Universidad Tecnológica Metropoli tana Departamento de Matemática.

Ecuaciones Diferenciales - Guía No1 - II – 2005 Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

1. Escriba su respuesta como solución de una ecuación diferencial, es decir, la función y la ecuación diferencial de la cual es solución: (* ) a. Una función cuya 1ª derivada sea la misma función. b. Una función cuya derivada sea un múltiplo de la misma función. c. Una función cuya 2ª derivada sea igual a la función misma.

d. Una función cuya 2ª derivada sea la negativa de la función misma. 2. Suponga que la función biparamétrica y�x ���C1y1�x ���C2y2�x �es solución de una ecuación diferencial de segundo orden en un intervalo I . Si x =�0 esta en I , determine una solución particular de la familia, que satisfaga las condiciones y�0 ���2 y y U�0 ���0 .Indique las hipótesis requeridas. 3. Indique cómo se resuelven los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales y ejemplifique:

a. � b.

4. Encuentre una ecuación diferencial lineal de 2º orden F�x, y, yU, y’’ ) ��0 para la cual y ��C1x ��C2x

3 sea una familia

biparamétricas de soluciones. Asegúrese que en su ecuación no estén los parámetros arbitrarios C1 y C2 .

5. Verificar que la función indicada es solución de la Ecuación Diferencial dada:

6. Compruebe que la familia uniparamétrica de soluciones de y ��xyU�����1 ���yU 2

es y ��cx �� 1 ��c2 . Demuestre que x2 ��y2 ��1 define una solución singular de la ecuación diferencial en el intervalo

"1 ��x ��1

7. Determine, si el teorema de existencia y unicidad impli ca que el problema con valor inicial dado tiene una solución única. a) 6)0(,33 =−= yyx

dx

dy b) π==+ )2(,04 yt

dt

dxx

c) 0)1(, == yx

dx

dyy

dx

dy dx

2 d y 2

f ���� �x

��f ��  �x

��y

y

��

l. x

m. x

n.

o.

0 �������x

�������"�

12x

2 t ;

2

y

x

b. c.

d.

e f. g

h. i. j. k.

y

y

y

y

��y ��������

e ���6 5

��

0; y "�

a. 2y 2 6 5

U� dy dt dy dx 2

20y

y x

�� �����

24 y y

"� e "� t

,x

20

x

y (  � ; y y

xy

c (* ) ��U� � U�3 ��

�� 2

����2

�� y | |

��x 1

"��"�

y U�

2 2 ����

xydx

��2

2 c >0��������2

 ��� ��dy 0; yx y

X X

��x ����

2 y

 �y

dX dt

;

X 1 ; ln  �"� ��2 �� "�X 1 2

�����

senh  �x  �U�

��x

be

����

���0;

��cosh ��y; y ��

c | ��c 2 | 1 y  �2 �� ��ln x �� y

"�

"�x ;��0

t xy ��������

x 2

3

��t (* )

"�x 2 U���UU��UU��UU�

4 x x "�0; y ae y 12y

e e 1; y ������

ce

U�

dt ��

x x

xcos ��ln �� ��y 2

3 d

dx

��  � ����

y xy UU�2

3

U� , x 0 "�y 3

2

2y 0; y x

���y

2x dx

2 d 2 "�x dy dx

1 4x , x ��2

"� ��0; U�xy

2

"�

2 c y ,x

,x

��xln  + x c ������≥

�� t "�;

x U� U�

2

x 0

0 2 2 ��y  �����xy y

8. Verifique que y ���4 "�x2 e y ��"��4 "�x2 son soluciones de dy ��"�x en el intervalo "�2 ��x ��2. dx y

Explique porqué y = 4 "�x2 , "�2 ��x ��0 no es una solución de la ecuación diferencial en el intervalo �

������"��4 "�x2 , 0 t�x ��2

9. Encuentre el valor de m tal que y ��xm sea la solución de la ecuación diferencial: (* )

a. x2yUU�"�y ��0 b. x2yUU���6xyU���4y ��0

10. Verifique si y1 ��x2 e y2 ��x3 son, ambas, soluciones de 1 2

x2yUU�"�4xyU���6y ��0

¿Son también soluciones c1y1 , c2y2 ,con c1 ,c2 constantes arbitrarias? Justifique. ¿Es la suma y1 ��X2 solución?

11. Obtenga la ecuación diferencial de la familia de curvas dadas por:

a. y ��Ce"x

b. C�y��1 �2 ��x

c. y ��C1e3 x ��C2 e"4x

d. y ���C1sen�wt ����C 2 cos�wt , donde w es una constante que no debe eliminarse. e. y ��C1e kx ��C2 e"kx, donde k es una constante que no debe eliminarse.

f. y ��C1excos �x ���C2 e"x sen�x �

g. y ��C1 ��C2ex ��C3 xe x (* )

12. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de rectas que pasan por el origen. (* )

13. Determine la ecuación diferencial de la familia de circunferencias cuyos centros están en el eje OY.

14. Encuentre la ecuación diferencial de la familia de circunferencias que pasan por ��0, -3 �y �0, 3 �y cuyos centros están en el eje OX. 15. Determine la ecuación diferencial de la familia de tangentes a la parábola y2���2x.

Respuestas: 1) a) y = ex , y’ = y b) y = ecx , y’ = cy c) y = ex , y’ ’ = y d) y = sen x , y’’ = - y

2) y (x) = )0(')0()0()0('

)0('2

2121

2

yyyy

y

−− y1(x) +

)0(')0()0()0('

)0('2

2121

1

yyyy

y

− y2(x) Hip. Requerida: 0)0(')0()0()0(' 2121 ≠− yyyy

3) a) integrando una vez con respecto a x b) integrando dos veces con respecto a x

4) y’’ = 32 6

'3

3

'6x

xyy

x

y −− 7) a) Sí Impli ca b) Sí Impli ca c) No Impli ca

8) La función no es contínua en x = 0, luego no es diferenciable en x = 0.

9) a) m = 2

51± b) m = -1 o -4

10) Todas son soluciones de x2yUU�"�4xyU���6y ��0

11) a) y’ + y = 0 b) 2xy’ = y + 1 c) y’’ + y’ - 7y = 0 d) y’’ + w2y = 0

e) y’’ – k2y = 0 f) y’’ = 2y’ – 2y g) y’’’ = 2y’’ – y’

12) xy’ – y = 0 13) y’ – xy’’ + (y’) 3 = 0 14) y2 = x2 + 9 + 2xyy’ 15) 2yy’ = 2x(y’) 2 + 1

Ecuaciones Diferenciales MAT 630 - 2do Semestre 2005