37066291 Unidad III Capacitancia y Condensadores

7/29/2019 37066291 Unidad III Capacitancia y Condensadores

http://slidepdf.com/reader/full/37066291-unidad-iii-capacitancia-y-condensadores 1/20

UNIVERSIDAD DE ORIENTE NÚCLEO BOLÍVARFÍSICA MÉDICA Y FÍSICA PARA CS. DE LA SALUD

Maríarenas

UNIDAD III

CAPACITANCIA Y CONDENSADORES

Introducción

En esta unidad se tratarán las propiedades de los condensadores o capacitores que son

dispositivos cuya función principal es la de almacenar energía. Bajo este mismo

principio se estudian las capacidades pulmonares (agrupación de dos o más volúmenes

pulmonares) que constan de la capacidad inspiratoria, la capacidad residual funcional y

la capacidad vital.

Básicamente un condensador está constituido por dos conductores que poseen cargas

iguales en magnitud pero de signos opuestos (Figura 3.1). La capacitancia de estosdispositivos depende de su geometría y del material que separa a los conductores

(material dieléctrico o aislante)

Definición de Capacitancia

La capacitancia C de un condensador se define como la razón de la magnitud de la carga

en cualquiera de los dos conductores y la diferencia de potencial entre ellos.

Esto, mediante una expresión matemática sería:

ൌ E cuación 3.1. Capacitancia

Donde C = Capacitancia

Q = Magnitud de la carga de uno de los conductores

V = Diferencia de Potencial entre los conductores

Por definición la capacitancia siempre es una cantidad positiva debido a la propiedad

matemática de ³magnitud´. La capacidad de un dispositivo es la medida de su capacidad

de almacenar carga y energía potencial eléctrica.




Maríarenas

Figura 3.1. Condensador de placas paralelas

Unidad de Capacidad

Si de la E cuación 3.1 expresamos Q en coulomb y la diferencia de potencial V en

voltios tendríamos que:

ൌ ൌ ሺ ሻ

El faradio es la unidad de capacidad según el Sistema Internacional de medidas, esta

unidad es muy grande para las capacidades reales de un condensador, debido a esto sehace el uso de los submúltiplos, donde los más comunes son el microfaradio (1µF =

1*10-6 F), el nanofaradio (1ȘF = 1*10-9 F) y el picofaradio (1pF = 1*10-12 F)

Cálculo de la Capacitancia

En definiciones anteriores se mencionó que la capacitancia depende de la forma

geométrica de los conductores, para demostrar esto tomaremos en cuenta tres ejemplos

utilizando conductores planos paralelos, un capacitor esférico y un capacitor cilíndrico.

Para estos ejemplos se considerará el vacío como dieléctrico.

y Capacitor plano o de placas paralelas

Un condensador de placas paralelas o plano es un dispositivo que está constituido por

dos láminas paralelas de área finita separadas por una distancia despreciable en

comparación con sus dimensiones. (Figura 3.2)




Maríarenas

Figura 3.2. Condensador de Placas Paralelas

De las unidades anteriores conocemos que el campo eléctrico viene expresado por:

ൌ

E cuación 3.2. Campo E léctrico

Y la diferencia de potencial por:

ൌ

E cuación 3.3. Potencial E léctrico

Al sustituir la E cuación 3.2 en la E cuación 3.3 se tendría que:

ൌ

E cuación 3.4. E cuación de Potencial E léctrico en función de la carga Q y la superficie A

Sustituyendo la E cuación 3.4 en la E cuación 3.1 correspondiente a la capacitancia:

ൌ

ൌ

E cuación 3.5. E cuación de la Capacitancia en función del Área y la distancia entre las placas sindieléctrico




Maríarenas

Donde C = Capacitancia

İ 0 = Constante de permitividad

A = Área de las placas

d = Distancia entre las placas

La ecuación anterior nos dice que la capacitancia de un condensador es directamente

proporcional al área de las placas e inversamente proporcional a la distancia que las

separa.

Un razonamiento de esto es que para alcanzar una gran capacidad el área de las placas

debe ser tan grande como sea posible y la separación entre ellas debe ser mínima.

Otra observación acerca de las líneas de las líneas de campo de los condensadores de placas paralelas es que éste es uniforme en la región central que se encuentra entre las

placas, sin embargo, no es uniforme en las orillas de las mismas. Figura 3.3

Figura 3.3. Líneas de Campo Eléctrico entre las placas de un condensador plano

Si entre las placas se coloca un material dieléctrico, entonces habrá una variación en la

capacidad del condensador, la cual será mayor, cuanto mayor sea el valor del

dieléctrico. Por lo tanto podemos decir que afecta de manera proporcional. La ecuación

con dieléctrico podemos escribirla así:

ൌ

E cuación 3.6. Capacitancia con dieléctrico

Donde K e se denomina constante dieléctrica, la cual depende de la sustancia entre las

placas.




