301 Mate1 U3 Base Ejercicios

7/30/2019 301 Mate1 U3 Base Ejercicios

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Instituto Universitario AeronuticoFacultad de Ciencias de la Administracin

INGENIERA DE SISTEMASMatemtica I

Actividades complementarias del tema determinantes

Verdadero o falso?

1. Si det A coincide con det B , entoncesA coincide conB.2. det 2A , det( ) 32AdjA , luego A es una matriz 6 6 .3. El determinante de la opuesta deA es el opuesto del determinante deA.4. Si el determinante deA matriz de coeficientes- es nulo, entonces el SEL asociado aA es consistente

con solucin nula.

5. La frmula AdjAAdet

1puede aplicarse siempre dado cualquier sistema de ecuaciones lineales

para calcular la inversa de una matriz.

6. La adjunta de

43

21es

43

21.

7. Existe una sola manera de calcular el determinante de una matriz cuadrada.8. La Regla de Cramer da la solucin cualquiera sea el SEL planteado.9. Un SEL de tres ecuaciones en cuatro incgnitas puede tener solucin nica.10. SiA es 3x3, con detA=4 entonces det(4A) vale 4detA .11. Si no puedo aplicar Cramer para resolver un SEL significa que dicho SEL NO tiene solucin.12.

Si el det(A) vale 2 y el det(Adj. A) vale 16, calcule el determinante de la matriz Inversa de A es 8.13. La Regla de Cramer no cuenta con restricciones en su aplicacin.

14. Si existe el determinante de una matriz entonces existe la inversa de la matriz.15. Un SEL homogneo con determinante de la matriz de coeficientes nulo admite infinitas soluciones.16. Si detA vale 1/2 y detCvale 4, todas las matrices son cuadradas de 4 filas y 221 3 CIBA t

, luego el detB vale 16/6.

Fundamente en forma breve su respuesta

17. Si det A coincide con det adjA qu valores reales admite el determinante siA es n n conn impar?

18. Si det A coincide con det adjA qu valores reales admite el determinante siA es n n conn par?

19. det 2A ; A matriz de coeficientes de un SEL cuya matriz aumentada escalonada en losrenglones reducida tiene tres unos principales. Luego, el SEL asociado: Cuntas ecuaciones loforman? Cuntas variables? Cuntas soluciones tiene?

20. Porqu si AB BA el det AB coincide con el det BA ?21. Si 4 0A por qu A no es invertible?22. Si 4A I , det A toma dos posibles valores reales cules son?23. Una matrizA no nula se dice nilpotente si existe un natural ktal que 0kA . Tal kms pequeo se

conoce como ndice de nilpotencia. Cunto vale el determinante de toda matriz nilpotente?


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24. 4 4A y 10A cul es el valor del determinante de la matriz que se obtiene a partir de Amultiplicando la primera columna por 3 y la segunda columna por (-1)?

25. 5 5A y 10A cul es el valor del determinante de la matriz que se obtiene a partir de Amultiplicando cada entrada por 3?

26.

det 8A

cunto vale det( )A

?27. Qu relacin existe entre el determinante de una matriz y el determinante de su adjunta?28. Supongamos 0AB conA yB no nulas, entonces det 0 detA B ? Esto es A yB tiene

simultneamente determinante nulo?

29. Si TAA I cunto vale el determinante deA?30. Si nA A cunto vale det A ?

Resolver, calcular, determinar, explicar.

1

Mi marido quera distribuir arandelas groved, arandelas comunes y tuercas en tres cajones y en distintasceldas haciendo un total de 1320 unidades en el primer cajn, 1060 en el segundo y 624 en el tercero.Debido al tamao de las celdas, cada tipo de celda no poda contener ms de:* en el primer cajn: 60 arandelas groved, 60 arandelas comunes, 30 tuercas* en el segundo cajn: 50 arandelas groved, 50 arandelas comunes, 20 tuercas* en el tercer cajn: 40 arandelas groved, 20 arandelas comunes, 18 tuercasLos cajones tienen 5cm de ancho, 30 cm de largo y diferentes profundidades. Contamos con tablasbarnizadas de 15 cm para construir las celdas pero no queremos cortarlas (porque son un recuerdo delabuelo!!). Adems -mi marido- quiere celdas verdes para las arandelas groved, azules para arandelascomunes y rojas para tuercas.

