3er_Seminario Trigonometría PRE 2014-1

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio

CEPRE-UNI TRIGONOMETRÍA - 1 -

TRIGONOMETRÍA

01. Dada la función f definida por

1f x

sen x 1 sen x

entonces el valor mínimo de f es

A) – 4 B) 1

2 C)

1

2

D) 4 E) 2

02. Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

I. Si 1

F x x senx

, entonces F

es par.

II. Si G x sen x sen 3x sen 5x ,

entonces G es impar.

III. Si H x 4sen x sen x sen x ,3 3

entonces min

2T

3

.

A) FFF B) FFV C) FVF D) VVV E) VVF

03. Dada la función f definida por

sen 3xf x 1

sen x , indique verdadero

(V) o falso (F) en cada proposición: I. La función es creciente en

3x ;

2 4

.

II. El rango de la función es 2;2 .

III. El dominio de la función f es k ;

k . A) VVV B) VVF C) VFF D) VFV E) FFF

04. Determine el rango de la función f definida por

f x sen x sen x

A) [–1; 0] B) [0; 1] C) [0; 2] D) [1; 2] E) [–1; 1]

05. Dada la función f definida por:

sen x sen 2x sen 3xf x 1,

sen 2x

x 0;2 , entonces, ¿En cuántos

puntos de la gráfica de la función f se interseca con el eje de abscisas? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

06. Determine el dominio de la función f definida por

f x sen x 2 x

A) ;2 2

B) ;

2 2

C) ;2 2

D) ;2 2

E) ;4 4

07. Determine el rango de la función f

definida por

2cos xf x sen x

sen x 1 sen x

A) ; 1 3;

B) ; 3 1;

C) ; 1 3;

D) ; 3 1;

E) ; 1 3;

08. Sea f la función definida por

2sen x 1f x

cos 2x

Determine el dominio de la función f. (Nota: k )

A) 2k 14

B) 0



C) D) k

E) 2k 12

09. Sea f la función definida por:

2sen x cos xf x

sen x cos x

Determine el dominio de la función f. (Nota: k )

A) 4k 14

B) 4k 14

C)

D) 0

E) k

10. Sea la función f definida por:

f x cos 3x 2cos x sen 3x 2sen x2

Determine el rango de f. A) [–2; 1] B) [–2; 2] C) [–1; 1] D) [–1; 2] E) [2; 3]


f x 2sen x cos x 2 A) [–1; 1] B) [–1; 2] C) [0; 3] D) [1; 3] E) [–3; 3]

12. Sea la función f, definida por

2 sen xf x

3 cos x

Si el rango de f es a a a a

;b b

;

siendo a y b números enteros

positivos. Calcule 2 3a b

A) 43 B) 33 C) 24 D) 129 E) 73


2f x cos 2x x ,x ;4 4

A) 2

;14

B) 2

;116

C) 2 2

;4 4

D) 2 2

;16 16

E) 2

; 116

14. Dada la función “f” definida por:

4

1f x , k

4cos 2x 1

El complemento del dominio de “f” es

A) 2k 12

B) 2k 1

4

C) 2k 18

D) 2k 1

6

E) 2k 19

15. Determine el rango de la función f,

definida por

2f x cos x 1 1 cos x

A) {0} B) 9

0;4

C) 9

1;4

D) 9

2;4

E) [1; 2]

16. Calcule el máximo valor de la función

f definida por: f x 5 3sen x sen x cos x 3cos x

A) 11 6 2

2

B) 3 2 1

C) 11 6 2 D) 13 6 2

2

E) 1 2

3


definida por:

2

1f x

cos x cos x



A) 4; B) ; 4

C) 0; D) 0;

E) ;4


definida por:

sen 5x sen 3xf x

cos 5x cos 3x

; 0 x

12

A) 3

0;3

B) 3

0;3

C) 0; 3 D) 0; 3

E) 0; 3

19. Si la función f está definida por:

f x 2cos x cos x sen x 1 ,

5x ;

2 8

Calcule fmáx – fmín

A) 2 2 B) – 1 C) 2

D) 2 2 E) 1


definida por:

21 cos xf x

1 sen x

A) 0; B)

C) ;0 D) ;1

E) 1;

21. Determine el dominio de la función f

definida por

sen x 1f x

3sen x cos x

, k

A) 6k 16

B) 6k 16

C) 6k 15

D) 3k 13

E) 3k 13

22. Dada la función f, definida por

f x cos x sen x ,

3 5x ;

4 4

. Calcule fmin

A) 2

2 B) – 1 C) 0

D) 2

2 E) 1

23. Sea la función f, definida por:

2f x sen x cos x

sen x cos x

Halle en cuantos puntos intersecta el gráfico de f al eje de abscisas en el

intervalo 0;3 .