Maríarenas

Tabla 3.1. Constantes Dieléctricas

Material o Sustancia K e

Vacío 1Aire 1,00054Agua 78

Baquelita 4,8Papel 3,7Teflón 2,1Caucho 2 ± 3,5Silicio 12

Germanio 16Porcelana 6,4

*E stos valores son a temperatura ambiente y para campos eléctricos fijos

y Capacitor cilíndrico

El condensador cilíndrico es el dispositivo de longitud ³l ́ formado por un cilindro de

radio ³a´ y carga Q+ concéntrico en un cascarón cilíndrico de radio ³b´ y carga Q-

como se muestra en la Figura 3.4.

Figura 3.4. Capacitor cilíndrico

La capacitancia para esta configuración se deduce de la siguiente manera:

En los condensadores cilíndricos se inicia con el cálculo del potencial de los cilindros

de radio a y b, esa diferencia de potencial depende del campo eléctrico uniforme que se

genera entre el cilindro concéntrico de radio a y de carga positiva y el cascarón

cilíndrico de radio b. La expresión matemática para este análisis viene dado por la

E cuación 3.7.




Maríarenas

ൌ െ ൬ ൰

E cuación 3.7. Potencial E léctrico para un condensador cilíndrico

Al sustituir la expresión anterior en la E cuación 3.1 y utilizando el hecho de que Ȝ = Q/l

de capacitancia para un capacitor cilíndrico quedaría expresado de la siguiente manera:

ൌ ቀ ቁ

E cuación 3.8. Capacitancia para un capacitor cilíndrico

y Capacitor esférico

Un capacitor esférico consta de una esfera interior de radio a rodeada por un cascarón

concéntrico de radio b. El cascarón concéntrico posee una carga Q- y la esfera interna se

encuentra cargada positivamente Q+. En la unidad correspondiente al campo eléctrico

se demuestra que el campo eléctrico en el exterior de una carga simétricamente esférica

es radial y la deducción del potencial para este tipo de capacitor es el presentado

mediante la E cuación 3.9.

ൌሺ െ ሻ

E cuación 3.9. Potencial eléctrico para un condensador esférico

Sustituyendo en la E cuación 3.1 de capacitancia:

ൌ ሺ െ ሻ

E cuación 3.10. Capacitancia para un condensador esférico

Figura 3.5. Capacitor Esférico




Maríarenas

Combinación o Asociación de Capacitores

Con frecuencia se combinan dos o más capacitores en un circuito, dichos capacitores

son asociados con la finalidad de formar uno de capacidad equivalente. Se denomina

capacidad equivalente a la capacidad total de una asociación de condensadores.

Antes de explicar los métodos para calcular la capacitancia equivalente de ciertas

combinaciones se necesita conocer los símbolos de estos dispositivos en un circuito

eléctrico Figura 3.6 .

Figura 3.6. Símbolos para los Capacitores (C) y las fuentes de Voltaje o Tensión (V)

Según la forma en que se dispongan las conexiones entre capacitores los podemos

encontrar en dos tipos de asociaciones en paralelo y en serie.

y Combinación en Paralelo

Una configuración en paralelo de capacitores se puede ver en la Figura 3.7 , y tiene las

siguientes características:

1. Todas las armaduras de un lado del capacitor se encuentran conectadas al lado

positivo de la batería.

2. Todas las armaduras del otro lado del capacitor se encuentran conectadas al lado

negativo de la batería.

3.

Todos y cada uno de los condensadores poseen igual potencial V que essuministrada por los polos de la batería.

ൌ ൌ

E cuación 3.11. Potencial, Voltaje o Tensión en condensadores en paralelo




Maríarenas

4. La carga total del sistema cuando se encuentran en paralelo es igual a la suma de

las cargas de todos y cada uno de los condensadores que lo forman.

ൌ

E cuación 3.12. Carga total de condensadores en paralelo

5. La capacidad equivalente o capacidad total de varios condensadores asociados

en paralelo es igual a la suma de las capacidades de los condensadores que

constituyen la agrupación.