Sabe cuntos tabiques contru con esas tablas? Sabe cuntas arandelas y tuercas compr mi marido?Use determinantes para demostrar que la cajonera se construy con 25 tabiques, 900 arandelas groved,

1560 arandelas comunes, 544 tuercas.Despus: mi marido se entusiasm y quiso colocar 625 unidades en el tercer cajn. Pero, no result sabeporqu? (esta vez tuve que trabajar con dos dgitos con significado). Le cuento que intent hacer lascuentas con todos los mtodos previstos en Matemtica I: Gauss, Gauss-Jordan, Inversa, Cramer.2

(El siguiente problema fue propuesto en la materia Economa) Tomando como informacin la siguientetabla de oferta y demanda de un bien cuyo mercado tiene las caractersticas de la competencia perfecta: determine la recta de la oferta y la recta de la demanda, esto es, sus respectivas ecuaciones. determine elprecio y la cantidad de equilibrio.

precio $ cantidad demandada cantidad ofrecida

1 60 142 48 243 36 344 24 44

12 546 0 64

AYUDAS:Recta={(x,y) en el plano, tal que, ax+by+c=0 para cierto a, b, c especficos de la recta }. Resuelva los SEL usando mtodo de la Adjunta. Resuelva los SEL usando mtodo de Cramer3

Un contador olvid el diskete donde se presentan las ganancias mensuales de la empresa durante el aopasado. Sin embargo, tiene a mano la informacin que muestra las unidades vendidas y las ganancias de

febrero (1000 u., $8500), junio (2070 u., $12400) y setiembre (1050 u.,$8750). Suponiendo que la grficaes parablica, qu curva de ganancias debe construir para conocer las ganancias mensuales?


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AYUDA:

Parbola = 2( , ) / para ciertos valores fijos de a, b, cx y y ax bx c 4

Un agricultor determin las coordenadas de los vrtices de su

campo triangular usando como ejes a dos callesperpendiculares y vecinas y la medida de sus pasos(aproximadamente 1 metro). Los resultados que obtuvo losgrafic como se muestra a continuacin:a) A fin de comprar semillas de oleaginosas desea determinarla superficie a sembrar.b) Calcule la ecuacin de cada recta que contiene a cada unode los lados del campo.5

Con la ayuda de la nueva tecnologa Pinturas Alba ofrece gran variedad de colores en el mercado. Elcolor A requiere el 5% de blanco, el 75% de verde y el 20% de azul; el color B requiere el doble que A deblanco, el 60% de verde y el 30% de azul; por ltimo el color C requiere el 20% de blanco, el 50% deverde y el 30% de azul.Utilizando estos nuevos colores, los tcnicos de Alba desean saber cuntos litros deben tomarse de cadauno a fin de obtener 30 litros de una nueva combinacin que requiere 10% de azul, 40% de blanco y elresto de verde.Con cierta urgencia slo se necesita saber los litros de A que se requieren a fin de importarlos desdeEuropa: calclelos.6

Un granjero le da a su ganado una mezcla de dos tipos de alimento. Una unidad estndar del alimento Ale proporciona a un novillo el 10% de su requerimiento mnimo diario de protena y el 15% de surequerimiento de carbohidratos. El alimento B contiene el 12% del requerimiento de protena y el 8% decarbohidratos en una unidad estndar. El granjero desea que su ganado tenga el 100% de su requerimientomnimo diario de protenas y carbohidratos, Responda si el problema tiene solucin nica o no, JUSTIFIQUE. Resuelva el problema utilizando la frmula X A B det A adj A 1 1, ( ) ( )A-1 que relaciona

solucin, determinante y matriz adjunta. Usando la Regla de Cramer determine cuntas unidades del alimento A deber proporcionar a cada

novillo por da? Calcule el determinante de A por un mtodo y ratifique su validez por otro. Explique bajo que condiciones -o restricciones- puede aplicarse el Mtodo de Cramer o el de la

Inversa para calcular la solucin de un SEL.7

Det (A)=0 significa que el SEL asociado aAX=B : tiene infinitas soluciones? no tiene solucin? otra,cul?8

Sea A cualquier matriz 3x3, con det(A)=2. Calcule: 3 1det( );det( );det(5 );det( );det(5 )t tA A A A A .9

(Planeacin nutricional)En cada uno de tres alimentos, la unidad de peso, tiene -en gramos- los nutrientes que se muestran en latabla. Cuntas unidades de peso de cada uno se debe ingerir para obtener exactamente 11 gramos degrasa, 6 de carbohidratos y 10 gramos de protenas?

alimento grasas carbohidr protenas

A 1 1 2

B 2 1 1

C 2 1 2

A fin de resolverlo seguir paso a paso la tcnica de resolucin de problemas y utilizar la frmula deCramer.

