesis de que las {i } son independientes, implica que la
hiptesis usual de que:
La varianza de la respuesta es:
donde cada trmino en el lado derecho es llamado
componente de la varianza.
del modelo de efectos fijos no se aplica al modelo de efectos aleatorios.
22 ijYV
01
An
i
i
-
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Modelos de Efectos Aleatorios
ANOVA y Componentes de la Varianza
50
Para un modelo de efectos aleatorios, las hiptesis apropiadas a
probar son:
La descomposicin ANOVA de la variabilidad total sigue siendo
vlida:
0:
0:
2
2
0
aH
H
SSESSTrSST
-
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Modelos de Efectos Aleatorios
ANOVA y Componentes de la Varianza
51
En el modelo ANOVA de un solo factor, experimento completamente
aleatorizado, el valor esperado de la media de cuadrados de los tratamientos
es:
Y el valor esperado de media de cuadrados para el error es:
Los estimadores de los son:
y
221
nn
SSTrEMSTrE
A
2)1(
nn
SSEEMSEE
A
MSEs 2
n
MSEMSTrs
2
-
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Ejercicio 3.7
52
En el texto Design and Analysis of Experiments de Montgomery, se describe un experimento de un solo factor donde se utiliza un modelo de efectos aleatorios,
en el que una compaa textil produce una tela en varios telares. La compaa
tiene inters en la variabilidad de la resistencia a la tensin de un telar a otro.
Para investigar esta variabilidad, un ingeniero de produccin selecciona al azar
cuatro telares y determina la resistencia a la tensin de las muestras de tela
tomadas aleatoriamente de cada telar. Los datos obtenidos aparecen en la
siguiente tabla:
1 2 3 4 Totales Promedios
1 98 97 99 96 391 97,50
2 91 90 93 92 368 91,50
3 96 95 97 95 386 95,75
4 95 96 99 98 392 97,00
1537 95,44
Telar
Observaciones
-
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Ejercicio 3.7
53
Solucin:
Desde el Anlisis de Varianza, se concluye que la resistencia a la tensin de los telares en la planta difieren significativamente en su capacidad para producir telas de uniformes. La varianza es estimada por s2 = 1,90 y:
Fuente de
Variacin
Suma de
Cuadrados
Grados de
Libertad
Media de
Cuadrados f 0 Valor P
Telar 89,19 3 29,73 15,68 1,88E-04
Error 22,75 12 1,9
Total 111,94 15
96,64
90,173,292
s
-
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Ejercicio 3.7
54
Por lo tanto, la varianza de la resistencia en el proceso de fabricacin es estimada por:
As, la mayor parte de esta variabilidad es atribuible a las diferencias entre telares.
86,890,196,6 22 ssYV ij
-
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Ejercicio 3.7
55
Este ejemplo ilustra el aislamiento de diferentes fuentes de variabilidad en un proceso de fabricacin.
Problemas de variabilidad excesiva aparecen con frecuencia en programas de mejora de la calidad.
En el ejemplo anterior, las estimaciones de los parmetros del proceso son:
Si el lmite inferior de especificacin de la resistencia est en 90 [psi], entonces una parte sustancial de la produccin se encuentra degradada (aprox. 3,37%)
[psi] 98,286,8[psi] 45,95
ijY YVs
y
-
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Ejercicio 3.7
56
Si el ingeniero o administrador lograra detectar y eliminar las fuentes de variabilidad del proceso, asociadas a las diferencias entre los telares, la reduccin en la variabilidad del proceso sera notable: En este nuevo proceso mejorado, la reduccin en la variabilidad de la resistencia disminuye en gran medida la degradacin del proceso, lo que trae como resultado:
un costo menor
una calidad mayor
un cliente ms satisfecho
una posicin competitiva mejor para la compaa.
[psi] 38,190,12 ssY
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
57
El diseo aleatorizado por bloques es una extensin de la prueba
para datos pareados, donde el factor de inters tiene ms de dos niveles.
Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4
Diseo aleatorizado por bloques
t1 t2 t3
t1 t2 t3
t1 t2 t3
t1 t2 t3
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
58
Por ejemplo, considere la situacin donde cuatro diferentes mtodos
fueron usados para predecir la resistencia al corte de vigas de acero.
Digamos que ahora se usan 4 vigas como unidades experimentales.
1 2 3 4
1 y11 y12 y13 y14
2 y21 y22 y23 y24
3 y31 y32 y33 y34
Tratamiento
(Mtodo)
Bloques (Viga)
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
59
Procedimiento general para un diseo aleatorizado por bloques
completo:
Bloques Tratamiento 1 2 nB Totales Promedios
1 y 11 y 12 y 1nB y 1 .
2 y 21 y 22 y 2nB y 2 .
. . . . . .
. . . . . .
nA y nA1 y nA2 y nAnB y nA .
Totales y. 1 y. 2 y. nB y..
Promedios
. 1 y
. 2 y
. nA y
.. y 1 . y 2 . y nB
y .
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
60
El apropiado Modelo Estadstico Lineal es:
Asumimos que:
tratamientos y bloques son inicialmente efectos fijos.
bloques no interactan.
dentro de cada bloque las unidades son homogneas frente a otros factores que podran afectar la respuesta.
ijjiijY
0y 011
BA n
j
j
n
i
i
... 2, 1,
... 2, 1,
B
A
nj
ni
Cantidad de bloques
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
61
Estamos interesados en probar:
La suma de cuadrados para el experimento completamente aleatorizado
en bloques es:
O equivalentemente
iH
H
ia
nA
una para menos al 0:
0...: 210
A BBAA B n
i
n
j
ijij
n
j
jA
n
i
iB
n
i
n
j
ij yyyyyynyynyy1 1
2
1
2
1
2
1 1
2
............
SSESSSSSST BA
(tratamientos) (bloques)
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
Valores Esperados Cuadrados Medios
62
1
A
AA
n
SSMS
1
B
BB
n
SSMS
11
BA nn
SSEMSE
11
1
2
2
A
n
i
iB
A
A
n
n
n
SSE
A
11
1
2
2
B
n
j
jA
B
B
n
n
n
SSE
B
2MSEE
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
63
A Bn
i
n
j BA
ijnn
yySST
1 1
2
2..
An
i BA
i
B
Ann
yy
nSS
1
2
2..
.1
BA SSSSSSTSSE
Bn
i BA
j
A
Bnn
yy
nSS
1
2
2..
.1
Las frmulas de clculo para la suma de cuadrados en el anlisis de
varianzas para experimentos completamente aleatorizados en bloques
son:
-
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Diseo completamente aleatorizado por Bloques
TABLA ANOVA
64
Fuente de
Variacin Grados de
Libertad Suma de
Cuadrados Cuadrado Medio f
Tratamientos nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE
MSB / MSE
Bloques nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1)
Error (nA-1)(nB-1) SSE MSE = SSE / (nA-1)(nB-1)
Total nAnB-1 SST
-
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Ejercicio 3.8
65
(13-5 Montgomery, 4th ed.)
Se realiza un experimento para determinar el efecto de cuatro sustancias
qumicas diferentes sobre la resistencia de una tela. Las sustancias se emplean
como parte del proceso terminal de planchado permanente. Para ello se
escogen cinco muestras de tela y se aplica un diseo completamente
aleatorizado por bloques mediante la prueba de cada sustancia en un orden
aleatorio sobre cada una de las muestras de tela. Observe que cada muestra de
tela puede tener caractersticas propias que haga obtener distintas resistencias,
sin deberse esto a la sustancia qumica aplicada (por eso se bloquear el posible
efecto de la muestra de tela en el experimento). En caso de existir efecto por
parte de las sustancias qumicas sobre la resistencia de las telas, se identificarn
aquellas sustancias que provoquen efecto sobre la resistencia, con = 0,05.
