363n Cervical del Cuello Humano, basado...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

“PROYECTO DE INVESTIGACIÓN MODELO DINÁMICO DE LOS MOVIMIENTOS DE FLEXO EXTENSIÓN CERVICAL DEL CUELLO

HUMANO, BASADO EN PARES DE RODADURA.”

TRABAJO DE TITULACIÓN PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TITULO DE

MAGÍSTER EN DISEÑO, PRODUCCIÓN Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL.

ING. MIGUEL ÁNGEL ESCOBAR GUACHAMBALA

[email protected]

DIRECTOR: ING. WILLIAM VENEGAS M.Sc.

[email protected]

CO-DIRECTOR: ING. IVÁN ZAMBRANO M.Sc.

ivan.zambrano.epn.edu.ec

Quito, marzo, 2017

i

CERTIFICACIÓN

Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por MIGUEL ÁNGEL ESCOBAR

GUACHAMBALA, bajo nuestra supervisión.

ING. WILLIAM VENEGAS M.Sc.

DIRECTOR DE PROYECTO

ING. IVÁN ZAMBRANO M.Sc.

CO-DIRECTOR DE PROYECTO

ii

DECLARACIÓN

Yo, Miguel Ángel Escobar Guachambala, declaro bajo juramento que el trabajo aquí

descrito es de mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o

calificación profesional; y, que he consultado las referencias bibliográficas que se

incluyen en este documento.

A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual

correspondiente a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido

por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normativa institucional

vigente.

___________________________________

Miguel Ángel Escobar Guachambala

iii

DEDICATORIA

A mis queridos padres Vicente y Piedad, a mi esposa Sofía, a mis hijos Miguel y Brian,

hermanos y demás familiares, quienes me supieron dar su apoyo incondicional durante

el desarrollo y ejecución de este trabajo investigativo.

Miguel Ángel Escobar

iv

AGRADECIMIENTOS

Un agradecimiento a la Escuela Politécnica Nacional, a la Facultad de Ingeniería

Mecánica, a todos los docentes que participaron activamente durante mi formación

académica de cuarto nivel, a mis tutores que con sus conocimientos encaminaron de la

mejor manera mi trabajo de titulación. Un agradecimiento especial a toda mi familia,

esposa e hijos y amigos que nunca me hicieron faltar su apoyo incondicional durante el

desarrollo y ejecución de este trabajo investigativo.

Miguel Ángel Escobar

v

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Certificación ................................................................................................................... i

Declaración ................................................................................................................... ii

Dedicatoria ................................................................................................................... iii

Agradecimientos .......................................................................................................... iv

Índice de contenidos ..................................................................................................... v

Índice de figuras ......................................................................................................... viii

Índice de tablas ............................................................................................................. x

Resumen ..................................................................................................................... xi

Abstract ....................................................................................................................... xii

INTRODUCCIÓN .......................................................................................................... 1

Pregunta de investigación ............................................................................................. 2

Objetivo general ............................................................................................................ 2

Objetivos específicos .................................................................................................... 2

1 MARCO TEÓRICO ............................................................................................... 3

1.1 Métodos para la valoración del cuerpo humano ............................................. 3

1.1.1 Métodos basados en la valoración de la estructura corporal .................... 3

1.1.2 Métodos basados en la valoración funcional........................................... 3

1.2 Fisiología de raquis cervical ............................................................................ 3

1.2.1 El raquis en conjunto ............................................................................... 3

1.2.2 Raquis cervical ........................................................................................ 4

1.2.3 Rango fisiológico de movilidad de la columna cervical ............................. 5

1.3 El movimiento de raquis cervical depende de la edad y del sexo .................... 7

1.4 Patología de la columna cervical .................................................................... 7

1.4.1 Latigazo cervical ...................................................................................... 7

1.5 Metodologías para la formulación del modelado dinámico .............................. 8

1.5.1 Modelización dinámica de sistemas mecánicos ....................................... 8

1.5.2 Análisis dinámico mediante pares de rodadura ........................................ 9

vi

1.5.3 Método para determinar fuerzas y momentos en la columna cervical

superior 10

1.5.3.1 La segunda ley de Newton ............................................................. 11

1.5.3.2 Ecuación fundamental de la dinámica de rotación ......................... 11

1.6 Modelos Biomecánicos ................................................................................. 14

1.7 Laboratorio de análisis de movimientos humanos ........................................ 16

1.8 Software de análisis de video y modelado matemático Tracker .................... 17

1.9 Tratamiento de datos experimentales ........................................................... 17

1.9.1 Técnicas de suavizado .......................................................................... 17

1.9.1.1 Ajustes paramétricos ...................................................................... 17

1.9.1.2 Ajustes no paramétricos ................................................................. 18

2 METODOLOGÍA ................................................................................................. 19

2.1 Cinemática del movimiento de flexo extensión cervical basado en análisis de

video ..................................................................................................................... 19

2.1.1 Proceso de toma de datos experimentales en 2D del movimiento de flexo

extensión de la columna cervical mediante análisis de video .............................. 20

2.1.1.1 Análisis del movimiento de flexo extensión del cuello mediante

análisis de video ............................................................................................... 20

2.1.1.2 Análisis cinemático del movimiento de flexo extensión cervical para

varios ciclos, en un periodo de tiempo!!" # $ # %&. '[(], software Tracker ....... 22

2.1.1.3 Diagrama de posiciones de dos marcadores ubicados

estratégicamente sobre la cabeza, para varios ciclos durante un tiempo de " #$ # %&. '[(], software Tracker .......................................................................... 23

2.1.1.4 Diagramas cinemáticos de dos marcadores ubicados

estratégicamente sobre la cabeza, para un ciclo de flexo extensión durante un

tiempo de )* # $ # +,[(], software Tracker ..................................................... 25


estratégicamente sobre la cabeza, durante el movimiento de flexión cervical, en

el periodo de tiempo )* # $ # ++[(], software Tracker. ................................... 26

vii


estratégicamente sobre la cabeza, durante el movimiento de extensión cervical,

en el periodo de tiempo ++ # $ # +,[(], software Tracker ............................... 28

2.1.2 Suavizado, trayectorias del movimiento de flexo extensión cervical ...... 29

2.1.2.1 Suavizado B-spline, trayectorias de flexo extensión cervical, varios

ciclos ....................................................................................................... 29

2.1.2.2 Suavizado, movimiento de extensión cervical, un ciclo ................... 31

2.1.2.3 Cálculo de la aceleración del centro de gravedad de la cabeza ...... 32

2.2 Modelo dinámico de los movimientos de flexo extensión cervical ................. 35

2.2.1 Introducción ........................................................................................... 35

2.2.2 Diagrama de cuerpo libre de fuerzas y momento de la cabeza .............. 38

2.2.3 El movimiento de la cabeza en el plano sagital (plano x y) .................... 38

2.2.4 Consideraciones fundamentales para el análisis dinámico inverso ........ 40

2.2.5 Resumen de datos importantes para el análisis dinámico inverso ......... 41

2.2.6 Cálculo de las fuerzas y momento en los cóndilos occipitales ............... 42

2.2.6.1 Fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales ............................. 42

2.2.6.2 Momento generado en los cóndilos occipitales ............................... 44

3 RESULTADOS Y DISCUSIÓN ............................................................................ 46

3.1 Resultados ................................................................................................... 46

3.2 Discusión ...................................................................................................... 50

4 CONCLUSIONES ............................................................................................... 53

Referencias bibliográficas ........................................................................................... 55

Anexos .......................................................................................................................... i

viii

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Grados de libertad del movimiento de la columna cervical ........................... 3

Figura 1.2 El Raquis, eje mantenido. ............................................................................ 4

Figura 1.3. Columna cervical ........................................................................................ 4

Figura 1.4 Raquis cervical, lado superior e inferior. ...................................................... 5

Figura 1.5 (a) Flexión cervical. (b) Extensión cervical. .................................................. 6

Figura 1.6. Flexión lateral. ............................................................................................ 6

Figura 1.7. Rotación cervical. ........................................................................................ 6

Figura 1.8 Movimientos de la columna cervical durante la fase I, fase II ....................... 8

Figura 1.9 Lesiones producidas por latigazo suelen afectar al segmento C4-C5 .......... 8

Figura 1.10. Alternativas para determinar las ecuaciones del movimiento. ................... 9

Figura 1.11 Centroides del cuello en el movimiento de flexión-extensión cervical. ...... 10

Figura 1.12 (a) Modelo del par de rodadura que corresponde a un movimiento de flexión-

extensión real. (b) Modelo simplificado par de rodadura para la simulación del

movimiento de la cabeza. ........................................................................................... 10

Figura 1.13 Origen del marco de referencia inerciales x, y, z. ..................................... 12

Figura 1.14 Modelo biomecánico del cuerpo humano representados como palancas. 14

Figura 1.15. Analogía brazo – palanca ....................................................................... 15

Figura 1.16 Esquema de momentos y cargas en el codo. ........................................... 15

Figura 1.17 Medición de ángulos entre segmentos. .................................................... 15

Figura 1.18 Análisis de los movimientos humanos utilizando estereofotogrametría. ... 16

Figura 1.19 Interfaz software Tracker ........................................................................ 17

Figura 2.1 Experimentación, movimiento de flexo extensión cuello. ............................ 20

Figura 2.2 Sistema de referencia de coordenadas de la cabeza. ................................ 21

Figura 2.3 Análisis del movimiento flexo extensión cervical (análisis de video) ........... 22

Figura 2.4. Cabeza, trayectorias (x, y), flexo extensión, varios ciclos. ......................... 23

Figura 2.5 Sistema de coordenadas de la cabeza. ..................................................... 36

Figura 2.6 Centro de gravedad de la cabeza .............................................................. 37

ix

Figura 2.7 Diagrama de fuerzas y momento que actuantes en el cuello – cabeza,

posición normal. .......................................................................................................... 38

Figura 2.8.Diagrama de fuerzas y momento actuantes en el sistema cuello – cabeza,

posición de extensión cervical. ................................................................................... 39

Figura 2.9 Flexión cervical (45-) y extensión cervical (-45-). ....................................... 42

Figura 2.10 Diagrama de cuerpo libre, fuerzas y momentos en los cóndilos occipitales.

................................................................................................................................... 43

Figura 2.11 Fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales. ...................................... 44

Figura 2.12.- Momento generado en el cóndilo occipital. ............................................ 45

Figura 3.1.- Flexo extensión cervical, varios ciclos. .................................................... 46

Figura 3.2.Posiciones (x, vs. y) flexión cervical, un ciclo ............................................. 47

Figura 3.3 Ajuste posiciones en el eje x ...................................................................... 47

Figura 3.4 Ajuste posiciones en el eje y ...................................................................... 48

Figura 3.5. Velocidad angular. .................................................................................... 48

Figura 3.6 Ajuste velocidad angular. .......................................................................... 48

Figura 3.7 Aceleración angular .................................................................................. 49

Figura 3.8 Ajuste aceleración angular ........................................................................ 49

Figura 3.9 Fuerzas de reacción que se generan en los cóndilos occipitales ............... 50

Figura 3.10.- Momento máximo generado en los cóndilos occipitales. ........................ 50

Figura 3.11 Valores de fuerza medidos por isocinética cervical. ................................. 51

Figura 3.12. Valores de fuerza mediante análisis de video. ........................................ 51

Figura 3.13 Momento del cuello en los cóndilos occipitales de un voluntario. ............. 52

Figura 3.14 Momento calculado en los cóndilos occipitales mediante análisis de video.

................................................................................................................................... 52

x

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 2.1 Posiciones, velocidades, aceleraciones flexo extensión, varios ciclos, dos

marcadores, mediante análisis de video (software Tracker). ....................................... 24

Tabla 2.2 Posiciones, velocidades, aceleraciones flexo extensión, un ciclo, dos

marcadores. ................................................................................................................ 25

Tabla 2.3 Posiciones, velocidades, aceleraciones, flexión cervical, un ciclo, dos

marcadores. ................................................................................................................ 26

Tabla 2.4 Posiciones, velocidades, aceleraciones, extensión cervical, un ciclo, dos

marcadores. ................................................................................................................ 28

Tabla 2.5.- Ajuste de la posición, velocidad, aceleración, flexo extensión, varios ciclos,

dos marcadores. ......................................................................................................... 30

Tabla 2.6.- Ajuste de la posición, velocidad, aceleración, flexo extensión, un ciclo, dos

marcadores. ................................................................................................................ 31

Tabla 2.7 Velocidad y aceleración angular de la cabeza, sin filtrar los datos. ............. 33

Tabla 2.8.Velocidad y aceleración angular de la cabeza, datos filtrados por B-spline. 34

Tabla 2.9 Aceleración del centro de gravedad de la cabeza ....................................... 35

Tabla 2.10.- Resumen, variables para el análisis dinámico de la columna cervical. .... 41

xi

RESUMEN

Un modelo dinámico de los movimientos de flexo extensión cervical del cuello humano,

ha sido propuesto en la presente investigación. Para el desarrollo de esta investigación

se realizó un estudio dinámico inverso y analogía con los sólidos rígidos, se realizó el

estado del arte para determinar y citar datos antropométricos relacionados con las

propiedades físicas y geométricas de la cabeza, por ejemplo: masa, momento de inercia,

posición de los cóndilos occipitales, centro de masa, el ángulo de giro y otros. Partiendo

del principio de la dinámica inversa fue necesario obtener datos experimentales de

aceleración instantánea del centro de gravedad de la cabeza mediante análisis de video,

para lo cual fue necesario filmar un video a 30 fotogramas por segundo (fps), esta

grabación muestra un individuo realizando movimientos de flexo extensión cervical en

el plano sagital durante un periodo de tiempo determinado; la finalidad de realizar el

análisis de video del movimiento de flexo extensión cervical es obtener las coordenadas

(x, y) de la trayectoria que sigue la cabeza (marcadores) en función del tiempo,

posteriormente se realizó un proceso de filtrado para la rectificación de los datos

experimentales para eliminar en lo posible el ruido presente en los datos. Finalmente se

realizó de ajuste de las trayectorias y el correspondiente cálculo de sus derivadas

(velocidad instantánea y aceleración instantánea). Mediante algoritmos de cálculo

generados en Matlab se pudo realizar los cálculos de las fuerzas de reacción y momento

que se genera en los cóndilos occipitales para varios ciclos de movimiento de flexo

extensión cervical.