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

24. Determine el rango de la función definida por:

f x sen x cos x 2 sen x cos x

A) 1; 2 2 B) 2

;12

C) 3

; 24

D) 4

25

E) 3 2

25. Halle el periodo mínimo de la función

f, definida por:

sen x sen 3xf x

cos x cos 3x

A) 4

B)

2

C)

3

4

D) E) 2



26. Determine el rango de la función f definida por:

2 2f x cos x cos x csc x csc x3 6

x ;6 2

A) 3; 0 B) 3

; 02

C) 1; 0

D) 1

; 02

E) 1

; 04


definida por:

2f x sen x sen x cos x ,

x ;3 6

A) 4 3 1

0;4

B) 4 3 3

0;4

C) 4 3 3

1;4

D) 4 3 1

1;4

E) 4 3 1 4 3 3

;4 4


definida por:

f xsen x cos x

, x 0;2

A) 3

;4 4

B) 0; C) 0;2

D) 5 7

;4 4

E)

3 5 7; ;

4 4 4 4


definida por:

sen x cos x sen x cos x

f x2

A) 2

;12

B) 1

;12

C) 2 2

;2 2

D) 2

1;2

E) 2

; 22

30. Determine el dominio de la función f,

definida por:

f x sen x .cos 2x 1 sen 2x

en el intervalo 0; .

A) 2 5

0; ;4 3 6

B) 2

0; ;3 3

C) 0;2

D) 3

0; ;4 4

E) 5

0; ;6 6

31. Hallar los valores de “x” para los

cuales la función “f” alcanza su máximo valor:

2 xf x 2sen x cos x 2sen 1

2 ,

k

A) 2k 14

B) 2k 3

4

C) 4k 14

D) 4k 3

4

E) 8k 34

32. Sea x ;4 4

y f la función

definida por f x cos x 2cos x sen x sen x .

Determine el rango de f.

A) 1; 2 B) 1;1 2

C) 1;1 2 D) 1;1 2

E) 1; 1



33. Determine el rango de la función f definida por: f x sen x cos x sen 2x

Como respuesta f máx + 4

5f mín

A) 2

2 B)

1

4 C) 2

D) 2 2 E) 1 2

34. Si f es la función definida por

1 cos 2x 4sen 2xf x

1 cos 2x

si 4

x ;2 3

. Determine el rango de

f.

A) 3 2 3 ;

B) 3 4 3 ;

C) 3 6 3 ;

D) 4;

E) ,3 3 3

35. Si el rango de la función “f” definida

por: 2f x sen cos x6

es n; m ;

calcule el valor de: m – n A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

36. Si Rf es el rango de la función “f”, definida por:

sen 7xf x cos 6x cos 4x cos 2x

2sen x

Entonces podemos afirmar que:

A) fR 0;1

B) fR 1; 0

C) f1;1 R

D) f0;1 R

E) f

1R 0;

2

37. Sea la función “f”, definida por:

x 5x 3x

f x 2cos 2cos sen2 2 2

Halle cuántas intersecciones con el eje X, tiene la gráfica de la función “f”

en el intervalo 3 3

;2 2

.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

38. Si 3 5

x ;4 4

, determine el rango

de la función “f” definida por:

sen x cos xf x 1

sen x cos x

A) 1; B) ; 1

C) 1;1 D) ;1

E) 1;

39. Determine el rango de la función “f”

definida por:

f x 5 cos x cos x 3sec x

A) {1} B) {2} C) {3} D) {4} E) {5}

40. Sea la función “f” definida por: f x 2sen x xcos x ,

5 5x ;

2 2

Calcule el número de puntos en que la gráfica de “f” interseca al eje de abscisas. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

41. Determine el rango de la función “f” definida por:

sen 2cos x

f xsen cos x

A) [–2; 2] B) [2 cos 1; 1]

C) [–2; 2] D) 2cos1; 2

E) 2cos 1 ,2



42. La función f definida por

f x tan x5

con dominio

7 8;

18 9

, tiene rango: a; b calcule

(aproximadamente), 7a 24b .

