3)matematicas financieras

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Matemáticas Financieras Docente Josué Chura Varas Ingeniero Comercial Postgrado en Finanzas Universidad de Chile

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Matemáticas Financieras

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Matemáticas Financieras

DocenteJosué Chura Varas

Ingeniero ComercialPostgrado en FinanzasUniversidad de Chile

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Matemáticas Financieras

A lo largo de este módulo, aprenderás

conceptos básicos sobre Finanzas e Inversiones, que te ayudarán en tu

trabajo diario.

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Tasa de Interés

La tasa de interés es el porcentaje al que está invertido un capital en una

unidad de tiempo, determinando lo que se refiere como "el precio del dinero en

el mercado financiero".

La tasa de interés es fijada por el Banco central de cada país a los otros bancos y estos, a su vez, la fijan a las

personas por los préstamos otorgados.Una tasa de interés alta incentiva al

ahorro y una tasa de interés baja incentiva al consumo.

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BIENVENIDO

AL

INTERÉS SIMPLE

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Interés Simple

Comencemos revisando los

conceptos claves : Capital, Interés y Tasa de Interés.

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Interés Simple

Si un amigo(a) te pide un préstamo de $10.000, podemos decir que el CAPITAL que has prestado es de $10.000.

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Interés Simple

Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.

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Interés Simple

Si tu amigo(a) promete devolverte $11.000 en un mes más, podemos decir que obtendrás un interés de $1.000.

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Interés SimplePero además hay otro concepto importante asociado a los dos anteriores.

LA TASA DE INTERÉS, que es el porcentaje que representa el interés sobre el capital en un periodo determinado.

A este concepto de tasa de interés, también se le denomina RENTABILIDAD en renta fija.

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Interés Simple

En consecuencia, tenemos tres conceptos básicos que serán permanentemente empleados en operaciones crediticias, Inversiones y Finanzas en general.

Así abreviaremos :

No confundas interés con tasa de interés. Comoves son muy diferentes. Cuando ustedes consultanpor rentabilidad, puedes asociarla con el concepto

de TASA DE INTERÉS.

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Interés SimpleEJEMPLO : Imagina que vas al banco y ..............

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Interés SimpleVeamos ahora si podemos reconocer y aplicar los conceptos revisados.

C

I

i

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Interés SimpleA continuación veremos como opera el cálculo de intereses…………..

REVISEMOS EL SIGUIENTE GRÁFICO :

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Interés Simple

En el interés simple, el Capital y la Ganancia por el

interés permanece invariable en el tiempo.

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Interés SimpleAnalicemos el caso de un Capital de $10.000 colocado a una Tasa de Interés de 8% anual durante 5 años :

Veamos ahora cómo funciona, en el siguiente gráfico :

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Interés Simple

En el ejemplo anterior, notaste que el interés simple era de $800.

Ello es así porque el interés simple es directamente proporcional al Capital, a la tasa de interés y al número de períodos.

Matemáticamente, ello se expresa de la siguiente forma:

I

C

i

n

I = C x i x n

Interés Simple

Capital

Tasa de interés

Período

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Interés Simple

El interés Simple posee las siguientes características :

A mayorC A P I T A L

A mayor TASA DE INTERÉS

A mayorN° DE PERÍODOS

Mayor INTERÉS

Mayor INTERÉS

Mayor INTERÉS

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Interés SimpleEjercicio 1 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 años...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto año, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?

Seleccionamos la fórmula :

I = C x i x n

Reemplazando los valores en la fórmula :

I = 100.000 x 0.06 x 5

Efectuando los cálculos se obtiene :

I = $ 30.000

Es necesario precisar que la tasa de interés (i) se expresaen porcentaje (%) y para usarla en una fórmula, esnecesario expresarla en decimales.

Por Ejemplo :6% = 0,06 (6 Dividido por 100)

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Interés SimpleA modo de práctica, resolvamos los siguientes ejercicios :

¿ Qué capital colocado al 24% anual producirá al cabo de 6 meses $ 24.000 de Interés ?

¿ Qué fórmula usaras ?

Verificando fórmula.....

Correcto, en este caso la incógnita es el Capital, al despejarla de la fórmula de Interés Simple obtenemos la

fórmula seleccionada.

En este caso “n” = 6 meses o para“homogeneizar”, 0,5 años.

¡Muy bien!$200.000 es el

CAPITAL

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Interés SimpleEjercicio 2 :

Si depositas en una cuenta de ahorro $100.000 al 6% anual y mantienes este ahorro durantes 5 días...

¿ Cuánto interés recibirás al final del quinto día, si el interés a recibir es de tipo “SIMPLE” ?