Muestra de Tela
Sustancia Qumica 1 2 3 4 5 Totales Promedios
1 1,3 1,6 0,5 1,2 1,1 5,7 1,14 2 2,2 2,4 0,4 2,0 1,8 8,8 1,76 3 1,8 1,7 0,6 1,5 1,3 6,9 1,38 4 3,9 4,4 2,0 4,1 3,4 17,8 3,56
Totales 9,2 10,1 3,5 8,8 7,6 39,2
Promedios 2,3 2,5 0,9 2,2 1,9 1,96
-
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Ejercicio 3.8
66
Solucin
A partir de esta informacin, MINITAB entrega los siguientes resultados:
Minitab -> Estadsticas -> Anova -> Modelo lineal general (modelo: factor,
bloque)
ANOVA: Resistencia de la Tela vs. Sustancia Qumica. Muestra de Tela
Factor Tipo Niveles Valores
Sustancia Qumica fijo 4 1. 2. 3. 4
Muestra de Tela fijo 5 1. 2. 3. 4. 5
Anlisis de varianza de Resistencia de la Tela
Fuente GL SC MC F P
Sustancia Qumica 3 18,0440 6,0147 75,89 0,000
Muestra de Tela 4 6,6930 1,6733 21,11 0,000
Error 12 0,9510 0,0793
Total 19 25,6880
S = 0,281514 R-cuad. = 96,30% R-cuad.(ajustado) = 94,14%
-
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Ejercicio 3.8
67
Solucin
En la tabla ANOVA se observa que el estadstico de prueba f0 = 75,89 > f0,05;3;12 = 3,49, concluimos que hay diferencias significativas en las resistencias de las telas bajo los distintos tipos de sustancias qumicas. Y adems como el valor p = 0, entonces esta decisin no cambia independiente del nivel de significancia usado en la prueba.
Comparaciones Mltiples Aplicaremos el mtodo LSD de Fisher:
-
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Ejercicio 3.8
68
Notamos que el mtodo se aplica tal cual como lo vimos anteriormente, con la
salvedad de que el nmero de muestras por tratamiento en este tipo de diseos lo
denotamos por (bloques) y no por .
Del grfico anterior se desprende que la sustancia qumica 4 da como resultado
una resistencia mucho mayor a las otras tres sustancias.
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
69
Para este tipo de diseos, los residuos los definiremos como:
Note que el valor ajustado representa la estimacin de la respuesta
promedio cuando el i-simo tratamiento se efecta en el j-simo bloque.
ijijij yye
jiijy
........ yyyyy ji .... yyy ji
jiijijyyyye ....
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
70
En la siguiente tabla se muestran los residuos calculados del experimento
para el tipo de sustancia qumica, visto en un ejemplo anterior.
1 2 3 4 5
1 -0,18 -0,10 0,44 -0,18 0,02
2 0.10 0,08 -0,28 0,00 0,10
3 0,08 -0,24 0,30 -0,12 -0,02
4 0,00 0,28 -0,48 0,30 -0,10
Tipo de
Sustancia
Quimica
Muestra de Tejido
Lo siguientes grficos muestran importantes grficos de residuos
calculados para el experimento para el tipo de sustancia qumica.
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
71
Grfico de probabilidad normal de los residuos del diseo
completamente aleatorizado por bloques.
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
72
Grfico de residuos por tratamientos (tipo de sustancia qumica).
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
73
Grfico de residuos por bloques (muestra de tela).
-
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Anlisis Residual y Adecuacin del Modelo
74
Grfico de residuos versus ij
-
Diseo de Experimentos de Varios
Factores
Unidad III, Captulo 3: Diseo de Experimentos
-
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sobre esta
cita?
76
-
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Diseo de Experimentos de Varios Factores
77
Un experimento es una prueba o una serie de pruebas.
El diseo de un experimento juega un papel principal en la eventual solucin del problema.
En un diseo experimental factorial, los ensayos del experimento (o corridas) se ejecutan con todas las
combinaciones de los niveles de los factores.
