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APÉNDICE: TÉCNICAS DE CONTEO

“La ciencia es la estética de la inteligencia” Gastón Bachelard

“La ESTADÍSTICA es la estética de la naturaleza” MOVE

Métodos de enumeración

Con la finalidad de especificar el total de resultados posibles de un espacio

muestral S de interés, especialmente en la construcción de funciones de

probabilidad de variable discreta, como la distribución binomial, expondremos

algunas técnicas de enumeración:

Principio de multiplicación

Si una operación se puede realizar a través de k fases sucesivas y cada fase

es realizable de in maneras, entonces la operación global es realizable de

kn...nnn ×××× 321 maneras.

Ejemplo 1. Considérense los distintos itinerarios entre Medellín, Cartagena y

San Andrés, utilizando como medios de transporte avión, barco, carro y tren;

¿de cuántas maneras se puede realizar el tour completo Medellín –

Cartagena – San Andrés según las rutas y medios que muestra el siguiente

diagrama?

2

El itinerario Medellín Cartagena se puede efectuar de tres maneras, el

itinerario Cartagena San Andrés se puede realizar de dos maneras y el tour

completo Medellín, Cartagena San Andrés de 632 =× maneras.

Principio de adición.

Si una operación global se puede realizar a través de k fases excluyentes y

cada fase se puede realizar de in maneras, entonces la operación global se

puede realizar de �=++++k

iik nn...nnn 321 maneras.

Observe que: La sumatoria � es un operador que goza de las siguientes propiedades:

a) 1

1

1ii xx =�

= b) ���

=====

n

1kk

n

1jj

n

1ii xxx , el

subíndice es una variable muda.

c)

( ) veces n constante, una de suma la sea o knkkkkkn

1i

==++++ �=

...

d) Propiedad asociativa generalizada

���+===

+=k2

1kii

k

1ii

k2

1ii xxx

e) Propiedad telescópica

( ) on

n

11ii aaaa −=−� −

f) Propiedad de operador lineal

( )� �� +=+n

1

n

1k

n

1kkk ybxaybxa a y b constantes.

Estas propiedades son importantes para la operación de variables aleatorias

discretas y valores esperados.

3

Ejemplo 2. Considérese el número de maneras para temperar en clima frío

en Pasto, Bogotá o Manizales, o en clima cálido en Barranquilla, Cartagena,

Tolú o Riohacha. ¿De cuántas maneras se puede temperar según el

diagrama siguiente?

Veamos:

Se puede temperar frío de 3 maneras y cálido de 4 maneras para un total de

743 =+ maneras.

Principio de permutación.

Definimos el número de permutaciones de n objetos como el total de

maneras como se pueden ordenar o agrupar los n objetos el cual equivale a

!nn...321 =×××× , definido como factorial de n. Observe que se

cumple la fórmula de recurrencia ( ) !1nn!n −= y por consistencia con ella

cuando n=1 se define 1! = 0! = 1.

Ejemplo 3. Se tiene un equipaje conformado de

Pantalones: P, Camisas: C, Interiores: I, y Zapatos: Z.

¿De cuantas maneras se puede colocar en un armario de 4 compartimentos?

4

C1 C2 C3 C4

PC Ι Z C Ι Z Ι Z Z

� � � �

4 × 3 × 2 × 1 = 4!

En el C1 podemos colocar una de las cuatro clases de equipaje, es decir, hay

4 maneras de ocupar C1, para C2 tendremos sólo 3 maneras, para C3 2

maneras, para C4 sólo 1 manera de ocuparlo, es decir, el total de maneras es

4×3×2×1 = 4! = 24

Con fundamento en los principios de adición, multiplicación y permutación se

definen los conteos de variación, combinación y partición.

Variaciones. Cuando se permutan solo nr ≤ tomados de los n elementos

entonces definimos,

( )!rn!n

Pnr −

=

como el número de variaciones de n objetos tomados de a r.

Ejemplo 4. En el caso de las cuatro prendas de equipaje considere que solo

se dispone de 3 compartimentos. ¿De cuantas maneras se pueden colocar

las cuatro prendas en los 3 compartimentos?

Calculamos ( ) 4==−

=3!4!

!rn!n

Pnr

Combinaciones. Cuando en las variaciones se prescinde del orden de los r

objetos se definen las combinaciones de n objetos tomados en grupos de

nr ≤ como

( )!rn!r!r

rn

−=��

�

����

�

5

Ejemplo 5. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar ternas, sin

restitución y sin considerar el orden entre 5 objetos diferentes?

Calculamos ( ) 102! 3!

5!!rn!r

!rrn

==−

=���

����

�

Observe que ���

����

�

−=��

�

����

�

rnn

rn

es decir que el número de subgrupos posibles de

r objetos o de n-r objetos en un conjunto de tamaño n es igual.