A) 34 B) 17 C) 7 D) – 17 E) – 24

43. Dada la función f, definida por:

2 2x x xf x 2 tan 1 tan cos ,

2 2 2

x 0;4

Calcule fmáx + fmín

A) 1 B) 2 C) 2

D) 1 2 E) 2 2


definida por:

tan xf x ; x ;

tan 3x 6 4

A) 0;1 B) 1

0;2

C) 1; 0 D) 1

; 02

E) 1 1

;2 2


definida por:

tan xf x ; k

cos x 1

A) 2k 12

B) 2k 1 ; 2k2

C) 2k

D) k

2

E)

46. Determine el dominio de la función f definida por

f x tan x sen x 1, k

A) 2k 12

B) 2k 12

C) 4k 12

D) 4k 12

E)


f x cos x tan x ,

x ;2 2

Si el dominio de la función f es [A; B],

calcule 1 2sen x sen x .

A) 5 B) – 1 C) 0

D) 1 E) 5

48. Dadas las funciones f y g definidas,

respectivamente por f x tan x4

y g x sen x ; además sea

h f o g .

Entonces el valor de máx mính h es

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

49. Determine el dominio de la función f definida por:

f x sen x tan x si x < 0

0k

A) k ; k2

B) k ; k2



C) k ; k2

D) k ; k2

E) k ; k2

50. Sean las funciones f y g definidas por:

f x cos 12x y

2 2g x 5sen 3x 9tan x cot x .

Halle la abscisa del punto más cercano al eje de ordenadas, en que f(x) y g(x) se intersectan.

A) 3

B)

6

C)

6

D) 3

E)

5

6

51. Determine los puntos de

discontinuidad de la función f definida por:

tan x cot xf x , n

tan 2x sen x

A) n

2

B) n

C) n

4

D) 2n 1

4

E) n

8


definida por:

cot 2x cot 2x3 3f x sen 2xsen 2x

,

k

A) k

3

B) 2k 1

3

C) k D) k

6

E) 3k 16

53. Sea la función f definida por

sen x tan x kf x ; x

cos x cot x 2

Entonces podemos afirmar que: A) f toma valores positivos y negativos B) f toma un número finito de valores

negativos C) f toma solamente valores negativos D) f toma solamente valores positivos E) f es constante

54. Responder verdadero (V) ó falso (F) a las siguientes proposiciones:

I. Si

sen 6xf x 1

sen 2x , entonces

mínT4

.

II. Si

2 2sen 3x sen xf x

sen 2x

,

entonces mínT2

.

III. Si x x

f x tan cot2 2

,

entonces mínT 1 .

A) FFF B) FVF C) VVF D) VFF E) VVV


definida por: f x cot cos x

k .

A) k

B) 2k 12

C) k

2

D) 2k 14

E) 2k 16



56. Determine el conjunto de puntos de discontinuidad de la función f, definida por:

2sen x cos x sen x 2cos xf x

tan x 1 cot x 1

A) 4k 1 ; k8

B) k ; k4

C) k ; k6

D) 2k 1 ; k4

E) k ; k2

57. Indique el valor de verdad de las

siguientes proposiciones en el orden correspondiente: I. El dominio de la función f definida

por f x cot sen x es .

II. x 0;2 : la función f definida

por f x cos x es par.

III. x : la función f definida por f x tan x es creciente.

A) VVF B) FVF C) FFF D) FFV E) VVV


sen x cos x cot 2x sec 2 x 1f x

tan x

Entonces su rango es: A) [–2; 2]

B) 2; 2

C) 1 3

2; 2 ;2 2

D) 1 3

2; 2 ;2 2

E) 2

2; 2 02

59. Determine el dominio de la función f definida por:

2

2

3 tan 2x sec 4xf x

sen x sen x

A) k4

B) k

8

C) 2k 14

D) k

E) k4

60. Determine el dominio de la función f,

definida por:

x

f x 2cos sec x tan x2

;

3x ;

6 4

A) ;6 2 4

B) 3

;2 4

C) 3

;4 4

D) 2

;6 3 4

E) 2

;4 3


2f x sec 8x x12

Determine el rango de f.

A) 2; B) 1; C) [1; 2]

D) 1; 2 E) 1; 2

62. Si sec (2x) > 1, determine el rango de

la función f definida por: f x cot 2x cot x sec 2x 2

A) 1; B) 5; C) 5;

D) 2; E) 2;

63. Dada la función f definida por:

sen x sen x

f x sec x2

Entonces, el rango de f es



A) ,0 B) ,0 C) 0,

D) 0 E)

64. Sea f la función definida por:

sec 2xf x

csc 4x

Entonces determine el rango de dicha función.

A) 2, 2 B) 2,2

C) 2,2 0 D) 2,2 0

E) 2,2 0


f x 3 tan x 4 cot x

Calcule el valor de 2T 1 , donde T es el periodo mínimo de f.