El anlisis de varianza (ANOVA) ser usado como una de las herramientas primarias para el anlisis estadstico de los
datos.
-
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Experimentos Factoriales
78
Por experimento factorial entendemos aquel donde en cada ensayo o rplica completa del experimento se investigan todas
las combinaciones posibles de los niveles de los factores.
Definicin
Factor B
Factor A Bbajo Balto
Abajo 10 20
Aalto 30 40
-
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Experimento Factorial sin Interaccin
79
-
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Experimento Factorial con Interaccin
80
Factor B
Factor A Bbajo Balto
Abajo 10 20
Aalto 30 0
-
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Experimento Factorial con Interaccin
81
-
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Grficos Experimentos Factoriales
82
Grfico tridimensional de superficie de los datos del experimento sin interaccin,
mostrando efectos en los dos factores A y B.
-
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Grficos Experimentos Factoriales
83
Grfico tridimensional de superficie de los datos del experimento, mostrando el
efecto de la interaccin entre A y B.
-
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Configuracin Experimental
84
Cada combinacin de dos niveles de diferentes factores se conoce como CONFIGURACIN EXPERIMENTAL. La cantidad total de observaciones es: N = nAnBn.
-
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Modelo Estadstico Lineal
85
Yijk: es la k-sima observacin tomada en el i-simo nivel del
Factor A y en el j-simo nivel del Factor B.
An
i
i
1
0
Bn
j
ij
1
0
An
i
ij
1
0
Con:
ijkijjiijY
... 2, 1,
... 2, 1,
... 2, 1,
nk
nj
ni
B
A
Bn
j
j
1
0 2,0~ Nijk
-
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Anlisis Estadstico del Modelo de Efectos Fijos
86
A B
A
B
n
i
n
j
n
k
ijk
n
k
ijkij
n
i
n
k
ijkj
n
j
n
k
ijki
yy
yy
yy
yy
1 1 1
1
1 1
1 1
...
.
..
..
nnn
yy
n
yy
nn
yy
nn
yy
BA
ij
ij
A
j
j
B
ii
......
..
....
....
B
A
nj
ni
... 2, 1,
... 2, 1,
-
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Pruebas de Hiptesis
87
iH
H
ia
nA
una para menos al 0:
0...: 210
jH
H
ja
nB
una para menos al 0:
0...: 210
ijH
H
ija
nn BA
pareja una para menos al 0:
0...: 12110
-
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Estimadores
88
A continuacin se definen los estimadores puntuales insesgados de los
parmetros desconocidos , i , i y ()ij.
........
.....
.....
...
yyyy
yy
yy
y
jiijij
jj
ii
Se deduce de y de .)( ijij yYE ijjiijYE )(
.............. yyyyyy jiij
. ijijji y
jiijij y .
-
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Estadsticos
89
Para probar H0: i = 0 use la razn
Para probar H0: j = 0 use la razn
Para probar H0: ()ij = 0 use la razn
MSE
MSF A
MSE
MSF B
MSE
MSF AB
-
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Frmulas Sumas de Cuadrados
90
BAAB
BA
BA
n
i
n
j
ij
AB
BA
n
j A
j
B
BA
n
i B
iA
BA
n
i
n
j
n
k
ijk
SSSSSSSSTSSE
SSSSnnn
y
n
ySS
nnn
y
nn
ySS
nnn
y
nn
ySS
nnn
yySST
A B
B
A
A B
2
1 1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1 1
2
-
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ANOVA
91
Fuente de
Variacin Grados de
Libertad Suma de
Cuadrados Cuadrado Medio F
Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE
Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE
Interaccin (nA-1)(nB-1) SSAB MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)] MSAB / MSE
Error nAnB (n-1) SSE MSE = SSE / [nAnB(n-1)]
Total nAnBn-1 SST
-
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Ejercicio 3.9
92
Se aplican pinturas tapaporos para aeronaves en superficies de
aluminio, con dos mtodos: inmersin y rociado. La finalidad del
tapaporos es mejorar la adhesin de la pintura, y puede aplicarse en
algunas partes utilizando cualquier mtodo. El grupo de ingeniera de
procesos responsable de esta operacin se encuentra interesado en
saber si existen diferencias entre tres tapaporos diferentes en cuanto a
sus propiedades de adhesin. Para investigar el efecto que tienen el tipo
de pintura tapaporos y el mtodo de aplicacin sobre la adhesin de la
pintura, se realiza un experimento factorial. Para ello se pintan tres
especmenes con cada tapaporo utilizando cada mtodo de
aplicacin, despus se aplica una capa final de pintura y a
continuacin se mide la fuerza de adhesin. Los datos de este
experimento aparecen en la siguiente tabla.