Palabras clave: cóndilos occipitales, dinámica inversa, flexo extensión cervical.

xii

ABSTRACT

The aim of this investigation was to design a dynamic model of the cervical flexion-

extension movements of the human neck. A dynamic-inverse study and an analogy with

rigid solid materials and the state of the art were carried out to determine and mention

anthropometric data related to physical and geometrical properties of the head. For

example: mass, moment of inertia, position of occipital condyles, center of mass, turning

angle and so on. From the inverse dynamics, it was necessary to get experimental data

of instantaneous acceleration of the gravity center of the head that is why it was

necessary to record a video at 30 frames per second (FPS). This recording shows a

person in motion cervical flexion- extension in a sagittal plane during a given time period.

By analyzing the movements, the head trajectory coordinates (x,y) according to the time

could be gotten. Later, we made a filtration process for rectification of experimental data

in order to eliminate the noise in the data. Finally, we carried out trajectory settings and

the calculation of its derivatives (instantaneous velocity and acceleration). The

calculations of reaction forces and momentum generating in the occipital condyles for

several movement cycles of cervical flexion extension have been carried by Matlab

algorithms.

Keywords: Occipital condyles, inverse dynamics, flexion extension cervical.

1

INTRODUCCIÓN

El presente tema de investigación denominado modelado dinámico de los movimientos

de flexo extensión cervical del cuello humano, trata de un enfoque que permite

conjugar la simplicidad de modelos de un grado de libertad con la complejidad del

movimiento real del cuello; este tema es de gran interés en la investigación

biomecánica debido a sus importantes aplicaciones. Los resultados generados del

análisis dinámico inverso, pueden servir como información técnica a considerarse

durante el proceso de diseño de asientos de seguridad para automóvil, prevención de

lesiones laborales, etc.

Generalmente el análisis de movimientos de segmentos corporales se los realiza

mediante dinámica inversa, es decir se parte de la aceleración como información inicial

para llegar a calcular las fuerzas que provocan el movimiento. Los datos de aceleración

de los diferentes segmentos corporales que conforman en cuerpo humano, se las

obtienen experimentalmente mediante prácticas en laboratorios de análisis de

movimientos humanos.

El objetivo fundamental de esta investigación es el análisis dinámico del movimiento de

flexo extensión cervical en el plano sagital (xy), tomando en cuenta un movimiento a

baja velocidad. Para obtener las fuerzas y momento que producen el movimiento de la

cabeza a partir de las aceleraciones, es necesario realizar una analogía entre la

estructura compleja del sistema cuello - cabeza con los sólidos rígidos, de esta forma

es posible aplicar las ecuaciones de la segunda ley de Newton y la ecuación

fundamental de la dinámica rotacional

El cuello humano comprende una estructura compleja comprendida por vértebras,

ligamentos, músculos, etc., debido a esto, la estimación de las fuerzas y momento que

actúan sobre el cuello humano deberá ser analizado mediante dinámica inversa, es decir

aplicando técnicas de análisis de video se puede obtener las posiciones de n

marcadores de posición situados sobre puntos estratégicos de la cabeza durante el

movimiento de flexo extensión cervical, de esta manera se podrá obtener posiciones (x

y) para cada instante, durante un determinado tiempo; los datos de posiciones de los

marcadores se pueden tratar mediante funciones B-splines para disminuir el ruido en

los datos experimentales, finalmente se puede obtener la velocidad y la aceleración del

centro de gravedad de la cabeza.

2

Pregunta de investigación

¿Cuáles serán las magnitudes de las fuerzas y momentos actuantes durante el

movimiento de flexo extensión cervical en el plano sagital?

Objetivo general

· Modelar la dinámica de los movimientos de flexo extensión cervical del

cuello humano, basado en un par de rodadura.

Objetivos específicos

· Definir los movimientos permisibles en flexo extensión.

· Definir las cargas y momentos a las que está sometido el cuello.

· Definir la geometría del cuello para hacer analogía con los sólidos rígidos.

· Modelar la dinámica del cuello en flexo extensión, mediante la metodología

más adecuada para este caso.

3

CAPÍTULO 1

1 MARCO TEÓRICO

1.1 Métodos para la valoración del cuerpo humano

1.1.1 Métodos basados en la valoración de la estructura corporal

Estos métodos de valoración de la estructura corporal son considerados como

invasivos, al exponer a los pacientes a Rayos X, Tomografías, Resonancia Magnética,

entre otros, mediante el uso de estas técnicas de última tecnología se crean imágenes

computarizadas de órganos, esqueleto, etc., con la finalidad de detectar lesiones

internas en el cuerpo humano.

1.1.2 Métodos basados en la valoración funcional

Estos métodos de valoración funcional son considerados como no invasivos y se

emplean para evaluar las características de un individuo. Mediante la verificación de la

correcta funcionalidad del segmento corporal según sus grados de libertad, se puede

diagnosticar si el segmento corporal sufre de alguna lesión. En la figura 1.1, “se

describen los métodos de apoyo al diagnóstico basados en el análisis de la funcionalidad

cervical” (Baydal Bertomen, 2012))

Figura 1.1 Grados de libertad del movimiento de la columna cervical (Fuente: (Baydal Bertomen, 2012))

1.2 Fisiología de raquis cervical

1.2.1 El raquis en conjunto

La columna vertebral o raquis está comprendida por cinco secciones que son: cervical,

dorsal, lumbar, sacra y coxis; además está estructura debe combinar la rigidez y

flexibilidad a la vez. “La flexibilidad del eje raquídeo se debe a su configuración de

4

múltiples piezas superpuestas unidas entre sí mediante elementos ligamentosos

musculares. De este modo, esta estructura puede deformarse aun permaneciendo

rígida bajo la influencia de tensores musculares” (Kapandji, 1998). En la figura 1.2 se

puede observar diferentes curvaturas del raquis, dependiendo de la postura que adopte

el individuo.

Figura 1.2 El Raquis, eje mantenido. (Fuente: (Kapandji, 1998))

1.2.2 Raquis cervical

El raquis cervical se compone de siete vértebras que son C1 (atlas), C2 (axis), C3, C4,

C5, C6, C7), “las vértebras cervicales son todas del mismo tipo, excepto el atlas y el

axis, que difieren entre si y de las demás vértebras cervicales” (Kapandji, 1998).

En la figura 1.3 se puede observar las siete vértebras enunciadas anteriormente. La

base del cráneo se conecta con la primera vértebra C1 (atlas) mediante los cóndilos

occipitales, de forma similar la última vértebra C7 se articula a la parte superior del raquis

dorsal.

Figura 1.3. Columna cervical Fuente: (Fernández Coca, 2009)

5

En la figura 1.4 se observa que la columna cervical a su vez se divide en dos partes

anatómicamente y funcionalmente distintas que son:

El raquis cervical superior (1), que se compone de la primera y segunda vértebra (C1,

C2 respectivamente), además estas vértebras de articulan con la cabeza mediante el

occipital.

El raquis cervical inferior (2), se compone de la meseta inferior de la segunda vértebra

(axis) hasta la meseta superior de la primera vértebra dorsal.

Figura 1.4 Raquis cervical, lado superior e inferior. Fuente: (Kapandji, 1998)

1.2.3 Rango fisiológico de movilidad de la columna cervical

Flexo extensión cervical: “Se dice que el 50% de la flexión y extensión proviene de la

articulación atlanto occipital y el 50 % de la rotación de la articulación atlanto axial. El

resto se distribuye en toda la columna cervical.” (Vargas Sanabria, 2012)

En la figura 1.5 a, la paciente realiza el movimiento de flexión cervical tomando como

punto de referencia la posición normal de la cabeza, para considerar una flexión total la

paciente debe tocar el pecho con el mentón.

En la figura 1.5 b, la paciente realiza el movimiento de extensión cervical tomando como

punto de referencia la posición normal de la cabeza, para considerar una extensión total

el paciente debe mirar al techo.

6

Figura 1.5 (a) Flexión cervical. (b) Extensión cervical. (Fuente: (Baydal Bertomen, 2012))

Flexión Lateral: En la figura 1.6 se muestra una persona realizando movimientos de

flexión lateral a la derecha e izquierda, este movimiento del raquis cervical se produce

cuando el paciente toca el hombro con su oreja. Debe quedar el mentón casi alineado

con el hombro de cada lado.

Figura 1.6. Flexión lateral. (Fuente: (Baydal Bertomen, 2012))

Rotación: En la figura 1.7 se muestra una persona realizando movimientos de rotación

de la columna cervical, que consiste en pedirle a la paciente que su mentón quede casi

alineado con el hombro de cada lado.

Figura 1.7. Rotación cervical. (Fuente: (Baydal Bertomen, 2012))

7

1.3 El movimiento de raquis cervical depende de la edad y del

sexo

Los rangos de movilidad de la columna cervical en sus diferentes grados de libertad de

movimiento, dependen principalmente de varios factores ente los más importantes son

la edad y el sexo. Esta afirmación se puede entender fácilmente si observamos los

movimientos de un bebe de entre un año hasta cinco años, en donde todas sus

articulaciones son muy flexibles; por otra parte si observamos los movimientos de una

persona adulta son menos flexibles.

“En 1992, Youdas público información definitiva acerca de los rangos de movilidad de la

columna cervical, medido mediante electrogonimetría y con pruebas de movilidad

pasiva” (Baydal Bertomen, 2012))

1.4 Patología de la columna cervical

El raquis cervical puede padecer de múltiples lesiones y dolores, entre las que se puede

tener enfermedades muy raras. Se clasifica los problemas de dolor cervical en función

de la sintomatología clínica, entre las más comunes tenemos:

· Cervicalgias agudas.

· Torticolis aguda

· Nucalgias musculares.

· Latigazo cervical, etc.

Los tratamientos y rehabilitación de la columna cervical son de mucho cuidado y

complejidad; debido a que sobre la región cervical se asienta la cabeza que tiene un

peso alrededor de los 6 kg según datos de investigaciones antropométricas.

1.4.1 Latigazo cervical

Son números los estudios realizados acerca del síndrome de latigazo cervical, en lo

referente al diagnóstico y su correspondiente tratamiento.

La lesión de la columna cervical conocida como latigazo cervical generalmente se

produce en accidentes de automóviles, debido al impacto posterior en automóviles que

produce la aceleración repentina de la cabeza del conductor, dando como consecuencia

el sobre esfuerzo de vértebras y ligamentos que conforman el cuello humano.

En la siguiente figura 1.8 se muestra las curvaturas que adquiere el raquis cervical

debido al impacto posterior en vehículos.

8

Figura 1.8 Movimientos de la columna cervical durante la fase I, fase II (Fuente: (Torres Cueco, 2008))

“Durante una lesión en latigazo, las articulaciones cigapofisarias que sufren el máximo

estrés corresponden al nivel C4-C5” (Imhof & Cols, 2011), ver figura 1.9.

Figura 1.9 Lesiones producidas por latigazo suelen afectar al segmento C4-C5 (Fuente: (Imhof & Cols, 2011))

1.5 Metodologías para la formulación del modelado dinámico

1.5.1 Modelización dinámica de sistemas mecánicos

Para dar solución al problema Biomecánico, la ingeniería hace uso de una herramienta

fundamental denominada Mecánica Computacional, que es la disciplina que engloba los

métodos de cálculo, programación, simulación numérica, control, verificación y ensayos

requeridos para el estudio de la mecánica y sus aplicaciones mediante el uso del

computador.

Los Objetivos de la Mecánica Computacional son:

· Procedimiento analítico para modelizar el comportamiento dinámico de

sistemas mecánicos complejos.

· Empleo de coordenadas generalizadas.

· Aplicación de las ecuaciones de restricción.

· Obtención de las ecuaciones del movimiento del sistema mecánico.

9

En la figura 1.10 se observa las alternativas para determinar las ecuaciones de

movimiento, para el caso específico del análisis dinámico de segmentos corporales

lo más adecuado es realizar el cálculo mediante dinámica inversa, porque esta

metodología nos permite calcular fuerzas, momentos mediante sistemas lineales

simples de resolver, además porque se trata de segmentos corporales. (Mata, 2015)

Figura 1.10. Alternativas para determinar las ecuaciones del movimiento. (Fuente: (Mata, 2015))

1.5.2 Análisis dinámico mediante pares de rodadura

En la actualidad el estudio de la dinámica del movimiento humano, es decir el análisis

del movimiento de cada uno de sus segmentos corporales es muy importante por sus

diversas aplicaciones en campos clínicos y ergonómicos. Se han planteado modelos

biomecánicos para diferentes segmentos corporales del cuerpo humano, se puede citar

estructuras anatómicas complejas como el raquis lumbar, raquis cervical (cuello),

hombros, estos segmentos corporales se han simplificado a sólo uno o dos pares de

rodadura que facilitan el análisis de su movimiento.

El modelo biomecánico de la columna cervical propuesto “es un modelo de un grado de

libertad en base a la rodadura sin deslizamiento de un par cinemático (par rodante) que

se define por las axoides fijos y móviles que resultan de movimiento entre dos cuerpos”

(Díaz Rodríguez, Valera, Page, Besa, & Mata, 2016). Los axoides fijos y móviles que se

generan durante el movimiento de flexo extensión cervical en analogía con los pares de

rodadura (un grado de libertad) se ilustra en la siguiente figura.

Ecu

acio

ne

s d

el m

ov

imie

nto

Dinámica

inversa

-Análisis de fuerzas.

-Sistemas lineales.

Dinámica directa

-Análisis del movimiento o simulación.

-Ecuaciones diferenciales de 2do orden.

-Resolución numericamente.

10

Figura 1.11 Centroides del cuello en el movimiento de flexión-extensión cervical. (Fuente: (Díaz Rodríguez, Valera, Page, Besa, & Mata, 2016))

En las figura 1.11 y figura 1.12 se ilustra el modelo de par de rodadura que simplifica el

movimiento de flexo extensión cervical a un grado de libertad funcional.

Figura 1.12 (a) Modelo del par de rodadura que corresponde a un movimiento de flexión-extensión real. (b) Modelo simplificado par de rodadura para la simulación del movimiento de la

cabeza. (Fuente: (Díaz Rodríguez, Valera, Page, Besa, & Mata, 2016))

1.5.3 Método para determinar fuerzas y momentos en la columna cervical

superior

Laura Vila Giraut en el año 2010, propone una metodología para calcular fuerzas y

momentos en la región superior del cuello humano, para lo cual determina que el punto

de rotación de la cabeza durante el movimiento de flexo extensión cervical son los

cóndilos occipitales. En la investigación desarrollada por la autora anteriormente citada,

hace referencia a las propiedades físicas de la cabeza humana (masa, momento de

inercia, posición del centro de gravedad y cóndilos occipitales), ya que son importantes

11

en el cálculo de las cargas del cuello. Para lograr este objetivo se realiza analogía con

los sólidos rígidos, por lo tanto las fuerzas y los momentos en el cuello se encuentran

aplicando la dinámica de un sólido rígido. La autora plantea determinar las fuerzas y

momento actuantes en los cóndilos occipitales mediante la aplicación de la segunda ley

de Newton en el plano y la ecuación fundamental de la rotación.