A) 2 1 B) 2

14

C) 2

D) 2 9

9

E)

5

4

66. Determine el periodo mínimo de la

función:

x x x

f x tan tan tan2 4 8

A) B) 2 C) 4

D) 8 E) 16


f x cos x xcsc x , x 0,2

Determine el rango.

A) 1,2

B) 1, 2 C) , 2

2

D) 0,2

E) 0, 2


f x xcsc x sec x ;

x 0, ; k2

Determine el rango de la función f.

A) , 0 B)

C) 0, D) 0,

E) ,0


definida por:

f x sec x cos x csc x 1 ,

x 0;2

A) 1

;2 B) 1; C) 2;

D) 3; E) 4;

70. Determinar el rango de la función f

definida por: f x sec x cos x csc x sen x

A) 1,1 B) 1,1 0

C) 1 1

,2 2

D) 1 1

,2 2

E) 1 1

, 02 2

71. Si x6 3

, entonces determine el

rango de la función f definida por:

f x 4csc x 16

A) 1;3 B) 1;3 C) 5;9

D) 5;9 E) 5;9


definida por:

1f x

sec x csc x

A) k

2

B) kk

2 4



C) kk

2 4

D) kk

2 4

E) kk

2


f x tan x cos x csc x sen x2 3 4 5

Entonces la cantidad de puntos de

discontinuidad en x 0;8 es

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

74. Determine el dominio de la función f definida por: f x tan 2x csc 2x sec 4x , n

A) n

8

B) n

4

C) n

2

D) 2n 1

2

E) 2n 14


definida por:

2 2

2f x tan x

sec x csc x tan x cot x 2

A) , 2

B) , 1 1;

C) , 2 2;

D) ; 2 0;

E) 2;

76. Sea la función:

f x xcsc x sec x

Calcule el rango si x 0;2

A) ;0 B)

C) 0; D) 0;

E) ;1

77. Determine el rango de la función definida por:

sen x , x ,4

cos x , x 0,4

7 tan x , x ,2

4f x5 3

cot x , x ,4 2

5 sec x , x ,

4

3 7csc x , x ,

2 4

A) 2, 2

B) 2, 2 1

C) 2, 2 1

D) 2, 2 1

E) 2, 2 1

78. Calcule el periodo de la función f(x)

definida por

f x sen 2x cos 3x

A) 2

B)

3

C)

D) 4

E)

2

3

79. Determine el periodo mínimo de la

función f definida por

f x sec sen 2x sec cos 2x

A) 2 B) C) 2

D) 4

E)

8



80. Halle el periodo mínimo de la función f, definida por:

2sen 3x tan x

f xx

cos4

A) 4

3

B)

8

3

C) 4

D) 8 E) 12


f x sen nx cos nx

cuyo periodo mínimo es 2 .

Calcule “n”.

A) 1

4 B)

1

2 C) 1

D) 2 E) 4

82. Halle el periodo de la función:

3 6f x sen 10x cos 5x

A) 4

B)

3

C)

2

D) 5

E)

6


60 60

x x x xf x sen cos sen cos

8 8 8 8

Calcule el periodo mínimo de f. A) 2 B) C) 4

D) 6 E) 8

84. Calcule el periodo mínimo de:

4 4 6 6f x sen x cos x sen x cos x

A) 6

B)

4

C)

2

D) E) 2

85. Calcule el periodo mínimo de la

función f definida por:

x x x x

f x tan x cot tan cot x tan cot2 4 2 4

A) B) 2 C) 4

D) 8 E) 16

86. Calcule el periodo mínimo de la función f, definida por:

f x cos cos x cos sen x

A) 4

B)

2

C) 2

D) E) 3

4


f, definida por

sen 3x sen xf x

cos 3x cos x

A) 2

B) C)

3

2

D) 2 E) 3

88. Si el periodo mínimo de la función f,

definida por:

6 n 1f x 3sen x 2

2n 1

es 5 ;

calcule n

A) 4 B) 7 C) 3

2

D) 2 E) 2

3


definida por

f x 4sen cos 3x

A) 3

B)

2

3

C)

D) 4

3

E)

5

3


3f x A 1 sen Bx C

calcule su periodo mínimo Dato: I. B = 2 II. A 0 y C 0



A) El dato I es suficiente y el dato II no lo es.

B) El dato II es suficiente y el dato I no lo es.

C) Es necesario utilizar I y II conjuntamente.

D) Cada uno de los datos, por separados, es suficiente.

E) Se necesitan más datos.