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejercicio 3.9
93
Tipo de Tapaporo
Inmersin Rociado yi ..
1 4,0; 4,5; 4,3 12,8 5,4; 4,9; 5,6 15,9 28,7
2 5,6; 4,9; 5,4 15,9 5,8; 6,1; 6,3 18,2 34,1
3 3,8; 3,7; 4,0 11,5 5,5; 5,0; 5,0 15,5 27,0
y. j . 40,2 49,6 y = 89,8
-
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Ejercicio 3.9 (Solucin)
94
72,1018
8,890,5...5,40,4
2222
2
1 1 1
2
nnn
yySST
MtodosTipos
n
i
n
j
n
k
ijk
Tipos Mtodos
58,4
18
8,89
6
0,271,347,28
2222
2
1
2
nnn
y
nn
ySS
MtodosTipos
n
i Mtodos
iTipos
Tipos
91,4
18
8,89
9
6,492,40
222
2
1
2
nnn
y
nn
ySS
MtodosTipos
n
j Tipos
j
Mtodos
Mtodos
-
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Ejercicio 3.9 (Solucin)
95
24,0
91,458,418
8,89
3
5,152,189,155,119,158,12
2222222
2
1 1
2
.
MtodosTiposMtodosTipos
n
i
n
j
ij
Interac SSSSnnn
y
n
ySS
Tipos Mtodos
99,0
91,458,424,072,10
MtodosTiposInterac SSSSSSSSTSSE
-
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Ejercicio 3.9 (Solucin)
96
Fuente de Variacin
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Media de Cuadrados
F0 Valor P
Tipo de Tapaporos 4,58 2 2,29 28,63 2,7 E-05
Mtodos de Aplicacin
4,91 1 4,91 61,38 5,0E-07
Interaccin 0,24 2 0,12 1,50 0,2621
Error 0,99 12 0,08
Total 10,72 17
-
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Anlisis de Varianza desde Minitab
97
En Minitab (Estadsticas -> ANOVA -> Dos factores (para detectar la interaccin no
debe estar pinchado ajustar modelo aditivo))
ANOVA de dos factores: Fuerza de Adhesi vs. Tipo Tapaporo.
Mtodo de Aplica
Fuente GL SC MC F P
Tipo Tapaporo 2 4,5811 2,29056 27,86 0,000
Mtodo de Aplicacin 1 4,9089 4,90889 59,70 0,000
Interaccin 2 0,2411 0,12056 1,47 0,269
Error 12 0,9867 0,08222
Total 17 10,7178
S = 0,2867 R-cuad. = 90,79% R-cuad.(ajustado) = 86,96%
El modelo nos indica que no hay efecto de interaccin
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015 98
Grficos de Interaccin
Grficos que nos ayudan a inferir si los factores interactan entre s o no.
Paralelos (ms o menos)
Paralelos (ms o menos)
(Curvas paralelas implican que no hay interaccin significativa)
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Grficos de Efectos Principales
99
Grficos que ayudan a inferir el efecto de cada factor en la respuesta.