1.5.3.1 La segunda ley de Newton

La segunda ley de Newton establece que “cuando una fuerza desbalanceada actúa en

una partícula ésta se acelera en la dirección de la fuerza con una magnitud que es

proporcional a ésta” (Hibbeler, 2010).

La ecuación matemática que relaciona las fuerzas externas que actúan sobre un

elemento y su correspondiente masa es la siguiente:

/01 = 2. 3145 Ec. ( 1)

Donde: 01: Fuerzas externas

m: masa. 3145: Aceleración medida.

La ecuación anterior se la expresar específicamente para cada eje coordenado (x,y,z).

/06 = 2. 31456

/07 = 2. 31457

/08 = 2. 31458 1.5.3.2 Ecuación fundamental de la dinámica de rotación

Esta ecuación rige la rotación de un sólido rígido provocada por un momento M y está

representada por la siguiente ecuación:

9 = : ;

Donde:

I: Momento de inercia de la masa.

;< Aceleración angular

12

Para el análisis dinámico plano de cuerpos rígidos, las cargas se consideran simétricos

respecto a un plano de referencia fijo. “Como el movimiento de un cuerpo se puede ver

dentro del plano de referencia, todas las fuerzas que actúan en el cuerpo pueden

proyectarse en el plano” (Hibbeler, 2010).

En la figura 1.13 se muestra el origen del marco de referencia inercial x, y, z que coincide

con un punto arbitrario P en el cuerpo, además se puede observar las fuerzas externas,

peso propio, momento, aceleración angular que actúan sobre este cuerpo rígido

arbitrario.

Figura 1.13 Origen del marco de referencia inerciales x, y, z. (Fuente: (Hibbeler, 2010))

Ley de Euler: Este principio fundamental de la dinámica se refiere a la rotación de un

cuerpo rígido a causa de un momento generado por una fuerza aplicada.

La rotación que puede adquirir un cuerpo rígido se la puede representar mediante la

siguiente ecuación:

9> = ??@ A> Ec. ( 2)

Donde:

M0: Momento generado por fuerzas externas respecto a un origen establecido.

L0 : Momento angular; el momento angular se lo puede calcular mediante la siguiente ecuación: ! A> = :>. B

Donde:

I0 : Matriz de momento de inercia con respecto al punto de origen O.

w: Es la velocidad angular del cuerpo.

13

A continuación se establece un sistema de coordenadas en movimiento y se considera

que el momento de inercia (I0) se mantiene constante, por lo que se simplifica los

cálculos. Desarrollando la ecuación (2) resulta lo siguiente:

9CC1> = DA>DE F GCC1HIAC1>! Ec. ( 3)

Donde: GH: Velocidad angular de los ejes móviles. Si los ejes están fijos al cuerpo, GCC1H = GCC1

Resolviendo la ecuación (3) se tiene:

9CC1> = DJ:>. GCC1KDE F GCC1IJ:>. GCC1K = :>. ;CC1F GCC1IJ:>. GCC1K! Ec. ( 4)

Donde: LJMCCC1KL@ , fue reemplazado por ;CC1 (velocidad angular del cuerpo).

“El tensor de inercia :N es calculado con respecto al principal eje anatómico de la

cabeza, con su origen en el centro de gravedad de la cabeza” (Vila Giraut, 2010),

entonces se convierte en diagonal no cero:

:> = O:6 P PP :7 PP P QR La ecuación (4) es ahora escrita en forma de vector:

S969798T = U:6 P PP :7 PP P :8V . W

X6X7X8Y+WG6G7G8Y I O

:6 P PP :7 PP P QR . WG6G7G8Y

Ec. ( 5)

Desarrollando la ecuación (5) al final resulta lo siguiente:

Z\̂\_/96 = :6 . X6 F `:8 a :7b. G7. G7!/97 = :7. X7 F J:6 a :8K. G6 . G8!/98 = :8. X8 F `:7 a :6b. G6. G7!

Ec. ( 6)

Las tres ecuaciones anteriores son conocidas como ecuaciones de Euler y son las

ecuaciones de movimiento para los análisis cinéticos en tres dimensiones (3D).

Finalmente las ecuaciones anteriores se reducen, debido al hecho que se asumen que el movimiento de flexo extensión del cuello humano se realiza en el plano xy, por lo tanto las variables αI, αy, ωy, ωI = 0. Así, las ecuaciones de Euler se escriben como:

14

/98 = :8. X8 Ec. ( 6)

Esta última ecuación se utilizara para el cálculo del momento generado en los cóndilos

occipitales debido al movimiento de flexo extensión en el plano sagital.

1.6 Modelos Biomecánicos

Los modelos biomecánicos desarrollados para representar los diferentes segmentos

corporales que conforman un individuo, tienen la principal función de facilitar la

aplicación de las leyes de la Mecánica, teoría de Máquinas y Mecanismos, mediante la

consideración de analogías entre estructuras complejas del cuerpo humano con

mecanismos sencillos como por ejemplo palancas, levas, rodillos, etc. Este método es

muy utilizado para estudiar casos específicos de la motricidad humana. Actualmente se

cuenta con programas creados especialmente para la simulación de la motricidad

humana partir de modelos biomecánicos.

En la figura 1.14 muestra el cuerpo humano representado por palancas, estos

elementos mecánicos tienen la finalidad de representar motricidad de la cabeza y de

los miembros superiores e inferiores.

Figura 1.14 Modelo biomecánico del cuerpo humano representados como palancas.

(Fuente: (Vila Giraut, 2010))

En la figura 1.15 se plantea una analogía del brazo con una palanca, además se

identifican la resistencia, palanca, punto de apoyo y potencia, todas estas variables

hacen posible generar un movimiento del brazo en la vida diaria.

15

Figura 1.15. Analogía brazo – palanca (Fuente: (Diego-Mas, 2015))

En la figura1.16 se muestra los momentos y cargas en el codo.

Figura 1.16 Esquema de momentos y cargas en el codo. (Fuente: (Diego-Mas, 2015))

En la figura1.17 se muestra la forma de medición de los ángulos entre segmentos

Figura 1.17 Medición de ángulos entre segmentos. (Fuente: (Diego-Mas, 2015))

16

1.7 Laboratorio de análisis de movimientos humanos

En este tipo de laboratorios se analiza los movimientos corporales de un individuo

durante la ejecución de actividades de la vida cotidiana. Los procedimientos de

valoración funcional (valoración no invasiva) mediante las tecnologías de

videogrametría, fotogrametría, en otros permiten medir de manera detallada y precisa

los parámetros de cinemática, dinámica, etc.

Mediante el uso de esta tecnología se puede proporcionar al médico especialista los

datos cuantitativos que permita diagnosticar y determinar el tratamiento adecuado para

su rehabilitación.

En la figura 1.18 se muestra el equipo de análisis de videogrametría, que tiene la

finalidad de capturar los movimientos en 3D de los diferentes segmentos corporales.

Figura 1.18 Análisis de los movimientos humanos utilizando estereofotogrametría.

(Fuente: (Cappozzo & Leardini, 2004))

17

1.8 Software de análisis de video y modelado matemático

Tracker

“Tracker es una herramienta gratuita de análisis de video y herramienta de modelado

matemático basada en framework Java de Open Source Physics (OSP). Está diseñado

para ser utilizado en educación física. La biblioteca Digital AAPT ComPADRE es una

red de colecciones de recursos gratuitos en línea que apoyan a profesores, estudiantes

y profesores de Física y Astronomía” (ComPADRE Digital Library, 2009). En la figura

1.19 se muestra la interfaz del software Tracker.

Figura 1.19 Interfaz software Tracker (Fuente: (ComPADRE Digital Library, 2009))

1.9 Tratamiento de datos experimentales

El tratamiento de datos experimentales es un paso previo en el análisis de movimientos,

además la transformación de series discretas a funciones continuas y derivables es

imprescindible.

1.9.1 Técnicas de suavizado

1.9.1.1 Ajustes paramétricos

Matlab ofrece toolbox para el suavizado de funciones, por ejemplo:

· regress : para ajustes lineales

· polyfit : para ajustes polinómicos

· nlfit: ajuste no lineal (Gauss-Newton)

· lsqcurvefit: dentro del toolbox Optimization

“Sin embargo estos ajustes paramétricos no sirven en aplicaciones biomecánicas,

además hay que considerar que no existe un modelo de ecuación conocida” (Page,

2015).

18

1.9.1.2 Ajustes no paramétricos

Ajustan las observaciones a una función continua y diferenciable, sin ecuación

predeterminada:

· Promediados: media móvil, mediana móvil. Medias ponderadas con funciones

Kernel.

· Filtrado: filtros paso bajo, filtros Butterworth

· Ajustes locales: regresión local

· Bases de funciones: polinómicos, Fourier, B-splines, Wavelets

Para realizar el ajuste de datos experimentales de los movimientos de segmentos

corporales es recomendable tratar los datos mediante bases de funciones B-splines,

por que con este tipo de ajuste se genera una curva que se construye uniendo trozos

de polinomios definidos en los intervalos dados por una serie de puntos, llamados

nodos (knots) (Page, 2015). Utilizando un ajuste B-spline se puede ajustar datos

experimentales que comúnmente generan curvas irregulares que son difíciles de

ajustar mediante un ajuste paramétrico.

19

CAPITULO II

2 METODOLOGÍA

2.1 Cinemática del movimiento de flexo extensión cervical

basado en análisis de video

El análisis de video es una técnica de medida que extrae información métrica a partir de

un video, mediante una sucesión de fotogramas (normalmente de 25 a 30 fotogramas

por segundo), para este caso particular se configura la grabación del video a 30

fotogramas por segundo, porque el movimiento del raquis cervical para este caso de

estudio es lento y no demanda de una grabadora de alta velocidad.

Para emplear la técnica del análisis de video mediante software de rastreo de uso libre

denominado Tracker, se hace necesario grabar un video en el que contenga el

movimiento de flexo extensión cervical en el plano sagital, previamente se debe preparar

al voluntario con la colocación de una diadema con 4 marcadores (esferas de referencia)

sobre su cabeza; de esta forma se puede estimar las trayectorias que siguen los

marcadores solidarios a la cabeza durante el movimiento.

El análisis cinemático del sistema cabeza – cuello mediante análisis de video tiene el

objetivo de obtener principalmente las posiciones, velocidades, aceleraciones de dos

marcadores que están estratégicamente ubicados sobre la cabeza (posición del centro

de gravedad de la cabeza y los cóndilos occipitales). Mediante el análisis de movimiento

relativo en el plano sagital se puede obtener la velocidad angular (w) y aceleración

angular (α) teniendo como datos las aceleraciones de dos puntos, a continuación se

procede a calcular la aceleración del centro de gravedad de la cabeza para cada instante

durante un ciclo de flexo extensión cervical.

Los marcadores anteriormente mencionados son muy importantes para poder hacer

restitución 2D, para lo cual necesitamos algún tipo de característica que defina el objeto,

por ejemplo puntos característicos, rectas o bordes, zonas (siluetas). En condiciones

controladas del laboratorio de análisis de movimientos se recomienda usar marcadores

por tener buena detección y buena precisión.

20

2.1.1 Proceso de toma de datos experimentales en 2D del movimiento de

flexo extensión de la columna cervical mediante análisis de video

2.1.1.1 Análisis del movimiento de flexo extensión del cuello mediante

análisis de video

Experimentación

· Para la toma de datos de posiciones en 2D, se ha preparado un individuo adulto

masculino de 23 años, sobre su cabeza lleva una diadema con n marcadores (6

marcadores) como se muestra en la figura 2.1, con el objetivo de dar seguimiento

al movimiento de los marcadores durante el movimiento de flexo-extensión de

la columna cervical mediante el software de análisis de video y modelado

matemático denominado Tracker.

· El individuo se sentó en una silla con la espalda recta y firmemente, para

sostenerse en el respaldo, el sujeto en cuestión realizó varios ciclos de

movimiento de flexión-extensión del cuello a una velocidad baja como lo es un

movimiento natural de un humano durante su vida cotidiana, sin tensión en los

músculos; se realizaron movimientos repetitivos durante 46.5 segundos a partir

de una postura neutral.

· Para el análisis cinemático 2D (x, y) se realizó usando software de análisis de

movimientos (Tracker), mediante la utilización de un video previamente grabado

durante la experimentación del movimiento de flexo extensión de la columna

cervical en el plano sagital.

Figura 2.1 Experimentación, movimiento de flexo extensión cuello. (Fuente: Escobar, 2017)

Las características del experimento fueron:

- Movimiento de la cabeza en plano sagital (x, y), ver figura 2.2.

- Sin tensión de los músculos del cuello - cabeza, en posición relajada

- Baja velocidad durante el movimiento de flexo extensión.

21

Las características del individuo voluntario masculino fueron:

- Edad: 23 años

-Sexo: Masculino.

Figura 2.2 Sistema de referencia de coordenadas de la cabeza. (Fuente: Escobar, 2017)

Análisis de video mediante el software Tracker

Para el procesado de las posiciones (coordenadas en 2D) del sistema cuello – cabeza

obtenida mediante análisis de video, se hace necesario la utilización de software de

rastreo de trayectorias denominado Tracker que es de uso libre, es una herramienta de

análisis y modelado de vídeo. Las características incluyen el seguimiento de objetos con

superposiciones de posición, velocidad y aceleración, además de gráficos, filtros de

efectos especiales, marcos de referencia múltiples, puntos de calibración, perfiles de

línea para el análisis de espectros, patrones de interferencia, modelos de partículas

dinámicas, etc.

Para el análisis de movimiento del sistema cuello – cabeza, es necesario hacer una

analogía entre la estructura compleja del sistema cuello cabeza con los sólidos rígidos,

obviando movimientos que se producen entre las vértebras, variación del centro de

gravedad de la cabeza debido al flujo sanguíneo del individuo, etc.

Procedimiento:

· Importar el video previamente grabado relacionado con el movimiento de flexo

extensión de la columna cervical.

· Configurar las propiedades del video, específicamente el número de fotogramas

a 30 por segundo.

· Configurar la vara de calibración, según el patrón de medida que se haya

establecido en el escenario del movimiento de la cabeza.

22

· Configurar la trayectoria automática de cada uno de los marcadores que se

consideran para el análisis de posiciones; cada marcador describirá una curva

que se genera mediante la secuencia de posiciones que adquieren los

marcadores durante un periodo de tiempo establecido. El software Tracker

genera tablas de posiciones (x, y) en 2 dimensiones para cada uno de los

marcadores estudiados.

