3 Solucion de Ecuaciones

por José Luis Gómez Muñoz

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Reemplazos y evaluaciones en Mathematica

El siguiente comando le indica a Mathematica que debe reemplazar b con foo en la lista {a,b,c,d}. Para escribir la flecha puedes usar la paleta (barra de herramientas) BasicMathInput, o puedes oprimir las teclas [ESC]->[ESC] (es decir, "Escape", "Menos", "Mayor Que","Escape"). La diagonal y el punto /. deben estar pegados, sin espacio entre ellos:

Pueden hacerse varios reemplazos al mismo tiempo:

Se puede reemplazar en cualquier expresión, aunque no sea una lista:

Se pueden llevar a cabo diferentes posibles reemplazos en una misma expresión:

Algunos reemplazos pueden provocar que en la expresión se realicen cálculos:

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01/03/2013http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/data/mathematica/15ecuaciones/15ecuaciones....

Los comandos que resuelven ecuaciones en Mathematica regresan los resultados en forma de listas de reglas de reemplazo. Por ejemplo, a continuación se usa el comando NSolve para obtener las dos soluciones de la ecuación . Observa que la ecuación debe escribirse con

dos signos igual ==, porque un sólo signo igual es una asignación (es decir, con un sólo signo igual Mathematica intentaría guardar el valor 4 en la expresión , en lugar de averiguar para que valores de x el lado izquierdo es igual al derecho):

La ventaja de esta sintaxis es que permite utilizar inmediatamente los resultados de resolver ecuaciones. Por ejemplo, a continuación se obtiene el resultado de elevar al cubo las dos soluciones de la ecuación :

Solución de un problema de Álgebra

Podemos aprovechar la sintaxis descrita más arriba para resolver en Mathematica el siguiente problema de Álgebra:Para rodear una sola vez un terreno cuadrado se requieren 250 metros de alambre de puas, ¿Cuál es su área en metros cuadrados?Como el terreno es cuadrado, sus cuatro lados son iguales, es decir, cuatro veces la longitud de un lado debe ser igual a los 250 metros de alambre de puas:

A su vez, el área del terreno se obtiene al elevar al cuadrado la longitud de un lado. Así, el área del terreno en metros cuadrados es:



3906.25 metros cuadrados es la respuesta al problema.

Solución de un problema de Cálculo Diferencial

Podemos aprovechar la sintaxis descrita más arriba para resolver en Mathematica el siguienteproblema de Cálculo Diferencial:"En una pequeña huerta de manzanas se estima que, si se siembran 24 árboles, laproducción será de 600 manzanas por árbol; como los árboles necesitan espacio para

crecer y desarrollarse, cada árbol extra plantado en la misma huerta provocará que la producción disminuya en 4 manzanas por árbol , ¿Cuál es la máxima producción TOTAL de manzanas que se puede obtener en estas condiciones?"Como la producción por árbol disminuye en 4 manzanas por cada árbol extra que se plante, y dado que la producción de 24 árboles es de 600 manzanas, la producción por árbol viene dada por:

Podemos revisar que tenemos la fórmula correcta para la producción por árbol evaluándola en diferentes cantidades de árboles. Los resultado de las siguientes tres evaluaciones confirman que tenemos la fórmula correcta:

La producción total de la huerta se obtiene al multiplicar la cantidad de árboles por la producción por árbol:



En el máximo de producción total, la razón de cambio (derivada) de la producción total con respecto al número de árboles será cero. Primero calculamos esa razón de cambio (derivada) con el comando D[...] de Mathematica :

Y a continuación averiguamos bajo que condiciones esa razón de cambio (derivada) es cero. IMPORTANTE: La ecuación debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

Una cantidad de 87 árboles provoca que la razón de cambio sea cero. Sin embargo, una razón de cambio (derivada) es cero tanto en un máximo como en un mínimo. Para estar seguros que tenemos un máximo, la segunda derivada evaluada en esa cantidad cantidad de árboles debe ser negativa. A continuación verificamos que esa segunda derivada, ya evaluada, sea negativa. IMPORTANTE: La ecuación debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

Como la segunda derivada evaluada fue un número negativo, entonces si hemos encontrado un máximo (y no un mínimo) de la producción total. A continuación evaluamos para obtener esa producción total máxima. IMPORTANTE: La ecuación debe tener dos signos de igual juntos ==, si utilizas un sólo signo de igual entonces meterás el valor cero en derivadaProdTot, borrando la expresión que tenía antes:

La producción total máxima de la huerta es de 30276 manzanas, y se obtiene con 87 árboles.



Primer ejercicio (Problema de Álgebra)

Usa Mathematica para resolver el siguiente problema:Una caja de cartón con forma de cubo debe tener un volumen de 12000 centímetros cúbicos, ¿Cuantos centímetros cuadrados de cartón se requieren en total para las seis

caras de la caja?NOTA: Algunas de las soluciones obtenidas por Mathematica serán en números complejos, en este problema sólo nos interesan las soluciones en números reales.RESPUESTA: Cada arista del cubo debe medir 22.89 centímetros, lo que da 3144.89 centímetros cuadrados de cartón para las seis caras de la caja.

Segundo ejercicio (Próblema de Cálculo Diferencial)

Un campo petrolero en Chiapas, México, tiene ocho pozos. Cada pozo produce 16000 barriles de crudo al día. Por cada pozo nuevo que se tiene, la producción media de cada

uno disminuye en 100 barriles diarios, ¿Cuántos pozos adicionales se deben construir para obtener la mayor producción diaría? ¿De cuántos barriles es esa producción máxima para todo el campo petrolero?

RESPUESTA: Con 76 pozos adicionales se tendrá un total de 84 pozos, lo cuál da la producción máxima de 705600 barriles diarios en todo el campo petrolero.

Autor: José Luis Gómez Muñoz

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