-
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Adecuacin del Modelo
100
Los residuos se definen como: .ijijkijk
yye
Mtodo de Aplicacin
Tipo de Tapaporo Inmersin Rociado
1 -0.27, 0.23, 0.03 0.10, -0.40, 0.30
2 0.30, -0.40, 0.10 -0.27, 0.03, 0.23
3 -0.03, -0.13, 0.17 0.33, -0,17, -0.17
-
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Adecuacin del Modelo
101
Grfico de probabilidad normal de los residuos del ejemplo 3.9
-
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Adecuacin del Modelo
102
Grfico de los residuos versus tipo de tapaporos
-
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Adecuacin del Modelo
103
Grfico de los residuos versus mtodo de aplicacin
-
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Adecuacin del Modelo
104
Grfico de los residuos versus los valores estimados
-
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Experimentos Factoriales Generales
105
Modelo para el experimento de tres factores:
ijklijkjkikijkjiijY
... 2, 1,
... 2, 1,
... 2, 1,
... 2, 1,
nl
nk
nj
ni
C
B
AInteracciones de 2 factores
Interaccin de los 3 factores
-
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ANOVA
106
Fuente de
Variacin Grados de Libertad
Suma de
Cuadrados Cuadrado Medio F
Tratamiento A nA-1 SSA MSA = SSA / (nA-1) MSA / MSE
Tratamiento B nB-1 SSB MSB = SSB / (nB-1) MSB / MSE
Tratamiento C nC-1 SSC MSC = SSC / (nC-1) MSC / MSE
Interaccin AB (nA-1)(nB-1) SSAB MSAB = SSAB / [(nA-1)(nB-1)] MSAB / MSE
Interaccin AC (nA-1)(nC-1) SSAC MSAC = SSAC / [(nA-1)(nC-
1)] MSAC / MSE
Interaccin BC (nB-1)(nC-1) SSBC MSBC = SSBC / [(nB-1)(nC-
1)] MSBC / MSE
Interaccin ABC (nA-1)(nB-1)(nC-1) SSABC MSABC = SSABC / [(nA-1)(nB-
1) (nC-1)] MSABC / MSE
Error nAnBnC(n-1) SSE MSE = SSE / [nAnBnC(n-1)]
Total nAnBnCn-1 SST
-
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Ejercicio 3.10
107
(14-2 Montgomery, 4th ed.)
Un ingeniero mecnico estudia la rugosidad superficial de una
pieza producida en una operacin de corte de metal. El inters recae en tres factores: la rapidez con la que se hace el corte (), la profundidad de ste () y el ngulo de la herramienta (). A los tres factores se les asignan dos niveles, y se realizan dos
rplicas del diseo factorial. Los datos aparecen en la siguiente
tabla.
-
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Ejercicio 3.10
108
Profundidad de corte (B)
0,025 '' 0,040 ''
Rapidez de Corte (A)
ngulo de la herramienta (C)
ngulo de la herramienta (C)
15 25 15 25 yi
20''/min. 9 11 9 10
75 7 10 11 8
16 21 20 18
30''/min. 10 10 12 16
102 12 13 15 14
22 23 27 30
Totales BxC
y.jk. 38 44 47 48 177 y.
-
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Ejercicio 3.10
109
Modelo lineal general: Rugosidad Su vs. Rapidez de C. Profundidad . ...