· Cuando finalice el análisis de video en el software Tracker, se dispondrá de

información relacionada con las posiciones (x, y) de cada uno de los marcadores.

Las posiciones (x,y) que se obtienen experimentalmente mediante análisis de video

describen la trayectoria para cada marcador ubicado solidariamente sobre la cabeza,

estas trayectorias tienen mucho ruido por lo que es recomendable tratarlas mediante

técnicas de suavizado no paramétrico , por ejemplo funciones B-spline.

2.1.1.2 Análisis cinemático del movimiento de flexo extensión cervical para

varios ciclos, en un periodo de tiempo!!J" # $ # %&. 'K[(], software

Tracker

Para este caso de estudio en específico se ha centrado al rastreo de las posiciones

(x,y) que adquieren dos marcadores posicionados estratégicamente sobre la cabeza

como se puede observar en la figura 2.3; se decide analizar dos marcadores porque se

necesita estimar las aceleraciones de al menos dos puntos que estén próximos al centro

de gravedad de la cabeza; estas aceleraciones me ayudarán a calcular la aceleración

del centro de gravedad de la cabeza mediante cinemática del sólido rígido, siendo la

aceleración del centro de gravedad de la cabeza el objetivo principal del análisis

cinemático.

Figura 2.3 Análisis del movimiento flexo extensión cervical (análisis de video)

(Fuente: Escobar, 2017)

23

2.1.1.3 Diagrama de posiciones de dos marcadores ubicados

estratégicamente sobre la cabeza, para varios ciclos durante un

tiempo de J" # $ # %&. 'K[(], software Tracker

Como se puede observaren la figura 2.4, las trayectorias que describe los marcadores

ubicados sobre la cabeza, tienen diferentes comportamientos de ciclo en ciclo del

movimiento de flexo extensión del cuello, durante un periodo de tiempo, describiendo

trayectorias similares a parábolas.

Donde:

x: posición en el eje x (cm)

y: posición en el eje y(cm)

v: velocidad (cm/s)

a: aceleración (cm/s2)

Figura 2.4. Cabeza, trayectorias (x, y), flexo extensión, varios ciclos. (Fuente: Escobar, 2017)

En la tabla 2.1 se detalla las posiciones, velocidades, aceleraciones de dos marcadores

durante varios ciclos de movimiento de flexo extensión cervical en un periodo de tiempo

de 46.5 s, estas representaciones graficas son obtenidas del software de análisis de

movimiento mediante video (Tracker).

Unidades [cm] Unidades [cm]

24

Tabla 2.1 Posiciones, velocidades, aceleraciones flexo extensión, varios ciclos, dos marcadores, mediante análisis de video (software Tracker).

Cabeza marcador 1 (t, x), varios ciclos

Cabeza marcador 2 (t, x), varios ciclos

Cabeza marcador 1 (t, y), varios ciclos

Cabeza marcador 2 (t, y), varios ciclos

Cabeza marcador 1 (t, v), varios ciclos

Cabeza marcador 2 (t, v), varios ciclos.

Cabeza marcador 1 (t, a), varios ciclos

Cabeza marcador 2 (t, a), varios ciclos


Unidades [s, cm] Unidades [s, cm]


Unidades [s, cm/s] Unidades [s, cm/s]

Unidades [s, cm/s2] Unidades [s, cm/s2]

25


estratégicamente sobre la cabeza, para un ciclo de flexo extensión

durante un tiempo de J)* # $ # +,K[(], software Tracker

Tabla 2.2 Posiciones, velocidades, aceleraciones flexo extensión, un ciclo, dos marcadores.

Cabeza, marcador 1 (x, y), para un ciclo, flexo

extensión.

Cabeza, marcador 2 (x, y), para un ciclo, flexo

extensión.

Cabeza, marcador 1 (t, x), para un ciclo, flexo extensión.

Cabeza marcador 2(t, x), para un ciclo, flexo extensión.

Cabeza, marcador 1 (t, y), para un ciclo, flexo extensión.

Cabeza, marcador 2 (t, y), para un ciclo, flexo extensión.

Cabeza, marcador 1 (t, v), para un ciclo (flexo extensión).

Cabeza, marcador 2 (t, v), para un ciclo (flexo extensión).

Cabeza, marcador 1 (t, a), para un ciclo (flexo extensión).

Cabeza, marcador 2 (t, a), para un ciclo (flexo extensión).


Unidades [s, cm]


Unidades [s, cm]

Unidades [s, cm]


Unidades [s, cm/s2] Unidades [s, cm/s]

Unidades [s, cm]

26

Como se puede observar en la figura 2.4 las trayectorias que generan los dos

marcadores solidarios a la cabeza se desplazan de ciclo en ciclo, debido a esto se ha

decidido restringir el movimiento a un ciclo de flexo extensión, esto facilita el estudio y

la apreciación de las trayectorias. En la tabla 2.2 se detalla las posiciones, velocidades,

aceleraciones de un ciclo de flexo extensión.


estratégicamente sobre la cabeza, durante el movimiento de flexión

cervical, en el periodo de tiempo J)* # $ # ++K[(], software Tracker.

En la tabla 2.3 se detallan las posiciones, velocidades, aceleraciones de dos marcadores

durante un ciclo de flexión cervical.

Tabla 2.3 Posiciones, velocidades, aceleraciones, flexión cervical, un ciclo, dos marcadores.

Cabeza, marcador 1 (x, y), para un ciclo, flexión

cervical.

Cabeza, marcador 1 (x, y), para un ciclo, flexión

cervical.

Cabeza, marcador 1 (t, x), flexión cervical.

Cabeza, marcador 1 (t, x), flexión cervical.



27

Cabeza, marcador 1 (t, y), flexión cervical.

Cabeza, marcador 2 (t, y), flexión cervical.

Cabeza marcador1 (t, v), flexión cervical.

Cabeza marcador2 (t, v), flexión cervical.

Cabeza, marcador1 (t, a), flexión cervical.

Cabeza, marcador2 (t, a), flexión cervical. (Fuente: Escobar, 2017)




28


estratégicamente sobre la cabeza, durante el movimiento de

extensión cervical, en el periodo de tiempo J++ # $ # +,K[(], software Tracker

En la tabla 2.4 se detallan las posiciones, velocidades, aceleraciones de dos marcadores

durante un ciclo de flexión cervical.

Tabla 2.4 Posiciones, velocidades, aceleraciones, extensión cervical, un ciclo, dos marcadores.

Cabeza, marcador 1 (x, y), extensión cervical.

Cabeza, marcador 2 (x, y), extensión cervical.

Cabeza, marcador 1 (t, x), extensión cervical.

Cabeza, marcador 2 (t, x), extensión cervical.

Cabeza, marcador 1 (t, y), extensión cervical.

Cabeza, marcador 2 (t,y), extensión cervical.

Cabeza, marcador 1 (t, v), extensión cervical.

Cabeza, marcador 2 (t, v), extensión cervical.

Unidades [cm]




Unidades [cm]

29

Cabeza, marcador 1 (t, a), extensión cervical.

Cabeza, marcador 2 (t, a), extensión cervical.


2.1.2 Suavizado, trayectorias del movimiento de flexo extensión cervical

Los datos de aceleraciones proporcionadas por el software Tacker tienen mucho ruido

(ver tabla 2.1), es decir los datos de aceleración tienden a ser singularidades. Para dar

solución a este problema se ha planteado hacer uso únicamente las coordenadas de

posición (x,y) de cada uno de los dos marcadores (coordenadas obtenidas mediante

análisis de video). Las coordenadas de posición serán tratadas mediante un ajuste no

paramétrico (funciones B-spline). El algoritmo de tratamiento de datos experimentales

se lo puede ver detalladamente en anexos.

2.1.2.1 Suavizado B-spline, trayectorias de flexo extensión cervical, varios

ciclos

Las coordenadas (x, y) de dos marcadores ubicados estratégicamente sobre la cabeza,

fueron obtenidas mediante el software de rastreo de posiciones (Tracker), para de esta

forma poder estimar las posiciones en x (paralelo a la línea de Frankfort) y las posiciones

en “Y” (paralelo a la gravedad).

En la tabla 2.5 se puede observar las gráficas de posición, velocidad, aceleración, para

un ciclo de flexo extensión; en este caso las posiciones (x, y) obtenidas mediante

análisis de video fueron tratadas con un algoritmo de suavizado B-spline generado en

Matlab; mediante el tratamiento previo de los datos de posición se ve una mejoría en los

resultados de aceleración instantánea de cada uno de los marcadores, comparados

con las aceleraciones de la tabla 2.1.


30

Tabla 2.5.- Ajuste de la posición, velocidad, aceleración, flexo extensión, varios ciclos, dos marcadores.


31

2.1.2.2 Suavizado, movimiento de extensión cervical, un ciclo

Tabla 2.6.- Ajuste de la posición, velocidad, aceleración, flexo extensión, un ciclo, dos

marcadores.


32

Se ha extraído las posiciones (x, y) del movimiento de extensión cervical mediante el

software Tracker, posteriormente se ha tratado los datos mediante el ajuste B-spline y

finalmente se ha obteniendo las aceleraciones instantáneas de los dos marcadores

considerados en el análisis de video.

En la tabla 2.6 se ha considerado realizar un análisis cinemático para un ciclo de

extensión, es decir cuando el individuo mueve la cabeza en contra de la gravedad en el

plano sagital, también se asume que el torque es mayor durante el movimiento de

extensión cervical, considerando como partida del movimiento cuando el mentón toca el

tórax y como punto final cuando el voluntario mira directamente al techo.

2.1.2.3 Cálculo de la aceleración del centro de gravedad de la cabeza

Mediante el uso de la técnica del análisis de video se mide y estima la aceleración de

dos puntos diferentes de la cabeza. Para medir las aceleraciones del centro de gravedad

de la cabeza, se utiliza la cinemática del sólido rígido.

La relación entre las aceleraciones de dos puntos diferentes que están sobre un mismo

plano, por ejemplo P (marcador 2) y O (marcador 1) es:

31JcK = 31JNK F GCC1I`GCC1IdcCCCCC1b F X1IdcCCCCC1 Ec. ( 7)

La distancia entre los dos puntos (dc) es conocida (por análisis de video), la aceleración

de ambos puntos (P y O) también son conocidas del análisis cinemático que se muestra

en la tabla 2.6, los únicos vectores desconocidos son ω (la velocidad angular de la

cabeza) y α (la aceleración angular de la cabeza). Entonces, considerando que la

cabeza sólo tiene movimiento en el plano sagital (XY), los vectores desconocidos son:

GCC1 = W PPG!Y !!!!!!!!!!!!;CC1= W PP;!Y Reemplazando los vectores de la velocidad y aceleración angular en la ecuación

vectorial (7) se obtiene lo siguiente:

W3e63e7P! Y = ! W3f63f7!P! Y F!! W

PPG!Y I! OWPPG!Y I W

dc6dc7!P YR F!WPP;!Y I W

dc6dc7P! Y!!! Ec. ( 8)

Desarrollando la ecuación (8), tenemos:

33

3e6 = 3>6 aGg. dch F X.dc7 Ec. ( 9)

3e7 = 37 aGg. dc7 a X.dch Ec. ( 10)

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, se puede calcular α y ω. A continuación

se utiliza la relación cinemática entre el punto O (marcador 1) con la posición del centro

de gravedad de la cabeza (CG), obteniendo finalmente las siguientes ecuaciones:

3456 = 3>6 aGg. dijh F X.dij7 Ec. ( 11)

3457 = 3>7 aGg. dij7 a X.dij7 Ec. ( 12)

Hay que hacer notar que todos los cálculos matemáticos se los realizo mediante un

algoritmo de cálculo en Matlab, que en la parte final de este trabajo se anexa.

En la tabla 2.7 se puede apreciar las gráficas de velocidad y aceleración angular en

función del tiempo, los datos tienen mucho ruido por lo que fue necesario filtrar los datos

mediante funciónes B-spline.

Tabla 2.7 Velocidad y aceleración angular de la cabeza, sin filtrar los datos.


34

En la tabla 2.8 se puede observar una mejor presentación de los datos de velocidad y

aceleración angular mediante un filtrado mediante funciones B-spline.

Tabla 2.8.Velocidad y aceleración angular de la cabeza, datos filtrados por B-spline.


Tomando en cuenta que los datos de aceleraciones (dos puntos sobre la cabeza), la

velocidad angular, aceleración angular de la cabeza son conocidos, es posible calcular

las componentes de la aceleración del centro de gravedad de la cabeza mediante la

ecuación (11) y ecuación (12). En la tabla 2.9 se muestra las componentes de la

aceleración del centro de gravedad de la cabeza y su correspondiente módulo.

35

Tabla 2.9 Aceleración del centro de gravedad de la cabeza


Los datos de aceleraciones obtenidas para los dos marcadores, nos sirve para obtener

la velocidad angular (w) y la aceleración angular (α), posteriormente se calcula la

aceleración del centro de gravedad de la cabeza para cada instante de tiempo; los datos

obtenidos en este análisis cinemático son de vital importancia para el análisis dinámico

(fuerzas y torque que actúan sobre la cabeza).

Las gráficas de posiciones, velocidades, aceleraciones de dos marcadores son tratadas

computacionalmente en el software Matlab. Los algoritmos utilizados para el análisis

cinemático se anexan en la parte final del presente trabajo.

2.2 Modelo dinámico de los movimientos de flexo extensión

cervical

2.2.1 Introducción

El movimiento del cuello a través de la columna cervical, es el sector de la columna que

tiene mayor movimiento, por lo cual se ha propuesto hacer un análisis dinámico del

movimiento de flexo extensión del cuello en el plano sagital (plano x y). Por tratarse de

36

segmentos corporales la estimación de las fuerzas y momento que actúan sobre el

cuello humano deberán ser analizados mediante dinámica inversa.

Antes de establecer el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas y momento que actúan

sobre los cóndilos occipitales se debe tener muy claro los siguientes conceptos.

Sistema de coordenadas de referencia: Se considera como referencia del sistema de

coordenadas al centro de gravedad de la cabeza (CG). Como se puede observar en la

figura 2.5 el eje “x” es paralelo a la línea de Frankfort y eje “y” es perpendicular al eje x.

Figura 2.5 Sistema de coordenadas de la cabeza. (Fuente: (Vila Giraut, 2010))

Línea Frankfort

Es la línea imaginaria que se forma al unir un punto ubicado en el conducto auditivo

exterior con otro punto ubicado en el margen orbital inferior, como se puede observar

en la figura 2.6.

Canal auditivo (CA)

El canal auditivo externo

Orbital

Es la cavidad ósea del cráneo que contiene el globo ocular.