-5,34,3

-5,-2


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A fin de calcular los determinantes usar distintas tcnicas: regla mnemotcnica, desarrollo por laprimera fila, desarrollo por la segunda columna, . . . Esto es, no calcular dos determinantes usandola misma tcnica.

10

Explicite bajo qu condiciones puede aplicarse la Regla de Cramer para la hallar la solucin de unsistema de ecuaciones lineales.

La Regla de Cramer da la solucin de un sistema de ecuaciones lineales homogneo? Bajo qu condiciones de la matriz de coeficientes, se aplica la Regla de Cramer? Esto es, la Regla

de Cramer puede aplicarse para hallar la solucin de cualquier sistema de ecuaciones lineales de laformaAX=B?

11

Calcule aplicando la Regla de Cramer la solucin de

2 3 1

2

x y z

x z

;

1

2 2 3 2

0

x y z

x y z

y z

;2 3 4 2

2

x y z

x y z

;

2 3 4 2

2

2 2 2 4

x y z

x y z

x y z

.

12

Sea A cuadrada y si el det(A) vale 2. Halle el

3 1

det( ),det( ),det( ),det( )T

A A A A

13 Calcule el determinante de las siguientes matrices, aplicando propiedades de los determinantes.A =

000

814

031

B =

200

810

031

Calcule el determinante de la traspuesta de la siguiente matriz, aplicando propiedades.

A =

312

241

121

C =

0121 3501

3120

2031

Calcule el determinante de las siguientes matrices aplicando Eliminacin Gaussiana.

C =

0121

3501

3120

2031

D =

0021

4510

5123

1034

14

Calcule el rea del tringulo cuyos vrtices estn ubicados en el plano, y valen: (0, 4) (-1, -2) (3, 3). Calcular el rea del tringulo cuyos vrtices estn ubicados en el plano, segn la siguiente grfica.

Asigne valores a los vrtices.

15

Obtener la ecuacin de la recta que pasa por los siguiente puntos: (7, 3) y (1, 2). Obtener la ecuacin de la recta que pasa por los siguiente puntos: (-2, -1) y (-5, -3).16


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Dada la siguiente matriz A =

151

013

102

,

Calcule los cofactores A11 y A32

Calcule el determinante mediante en desarrollo de la primera fila.17

Dada la siguiente matriz D =

122

104

213

, calcule el determinante mediante en desarrollo de la

segunda columna.

Dada la siguiente matriz A =

1122

1011

0101

1012

, calcule el determinante mediante en desarrollo de la

segunda fila.18

Dados los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, resuelva mediante Regla de Cramer.

a)

3245

2

12

zyx

zyx

zyx

; b)

032

1

032

zyx

zyx

zyx

19

Una fbrica de muebles de calidad tiene dos divisiones: un taller de mquinas donde se fabrican laspartes de los muebles y una divisin de ensamblado y terminado donde las partes se unen para formar elproducto final. En el taller de mquinas hay 12 empleados y en la seccin de ensamblado y terminado hay20 y supngase, que cada empleado trabaja 8 horas por da. Supngase adems, que slo se producen dosartculos: mesas y sillas. Una silla requiere 384/17 horas de tiempo del taller de mquinas y 480/17 horasde tiempo de ensamblado y terminado. Una mesa requiere 240/17 horas de tiempo del taller de mquinasy 640/17 horas de tiempo de ensamblado y terminado.Suponiendo que la demanda de estos productos fuera ilimitada y que el fabricante desea mantenerocupados a sus empleados, cuntas sillas y cuntas mesas deben producirse al da?

a) Plantee con claridad las incgnitas y el SEL.b) Exprese el SEL en forma matricial.c) Calcule el nmero de sillas aplicando la Regla de Cramer.d) Ratifique el valor hallado anteriormente aplicando la frmula 1

detAAdjA B. (dadoAX=B la expresin

de SEL). Qu fila o columna deAdjA debera usar para obtener el resultado pedido?20

Sea

ihg

fed

cba

A . Se sabe que 4)det( A y sea

fiehdg

cba

fed

D

5.05.05.0

333 .