Factor Tipo Niveles Valores
Rapidez de Corte (A) fijo 2 20. 30
Profundidad de Corte (B) fijo 2 0,025. 0,040
ngulo de la herramienta (C) fijo 2 15. 25
Anlisis de varianza para Rugosidad Superficial, utilizando SC ajustada para
pruebas
Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F P
Rapidez de Corte (A) 1 45,562 45,562 45,562 18,69 0,003
Profundidad de Corte (B) 1 10,563 10,563 10,563 4,33 0,071
ngulo de la herramienta (C) 1 3,063 3,063 3,063 1,26 0,295
Rapidez de Corte (A)* 1 7,563 7,563 7,563 3,10 0,116
Profundidad de Corte (B)
Rapidez de Corte (A)* 1 0,063 0,063 0,063 0,03 0,877
ngulo de la herramienta (C)
Profundidad de Corte (B)* 1 1,563 1,563 1,563 0,64 0,446
ngulo de la herramienta (C)
Rapidez de Corte (A)* 1 5,062 5,062 5,062 2,08 0,188
Profundidad de Corte (B)*
ngulo de la herramienta (C)
Error 8 19,500 19,500 2,438
Total 15 92,938
S = 1,56125 R-cuad. = 79,02% R-cuad.(ajustado) = 60,66%
-
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Diseos Factoriales 2k
110
Si un experimentador desea estudiar al mismo tiempo el efecto de k
factores diferentes en una variable de respuesta y los factores tienen I1,
I2, . . . , Ik niveles, respectivamente, entonces un experimento completo
requiere por lo menos I1, I2, . . . , Ik observaciones. En tales situaciones, el
experimentador a menudo puede realizar un experimento de filtracin con cada factor a solo dos niveles para obtener informacin preliminar sobre los efectos del factor. Un experimento en el cual existen
k factores, cada uno a dos niveles, se conoce como experimento 2k
factorial. El anlisis de los datos de tal experimento es
computacionalmente ms simple que para experimentos factoriales
ms generales. Adems, un experimento 2k proporciona un entorno
ms simple para introducir los importantes conceptos de confusin y
rplicas fraccionarias. (J.L. Devore)
-
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Diseos Factoriales 2k
111
Diseo 22
-
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Diseos Factoriales 2k
112
Diseo 22
El efecto principal del factor A es estimado por:
El efecto principal del factor B es estimado por:
-
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Diseos Factoriales 2k
113
Diseo 22
El efecto interaccin AB es estimado por:
-
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Diseos Factoriales 2k
114
Las cantidades entre corchetes, se llaman contrastes.
Por ejemplo, el contraste de A es:
ContrasteA = a + ab b (1)
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Diseos Factoriales 2k
115
Estos contrastes se utilizan para estimar el tamao de los efectos
(principales e interaccionales).
Tambin se utilizan para calcular las sumas de cuadrados:
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Ejercicio 3.11
116
Un artculo publicado en el AT&T Technical Journal, describe la
aplicacin de diseos factoriales de dos factores a la fabricacin de circuitos integrados. Un paso bsico de procesamiento en
esta industria es el crecimiento de una capa epitaxial sobre
pastillas de silicio pulidas. Las pastillas se montan en un dispositivo
sensible y se introducen en una campana de percusin. Despus
se introducen vapores qumicos a travs de boquillas ubicadas
cerca de la parte superior de la campana. Se gira el dispositivo
sensible y se aplica calor. Estas condiciones se mantienen hasta
que la capa epitaxial tiene un espesor suficiente.
-
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Ejercicio 3.11
117
La tabla anterior presenta los resultados de un diseo factorial 22 con = 4 rplicas utilizando como factores A: tiempo de descomposicin y B: rapidez de flujo de arsnico. Los dos niveles de tiempo de descomposicin son: = , + = . Los niveles de rapidez de arsnico son = 55% y + = 59%. La variable de respuesta es el espesor de la capa epitaxial (m). Las estimaciones son las siguientes:
-
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Ejercicio 3.11
118
-
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Ejercicio 3.11
119
-
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Anlisis Residual
120
Grfico de
probabilidad normal
de los residuos para
el experiemento del
proceso epitaxial.
-
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Anlisis Residual
121
Grfico de los
residuos v/s el
tiempo de
descomposicin
-
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Anlisis Residual
122
Grfico de los
residuos v/s la
rapidez de flujo
de arsnico
-
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Anlisis Residual
123
Desviacin estndar del espesor de la capa epitaxial en las cuatro corridas del diseo 22.
-
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Diseos Factoriales 2k
124
Diseo 23
-
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Diseos Factoriales 2k
125
Diseo 23
Figure Geometric presentation of contrasts corresponding to the main effects and interaction in the 23 design. (a) Main effects. (b) Two-factor interactions. (c) Three-factor interaction.
