LEYES DERIVADA

REGLAS DE DERIVACIÓN

La diferenciación de una función por medio de la definición vista anteriormente puede ser un proceso tedioso. Veremos algunas reglas para derivar, y evitar el uso del límite de la función dada. Se supone en las siguientes reglas que se tiene y como función de x.

1. Derivada de una constante c.

Si:

Esta regla dice que la derivada de una constante es igual a cero.

Ejemplo1.

Ejemplo2:

2. Derivada de xn.

Si n es cualquier número real, entonces

d (xn) = n*xn-1

→ clave: “bajar” el exponente a multiplicar la base, y luego restar uno (1) al exponente.

Si hay radicales, se deben expresar como exponente fraccionario.

Ejemplo1.

Ejemplo2

Ejemplo 3

LEYES DERIVADA

Ejemplo 4

Ejemplo5

3. Derivada de una suma de funciones

Sea . Entonces,

Esta regla dice que la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de cada función.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Para este caso, hallamos la primera derivada; luego, derivamos la primera derivada (se obtiene entonces, la segunda derivada). Por último, derivamos la segunda derivada, es decir, se obtiene la tercera derivada.

Ejemplo3:

LEYES DERIVADA

4. Derivada de un producto de dos funciones g*h

Sea y = g(x) * h(x). Entonces:

d(f * g) = g * h´ + h * g´

Que puede asociarse mnemotécnicamente con la siguiente expresión:

“La derivada de dos funciones f y g es igual a la primera función por la derivada de la segunda función, más la segunda por la derivada de la primera”

Ejemplo 1.

Sea y = (3x4 – 5x)(4x-3 + 6x2 -3x +5). Hallar y´.

Ejemplo 2Si , donde , encuentre

5. Derivada de un cociente de dos funciones, g / h

y = (3x4 – 5x)(4x-3 + 6x2 -3x +5)

primera segunda

y´ = (3x4 – 5x)(-12x-4 + 12x -3) + (4x-3 + 6x2 -3x +5) (12x3 – 5)

primera segunda

derivada de derivada de lala segunda primera

LEYES DERIVADA

Que puede enunciarse así:

“La derivada del cociente de dos funciones g y y es igual al (denominador * la derivada del numerador – el numerador * la derivada del denominador) sobre (denominador al cuadrado)”

Ejemplo.

Sea . Hallar y´.

Nota. Esta es la aplicación de la regla del cociente. Se deja como ejercicio el reducir la expresión.

Ejemplo. No siempre es necesario utilizar la regla del cociente, como se ilustra en los siguientes ejemplos:

Solución:

denominador numerador

derivada derivadanumerador denominador

denominador al cuadradro

numerador

denominador

LEYES DERIVADA

NOTA:

Si:

Ejemplos:

6. Regla de la cadena

Sea y = f(x) = un, donde u es una función polinómica (para simplificar). Entonces:

y´ = nun-1.

Otra forma de escribir lo mismo es:

Esta regla dice que si tenemos una expresión elevada a cualquier exponente, para derivar, “bajamos” el exponente a multiplicar la base; derivamos la base (derivada interna), y restamos uno (1) al exponente.

Ejemplo 1 (comparativo):

Ejemplo 2:

y = x7 y = (3x5+ 16x)7

Derivemos ambos casos:

La base es un monomio: La base es un polinomio:bajo el exponente 7 bajo el exponente 7escribo la base (que es sólo x), escribo la base (que es un polinomio: 3x5+ 16x)y resto 1 al exponente resto 1 al exponente

y derivo la base (derivada interna)

y´ = 7x6 y = 7(3x5+ 16x)6 (16x4 + 16)

→ Clave. Siempre que se tenga un exponente, éste se baja, y luego se escribe la base con el exponente menos 1. Luego, se deriva la base si es un polinomio.

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Ejemplo 3:

Aca tenemos un producto de dos funciones, que a su vez son polinomios con exponentes (requiren regla de la cadena).

Esta es la aplición de la regla. Se deja al estudiante la reducción de la expresión

y´ = (2x+1)5 [4(x3-x+1)3(3x2-1)] + (x3-x+1)4 [5(2x+1)4(2)]

primera segunda

derivada de derivada de la segunda la primera (con derivada (con derivada

Interna) interna)

LEYES DERIVADA

A continuación, se resumen las fórmulas (reglas) vistas en esta sección. Se supone una función de x.