37

Cóndilos occipitales (OC)

Situado en la parte posterior del cráneo, pertenece al hueso occipital y permite la

articulación entre la cabeza y la primera vértebra C1 (también llamada atlas)

Figura 2.6 Centro de gravedad de la cabeza


Las coordenadas cartesianas de la ubicación del centro de gravedad de la cabeza y el

cóndilo occipital, la masa y momento de inercia de la cabeza están establecidas por

investigaciones antropométricas por parte de algunos profesores que a continuación se

citarán. Además hay que recalcar que se hace origen absoluto del sistema cabeza –

cuello, la ubicación del canal auditivo.

· Masa de la cabeza: 4,15 kg (Yount et al. 1983).

· Momento de inercia de la cabeza: 223.4 kk*l22 (Beier et al. 1980).

· La posición del centro de gravedad de la cabeza (CG) con relación al sistema de

coordenadas de referencia de la cabeza (CA), hace referencia al canal auditivo

externo como se muestra en la figura 2.6. Las coordenadas del centro de

gravedad de la cabeza (Walker et al. 1973) son las siguientes: mI = 9.1 22=dCGx my = 22.2 22=!dCGy!· La posición de los cóndilos occipitales (OC) en relación con el sistema de

referencia de la cabeza (Wismans et al. 1986) son las siguientes: mI = -8 22=docx!!my = -35 22=docy!!!

!

!

!

!

!

38

2.2.2 Diagrama de cuerpo libre de fuerzas y momento de la cabeza

Todas las fuerzas y momentos se aplican en la cabeza del sujeto y las reacciones del

cuello se muestran en la figura 2.7.

Figura 2.7 Diagrama de fuerzas y momento que actuantes en el cuello – cabeza, posición

normal. (Fuente: (Vila Giraut, 2010))

2.2.3 El movimiento de la cabeza en el plano sagital (plano x y)

Considerando que tanto la estructura del cuello - cabeza se asumen como sólidos

rígidos, se puede aplicar las siguientes ecuaciones fundamentales de la dinámica de

solidos rígidos.

Mediante la segunda ley de Newton se establece la siguiente ecuación:

/01 = 2. 3145 Ec. ( 13)

Donde:

m: masa de la cabeza. 3145: Aceleración medida.

Expresando para cada eje en el plano de movimiento (x y).

/06CCC1 = 2. 31456

/017 = 2. 31457

39

Ecuación fundamental dela dinámica de rotación.

/945 = :8 . ; Ec. ( 14)

Donde: 945 : Momento ; : Aceleración angular. :8!:!Momento de inercia de la masa respecto al eje z.!

Como se ha dicho anteriormente, la cabeza se considera un cuerpo rígido, por lo cual

las ecuaciones aplicadas para calcular las fuerzas y los momentos en el cuello son:

/01 = 2. 3145 Ec. ( 15)

/945 = :8 . ; Ec. ( 16)

La ecuación 15 permite calcular las fuerzas cortantes y axiales que son causadas debido

a la aceleración lineal del centro de gravedad de la cabeza, y con la ecuación 16 se

puede calcular el momento provocado por dicha fuerza, alrededor del eje z.

Figura 2.8.Diagrama de fuerzas y momento actuantes en el sistema cuello – cabeza, posición

de extensión cervical. (Fuente: (Vila Giraut, 2010))

Desarrollando la ecuación 15 en ambas direcciones “X” e “Y” (ver figura 2.8), las

ecuaciones obtenidas son:

nf46 a2.k. opqr = 2. 3456! nf47 a2.k. lNor = 2. 3457

Por lo tanto, ndiI (la fuerza cortante) se calcula a partir de:

nf46 = 2. 3456 F2.k. opqr! Ec. ( 17)

40

Y ndiy (la fuerza axial) se calcula a partir de:

nf47 = 2. 3457 F2.k. lNor Ec. ( 18)

Desarrollando la ecuación (16) y realizando la sumatoria de momentos en el centro de

masa de la cabeza, tenemos:

/945 = :8 . ;

nf46. Jm4f7 F m457K a nf47. Jm4f6 F m456K !F 9>s = :8. X

Por lo tanto, 9>s se calcula a partir de:

9>s = :8. X a nf46. Jm4f7 F m457K F nf47 . Jm4f6 F m456K! Ec. ( 19)

Las ecuaciones de equilibrio dinámico se aplican en el centro de gravedad de la cabeza

porque el momento de inercia (:z) puede encontrarse tabulado de investigaciones

antropométricas (:z =223.4 kk*l22 estimado por Beier et al. 1980).

Hay que hacer notar que todos los cálculos matemáticos se los realizo mediante un

algoritmo de cálculo en Matlab, que en la parte final de este trabajo se anexa.

2.2.4 Consideraciones fundamentales para el análisis dinámico inverso

Hay que recalcar que este análisis dinámico obedece a ciertas condiciones que a

continuación se detalla:

- Movimiento de la cabeza en plano sagital (x y).

- Sin tensión de los músculos en el sistema cuello - cabeza, en posición relajada

- Baja velocidad durante el movimiento de flexo extensión.

- Edad del voluntario: 23 años

- Sexo del voluntario: Masculino.

- Condición de evaluación anatómica y funcional del individuo: condiciones

normales (no sufre de patologías relacionadas con la columna cervical).

41

2.2.5 Resumen de datos importantes para el análisis dinámico inverso

En la tabla 2.1 se resumen los datos importantes para obtener las fuerzas de reacción

y el momento en los cóndilos occipitales.

Tabla 2.10.- Resumen, variables para el análisis dinámico de la columna cervical.

Variable Descripción. Detalles. Referencias.

m Masa de la cabeza. 4,15 kg Yount et al. 1983

Iz Momento de inercia de la cabeza (respecto al eje z)

223.4 kk*l22 Beier et al. 1980

m456 Distancia en el eje x (centro de masa), respecto al sistema de referencia CA.

9.1mm Walker et al. 1973

m457 Distancia en el eje y (centro de masa), respecto al sistema de referencia CA.

22.2mm Walker et al. 1973

mf46 Distancia en el eje x (cóndilo occipital), respecto al sistema de referencia CA.

-8mm Wismans et al. 1986

mf47 Distancia en el eje y (cóndilo occipital), respecto al sistema de referencia CA.

-35mm Wismans et al. 1986

t Velocidad absoluta instantánea del centro de masa de la cabeza

Vector de velocidades.

Experimentación del autor

3 Aceleración absoluta instantánea del centro de masa de la cabeza

Vector de aceleraciones.


r Angulo entre el eje x del sistema de ejes de referencia y la línea horizontal.

Vector ángulo de rotación.


G Velocidad angular absoluta instantánea de la cabeza.

Vector de velocidad angular

Ec. (9) y (10)

X Velocidad angular absoluta instantánea de la cabeza.

Vector de aceleración angular

Ec. (9) y (10)

0f46 Fuerza en la dirección x, aplicado en OC

Vector de Fuerzas instantáneas en el eje x.

Ec. (17)

0f47 Fuerza en la dirección y, aplicado en OC

Vector de Fuerzas instantáneas en el eje y.

Ec. (18)

9f4 Momento en el cuello, alrededor del eje z.

Vector de Momentos instantáneos

Ec. (19)


42

2.2.6 Cálculo de las fuerzas y momento en los cóndilos occipitales

Como ya se había mencionado anteriormente, se realizó una analogía entre los

segmentos corporales (cabeza, cuello) con los sólidos rígidos, de esta manera se aplica

la segunda ley de Newton y la ecuación fundamental de la dinámica de rotación, es

importante aclarar que en función del análisis de cuerpo libre de las fuerzas y momentos

que actúan sobre la cabeza en el plano sagital (x y), se asume como punto de pivote o

rotación a los cóndilos occipitales; es decir se va a estimar las fuerzas (Fx, Fy) y

momento (Moc) que se producen en mencionado punto, debido al peso propio de la

cabeza y el momento de Inercia que ejerce la cabeza en el eje perpendicular al plano

de movimiento.

En el capítulo anterior se realizó un análisis cinemático del movimiento de flexo

extensión cervical, que arrojó principalmente los siguientes datos: aceleración angular y

aceleración lineal del centro de gravedad de la cabeza de dos marcadores ubicados

sobre la cabeza, estos datos son muy importantes a la hora de estimar las fuerzas de

reacción en los cóndilos occipitales y el momento, cabe indicar que el ángulo de giro de

la cabeza se consideró -45⁰ en flexión cervical y 45⁰ en extensión cervical, ver figura

2.9.

Figura 2.9 Flexión cervical (45-) y extensión cervical (-45-).


2.2.6.1 Fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales

Datos:

Movimiento de flexión: -45grados

Movimiento de extensión: 45grados.

r: Matriz del ángulo de rotación de la cabeza, desde -45⁰ (posición en flexión cervical),

0⁰ (posición normal de la cabeza) y 45⁰ (posición en extensión cervical).

3456: Matriz de aceleraciones en el eje x del centro de gravedad de la cabeza para cada

instante de tiempo (valores determinados en el análisis cinemático del capítulo anterior).

43

3457: Matriz de aceleraciones en el eje “y” del centro de gravedad de la cabeza para

cada instante de tiempo.

nf46: Matriz de fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales en el eje x, para cada

instante de tiempo.

nf47: Matriz de fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales en el eje y, para cada

instante de tiempo.

m= 4.15 kg (Yount et al. 1983).

g= 9.81m/s2

Fórmulas aplicadas:

En la figura 2.10 se puede observar el diagrama de cuerpo libre, fuerzas y momento en

los cóndilos occipitales, a partir de este diagrama se puede encontrar las siguientes

ecuaciones:

/01 = 2. 3145

nf46 = 2. 3456 F2.k. opqr! nf47 = 2. 3457 F2.k. lNor

Figura 2.10 Diagrama de cuerpo libre, fuerzas y momentos en los cóndilos occipitales. (Fuente: Escobar, 2017)

Fuerza en función del tiempo

En la figura 2.11 se puede observar que el módulo de la fuerza es aproximadamente

de 40.65N mediante un ajuste polinomial de las posiciones de la cabeza, mientras que

mediante un ajuste no paramétrico B-spline se tiene una fuerza máxima de 41.1N.

44

Figura 2.11 Fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales. (Fuente: Escobar, 2017)

2.2.6.2 Momento generado en los cóndilos occipitales

Datos:

dCOx= -8mm, distancia en el eje x desde el canal auditivo hasta los cóndilos occipitales

(Wismans et al. 1986).

dCGx=9.1mm, distancia en el eje x desde el canal auditivo hasta el centro de gravedad

de la cabeza (Walker et al. 1973).

dCOy= -35mm, distancia en el eje y desde el canal auditivo hasta los cóndilos occipitales

(Wismans et al. 1986).

dCGy= 22.2mm, distancia en el eje y desde el canal auditivo hasta el centro de gravedad

de la cabeza (Walker et al. 1973).

Iz=223.4 kk*l22 (Beier et al. 1980), inercia de la cabeza respecto al eje "z", dato citado

de investigaciones antropométricas (se asume como constante).

α: Matriz de la aceleración angular respecto al centro de rotación de la cabeza (OC),

este dato se obtuvo en el análisis cinemático del capítulo anterior.

L1=dCOx +dCGx=17.1mm=0.0171m

L2=dCOy +dCGy=57.2mm=0.0572m

45

Fórmulas aplicadas:

/945 = :8 . ;

nf46. Jm4f7 F m457K a nf47. Jm4f6 F m456K !F 9>s = :8. X

9>s = :8. X a nf46. Jm4f7 F m457K F nf47 . Jm4f6 F m456K Momento calculado en función del tiempo

En la figura 2.12 se puede observar un momento en el cóndilo occipital de 2.1N.m

Figura 2.12.- Momento generado en el cóndilo occipital.


46

CAPITULO III

3 RESULTADOS Y DISCUSIÓN

3.1 Resultados

· Análisis de posiciones flexo extensión cervical, varios ciclos, marcador 1

En la gráfica 3.1, se puede observar las trayectorias que sigue la cabeza, las

mismas que se desplazan de ciclo en ciclo, es decir no tiene un patrón de

trayectoria establecido, esto es debido a diversos factores, como por ejemplo:

equipo inadecuado para fijar el tronco del voluntario para garantizar que lo único

que se mueva sea el sistema cuello – cabeza, el individuo estudiado se va

fatigando de ciclo en ciclo, etc.

Figura 3.1.- Flexo extensión cervical, varios ciclos.


· Análisis de posiciones (x vs. y) flexión cervical, un ciclo, marcador 1

Las posiciones x, y que sigue un marcador ubicado sobre la cabeza durante el

movimiento de flexión describe una curva similar a una parábola, para poder

calcular las velocidades y aceleraciones instantáneas mediante una curva

polinomial, se trató las posiciones (x, y) independientemente respecto al tiempo,

sin embargo no es una curva que se ajuste a los datos reales. Por otra parte se

ha suavizado la curva mediante funciones B-spline, obteniéndose buenos

resultados como se puede ver en figura 3.2.

47

Figura 3.2.Posiciones (x, vs. y) flexión cervical, un ciclo


· Ajuste de las posiciones (t vs. x) flexión cervical, un ciclo, marcador 1

En la figura 3.3 se observa la gráfica de las coordenadas ‘x’ en función del

tiempo. Fue necesario realizar un tratamiento de los datos experimentales

mediante funciones B-spline, además se realizó un ajuste polinomial de 4to

grado en la curva (t vs. x) con el objetivo de determinar que método de ajuste se

aproxima de mejor marera a los datos reales, determinando que el ajuste

mediante funciones B-spline es el adecuado.

Figura 3.3 Ajuste posiciones en el eje x


· Ajuste de las posiciones (t vs. y) Flexión cervical, un ciclo, marcador 1

En la figura 3.4 se puede apreciar de mejor manera que el ajuste de funciones

B-spline es el adecuado, porque se aproxima a la curva original.

48

Figura 3.4 Ajuste posiciones en el eje y


· Velocidad angular de la cabeza

En la figura 3.5 se observa la curva de velocidad angular en función del tiempo, la

cual tiene mucho ruido, por lo que se trató mediante funciones B-spline y ajuste

polinómico como se observa en la figura 3.6. Igualmente el ajuste B-spline es el

método que mejor se ajusta a los datos reales.

Figura 3.5. Velocidad angular.


Figura 3.6 Ajuste velocidad angular.


49

· Aceleración angular de la cabeza

En la figura 3.7 se observa la curva de aceleración angular en función del tiempo,

la cual tiene mucho ruido, por lo que se trató mediante funciones B-spline y ajuste

polinómico, como se observa en la figura 3.8 se obtiene mejores resultados con el

ajuste B-spline.