ൌ

E cuación 3.13. Capacitancia equivalente de condensadores en paralelo

Figura 3.7. Configuración de Capacitores en Paralelo

6. La carga que adquiere cada uno de los capacitores es:

ൌ ଶ ൌ

E cuación 3.14. Cargas para cada uno de los condensadores




Maríarenas

7. La capacidad equivalente de una combinación de condensadores en paralelo es

mayor que cualquiera de las capacidades individuales.

y Combinación en serie

La asociación de capacitores en una configuración en serie viene representada por la

Figura 3.8 y tiene las siguientes características:

1. Los condensadores están conectados de tal forma que uno de los terminales o

extremos de un condensador se encuentra conectado al extremo o terminal de

otro.

2.

En la conexión en serie el potencial que existe en los extremos del sistema esigual a la suma de los potenciales de cada uno de los capacitores.

ൌ

E cuación 3.15. Potencial para capacitores en serie

3. La carga total del circuito es igual a la carga de cada uno de los condensadores.

ൌ

E cuación 3.16. Carga para condensadores en serie

4. En la configuración en serie el inverso de la capacidad equivalente es igual a la

suma de los inversos de las capacidades parciales.

ൌ

E cuación 3.17. Capacitor equivalente para la configuración en serie

Figura 3.8. Combinación en serie de Capacitores



UNI VER ID A D D E O R I E NT E NÚ C E O BOLÍ VAR F ÍSI CA MÉ DI CA Y F ÍSI CA P ARA C S. D E L A S A LUD

M í

5. La capaci ad equi alente o capacidad total de var ios condensador es conectados

en ser ie es menor que la de cualquiera de las capacidades individuales en la

asociaci n.

EJE E ELT

1. Un condensador de pl acas paral el as tiene un área A=2 10-4

m2

y una

separaci n ent re l as pl acas de d=1 10-3

m. C al cul ar l a capacit ancia de d icho

condensador.

Sol i .

Usando la E cuaci n 5 se tiene que:

ൌ ൌ൬ૡǡૡ ି

ሺ ି ሻ ି

ൌ ǡ ૠૠ ି ൌ ǡૠૠ

2. Un conduct or cilí ndr ico de rad io a= 3 10-4 m est á concént r ico en un cascarón

cilí ndr ico de rad io b= 6 10-4

m. E ncuent re l a capacit ancia del condensador

cilí ndr ico si su l ong it ud es de l = 0,01 m.

Sol i .

Utili ando la ecuaci n para calcular la capacitancia de un condensador cilíndr ico

( E cuación 3.8)

ൌ ቀ ቁ ൌǡ

൬ૢ ૢ ൬ ି ି ൌ

ൌ ǡ ૡ ି ൌ ǡ ૡ



UNI VER SID A D D E O R I E NT E NÚ C L E O BOLÍ VAR F ÍSI CA MÉ DI CA Y F ÍSI CA P ARA C S. D E L A S A LUD

M í

3. Un condensador es f ér ico const a de un cascarón de rad io b= 6 10-4 m que est á

concént r ico con una es f era conduct ora más pequeña de rad io a= 3 10-4 m.

Det ermine su capacit ancia.

Sol i .

En este caso se habla de un condensador esfér ico por lo tanto se u bica y utili a la

ex pr esi n para el cálculo de la capacitancia de un capacitor de esta caracter ística. En

este mater ial corr es ponde a la E cuación 3.10.

ൌ ሺ ሻ

ൌ ൫ ି ൯ ሺ ି ሻ

൬ૢ ૢ

ሺ ି ି ሻൌ

ൌ ǡ ି ൌ ǡ

4. Se tiene un condensador pl ano con armaduras de 0,08 m2

de área y est án

separadas por una l ámina de ebonit a de 4 10-3

m de espesor de const ant e

d iel éct r ica 2,8. C al cul ar l a capacit ancia.

Sol i .

Este e jer cicio se difer encia del pr imer o de bido a que en este caso el capacitor tiene un

dieléctr ico entr e sus placas (e bonita), cuya constante dieléctr ica es de 2,8. Por lo tanto,

se utili a la ex pr esi n para calcular la capacitancia de un condensador de placas

paralelas donde se consider e la constante dieléctr ica K ( E cuación 3.6 )

ൌ

ൌ ǡ ૡ

൬ૡǡૡ ି ሺǡૡ ሻ

ି ൌ

ൌ ǡૢ ି ൌ ૢǡ

5. C al cul ar el capacit or equi al ent e para el circuit o present ado en l a F i gura 3.9,

l a carga y el pot encial de cada uno de l os condensadoresdel circuit o.




M í

Fi 3.9

Sol i .La F i gura 3.9 muestra una conf i uraci n de capacitor es en paralelo, para poder

r econocer lo solo se tiene que o bser var que todos loster minales de arr i ba de cada uno de

los capacitor es están conectados al positivo de la bater ía y todos los ter minales de

de ba jo de los mismos se encuentran conectados al negativo de la bater ía. Por efectos

didácticos en la f igura se puede ver el bander ín r o jo que indica el positivo de la bater ía.