Seleccionamos la fórmula :

I = C x i x n / 360

Reemplazando los valores en la fórmula :

I = 100.000 x 0.06 x 5 / 360

Efectuando los cálculos se obtiene :

I = $ 83,3

El interés que obtendría usted es de$83

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Interés Simple

Los ejemplos y actividades que verás, sebasan en el llamado tiempo ajustado, o

Tiempo comercial, que considera cada mescomo de 30 días. El denominado tiempo realque tiene meses de entre 28 y 31 días, no se

usará por razones prácticas.

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Interés Simple

OJO :

Debemos igualar las unidades de tiempo enque están expresadas la tasa y el período.

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BIENVENIDO

AL

INTERÉS COMPUESTO

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Interés Compuesto

El interés simple es necesario de conocer, pero en la práctica se emplea muy poco. La gran mayoría de los cálculos financieros se basan en lo que se denomina INTERÉS COMPUESTO.

Al final de cada período el capital

varía, y por consiguiente, el interés que se generará será

mayor.

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Interés CompuestoLo más importante que debes recordar es que para efectuar el cálculo de cada período, el nuevo capital es = al anterior más el interés ganado en el período.

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Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

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Interés CompuestoRevisemos cuidadosamente el siguiente desarrollo de la fórmula para interés compuesto :

Recuerda que el exponente de(1+i) es igual al número de

períodos.

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Interés Compuesto

Un concepto importante que debes recordar,se refiere a la CAPITALIZACIÓN de los intereses,es decir, cada cuánto tiempo el interés ganadose agrega al Capital anterior a efectos decalcular nuevos intereses.

En general la CAPITALIZACIÓN se efectúa aIntervalos regulares :• Diario• Mensual• Trimestral• Cuatrimestral• Semestral• Anual

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Interés Compuesto

Se dice entonces :

que el interés es “CAPITALIZABLE”, o convertibleen capital, en consecuencia, también gana interés

El interés aumenta periódicamente duranteel tiempo que dura la transacción.

El capital al final de la transacción se llama MONTOCOMPUESTO y lo designaremos MC.

A la diferencia entre el MONTO COMPUESTO y el CAPITAL (C) se le conoce como INTERÉSCOMPUESTO y lo designaremos por IC.

Obtenemos entonces la siguiente fórmula :

IC = MC – CInterés Compuesto = Monto Compuesto - Capital

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Interés CompuestoDe acuerdo a lo que ya hemos revisado respecto a INTERÉS COMPUESTO:

Monto Compuesto, alfinal del periodo “n”estaría dado por :

MC = C*(1+i)^n

En los problemas deInterés Compuesto elPrincipio fundamentalEstablece que la Tasa De Interés y el Tiempodeben estar en la mismaunidad que establecela capitalización.

El factor

(1+i)^n

Se denomina FACTOR DECAPITALIZACIÓN COMPUESTO

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Interés CompuestoEjercicio 1 :

¿ Cuál es el MONTO COMPUESTO de un CAPITAL de $250.000 depositado a una TASA del 2% mensual durante 8 meses, capitalizable mensualmente ?

Seleccionamos la fórmula :

MC = C * (1+i)^n

Reemplazando los valores en la fórmula :

MC = 250.000 * (1+0.02)^8

Efectuando los cálculos se obtiene :

MC = $ 292.915

PARE :

Recuerde respetar las prioridadesOperacionales :

1° Resolvemos el paréntesis.2° Multiplicamos.

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Interés CompuestoEjercicio 2 :

Un CAPITAL de $200.000, colocados a una TASA DE INTERÉS COMPUESTO del 3,5%, capitalizable mensualmente, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537 ¿Cuánto TIEMPO duró la operación?

Seleccionamos la fórmula :

N = Log MC – Log C / Log (1+i)

Reemplazando los valores en la fórmula :

N = Log 237.537 – Log 200.000/ Log 1,035

Efectuando los cálculos se obtiene :

N = 5,375731267 – 5,301029996/ 0,01494035 = 4,999969739 = 5

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Interés CompuestoEjercicio 3 :

Un CAPITAL de $200.000, colocados durante 5 MESES en un banco, se convirtió en un MONTO COMPUESTO de $ 237.537, capitalizable mensualmente. ¿Cuál es la TASA DE INTERÉS de la operación?

Seleccionamos la fórmula :

i = (MC / C ) ^ 1/n - 1

Reemplazando los valores en la fórmula :

i = ((237.537 / 200.000) ^ (1/5)) - 1

Efectuando los cálculos se obtiene :

i = 1,187685 ^ 1/5 - 1 i = 1,034999772 – 1 = 0,0349998 = 0,035

Entonces la TASA DE INTERÉS fue de un 3,5 %mensual.

