Universidad de Puerto Rico OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS Universidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de PUERTO RICOMayagüez Tercera Fase

26 de Marzo de 2011

Nivel Superior10mo - 12mo grado

Nombre:

Escuela: Grado:

Fecha de nacimiento:

Correo Electrónico:

Instrucciones: Tienes tres horas para trabajar el examen. Resuelve el mayor número de pro-

blemas que puedas. Usa todo el tiempo disponible. ½Buena Suerte! Instructions: You have

three hours to work on the exam. Solve as many problems as you can. Use all of the available

time. Good luck!

1. Encuentra todas las soluciones enteras de x2 − 7y = 10. Find all integer solutions of x2 − 7y = 10.

2. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el

grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando en cada

cuadro solo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? A cricket jumps on a borad and

can take jumps of any length and in any direction. If the cricket starts in square A and jumps from

square to square covering all the board and landing on each square only once, in how many ways can

the cricket do this?

A

1

3. En la siguiente �gura, encuentra el área de la región sombreada con las medidas dadas. In the following

�gure, �nd the area of the shaded region based on the given measurements.

4 cm

r =

1 c

m

4. ¾Cuántos años desde el 2011 hasta el 2100 cumplen con la propiedad que la suma de sus dígitos es

un cuadrado perfecto? How many years between 2011 and 2100 satisfy the property that the sum of

their digits is a perfect square?

2

5. Para escribir todos los enteros del 1 a 1, 000, 000, ¾cuántos ceros se necesitan? To write all numbers

between 1 and 1,000,000, how many zeros are needed?

6. Un cuadrado es cortado en 25 cuadrados más pequeños, de los cuales 24 son cuadrados de lado 1 cm.

Determina los posibles valores para el área del cuadrado original. A square is cut into 25 smaller

squares, of which 24 are squares with sides 1 cm long. Determine all possible values for the area of

the original square.

3

7. El último dígito (unidades) del cuadrado de un número es 6. Demuestra que el penúltimo dígito

(decenas) es impar. The last digit (units) of the square of a number is 6. Show that the penultimate

digit (one before the last, or tens digit) is odd.

8. Tres pirámides con base cuadrada y todas sus aristas iguales se sobreponen como muestra la �gura.

¾Cuál es la medida de la altura de la torre formada por las tres pirámides (las longitudes de las aristas

se muestran en la �gura)? Three pyramids with square base and equal edges are superimposed as shown

in the �gure. What is the measure of the height of the tower formed by the three pyramids (the lengths

of the edges are shown in the �gure)?

4 cm

2 cm

1 cm

4

9. Dos jugadores toman turnos poniendo pesetas en una mesa redonda, sin apilar monedas una encima

de otra. El jugador que no pueda poner una peseta más pierde. ¾Tiene alguno de los jugadores

una estrategia ganadora? Explica. Two players take turns placing quarters on a round table, without

stacking them. The player who cannot place another quarter loses. Do any of the players have a

winning strategy? Explain.

5

10. Demuestra que x2 + 2x ≥ 3 si x > 0. Prove that x2 + 2

x ≥ 3 if x > 0.

6