Figura 3.7 Aceleración angular (Fuente: Escobar, 2017)

Figura 3.8 Ajuste aceleración angular


· Fuerza de reacción en los cóndilos occipitales

En la figura 3.9 se puede observar claramente la variación de los resultados al

utilizar un ajuste polinomial o ajuste B-spline en los datos experimentales de

posición obtenidos mediante análisis de video. Se determina que los resultados

que más se aproximan a los valores reales de la fuerzas son los obtenidos

mediante ajuste de funciones B-spline en las coordenadas de posición de los

marcadores durante el movimiento de la cabeza.

50

Figura 3.9 Fuerzas de reacción que se generan en los cóndilos occipitales (Fuente: Escobar, 2017)

· Momento en los cóndilos occipitales

En la gráfica 3.10 se puede determinar un momento máximo de 2.1 N.m.

Figura 3.10.- Momento máximo generado en los cóndilos occipitales.

(Fuente: El Autor, 2017)

3.2 Discusión

Aplicado la investigación experimental cuantitativa, en base al planteamiento de la

dinámica inversa y de los sólidos rígidos se aplicó con facilidad la segunda ley de

Newton para el cálculo de las fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales y el cálculo

del momento mediante la ecuación fundamental de la dinámica rotacional en el plano

sagital, para esto se realizó un estudio cinemático del movimiento de flexo extensión

cervical, utilizando la técnica del análisis de video.

Análisis de fuerzas en los cóndilos occipitales

Como se puede observar en la figura 3.11 según Domínguez (2014), en su estudio

isocinético cervical obtiene valores promedio de fuerza en la columna cervical para un

grupo de hombres de entre 20 y 40 años con un valor de aproximado de 65N. En esta

investigación se obtuvo una fuerza promedio en los cóndilos occipitales de 40.65 N

51

mediante ajuste polinomial de los datos de posición y 41.1N utilizando un ajuste de

funciones B-spline, ver figura 3.12.

Se puede realizar comparaciones entre las fuerzas de la columna cervical citadas

anteriormente solo para tener una idea de la confiabilidad de los resultados, ya que cada

fuerza obedece a una anatomía compleja y distinta que tiene cada persona.

Se recomienda hacer experimentaciones de medición de fuerzas de la columna cervical

para el individuo que se analizó en esta investigación, de esta manera se podrá

comparar los resultados teóricos y experimentales.

Figura 3.11 Valores de fuerza medidos por isocinética cervical.

Fuente: (Domínguez Domínguez, 2014)

Figura 3.12. Valores de fuerza mediante análisis de video.

Fuente: (Escobar, 2017)

Análisis del momento en los cóndilos occipitales

Como se puede observar en la figura 3.13 según Vila Giraut (2010), en su estudio de

las fuerzas y momento generados en los cóndilos occipitales obtiene un momento

máximo de aproximadamente de 4.7N.m. En esta investigación se obtuvo un momento

máximo en los cóndilos occipitales de 2.1 N.m, ver figura 3.14. Se consideró comparar

52

los resultados del cálculo del momento para poder establecer que los datos obtenidos

en este trabajo están dentro de un rango de confiabilidad de resultados.

Se recomienda hacer experimentaciones de medición del momento en la columna

cervical para el individuo que se analizó en esta investigación, de esta manera se podrá

comparar los resultados teóricos y experimentales.

Figura 3.13 Momento del cuello en los cóndilos occipitales de un voluntario.

Fuente: (Vila Giraut, 2010)

Figura 3.14 Momento calculado en los cóndilos occipitales mediante análisis de video.

Fuente: (Escobar, 2017)

Para mejorar las trayectorias de la cabeza durante la flexo extensión cervical se

recomienda utilizar equipo adecuado para la fijación del tronco del voluntario

experimentado, además se sugiere hacer un estudio de alternativas para el filtrado y

suavizado de datos obtenidos experimentalmente con el fin de eliminar el ruido que

contienen, de esta manera se puede obtener mejores resultados. La metodología que

se emplea en esta investigación (análisis de video) hace uso de los recursos disponibles

actualmente en el medio, por lo que los resultados son poco confiables, para mejorar

los resultados de esta investigación se sugiere implementar un laboratorio de

Biomecánica; además hago notar que este tipo de investigaciones demanda un grupo

de profesionales multidisciplinario por ejemplo Traumatólogos, Ingenieros, Estadísticos,

etc.; al juntar los criterios técnicos, científicos de cada uno de los profesionales se podrá

llegar a resultados confiables.

53

CAPITULO IV

4 CONCLUSIONES

· Las trayectorias de los marcadores que se obtuvieron experimentalmente se los

trato mediante una función B-spline para poder disminuir el ruido, además se

analizó las trayectorias ‘x’ e ‘y’ individualmente y en función del tiempo, es decir

se debe generar una trayectoria para el eje ’x’ y otra para el eje ‘y’, estas curvas

deben ser continuas y derivables en función del tiempo.

· Se realizó un proceso tratamiento de los datos de la velocidad y aceleración

angular mediante funciones B-spline, debido a que presentaban un

comportamiento inestable, que afectaba directamente al cálculo de las fuerzas y

el momento en el cálculo dinámico.

· Las fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales, se las calculó aplicando la

ecuación de la segunda ley de Newton, las fuerzas se las restringió al plano

sagital (xy), estos resultados no son confiables. Se debe realizar una práctica en

un laboratorio especializado en el análisis de movimientos corporales para

adquirir datos de fuerzas experimentalmente, de esta forma se podrá validar los

resultados teóricos y experimentales para un individuo en particular.

· El momento generado en los cóndilos occipitales, provocados por el peso propio

de la cabeza y su momento de inercia respecto al eje “z”, se calculó aplicando la

ecuación fundamental de la dinámica de rotación en el plano, mediante analogía

con los sólidos rígidos, estos resultados se deben validar con datos

experimentales obtenidos en un laboratorio de análisis de movimientos humanos

en función de la misma persona experimentada en este trabajo investigativo.

· La técnica del análisis del movimiento mediante video, ha sido de mucha ayuda

en este trabajo, porque ayudó a obtener con facilidad las trayectorias de los

marcadores de posición, facilitándose el cálculo de la aceleración del centro de

gravedad de la cabeza mediante la cinemática del sólido rígido. Además se

concluye que esta técnica es muy fácil de implementar y de bajo coste, sin

embargo no garantizan la confiabilidad necesaria en los resultados.

· Hay que dejar en constancia que los resultados del estudio dinámico de

segmentos corporales varía dependiendo del sexo, edad, estado funcional del

segmento corporal, entre otros; los resultados de fuerzas y momento obtenidos

54

en esta investigación no se pueden generalizar para todas las personas debido

a que todos tenemos anatomías complejas y distintas.

· Finalmente se concluye que los resultados obtenidos en esta investigación

puede considerarse como un cálculo preliminar, que servirá de apoyo en el

estudio dinámico del cuello humano en futuras investigaciones. Además hago

notar que este tipo de investigaciones demanda un grupo de profesionales

multidisciplinario por ejemplo Traumatólogos, Ingenieros, Estadísticos, etc.; al

juntar los criterios técnicos, científicos de cada uno de los profesionales se podrá

llegar a resultados confiables.

55

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baydal Bertomen, J. M. (2012). Cinemática del Raquis Cervical. Valencia.

Calvo, J. B. (s.f.). Pilates Terapeutico. Panamericana.

Cappozzo, A., & Leardini, A. (2004). Human movement analysis using

stereophotogrammetry. 3-12.

ComPADRE Digital Library. (2009). Tracker Video Analysis and Modeling Tool for

Physics Education. Obtenido de http://physlets.org/tracker/.

Díaz Rodríguez, M., Valera, Á., Page, Á., Besa, A., & Mata, V. (2016). Dynamic

Parameter Identification of Subject-Specific Body Segment Parameters Using

Robotics Formalism: Case Study Head Complex. 1-8.

Diego-Mas, J. A. (2015). Análisis biomecánico estático coplanar. Ergonautas,

Universidad Politécnica de Valencia.

Domínguez Domínguez, I. (2014). Patrones de normalidad de la fuerza, rango de

movimiento y activación neuro muscular del esguinse muscular.

Fernández Coca, M. M. (2009). Anatomía Columna Cervical. Huesos y Articulaciones.

Fisioterapia glogal.

Hibbeler, H. R. (2010). Ingeniería Mecánica, Dinámica (12 Ed. ed.). México: Pearson

Educacion.

Imhof, & Cols. (2011). Diagnóstico por imagen de la Columna vertebral. Panamericana.

Kapandji, A. I. (1998). Fisiologia Articular, Tronco y Raquis (5ta ed.). Panamericana.

Leva, P. (1996). Adjustments to Zarsiorski - Seluyanov's Segment Inertia Parameters.

1-8.

Marion, J. B. (2003). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona:

REVERTE, S. A.

Mata, V. (2015). Mecánica Computacional. Formulaciones Dinámicas. EPN. Quito.

Obtenido de http://www.upv.es/citv

McConville, J. T. (1980). Anthropometric relationships of body and body segment

moments of inertia. Ohio.

Page, A. (2015). Técnicas avanzadas de análisis de movimiento. Suavizado, derivación

numérica, IBV. 14-15.

56

Torres Cueco, R. (2008). La columna Cervical: Síndromes Clínicos y su tratamiento

manipulativo. Panamericana.

Vargas Sanabria, M. (2012). Anatomía y exploración física de la columna. Scielo, 29 (2),

77-92.

Vila Giraut, L. (2010). Test method – Upper neck force and moment. Goteborg, Sweden:

CHALMERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY.

i

ANEXOS

ANEXO 1.

POSICIÓN DE LOS CÓNDILOS OCCIPITALES.

ii

ANEXO 2.

CENTRO DE GRAVEDAD DE LA CABEZA.

iv

ANEXO 3.

MASA DE LA CABEZA.

v

ANEXO 4.

MOMENTO DE INERCIA DE LA CABEZA.

vi

ANEXO 5.

ALGORITMO DE CÁLCULO EN MATLAB DE LA CINEMÁTICA Y DINÁMICA

MOVIMIENTO FLEXO EXTENSIÓN CERVICAL.

%/////////////////////////////////////////CÁLCULO CINEMÁTICO///////////////////////////////////////////////////// clear;clc; format long m=1; numeromararcadores=2; tabla=dlmread('DatosExpermPosicExtensionXYunCiclo.txt); Tabla=tabla(:,1:4); numeromarcadores=2 %como cada marcador tiene 2 columnas XY, tomara 4 %columnas, analisis en el plano sagital n=numel(Tabla(1,:)); % tsim=6.6 %tiempo que dura un ciclo de extensión. nt=numel(Tabla(:,1)); dt=tsim/(nt-1); t= linspace(0,tsim,nt); for i=1:n; fdamat = suavizado_bspline_Cabeza(Tabla(:,i),t',35,4); posiciones(:,i)=fdamat(:,:,1); VEL(:,i)=fdamat(:,:,2); ACEL(:,i)=fdamat(:,:,3); End %--------------------------------------------------------------------- % Posiciones, Velocidades, aceleraciones-----> Marcador 1 % Posicion x y subplot(1,1,1); plot(Tabla(:,1),Tabla(:,2),'-r'); hold on ; plot(posiciones(:,1),posiciones(:,2),'-b'); title('posiciones(X Vs. Y)(m), Marcador 1)') legend('posiciones originales xy','posiciones ajustadas, B-spline xy') % Posiciones x figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),Tabla(:,1),'-r'); hold plot(t(1,:),posiciones(:,1),'-b'); title('Ajuste de los datos (tiempo Vs. X, Marcador 1)') legend('posiciones originales X1 (m)','posiciones ajustadas,B-spline X1') % Posiciones y subplot(2,1,2); plot(t(1,:),Tabla(:,2),'-r'); hold on; plot(t(1,:),posiciones(:,2),'-b'); title('Ajuste de los datos (tiempo Vs. Y(m), Marcador 1)') legend('posiciones originales Y1','posiciones ajustadas,B-spline Y1') %_____________________________________________________________________ % velocidades y aceleraciones ----------> Marcador 1 syms T % Velocidades Px1=-0.00027*T.^4+0.0052*T.^3-0.03*T.^2-0.0013*T+0.49 % ecuación trayectoria marcador 1 en x respecto al tiempo

vii

Py1=-0.00035*T.^4+0.0048*T.^3-0.014*T.^2-0.027*T+0.051% ecuación %trayectoria marcador 1 en (y) respecto al tiempo PX1=inline(Px1) PY1=inline(Py1) T=t; PosAjustX1=PX1(T(1,:)); PosAjustY1=PY1(T(1,:)); syms T Velx1=eval(diff(Px1,1)) Vely1=eval(diff(Py1,1)) VelocidX1=inline(Velx1) VelocidY1=inline(Vely1) T=t; vx1=VelocidX1(T(1,:)); vy1=VelocidY1(T(1,:)); for i=1:nt velocidadesM1(i,1)=sqrt(vx1(1,i).^2+vy1(1,i).^2) end