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Interés CompuestoEjercicio 4 :

¿ Cuánto CAPITAL depositó una persona, a una TASA DE INTERÉS del 12% anual, si al cabo de 2 AÑOS tiene un MONTO COMPUESTO de $ 250.000, capitalizable anualmente ?.

Seleccionamos la fórmula :

C = MC / (1 + i)^n

Reemplazando los valores en la fórmula :

C = 250.000 / (1 + 0,12)^2

Efectuando los cálculos se obtiene :

C = 250.000 / 1,2544 = $ 199.298

Entonces el CAPITAL DEPOSITADÓ fue de$ 199.298

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Interés Real y Nominal

El ultimo concepto que revisaremos en esta lección se refiere a INTERÉS REAL.

Como muchos otros bienes, el dinero se deprecia en el tiempo (tiene un menor valor). En el caso del dinero, esto se produce

por el efecto que tiene sobre él un fenómeno denominado INFLACIÓN.

La inflación tiene un efecto directo sobre la rentabilidad que exigiráun Inversionista respecto de su inversión.

El interés que se pacta normalmente, no tiene en cuenta el efecto dela INFLACIÓN. Se le denomina INTERÉS NOMINAL.

Los conceptos y ejercicios que hemosdesarrollado hasta ahora, siempre han

considerado el interés NOMINAL.

No obstante, ustedes se deben interesarsiempre por el interés o rentabilidad

REAL de su inversión.

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Inflación y tasas de interés

Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC

Inflación:

En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.

$100 $100Si π = 25%

Periodo 0(Año 0)

Periodo 1 (Año 1)

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 39: 3)matematicas financieras

Inflación y tasas de interés

La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, es conocida en la literatura con el nombre de igualdad de Fischer:

Donde i = tasa de interés nominalr = tasa de interés real = Tasa de inflación

ri 1*11 AB

La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá incorporar:

A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder adquisitivo (tasa inflación)

...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)

* Poder adquisitivo (inflación)

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además; Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%

Inflación y tasas de interés

$1100 $1375

Año 1 Año 1Si π = 25%

$1000 $1100

Año 0 Año 1Si r = 10%

...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 41: 3)matematicas financieras

Inflación y tasas de interés

Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía donde la inflación es del 25% anual.

¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ cuánto es mi capital nominal al final del año ?

Ejemplo:

...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 42: 3)matematicas financieras

Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )

Donde =0,25 y i =0,375

Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1 r = 10%

Si el capital inicial es C0 = $ 500

Entonces: C1 = C0*(1+i) = 500*(1,375) C1= $ 687,5

Inflación y tasas de interés...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 43: 3)matematicas financieras

Inflación y tasas de interés...continuación

La evaluación de proyectos utiliza tasas de interés reales y por tanto flujos reales, de esta forma se evita trabajar con inflaciones que normalmente tendrían que ser estimadas a futuro con el consiguiente problema de incertidumbre.

Nota importante

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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Interés Real y Nominal

El interés REAL, es el ajuste que debe efectuarseal interés NOMINAL para que refleje correctamentela inflación del período.

En otras palabras, el interés REAL refleja el “PODERADQUISITIVO” de la rentabilidad obtenida en unainversión.

Si la inflación es positiva, siempre el interés REALserá menor que el interés NOMINAL.

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Interés Real y Nominal

El impacto de la inflación se puede estimar. Ello esnecesario, para muchas decisiones financieras dondelo que realmente importa es la rentabilidad REAL.

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Page 47: 3)matematicas financieras

Interés Real y Nominal

IPC NOMINAL

NOMINAL REALREAL

IPM

INFERIOR

SIMPLE

IPCIPM

REAL NOMINAL

REALNOMINAL

INFERIOR

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MATEMÁTICA FINANCIERA

Valor del dinero en el tiempo Valor futuro y valor actual

Temario

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 49: 3)matematicas financieras

Corresponde a la rentabilidad que un agente económico exigirá por no hacer uso del dinero en el periodo 0 y posponerlo a un periodo futuro

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro. Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco

ganando una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida para determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos periodos distintos de tiempo

La sociedad es un participante más que también tiene preferencia intertemporal entre consumo e inversión presente y futura.

Valor del dinero en el tiempo

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

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Periodo 0(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1(Año 1)

Valor del dinero en el tiempo ...continuación...

EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el dinero en el banco.

a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de 10% ?