Y que en particular con r=1

n1n

1nn

=���

����

�=��

�

����

�

−

Particiones

El número de particiones distintas de n objetos en los cuales 1n son de una

clase, 2n de una segunda clase, ..., kn de una ésimak − clase, coincide con

el número de formas de hacer una partición de un conjunto de n objetos en k

celdas con 1n objetos en la primera celda, 2n elementos en la segunda

celda y así sucesivamente donde k21 n...nnn +++= y el orden en cada

celda y entre celdas no se considera; este número es:

!n...!n!n!n!n

1nrn

n,...,n,nn

k321ik21

=

�����

�

�

�����

�

�

=���

����

�

Ejemplo 6.

a) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas con restitución y

considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes?

Veamos, sean a, b, c y d los elementos, entonces:

6

dcba

S

ddcdbdaddcccbcacdbcbbbabdacabaaa

=

��

��

�

��

�

��

�

�

rnS# =

164S# 2 == parejas

b) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución,

considerando el orden, entre cuatro elementos diferentes?

Veamos:

dcba

S

cdbdaddcbcacdbcbabdacaba

=

��

��

�

��

�

��

�

−−

−−

�

12!2!4

!224

!rrn

S# ==���

����

�=��

�

����

�= parejas

c) De cuántas maneras se pueden seleccionar parejas, sin restitución, sin

considerar el orden, entre cuatro elementos diferentes

Veamos

dcba

S

cdbdadbcac

ab=

��

��

�

��

�

��

�

−−−−−−−−−−

�

( ) 6!2!2

!4!rn!n

!nrn

S# ==−

=��

���

�= parejas

Ejemplo 7.

a) De cuántas maneras se pueden seleccionar 5 parejas hombre mujer entre

80 chinos y 20 chinas?

7

Veamos:

20 chinas � las maneras de seleccionar 5 chinas son

combinaciones de 20 objetos tomados en

subgrupos de 5, o sea ���

����

�

520

80 chinos � las maneras de seleccionar 5 chinos son

combinaciones de 80 objetos tomados en

subgrupos de 5, o sea ���

����

�

580

Y las maneras de conformar 5 parejas ���

����

����

����

�=

580

520

según el principio de

la multiplicación.

b) Cuál es la probabilidad de que al seleccionar 10 personas salgan

exactamente 5 parejas?

El número de parejas hombre mujer posibles dividido por el número total

de subgrupos de 10. Esto es:

���

����

�

���

����

�•��

�

����

�

10100

580

520

Ejemplo

a) De cuántas maneras se puede seleccionar una muestra de tamaño n de

una población de tamaño Nn,N < ?

b) Si todas las muestras son equiprobables, cual es la probabilidad de

seleccionar una muestra en particular?

a) Se trata seleccionar subgrupos de n elementos de entre N objetos

posibles, es decir, el total de muestras posibles es

8

( ) Nn,!nN!n

!NnN

<−

=��

���

�

b) La probabilidad de una muestra es ( )

Nn,!N

!nN!nnN 1

<−=��

���

�−

.

Ejemplo 9.

Coeficientes binomiales, combinaciones y triángulo de PASCAL

Expansión del binomio ( )nba +

( ) 1..................ba o =+

( ) ba...................ba 1 +=+

( ) 2b22 ba2a...................ba ++=+

( ) 32233 bba3ba3a.....................ba +++=+

�

Los coeficientes de estos polinomios se pueden representar

en el denominado Triángulo de PASCAL

Observe que en cada

subtriángulo la suma de dos

números consecutivos en cada

fila es igual al número en el

centro en la fila siguiente.

�=

==+++=���

����

�3

ok

3281331k3

9

Observe que el desarrollo de ���

����

�

k3

que corresponde al concepto de

combinaciones, reproduce los coeficientes binomiales.

Ejercicio. Comprobar que los números de ternas tomados entre cuartetas,

en la siguiente representación, coinciden con los cálculos correspondientes,

según los principios de conteo.

Selecciones de ternas de letras entre (a, b, c, d)

10

De cuántas maneras se pueden seleccionar r objetos tomados entre n, con

restitución y considerando el orden?

De cuántas maneras se pueden seleccionar n objetos tomados entre n, sin

restitución y considerando el orden?

De cuantas maneras se pueden seleccionar r elementos tomados entre n, sin

restitución y sin considerar el orden?

PROBLEMAS SELECCIONADOS

1. ¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer usando 3 dígitos y 3

letras del abecedario? (Considérese los dígitos del 0 al 9 y 26 letras).

2. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar 5 parejas en 10 butacas

en las filas de un teatro, de manera que no quede ninguna pareja

separada?