% VELOCIDADES SUAVIZADO B-SPLINE VELX1=VEL(:,1); VELX2=VEL(:,3); VELY1=VEL(:,2); VELY2=VEL(:,4); for i=1:nt VELM1(i,1)=sqrt(VELX1(i,1).^2+VELY1(i,1).^2) end % Aceleraciones syms T Acelx1=eval(diff(Px1,2)) Acely1=eval(diff(Py1,2)) AcelerX1=inline(Acelx1) AcelerY1=inline(Acely1) T=t ax1=AcelerX1(T(1,:)); ay1=AcelerY1(T(1,:)); for i=1:nt aceleracionesM1(i,1)=sqrt(ax1(1,i).^2+ay1(1,i).^2) end % aceleración mediante B-spline ACELX1=VEL(:,1); ACELX2=VEL(:,3); ACELY1=VEL(:,2); ACELY2=VEL(:,4); for i=1:nt ACELM1(i,1)=sqrt(ACELX1(i,1).^2+ACELY1(i,1).^2) end figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),velocidadesM1(:,1),'-b') hold on plot(t(1,:),VELM1(:,1),'-R') title('Tiempo Vs. velocidades (Marcador 1)')

viii

legend('Velocidad ajuste polinomial(m/s)','Velocidad ajuste B-spline (m/s)') subplot(2,1,2); plot(t(1,:),aceleracionesM1(:,1),'-b') hold on plot(t(1,:),ACELM1(:,1),'-r') title('Tiempo Vs. aceleraciones (Marcador 1)') legend('Aceleración ajuste polinomial(m/s)','Aceleración ajuste B-spline (m/s)') %--------------------------------------------------------------------- % Posiciones-----> Marcador 2 % Posición x y % Posición x y subplot(1,1,1); plot(Tabla(:,3),Tabla(:,4),'-r'); hold on ; plot(posiciones(:,3),posiciones(:,4),'-b'); title('posiciones(X Vs. Y)(m), Marcador 2)') legend('posiciones originales xy','posiciones ajustadas xy, B-spline ') % Posiciones x figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),Tabla(:,3),'-r'); hold on plot(t(1,:),posiciones(:,3),'-b'); title('Ajuste de los datos (tiempo Vs. X, Marcador 2)') legend('posiciones originales X2 (m)','posiciones ajustadas X2, B-spline') % Posiciones y subplot(2,1,2); plot(t(1,:),Tabla(:,4),'-r'); hold on; plot(t(1,:),posiciones(:,4),'-b'); title('Ajuste de los datos (tiempo Vs. Y(m), Marcador 2)') legend('posiciones originales Y2','posiciones ajustadas Y2, B-spline') %_____________________________________________________________________ % velocidades y aceleraciones ----------> Marcador 2 syms T % Velocidades Px2=-0.00027*T^4+0.0052*T^3-0.03*T^2-0.0013*T+0.49; % ecuación %trayectoria marcador 1 en x respecto al tiempo Py2=0.00029*T^4-0.0044*T^3+0.016*T^2+0.018*T-0.0096; % ecuación %trayectoria marcador 1 en z respecto al tiempo PX2=inline(Px2) PY2=inline(Py2) T=t; PosAjustX2=PX2(T(1,:)); PosAjustY2=PY2(T(1,:)); syms T Velx2=eval(diff(Px2,1)); Vely2=eval(diff(Py2,1)); VelocidX2=inline(Velx2); VelocidY2=inline(Vely2); T=t; vx2=VelocidX2(T(1,:));

ix

vy2=VelocidY2(T(1,:)); for i=1:nt velocidadesM2(i,1)=sqrt(vx2(1,i).^2+vy2(1,i).^2) end for i=1:nt VELM2(i,1)=sqrt(VELX2(i,1).^2+VELY2(i,1).^2) end % Aceleraciones syms T Acelx2=eval(diff(Px2,2)); Acely2=eval(diff(Py2,2)); AcelerX2=inline(Acelx2); AcelerY2=inline(Acely2); T=t; ax2=AcelerX2(T(1,:)); ay2=AcelerY2(T(1,:)); for i=1:nt aceleracionesM2(i,1)=sqrt(ax2(1,i).^2+ay2(1,i).^2) end for i=1:nt ACELM2(i,1)=sqrt(ACELX2(i,1).^2+ACELY2(i,1).^2) end figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),velocidadesM2(:,1),'-b') hold on plot(t(1,:),VELM2(:,1),'-r') title('Tiempo Vs. velocidades (Marcador 2)') legend('Velocidad ajuste polinomial(m/s)','Velocidad ajuste B-spline (m/s)') subplot(2,1,2); plot(t(1,:),aceleracionesM2(:,1),'-b') hold on; plot(t(1,:),ACELM2(:,1),'-r') title('Tiempo Vs. aceleraciones (Marcador 2)') legend('Aceleración ajuste polinomial(m/s)','Aceleración ajuste B-spline (m/s)') %////////////CÁLCULO DE LA ACELERACIÓN EN EL CENTRO DE GRAVEDAD///////////// % se debe considerar que análisis se lo realiza en el plano sagital %a(Px)=a(Ox)-w^2.(OPx)+alpha.(OPy) %a(Py)=a(0y)-w^2.(OPy)-alpha.(OPx) for i=1:nt; OPx(i,1)=abs(posiciones(i,3)-posiciones(i,1)); OPy(i,1)=abs(posiciones(i,4)-posiciones(i,2)); aPx(i,1)=ax2(1,i); aOx(i,1)=ax1(1,i); aPy(i,1)=ay2(1,i); aOy(i,1)=ay1(1,i); syms alfa w2(i,1)= aOy(i,1)-aPy(i,1)+(alfa*OPy(i,1))/OPy(i,1) Ec(i,1)=aOx(i,1)-w2(i,1)*OPx(i,1)-alfa*OPy(i,1)- aPx(i,1) Alfa(i,1)=eval(solve(Ec(i,1),alfa)); W2(i,1)=(aOy(i,1)-aPy(i,1)+( Alfa(i,1)*OPy(i,1))/OPy(i,1)) w_cab(i,1)=sqrt(abs(W2(i,1)))

x

vel_angular(i,1)=eval(); end %____________________________________________________________________ %velocidad angular y aceleración angular. format long Vel_acel_ang=dlmread('VelAcelAng.txt'); Datos=Vel_acel_ang(:,1:2); n=numel(Datos(1,:)); % tsim=7.7 %tiempo que dura un ciclo de extensión. nt=numel(Datos(:,1)); dt=tsim/(nt-1); t= linspace(0,tsim,nt); for i=1:n; fdamat = suavizado_bspline_VelAcelAng(Datos(:,i),t',35,4); VelAcelAng(:,i)=fdamat(:,:,1); end veloc_angularSinFilt=Datos(:,1); acel_angularSinFilt=Datos(:,2); veloc_angular=VelAcelAng(:,1); acel_angular=VelAcelAng(:,2); figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:), veloc_angularSinFilt(:,1),'-b'); hold on plot(t(1,:), veloc_angular(:,1),'-r'); title('Tiempo (s) Vs. Velocidad angular (rad/s) ') legend('Velocidad angular original (rad/s)','Ajuste velocidad angular,B-spline (rad/s)') hold subplot(2,1,2); plot(t(1,:),acel_angularSinFilt(:,1),'-b') hold on; plot(t(1,:), acel_angular(:,1),'-r'); title('Tiempo (s) Vs. Aceleración angular (rad/s2) ') legend('Aceleración angular original (rad/s2)','Ajuste Aceleración angular,B-spline (rad/s2)') % Ajuste de la velocidad angular syms T w_ajust=0.0022*T^3-0.029*T^2+0.1*T+0.0047; % ecuación trayectoria %marcador 1 en x respecto al tiempo %respecto al tiempo W_ajust=inline(w_ajust) T=t; W_ajustada=W_ajust(T(1,:)); % Ajuste de la aceleración angular syms T alf_ajust=0.00021*T^3+0.0048*T^2-0.044*T+0.17; % ecuación trayectoria %marcador 1 en x respecto al tiempo Alf_ajust=inline(alf_ajust) T=t; Alfa__ajustada=W_ajust(T(1,:));

xi

%_____________________________________________________________________ % Cálculo de la aceleración en el centro de gravedad. % Mediante ajuste polinomial for i=1:nt; OCGx(i,1)=abs(posiciones(i,3)-posiciones(i,1)); OCGy(i,1)=abs(posiciones(i,4)-posiciones(i,2)); aOx(i,1)=ax1(1,i); aOy(i,1)=ay1(1,i); w(i,1)= W_ajustada(1,i); alf(i,1)=Alfa__ajustada(1,i); acgx(i,1)=aOx(i,1)-(w(i,1)).^2*OCGx(i,1)+alf(i,1)*OCGy(i,1); acgy(i,1)=aOy(i,1)-(w(i,1)).^2*OCGy(i,1)-alf(i,1)*OCGx(i,1); end AcgX=acgx(:,1); AcgY=acgy(:,1); AceleCG=sqrt(AcgX(:,1).^2+AcgY(:,1).^2) % Mediante B-spline for i=1:nt; OCGx(i,1)=abs(posiciones(i,3)-posiciones(i,1)); OCGy(i,1)=abs(posiciones(i,4)-posiciones(i,2)); AOx(i,1)=ACELX1(i,1); AOy(i,1)=ACELY1(i,1); W(i,1)= veloc_angular(i,1); ALF(i,1)=acel_angular(i,1); ACgx(i,1)=AOx(i,1)-(W(i,1)).^2*OCGx(i,1)+ALF(i,1)*OCGy(i,1); ACgy(i,1)=AOy(i,1)-(W(i,1)).^2*OCGy(i,1)-ALF(i,1)*OCGx(i,1); End ACGX=ACgx(:,1); ACGY=ACgy(:,1); ACELECG=sqrt(ACGX(:,1).^2+ACGY(:,1).^2) figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),acgx(:,1),'-r'); hold on plot(t(1,:),ACgy(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Aceleracion CG "X" cabeza ') legend('Ajuste polinomial aceleración CG "X"cabeza m/s2',' Ajuste B-spline aceleración CG "X" cabeza m/s2') hold subplot(2,1,2); plot(t(1,:),acgy(:,1),'-g'); hold on plot(t(1,:),ACgy(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Aceleracion CG "Y" cabeza ') legend('Ajuste polinomial aceleración CG "Y"cabeza m/s2',' Ajuste B-spline aceleración CG "Y" cabeza m/s2') figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),AceleCG(:,1),'-r'); hold on plot(t(1,:),ACELECG(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Aceleracion CG cabeza ') legend('Ajuste polinomial aceleración Centro Gravedad cabeza m/s2',' Ajuste B-spline aceleración Centro Gravedad cabeza m/s2')

xii

% /////////////////////////////////////////////CÁLCULO DINÁMICO///////////////////////////////////////////////////// %---------------Incrementos del Ángulo teta Teta=dlmread('teta.txt'); %movimiento de flexión-----> -45grados %movimiento de extensión-----> 45grados % cálculo de las fuerzas. m=4.15 % masa cabeza kg. gv=9.81 % gravedad en (m/s2) % ///////////////////////CÁLCULO DE LAS FUERZAS/////////////////////////////////////////////////////////////// %___________________________________________________ % Cálculo de las fuerzas de reacción en los cóndilos occipitales. for i=1:nt; Rcox(i,1)=m*acgx(i,1)+m*gv*sind(Teta(i,1)) Rcoy(i,1)=m*acgy(i,1)+m*gv*cosd(Teta(i,1)) End Fx=Rcox(:,1); Fy=Rcoy(:,1); Fuerza=sqrt(Fx(:,1).^2+Fy(:,1).^2)

% Mediante ajuste B-spline for i=1:nt; REcox(i,1)=m*ACgx(i,1)+m*gv*sind(Teta(i,1)) REcoy(i,1)=m*ACgy(i,1)+m*gv*cosd(Teta(i,1)) End

FUx=REcox(:,1); FUy=REcoy(:,1); FUERZA=sqrt(FUx(:,1).^2+FUy(:,1).^2) % ///////////////////////CÁLCULO DEL MOMENTO /////////////////////////////////////////////////////////////// %M0c=Iz.?-ROCx.(dCOx +dCGx)+ROCy.(dCOy+dCGy) %dCOx= 8mm, dCGx=9.1mm %dCOy= 35mm, dCGy=22.5mm % L1=dCOx +dCGx=13mm % L2=dCOz +dCGz=55mm Iz=0.0222 %Inercia de la cabeza respecto al eje "z" (kg m2) L1=0.0171 L2=0.0575 for i=1:nt; Moc(i,1)=Iz*alf(i,1)-Fx(i,1)*L2+Fy(i,1)*L1 End

% Mediante ajuste B-spline for i=1:nt; MOC(i,1)=Iz*ALF(i,1)-FUx(i,1)*L2+FUy(i,1)*L1 end figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),Fx(:,1),'-r'); hold on; plot(t(1,:),FUx(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Fuerza cóndilos occipitales "X"(N) ')

xiii

legend('Fuerza X, ajuste polinomial(N)', 'Fuerza X, ajuste B-spline(N)') hold subplot(2,1,2); plot(t(1,:),Fy(:,1),'-r'); hold on; plot(t(1,:),FUy(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Fuerza cóndilos occipitales "Y"(N) ') legend('Fuerza Y, ajuste polinomial(N)', 'Fuerza Y, ajuste B-spline(N)') figure subplot(2,1,1); plot(t(1,:),Fuerza(:,1),'-r'); hold on; plot(t(1,:),FUERZA(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Fuerza cóndilos occipitales(N) ') legend('Fuerza, ajuste polinomial(N)', 'Fuerza, ajuste B-spline(N)') hold subplot(2,1,2); plot(t(1,:),Moc(:,1),'-r'); hold on; plot(t(1,:),MOC(:,1),'-b'); title('Tiempo (s) Vs. Momento cóndilos occipitales (N.m) ') legend('Momento, ajuste polinomial(N.m)', 'Momento, ajuste B-spline(N.m)') %//////////////////////////////////////////////////////FIN DE PROGRAMA///////////////////////////////////////////////

xiv

ANEXO 6.