Para e jer cicios poster ior es esto no ocurr e, el estudiante mediante la pr áctica apr ender á a

difer enciar y r econocer las difer entes conf iguraciones para aplicar las ex pr esiones

matemáticas corr es pondientes.

Para poder calcular el capacitor equivalente cuando la conf iguraci n es paralela, basta

con sumar alge braicamente cada una de las capacidades.

ୀ

ൌ ૡ ൌ

Como los capacitor es están en paralelos los potenciales son iguales en cada uno de ellos

con el valor que suministra la bater ía en este caso de 9 voltios.

ൌ ൌ ൌ ൌ ൌ ૢ




M í

Para las car gas de cada uno de los capacitor es:

ൌ ൌ ૢ ൌ ሺ ି ሻ ૢ ൌ ૡ ି ሺ ሻ

ൌ ൌ ૢ ൌ ሺ ି

ሻ ૢ ൌ ି

ሺ ሻ

ൌ ൌ ૢ ൌ ሺ ି ሻ ૢ ൌ ି ሺ ሻ ൌ ൌ ૡ ૢ ൌ ሺૡ ି ሻ ૢ ൌ ૠ ି ሺ ሻ

La car ga total del sistema es la suma de cada una de las car gas contenida en los

capacitor es.

ൌ ൌ ૡ ି ି ି ૠ ି

ൌ ૡ ି

6. E n l a F i gura 3.10 se muest ra un circuit o de capacit ores. C al cul ar l a

capacit ancia equi al ent e, el pot encial de cada capacit or y l a carga del si st ema.

Fi 3.10

Sol i .

Según las caracter ísticas de esta conf iguraci n el estudiante podr á difer enciar que se

encuentra en ser ie ya que solo el ter minal i quierdo del pr imer condensador y el der echo

del último tienen contacto con la bater ía. En este caso se hace el uso de las ecuaciones

caracter ísticas para esta asociaci n de capacitor es.

Para calcular la capacitancia equivalente:

ൌ

ൌ




M í

ൌ ǡૠ Des pe jando C se tiene que:

ൌ ǡૠ ൌ ǡૠૡૢ

La car ga del sistema es la misma car ga que se encuentra en cada uno de los capacitor es

por lo tanto:

ൌ ൌ ൌ ൌ ൌ ൌ ǡૠૡૢ ൌ ǡૠૡૢ ି ൌ ૢ ǡૡ ି

Basta con calcular la car ga del sistema pues, automáticamente se tienen las car gas de

cada uno de los condensador es por estar en ser ie.

En el cálculo de los potenciales:

ൌൌૢǡૡ ି

ି ൌ ǡ ૢ Es análogo para los otr os potenciales:

ൌ ൌૢǡૡ ି

ି ൌ ǡ ૠ

ൌൌૢǡૡ ି

ି ൌ ǡૠૡ

ൌൌૢǡૡ ି

ି ൌ ǡ ૠ

O bser ve que la suma de los r esultados de potenciales o btenidos es igual al volta je o

potencial suministrado por la bater ía (11,946 V § 12 V ). Esto quier e decir que cuando

los capacitor es se encuentran en ser ie el potencial de la fuente se divide entr e ellos

según la capacidad de cada uno. Mientras menor es el valor de la capacitancia mayor es

el potencial.




Maríarenas

7. Calcular el capacitor equivalente y la carga total del sistema para el circuito

que se presenta en la figura siguiente.

Figura 3.11

Solución.

Hasta ahora las configuraciones presentadas han sido evidentes de tal manera que para

el estudiante ha sido fácil reconocerlas y hacer uso de las expresiones matemáticas

correspondientes para determinar el capacitor equivalente y otros parámetros como latensión y la carga.

Este ejercicio en particular posee características mixtas entre las asociaciones en serie y

en paralelo, pero no es para preocuparse, pues, el estudiante debe suponer que con el

conocimiento básico y un poco de lógica se podrían resolver problemas más complejos.

Acá el detalle está en determinar en qué parte del sistema o circuito los condensadores

se encuentran en serie o en paralelo para así aplicar los principios básicos que se han

estado estudiando.

Una recomendación para resolver circuitos con capacitores y resistores, que se tratarán

en la siguiente unidad, es analizarlos desde los componentes más lejanos a la fuente o

batería hasta acercar se a ella. Pero hay configuraciones donde es evidente que primero

se tendrían que resolver ciertos circuitos internos para después hallar la solución final y

este es uno de esos casos.