3. ¿Cuántos números se pueden formar usando todos los siguientes dígitos:

2, 4, 5, 7, 9 .

a) ¿Si no se pueden repetir los dígitos?

b) ¿Cuántos de estos números son múltiplos de 5?

c) ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

d) ¿Cuántos de ellos son menores de 50.000?

e) ¿Cuántos de ellos son pares?

4. Seis personas fueron invitadas a un banquete a una mesa rectangular

con capacidad para seis. ¿De cuántas formas diferentes pueden

sentarse las seis personas si:

a) Todas aceptaron la invitación?

b) Dos de ellas no aceptaron la invitación?

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5. ¿Cuántos números de teléfono de 7 dígitos se pueden establecer si todos

los dígitos se pueden utilizar con repetición pero no pueden comenzar con

cero?

6. Seis personas que van en un tour llegan a un hotel donde hay 6 cuartos,

uno a continuación del otro a lo largo de un corredor, los cuales serán

asignados al azar a las 6 personas, dos de ellas son conocidas de

antemano.

¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las 6 personas en sus

respectivos cuartos si las dos conocidas solicitaron estar en cuartos

contiguos?

7. Considérese una caja con 4 bolitas numeradas del 1 al 4. ¿De cuántas

formas se pueden sacar 3 bolitas una por una, si:

a) no se reemplazan en la caja las sacadas previamente?

b) se reemplazan en la caja las sacadas previamente?

8. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar 6 llaves en un llavero

en forma de aro?

9. Se desean sentar 5 señores y 5 señoras alrededor de una mesa circular.

¿De cuántas formas pueden sentarse si no se pueden sentar dos damas

una al lado de la otra?

10. En un experimento psicológico de aprendizaje, una rata tiene la opción de

escoger una de cinco trayectorias. Si se escogen dos ratas para el

experimento, ¿cuántos eventos simples están asociados con este

experimento? ¿Cuántos elementos hay en el espacio muestral?

11. Una pizzería ofrece pizzas con cualquier combinación (incluyendo la que

sólo tiene queso y la que contiene todo) de los siguientes ingredientes:

pimiento, cebolla, champiñón, chorizo, anchoas y jamón. ¿Cuántas

12

pizzas diferentes se pueden ordenar si hay la posibilidad de escoger

pizzas con ninguno, uno o más ingredientes y hasta con todos ellos?

12. Una bolsa contiene 5 canicas blancas y 7 rojas. Si se desean sacar 5

canicas al azar, ¿de cuántas formas posibles pueden ser sacadas si:

a) las canicas pueden ser de cualquier color?

b) se quieren exactamente 3 blancas?

c) las 5 deben ser del mismo color?

13. En un laboratorio hay 4 diferentes trabajos que realizar en una tarde en

particular y hay 5 personas para hacerlos. ¿De cuántas formas pueden

ser asignadas las 5 personas para hacer los cuatro trabajos?

14. Una investigadora tiene 4 drogas que desea probar, pero sólo dispone de

animales suficientes para probar 3 de las drogas. ¿De cuántas formas

puede probar las cuatro drogas?

15. Se le suministran drogas a 8 animales de la siguiente forma: Tipo A a

tres de ellos, tipo B a otros tres y tipo C a los dos restantes. Luego se

coloca cada uno de los animales en una de las 8 diferentes cajas

adyacentes para su observación. Si los animales sólo se distinguen en

base al tipo de droga recibida, ¿de cuántas formas diferentes pueden ser

colocados?

16. En el binomio ( )13x21− encontrar:

a) el quinto término del desarrollo.

b) el décimo tercer término del desarrollo.

c) los dos términos centrales del desarrollo.

d) el término independiente.

17. Encontrar el coeficiente del término que contiene a:

13

a) 42 yx en el desarrollo de ( )6y3x2 + .

b) 5x en el desarrollo de ( )3xx −+ .

18. A partir del conjunto de letras de la palabra VIDA se escogen 2 letras una

por una. Enliste el espacio muestral, o sea, el conjunto de todas las

parejas posibles.

19. Si las letras ORMA se arreglan en línea al azar, cuál es la probabilidad de

que en el arreglo aparezca ROMA?

20. Una muestra de 6 individuos para cierta prueba es seleccionada de un

grupo de 20 fumadores y 10 no fumadores. ¿De cuántas maneras se

pueden seleccionar muestras que contengan 4 fumadores?

21. En un experimento de Modelos Animales, los hámsteres pueden

clasificarse de acuerdo con su sexo: hembra o macho; de acuerdo con

su edad: juvenil o adulto, y de acuerdo con la cepa que será inoculada:

L. panamensis,,, L. Braziliensis y L. Guayanensis. Encuentre el número

total de formas posibles de clasificar a un hámster.