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad) 100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 51: 3)matematicas financieras

Valor del dinero en el tiempo ...continuación

Si : Sólo hay sólo 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un

año (C0, C1) Rentabilidad exigida por no consumir hoy: r=10%

b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?

Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880

EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r) 0

200

400

600

800

1.000

1.200

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.00

0

Periodo 0

Peri

odo

1

(200, 880)

(500, 550)

(800, 220)

1.100

Consumo total= 200 + 880 = 1.080

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 52: 3)matematicas financieras

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

31111* rVArrrVAVF

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Si son 3 periodos

Caso General: nrVAVF 1*

VALOR FUTURO

rVAVF 1*

0 1

VFVA

Año:

Sólo 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 53: 3)matematicas financieras

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

311*1*1 r

VFrrr

VFVA

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Caso 3 periodos

Caso General: nrVF

VA

1

VALOR ACTUAL

...continuación...

rVF

VA

1

0 1

VFVA

Año:

Caso 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 54: 3)matematicas financieras

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405

VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Alternativamente:

...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 55: 3)matematicas financieras

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de interés anual es de 15%. ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 3.300 / 1,749 = 1.886,8

Alternativamente:

...continuación

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 56: 3)matematicas financieras

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

Caso especialc) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3. ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

...continuación

VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) =

(1,64)1/3

1+r = 1,18 r = 0,18

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 57: 3)matematicas financieras

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés compuestaCorresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los intereses ganados y este total es el que gana intereses para un segundo periodo.

nrVAVF 1*

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r) n : Factor de capitalización

nrVF

VA

1 : Factor de descuento

1(1+r) n

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 58: 3)matematicas financieras

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés simpleConcepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.

El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados

)*1(* nrVAVF VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r*n) : Factor acumulación simple

nrVF

VA*1

: Factor descuento simple 1(1+r*n)

...continuación...

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 59: 3)matematicas financieras

Tasas de interés compuesta y simple

Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simpleSi se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?Con tasa interés compuesta:

C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Con tasa interés simple:

C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360

1000 14051120 1254

1+r 1+r 1+r

1000 1360

1+r*3

...continuación...

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 134Año 3: $ 151

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 120Año 3: $ 120

PREPARACIÓN Y EVALUACIÓN DE PROYECTOS

Page 60: 3)matematicas financieras

Interés Real y Nominal

A continuación resolveremos unos ejercicios, que nos ayudarán a determinar

si has adquirido los conocimientos entregados en esta LECCIÓN.

Page 61: 3)matematicas financieras

NIVEL IIResponde las siguientes preguntas para que puedas verificar tu avance :

La diferencia fundamental entre interés SIMPLE y COMPUESTOes que en el cálculo del interés SIMPLE, el capital es constante,en cambio en el interés COMPUESTO, el capital va aumentandosegún se capitalizan los intereses ganados.

El cálculo del interés COMPUESTO es poco empleado en lapractica.

Los conceptos claves para resolver problemas de INTERÉSSIMPLE son : CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS y PERÍODOTIEMPO.

La fórmula básica para resolver un problema de interés simplees :

i = C * I * n

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Ejercicios

¿ Cuál es la alternativa correcta ?Si una persona invierte $30.000 a un interéssimple de 7% anual, al final de un período de30 años, habrá obtenido un interés de :

a) $63.000

b) $90.000

c) $42.000

d) $65.000

e) Ninguna de las anteriores

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Ejercicios

¿ Qué opciones son correctas ?Marca aquellas sentencias que considerescorrectas, respecto al interés compuesto:

a) Es aquella que se utiliza en las aplicaciones financieras prácticas.

b) Debe especificar un período de capitalización

c) Si la inflación es 0, el interés nominal siempre será mayor al interés real en un mismo período de tiempo.

d) Ninguna de las anteriores

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Ejercicios

¿ Qué opciones son correctas ?Marca aquellas sentencias que considerescorrectas, respecto al interés real:

a) El interés real es siempre compuesto.

b) Es aquel que tiene incorporado el efecto de la inflación.

c) Si la inflación medida por el IPC, es positiva, el interés nominal será siempre mayor que el real.

d) Ninguna de las anteriores.

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CONCLUSIÓN FINAL

En este módulo hemos revisado conceptosclaves que son permanentemente utilizadosen tú desarrollo profesional :

1) Definimos Capital, Interés y Tasa de Interés

2) Interés Simple y ejemplos.

3) Interés Compuesto y ejemplos.

4) Analizamos el impacto de la inflación sobre el interés o la rentabilidad de una inversión.

5) Interés nominal v/s Interés real.

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