M í

Fi 3.12

Si para este e jer cicio en par ticular se considerara la r ecomendaci n anter ior , se estar ía

pensando en qué hacer con el capacitor de 6µ por ser el más ale jado a la bater ía, per o

esto conlleva a una confusi n, pues no es clar o deter minar cómo se encuentra este

condensador con r es pecto a los otr os r estantes. Per o hay cier tas par tes del cir cuito que si

son fáciles de r econocer y que per mitir ían el inicio de una solución del cir cuito. Un

e jem plo de esto son los capacitor es que se encuentran enmar cados en r ecuadr os de

líneas entr ecor tadas.

Se puede o bser var que los capacitor es de 2 y 10µ (r ecuadr o r o jo) se encuentran en

paralelo y de la com binación de ellos r esultar ía uno equivalente, que cum plir ía la misma

función.

ൌ ൌ ൌ

De manera análoga se r esuelven los capacitor es de 3 y 5µ (r ecuadr o azul), ya que

estos tam bién se encuentran en paralelo. en la par te infer ior del cir cuito los

capacitor es de 4, 1 y 1 µ (r ecuadr o verde). Queda como r esultado el cir cuito de la

Fi 3.13.

ൌ ൌ ൌ ૡ

ൌ ൌ ൌ




M í

Fi 3.13

En este punto es más fácil visualizar la asociación de los capacitor es r esultantes. El

cir cuito ha quedado com pletamente en ser ie. No queda más que r esolver esta

dis posición del cir cuito para encontrar el capacitor total o equivalente del todo el

sistema, es decir , el condensador que cum ple la misma función que el cir cuito

pr esentado al inicio del e jer cicio.

ൌ

ૡ

ൌ

ૡ

ൌ ǡ Des pe jando C T

ൌ ǡ ൌ ǡ ૡ

Fi 3.14. Ci it o equiv l ent e f i nal




M ar í arenas

La car ga total del sistema o cir cuito f inal se deter mina de la siguiente manera:

ൌ ൌ ǡ ૡ ૢ ൌ ሺǡ ૡ ି ሻ ૢ

ൌ ǡ ି

EJE PROPUE TOS

P 1. Un condensador de pl acas paral el as se encuent ra ll eno de aire tiene una

capacit ancia de 2 F. S i l a d i st ancia ent re l as pl acas es de 2 mm. C al cul e el área de l as

pl acas del condensador.

P 2. Se tiene un condensador pl ano, el cual est á constit uido por armaduras de 0,6 m2

cada una y separadas por una d i st ancia de 0,00003 m. C al cul ar: a) La capacidad del

condensador considerando que est á ll eno de aire; b) La capacidad si el d iel éct r ico

ent re l as pl acas tiene una const ant e de 4,5.

P 3. Las pl acas de un condensador de pl acas paral el as est án separadas 0,5 mm. S i el

espacio ent re ell as es aire, cal cul ar el área que se requiere para producir 6 pF.

P 4. Un condensador cilí ndr ico ll eno de aire tiene una l ong it ud de 2 cm. S i el rad io del cascarón cilí ndr ico es de 1,5 cm y el del cilindro int erno de 1 cm. C al cul e l a capacidad

de d icho condensador.

P 5. Un cabl e coaxial de 20 cm de l ong it ud tiene un conduct or int erno de 2 mm de

d iámet ro y un conduct or ext erno de 6 mm de d iámet ro. C al cul e l a capacidad del cabl e

coaxial .

P 6. ¿Qué l ong it ud debe t ener un capacit or cilí ndr ico cuyos rad ios son0,0003 m y

0,0008 m respecti ament e para poder producir una capacidad de 22 µF?

P7 . Un condensador es f ér ico se const ruye con cascarones es f ér icos de rad ios 6 cm y 18

cm respecti ament e. C al cul e l a capacidad de d icho condensador.




Maríarenas

P8. Un conductor esférico relleno de aire tiene un conductor esférico externo de radio

0,25 cm. Si la capacidad del dispositivo es de 1 µ , determine el valor del radio

requerido para el conductor interno.

P9. Un conductor esférico tiene un conductor interno de 0,003 m de diámetro. Si la

capacidad del dispositivo es de 9 µ . Calcular el diámetro del conductor externo.

P10. E n los siguientes circuitos calcule el capacitor equivalente y la carga total del

sistema.

a)

Figura 3.15

b)

Figura 3.16

c)

Figura 3.17




Maríarenas

d)

Figura 3.18

e)

Figura 3.19

37066291 Unidad III Capacitancia y Condensadores

Documents

Transcript of 37066291 Unidad III Capacitancia y Condensadores