-
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Diseos Factoriales 2k
126
Estimacin de efectos principales de A, B y C por:
-
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Diseos Factoriales 2k
127
Interacciones de dos factores:
Interacciones de los tres factores:
-
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Diseos Factoriales 2k
128
-
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Diseos Factoriales 2k
129
1. Aparte de la columna de la identidad (I), cada columna tiene la
misma cantidad de - y de +
2. La suma-producto de cualquier pareja de columnas es cero; es
decir que las columnas son ortogonales
3. La multiplicacin de cualquier columna por I no cambia la columna;
es decir que I es un elemento de identidad
4. El producto de cualquier pareja de columnas da una columna que
est en la tabla,
por ejemplo: A B = AB AB ABC = A2B2C = C
Propiedades de la tabla anterior:
-
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Diseos Factoriales 2k
130
Clculo de los contrastes:
Efecto Contraste
n2k1
SS Contraste
2
n2k
-
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Ejercicio 3.12
131
Considrese el experimento de rugosidad superficial descrito en el ejemplo 3.10 (14-2 Mont.). Este es un diseo 23 en los factores velocidad de corte (), profundidad de corte () y ngulo de la herramienta (), con = 2 rplicas. La tabla presenta los datos observados de rugosidad superficial.
-
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Ejercicio 3.12
132
Solucin:
Para A se calcula:
Se hace igual para los otros factores (columnas).
Minitab entrega los siguientes resultados:
-
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Ejercicio 3.12
133
Eliminar interacciones del
modelo
-
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Anlisis Residual
134
Grfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rugosidad superficial.
-
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Rplica nica del diseo para k grande
135
Segn aumenta k, el nmero de observaciones que deben realizarse
aumenta, haciendo difcil poder realizar rplicas del diseo.
Adems, la falta de rplicas hara que el nmero de grados de libertad
disminuyera.
Una solucin es considerar solo algunas interacciones.
-
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Ejemplo 3.13
136
(14-5 Montgomery, 4th ed.)
Un artculo publicado en Solid State Technology describe la
aplicacin de los diseos factoriales en el desarrollo de un proceso
de grabado nitroso sobre una sola oblea de plasma de grabado.
El proceso utiliza C2F6 como gas reactivo. Es posible modificar la
rapidez de flujo de gas, la potencia aplicada al ctodo, la presin
en la cmara de reaccin y el espaciamiento entre el nodo y el
ctodo (hueco). Lo usual en este proceso es que el inters recaiga
en varias variables de respuesta, pero en este ejemplo slo se
considera la rapidez de grabado del nitruro de silicio.
-
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Ejemplo 3.13
137
Para investigar el proceso se hace uso de una sola rplica de un
diseo 24. Puesto que es poco probable que las interacciones
entre tres y cuatro factores sean significativas, el plan tentativo es combinarlas como una estimacin del error. Los niveles de los
factores utilizados en el diseo son los siguientes:
-
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Ejemplo 3.13
138
La siguiente tabla presenta los datos provenientes de 16 corridas
del diseo 24. Los signos de las columnas de esta tabla pueden
emplearse para estimar los efectos de los factores. Por ejemplo, la estimacin del efecto del factor A es:
-
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Ejemplo 3.13
139
-
Estadstica Aplicada II - Ing. Civil Industrial - 2015
Ejemplo 3.13
140
-
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Ejemplo 3.13
141
Solucin: Verificar (usando Minitab por ejemplo) que el conjunto completo de
estimaciones de efectos es:
-
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Ejemplo 3.13
142
-
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Grfico de probabilidad normal de efectos
143
Grfico de probabilidad Normal de los efectos del experimento de rapidez de grabado.
-
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Grfico de interaccin AD
144
-
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Anlisis residual
145
Grfico de probabilidad normal de los residuos del experimento de rapidez de grabado.
-
I N G E N I E R A
C I V I L I N D U S T R I A L
Estadstica Aplicada II Dayana Jaque S.