Identifique cada una de las operaciones que permitieron pasar deA aD. Aplicando las propiedades de losdeterminantes calcule )det(D .

21


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Dada la matriz

1 0 2

2 1 3

0 2 1

A

a) Calcule det(A).b)

Aplicando slo las propiedades de los determinantes, calcule

2 1 1det(4 ) det2

tA A A I A

.

c) Ratifique el resultado del apartado anterior calculando las matrices y sus determinantes.d) Usando la frmula

1 1 ( )

detA Adj A

A

complete la matriz 17 4 2

1 1

4 2

A

y

verifique que, efectivamente, es la inversa. Por qu puede aplicarse esa frmula para calcular lainversa? Cules son las restricciones para que exista el determinante de una matriz dada? Culesson las restricciones para que exista la adjunta de una matriz dada?. (En otras palabras: bajo qu

condiciones existe el determinante de una matriz o su adjunta).e) Usando la informacin que ya tiene (obtenida en los incisos anteriores) resuelva el SEL matricial1

1

3

AX

aplicando el mtodo que involucra la inversa.

22

El detA vale -3,A es 5x5, calcule el determinante de la matriz opuesta de A y calcule el determinantede la matriz cubo de la inversa de A.

det 2A , A matriz 3 3 , B se obtiene de A realizando dos intercambios de columnas y unintercambio de fila. Calcule:

3

det det detT

A A AB

.23

Toda matriz tiene inversa? Fundamente. Si un SEL tiene asociada una matriz de coeficientes con determinante igual a 1 Qu relacin existe

entre la matriz inversa de A y la adjunta de A? Qu relacin existe entre det( )A y det( )AdjA ?Fundamente.

24

Para una cierta matriz A 4x4 su determinante vale -3, A es 4x4, calcule 31det det 3A I .

(Atencin: estamos evaluando el uso de las propiedades de los determinantes.)25

Las coordenadas de los vrtices de un tringulo son 2,2P , 5,7Q , 3, 3R . Calcule elrea usando a frmula de determinante.26

En base a la relacin que conoce entre solucin de un SEL y el valor del determinante de la matriz de

coeficientes, 2

2 3

x z y

x z

x ky kz

a) determine el valor de ka fin de que el sistema tenga infinitas soluciones.b) indique la solucin del SEL si la letra vale 3.

27


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Sea

ihg

fed

cba

A . Se sabe que det( ) 4A . Identifique cada una de las operaciones que permitieron

pasar deA aD. Aplicando las propiedades de los determinantes calcule )det(D .

d e fD a b c

g h i

; 2 2 2a b c

D d e f

g h i

;d e f

D a b c

g h i

; 3 23 2

3 2

a b cD d e f

g h i

;

a g b h c i

D d e f

g h i

; 2 3 2 3 2 3

a b c

D d g e h f i

g h i

;

a b c

D d e f

g h i

28

Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz A de coeficientes nopueda resolverse usando Cramer.Determine el valor de k para la cual el SEL asociado a la correspondiente matriz A de coeficientes pueda

resolverse usando la frmula 1X A B .

3

0 1 1

8 1

k k

A k

k k

; 20

2

0

k k

A k k

k k

29

(Ajuste de curvas) De la Nivelacin matemtica sabemos que la ecuacin general de una parbola de eje

vertical viene dada por la expresin 2 0Ax Bx Cy D . Tambin sabemos que conociendoexplcitamente los valores reales, A, B, C, D conocemos y podemos dibujar la parbola.De la Nivelacin matemtica tambin sabemos que la ecuacin general de una parbola de eje vertical

viene dada por la expresin

2

y ax bx c

o forma estandar. Tambin sabemos que conociendoexplcitamente los valores reales, a ,b, c conocemos y podemos dibujar la parbola.

Una parbola pasa por los puntos ( 1,10), 0, 5 , 3, 2 . Determine a ecuacin de la parbola, esto esdetermine los coeficientes a ,b, c de la ecuacin estandar. Y luego: determine la ecuacin de la parbola,esto es determine los coeficientes A, B, C, D de la ecuacin general.

Muestre que determinar la ecuacin de una parbola que pasa por los puntos

1 1 2 2 3 3, , , , ,x y x y x y equivale a resolver el SELH en la variables a ,b, c con determinante nonulo por qu? O bien a resolver el resolver el SELH en la variables A, B, C, D con determinante nulopor qu?

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