91. Halle el periodo mínimo de la función f definida por: f x 2 sen 3x 2sen x cos 3x 2cos x

A) 6

B)

3

C)

2

3

D) 5

3

E) 2

92. Halle el periodo mínimo de la función f

definida por

3/2 3/2

f x 1 sen 3x 1 sen 3x

A) 6

B)

3

C)

2

D) 2

3

E)

5

6


definida por:

2 2f x cos x cot x sen x tan x

A) 4

B)

2

C)

D) 3

2

E) 2


definida por:

8 8 sec 3xf x sen 6x cos 6x e

A) 12

B)

6

C)

4

D) 3

E)

2

95. En la figura se muestra el gráfico de la función f definida por f x Acsc Bx C D ; calcule

ACDcsc

B

siendo M ;54

y

2N ; 1

3

.

A) 2 B) 2 C) 3

D) – 2 E) 2

96. En la figura se muestra el gráfico de la función f, definida por: f x Asen Bx C D

Calcule ABCD

A) 7

9

B)

7

18

C)

9

14

D) 14

9

E)

3

7

y

x

, 46

5, 2

3

y

M

N x



97. En la figura se muestra la gráfica de la función: f x Asen Bx C D

Calcule: MN

PR

A) 1

3 B)

2

3 C)

1

2

D) 3

2 E) 1

98. El gráfico de la función f definida

por:

5

f x 2 cos 2x cos 2x 112 12

A) B)

C)

99. Sea la función f definida por: f x 2 sen 3x 2sen x cos 3x 2cos x

entonces calcule el periodo (T) y indique la gráfica de la función f.

A) T3

B) T

6

C) T3

D) T

3

E) T6

3

2

1

0 6

2

3

7

6

3

2

1

0 6

2

3

11

12

5

12

12

–1

3 G

E

H M N

R P

F J

2

2 3 1 –5

–1

3

5

6

6

–1

0

1

y

6

3

x

–2

0

2

y

6

3

x

0

1

y

6

3

x

0

1

y

12

6

x

–1

0

1

y

12

6

x

4

8

1

0 6

2

3

7

6

8



100. En la figura se muestra el gráfico de la función f, definida por: f x Acsc Bx C D

Calcule las coordenadas del punto M.

A) 0;4 2 B) 0;4 2 2

C) 0;5 2 D) 0;3 2 2

E) 0;2 2 2

101. Encuentre el área de la región

sombreada.

A) 2 2

3

B)

2

8

C)

2

4

D) 4

E)

3

2

102. Del gráfico, calcule

oo

xx cos

2

si AM = MB.

A) 12

B)

31

2

C) 1 D) 1

E) 2 1

103. Observe la gráfica e identifique

la función auxiliar correspondiente.

A) 2cov x B) Vers (2x)

C) Ex sec (x) D) 2Exsec x E) Ex sec (2x)

104. Indique la gráfica de la función f definida por

f x sen x sen x sen x

A) B)

y

M

7Q ; 5

4

3Q ; 1

4

x

2

3

2

cos x sen x

xo x

y

A B M

xy cos

2

2

2

4

0

–1

–2

4

2

3

4

y

x

y

x



C) D) E)

105. Halle la regla de correspondencia de la función f(x).

A) 2cos x B) 2cos x4

C) 2sen x D) Vers (x)

E) 1 x

sen2 2

106. Determine el rango de la función

f definida por: f x 1 Vers x Cov x

A) 2; 2

B) 2 2;1

C) 3 2; 3 2

D) 3 3; 3 3

E) 0;2 2

107. Sea la función definida por f(x),

2 2

f x Vers x Cov x

Determine Df Rf (Df: Dominio de f) (Rf: Rango de f)

A) 2 2; 2 3

B) 3 2 2; 3 2 2

C) 2 2 2; 2 2

D) 2 2 2; 2 2 2

E)


f x exsec Vers x

Entonces, calcule la suma de los puntos de discontinuidad en el

intervalo x 0;

A) arc cos 12

B) arc cos 12

C) arc sen (1) D) arc sen (–1) E) 0

109. Si x 0; 2

, determine el

rango de la función f definida por: f x exsec x xcsc x 2

A) 1; B) 0;

C) 1; D) 2;

E) 3;

110. Determine el dominio de la

función f definida por:

tan x cot xf x

Vers x Cov x

k

A) k

2 4

B) k, k

2 4

y

x

y

x

y

x

1

f(x)

2

3

4

3

2

2

cosenoide



C) k4

D) k, 2k

2 4

E) 3k , k

4

111. Sea f la función definida por

f x sen x 3 Cov x

Entonces determine el rango de la función f.

A) [–1; 3] B) [1; 3] C) 0;3

D) 1;3 E) 1; 3

3er_Seminario Trigonometría PRE 2014-1

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