SUAVIZADO B-SPLINE

(Instituto de Biomecánica de Valencia- IBV)

function fdamat = suavizado_bspline(datos, tiempo, nfunctions, order, varargin) % suavizado_bspline : Ajuste por spline mediante datos funcionales % % Función MATLAB para suavizar datos funcionales mediante bases de % funciones splines. % % Esta función sirve tanto de manera independiente como para un uso % combinado con la función suavizado_optimo. Con esta función se calcula % el suavizado de la función objetivo a partir de la curva y de un número % dado de funciones para una base y del orden de estas. Como salida ofrece % la curva suavizada junto con las derivadas que se precisen, por defecto % 2. En el caso del uso combinado, el argumento necesario 'nfunctions' % sería el que ofrece como salida la función suavizado_optimo. % % Además, en este uso combinados opcionales 'order' y 'knots' de la función % suavizado_optimo se convierten en los argumentos necesarios 'order' y % 'tiempo' de la función suavizado_bspline. Además, el argumento 'disc' % debe coincidir en ambas funciones. % % Este uso combinado tiene el objetivo de ahorrar tiempo cuando se trabaja % con un banco de datos grande en el que las curvas son parecidas entre sí % y no va a haber grandes diferencias en el número de funciones necesarias. % De este modo, realizamos el cálculo de este óptimo una única vez y lo % tomamos como válido para todos los registros. % % Argumentos necesarios de entrada: % - DATOS: Vector o matriz de tamaño m x n, donde n representa el número de % réplicas, o bien el número de variables, que contiene los datos a ajustar. % - TIEMPO: Vector columna que indica los puntos en los que se han obtenido las % medidas de DATOS. Evidentemente, la longitud del vector TIEMPO ha de ser m. % - NFUNCTIONS: Valor que indica que el suavizado se va a realizar con un % número determinado de funciones. % - ORDER: Orden de los splines uisados para realizar el ajuste. El orden % siempre es una unidad superior al grado máximo del polinomio que define % el spline y debe ser al menos dos grados superior al orden máximo de

xv

% derivada requerido, para garantizar suavidad en el resultado. % % Argumentos opcionales (aparecen ligados a varargin; si no se pone nada % toma valores por defecto, ver ejemplos al final) % % 'knots' - Vector sobre el que se realizarán las estimaciones del % suavizado. Por defecto, será el vector TIEMPO. Por ejemplo, para interpolar en otros valores % se debe definir un vector t0 con los instantes donde se quiere calcular % % 'salida' - Variable dicotómica para indicar si queremos ver representaciones % gráficas de los valores ajustados. Un valor 0 indica que no se hará ninguna % representación gráfica, si vale 1 se mostrarán las siguientes figuras % * Representación gráfica comparativa de los datos ajustados y los datos % originales. % * Representaciones de los valores ajustados para la velocidad y la % aceleración de la partícula. % * Representaciones de las velocidades y las aceleraciones frente a los % datos ajustados. % Por defecto vale 0. Aunque su valor sea 0, en el caso de que no se % solicite ningún argumento de salida, también se presentarán los gráficos. % % 'nderiv' - Valor que indica el orden máximo de la derivada a calcular. % Por defecto, es 2. % % 'disc' - Matriz con dos columnas en las que podemos encontrar, por un % lado, en la primera columna, el conjunto de puntos que presentan algún % tipo de discontinuidad, bien en la función original, bien en alguna de % las derivadas superiores. Por otra parte, en la segunda columna aparece % el valor de la primera derivada discontinua en ese punto. Por ejemplo, si % en la primera fila apareciera (2, 1) significaría que la función tiene en % el instante t=2 una discontinuidad en la derivada 1, es decir, es una % función continua cuya primera derivada no es continua en t=2. % % Los argumentos de salida son: % - FDAMAT: Vector o matriz en la que aparecen los valores ajustados en los % instantes de tiempo TIEMPO, tanto de la función como de las derivadas que % se soliciten. % % EJEMPLO % % % Definimos una cierta función: % f = sqrt(2);

xvi

% w = 2*pi*f; % t = linspace(0,2.5,1000); % alfa = 0.8; % y = cos (w.*t) .* cosh (alfa.*sin(w.*t)); % % % Introducimos un cierto error % tamano_error = 0.01; % x = y + tamano_error*randn(1,1000); % % % Y usamos la función suavizado_bspline para realizar un suavizado con, por % % ejemplo 35 funciones bsplines de orden 6: % % fdamat = suavizado_bspline(x, t', 35, 6); % % % Para ver los resultados dibujamos la función y sus derivadas: % % plot(fdamat(:,1,1)) % hold on % plot(fdamat(:,1,2), '-r') % plot(fdamat(:,1,3), '-g') % % % Podemos comparar los resultados obtenidos con los valores teóricos de % % la función y sus derivadas, calculados de manera analítica mediante: % % vel_y = -w .* cosh(alfa .* sin(t.*w)) .* sin(t.*w) + alfa .* w .* (cos(t.*w)).^2 .* sinh (alfa.* sin(t.*w)); % acel_y = -w.^2 .* cos (t .*w) .* cosh (alfa .* sin (t.*w)) + ... % alfa.^2 .* w.^2 .* cos (t .*w).^3 .* cosh (alfa .* sin(t.*w)) - ... % 3 * alfa .* w.^2 .* cos (t.* w) .* sin (t.*w) .* sinh(alfa .* sin(t.*w)); % % figure % plot(y) % hold on % plot(vel_y, '-r') % plot(acel_y, '-g') p = inputParser; p.addRequired('datos', @isnumeric); p.addRequired('tiempo', @isnumeric); p.addRequired('nfunctions',@(x)x>0 && mod(x,1)==0); p.addRequired('order', @(x)x>0 && mod(x,1)==0); p.addOptional('knots', tiempo, @isnumeric); p.addOptional('salida',0,@(x)x==0 || x==1); p.addOptional('nderiv',2,@(x)x>0 && mod(x,1)==0); p.addOptional('disc', [], @(x)size(x,2)==2) p.parse(datos, tiempo, nfunctions, order, varargin{:}); datos = p.Results.datos; tiempo = p.Results.tiempo; tiempo_inicial = tiempo; nfunction = p.Results.nfunctions; order = p.Results.order; salida = p.Results.salida; knots_salida = p.Results.knots;

xvii

nderiv = p.Results.nderiv; disc = p.Results.disc; if nderiv > order-2 disp('Se ha tenido que reducir el orden máximo de derivada a calcular.') nderiv = order-2; end knots=[]; knot=length(knots); orden=order.*ones(knot); if ~isempty(disc) if size(disc,2) ~= 2 disc = disc'; if size(disc,2) ~= 2 error('El vector de discontinuidades no tiene las dimensiones adecuadas') end end for i = 1:size(disc,1) indices_disc = find(tiempo == disc(i,1)) repet=order-disc(i,2); adding_time = tiempo(indices_disc) .* ones(repet, 1); adding_data = datos(indices_disc) .* ones(repet, 1); tiempo = [tiempo; adding_time]; datos = [datos; adding_datos]; end [tiempo, cambios] = sort(tiempo); datos = datos(cambios); end newknots=[]; for j=1:knot nuevos=knots(j).*ones(repet(j),1); newknots=[newknots, nuevos]; end knots=newknots; knot=length(knots); data=datos; yd = size(data); if yd(1) == 1 if length(yd == 2) data = data'; yd = size(data); else error(['data is an array and length of ', ... 'first dimension = 1.']); end end if order > 2 append_inic = ones(order-2, 1) * data(1, :); append_inic_time = ones(order-2, 1) * tiempo(1, :); append_final = ones(order-2, 1) * data(yd(1), :); append_final_time = ones(order-2, 1) * tiempo(yd(1), :); data = [append_inic; data; append_final]; tiempo = [append_inic_time; tiempo; append_final_time];

xviii

yd = size(data); end ndata = yd(1); replicas = yd(2); tot = ndata * replicas; data2 = reshape(data, tot, 1); if ndata ~= length(tiempo) error('Los datos de las variables no son de la misma longitud'); end time=tiempo; sizetime = size(time); if sizetime(1) > 1 && sizetime(2) > 1 error('Argument time is not a vector.'); end extremo_inferior=min(time); extremo_superior=max(time); c=1; knots1 = knots; if size(knots1,1) > 1 knots1 = knots1'; end if size(knots1,1) > 1 error('BREAKS debe ser un vector.'); end rangeval = [extremo_inferior, extremo_superior]; ydim = length(yd); if ydim > 3 error('Too many dimensions for argument data.'); end % set number of sampled values n = yd(1); if n == 1 error('Only one value in time not allowed.'); end % set number of replications if (ydim > 1) nrep = yd(2); else nrep = 1; end % set number of variables if (ydim > 2) nvar = yd(3); else nvar = 1; end % check argument value array argd = size(time); if length(argd) > 2

xix

error('Argument time has too many dimensions.'); end if argd(1) == 1, time = time'; argd = size(time); end nargd = length(argd); if argd(nargd) == 1, nargd = nargd - 1; end if (argd(1) ~= n) error('Number of arg. values not equal to 1st dim. of data.'); end if nargd == 2 && argd(2) ~= 1 && argd(2) ~= nrep error(['Matrix time must have same number of columns', ... 'as the number of replicates.']); end % Issue a warning if arguments are outside of the range in the basis. if nargd == 1 temp = time; else temp = reshape(time, n*nrep, 1); end temp = temp(~isnan(time)); if min(temp) < rangeval(1) || max(temp) > rangeval(2) warning('Wid1:range', ... 'Some arguments values are outside of the range in BASIS.'); if nargd == 1 index = time < rangeval(1) || time > rangeval(2); time(index) = NaN; else for irep=1:nrep index = time(:,irep) < rangeval(1) || ... time(:,irep) > rangeval(2); time(index,irep) = NaN; end end end % check time if min(diff(time)) < 0 time = sort(time); end nfunc = nfunction; nfunctions = nfunc; nb = nfunctions - order + 2; breaks = linspace(extremo_inferior, extremo_superior, nb); % set some abbreviations km1 = order-1; nx = length(time); % number of argument values ns = nb - 2 + order; % number of splines to compute onenx = ones(nx,1); onenb = ones(order, 1); onens = ones(ns,1);

xx

% augment break sequence to get knots by adding a K-fold knot at each end. if size(breaks,1) > 1, breaks = breaks'; end knots = [breaks(1)*ones(1,km1), breaks, breaks(nb)*ones(1,km1)]'; knotslower = knots(1:nfunctions); [ignored,index] = sort([knotslower', time']); pointer = find(index > nfunctions) - [1:length(time)]; left = max([pointer; order*onenx']); % initialize the b array. temp = [1, zeros(1,km1)]; b = temp(ones(nx,1),:); nxs = (1:nx); % First, bring it up to the intended level: for j=1:order-1 saved = zeros(nx,1); for r=1:j leftpr = left + r; tr = knots(leftpr) - time; tl = time - knots(leftpr-j); term = b(nxs,r)./(tr+tl); b(nxs,r) = saved + tr.*term; saved = tl.*term; end b(nxs,j+1) = saved; end % set up output matrix basismat width = max([ns,nfunctions]) + km1 + km1; cc = zeros(nx*width,1); index = (1-nx:0).'*onenb' + nx*(left.'*onenb' + onenx*(-km1:0)); cc(index) = b(1:nx,:); basismat = reshape(cc((1-nx:0).'*onens' + nx*onenx*((1:ns))), nx, ns); basismat = sparse(basismat); % La matriz basismat es la Phi del libro del Ramsay; aparece en la % expresión de la resolución del sistema 4.2. Cmat = basismat' * basismat; % La matriz Dmat es el minuendo de la ecuación posterior a la 4.2 del % libro del Ramsay. Dmat = basismat' * data; if max(max(abs(Cmat-Cmat')))/max(max(abs(Cmat))) > 1e-10 error('First argument is not symmetric.'); else Cmat = (Cmat + Cmat')./2; end % Choleski decomposition Cmat = Rmat'*Rmat;

xxi

coef = Cmat\Dmat; % check that arguments are within range evaldim = size(time); % get maximum number of evaluation values n = evaldim(1); % Set up coefficient array for FD coefd = size(coef); ndim = length(coefd); if ndim <= 1 nrep = 1; else nrep = coefd(2); end if ndim <= 2 nvar = 1; else nvar = coefd(3); end % Set up array for function values params = breaks(2:(nb-1)); tiempo = knots_salida; tiempo = tiempo(:); % check that arguments are within range evaldim = size(tiempo); % get maximum number of evaluation values n = evaldim(1); % Set up array for function values if ndim <= 2 fdamat = zeros(n,nrep,nderiv); else fdamat = zeros(n,nrep,nderiv,nvar); end % Case where EVALARG is a vector of values to be used for all curves nderivada = 0:nderiv; clear nderiv for i=1:length(nderivada) nderiv = nderivada(i); tiempo(tiempo < rangeval(1)-1e-10) = NaN;

xxii

tiempo(tiempo > rangeval(2)+1e-10) = NaN; if isempty(params) basismat = monomial(tiempo, 0:nfunctions-1, nderiv); else breaks = [rangeval(1), params, rangeval(2)]; sizex = size(tiempo); if sizex(1) > 1 && sizex(2) > 1 error('Argument X is not a vector.'); end nb = length(breaks); if nb < 2, error('Number of knots less than 2.'); end % set some abbreviations km1 = order-1; nx = length(tiempo); % number of argument values nd = nderiv+1; % ND is order of derivative plus one onenx = ones(nx,1); onenb = ones(order, 1); onens = ones(nfunctions,1); % augment break sequence to get knots by adding a K-fold knot at each end. if size(breaks,1) > 1, breaks = breaks'; end knots = [breaks(1)*ones(1,km1), breaks, breaks(nb)*ones(1,km1)]'; knotslower = knots(1:nfunctions); [ignored,index] = sort([knotslower', tiempo']); pointer = find(index > nfunctions) - [1:length(tiempo)]; left = max([pointer; order*onenx']); % initialize the b array. temp = [1, zeros(1,km1)]; b = temp(ones(nd*nx,1),:); nxs = nd*(1:nx); % run the recurrence simultaneously for all x(i). % First, bring it up to the intended level: for j=1:order-nd saved = zeros(nx,1); for r=1:j leftpr = left + r; tr = knots(leftpr) - tiempo; tl = tiempo - knots(leftpr-j); term = b(nxs,r)./(tr+tl); b(nxs,r) = saved + tr.*term; saved = tl.*term;

xxiii

end b(nxs,j+1) = saved; end % save the B-spline values in successive blocks in b . for jj=1:nd-1 j = order - nd + jj; saved = zeros(nx,1); nxn = nxs - 1; for r=1:j leftpr = left + r; tr = knots(leftpr) - tiempo; tl = tiempo - knots(leftpr-j); term = b(nxs,r)./(tr+tl); b(nxn,r) = saved + tr.*term; saved = tl.*term; end b(nxn,j+1) = saved; nxs = nxn; end % now use the fact that derivative values can be obtained by differencing: for jj=nd-1:-1:1 j = order - jj; temp = (jj:nd-1).'*onenx' + ones(nd-jj,1)*nxn; nxs = reshape(temp,(nd-1-jj+1)*nx,1); for r=j:-1:1 leftpr = left + r; temp = ones(nd-jj,1)*(knots(leftpr) - knots(leftpr-j)).'/j; b(nxs,r) = -b(nxs,r)./temp(:); b(nxs,r+1) = b(nxs,r+1) - b(nxs,r); end end % Finally, zero out all rows of b corresponding to x outside the basic % interval, [breaks(1) .. breaks(nb)] . index = find(tiempo < breaks(1) | tiempo > breaks(nb)); if ~isempty(index) temp = (1-nd:0).'*ones(1,length(index))+nd*ones(nd,1)*index(:).'; b(temp(:),:) = zeros(nd*length(index),order); end % set up output matrix bsplinemat width = nfunctions + km1 + km1; cc = zeros(nx*width,1); index = (1-nx:0).'*onenb' + ... nx*(left.'*onenb' + onenx*(-km1:0)); cc(index) = b(nd*(1:nx),:); % (This uses the fact that, for a column vector v and a matrix A , % v(A)(i,j)=v(A(i,j)), all i,j.)

xxiv

bsplinemat = reshape(cc((1-nx:0).'*onens' + ... nx*onenx*((1:nfunctions))), nx, nfunctions); basismat = sparse(bsplinemat); end % evaluate the functions at arguments in EVALARG if ndim <= 2 fdamat(:,:,i) = basismat*coef; else for ivar = 1:nvar fdamat(:,:,i,ivar) = basismat*coef(:,:,ivar); end end end

363n Cervical del Cuello Humano, basado...

Documents

Transcript of 363n Cervical del Cuello Humano, basado...