dolor de cabeza en el grupo de tratamiento entre las posibilidades a favor de un dolorde cabeza en el grupo de control, el cual se calcula evaluando lo siguiente:

El riesgo relativo y la razón de probabilidad se utilizan comúnmente en estudios médicosy epidemiológicos. Calcule el riesgo relativo y la razón de probabilidad de los datos deldolor de cabeza.

35. Moscas en una naranja. Si dos moscas se posan sobre una naranja, calcule la proba-bilidad de que ambas se localicen en puntos pertenecientes al mismo hemisferio.

36. Puntos en un palo. Se seleccionan al azar dos puntos a lo largo de un palo recto.Después se rompe el palo en esos dos puntos. Calcule la probabilidad de que los trespedazos que quedan se puedan acomodar para formar un triángulo. (Quizá éste sea elejercicio más difícil del libro).

4-3 Regla de la sumaConcepto clave El objetivo principal de esta sección es presentar la regla de lasuma como un método para calcular probabilidades que pueden expresarse de la for-ma P(A o B), es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra elsuceso B (o de que ambos ocurran), como único resultado de un procedimiento. Paracalcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B, primero debemosobtener el número total de maneras en que puede ocurrir A y de maneras en quepuede ocurrir B, pero calculamos ese total sin contar cada resultado más de una vez.

La palabra clave en esta sección es “o”. A lo largo de este texto usaremos el oinclusive, que significa: uno o el otro o ambos. (Con excepción del ejercicio 26,no consideramos el o exclusivo, que significa uno o el otro, pero no ambos).

En la sección anterior presentamos aspectos fundamentales de la probabilidady estudiamos sucesos calificados como simples. En esta sección y en la siguientenos ocuparemos de sucesos compuestos.

pt> s1 2 ptdpc> s1 2 pcd

4-3 Regla de la suma 151

DefiniciónUn suceso compuesto es cualquier suceso que combine dos o más sucesossimples.

Notación de la regla de la sumaP(A o B) � P(en un solo ensayo, ocurre el suceso A u ocurre el suceso B o

ambos ocurren)

Comprensión de la notación En esta sección, P(A y B) denota la probabilidadde que tanto A como B ocurran en el mismo ensayo, pero en la siguiente secciónutilizamos P(A y B) para denotar la probabilidad de que el evento A ocurra en unensayo, seguido por el suceso B en otro ensayo. Por lo tanto, el verdadero significadode P(A y B) sólo se determina sabiendo si nos referimos a un ensayo que puede tenerresultados de A y B, o dos ensayos en donde el suceso A ocurra en el primer ensayoy el suceso B ocurra en el segundo. Así pues, el significado de P(A y B) depende delcontexto.

Los niños y las niñasno son igualmenteprobables

En muchos cálculos de proba-

bilidad, se obtienen buenos re-

sultados al suponer que los niños

y las niñas tienen las mismas

probabilidades de nacer. En rea-

lidad, es más probable que nazca

un niño (con una probabilidad de

0.512) que una niña (con una

probabilidad de 0.488). Estos

resultados se basan en datos re-

cientes del National Center for

Health Statistics, según los cua-

les de los 4,058,814 nacimientos

en un año, 2,076,969 fueron ni-

ños y 1,981,845 fueron niñas.

Los investigadores revisan es-

tas probabilidades para descubrir

cambios que podrían sugerir fac-

tores como modificaciones en el

ambiente y la exposición a sus-

tancias químicas.

Remítase a la tabla 4-1 que se reproduce aquí para su comodidad. En lamuestra de 300 sujetos representados en la tabla, ¿cuántos de ellos resultaronpositivos o consumían marihuana? (Recuerde, “resultaron positivos o consumíanmarihuana” realmente significa “resultaron positivos, consumían marihuana oambos”). Un examen de la tabla debe indicarle que un total de 146 sujetos re-sultaron positivos o consumían marihuana. (Nota importante: Es incorrecto sumarlos 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que consumían ma-rihuana, ya que este total de 265 contaría dos veces a 119 de los sujetos, quesólo deben contarse una vez). Vea el papel que desempeña el total correcto de146 en el siguiente ejemplo.

152 Capítulo 4 Probabilidad

EJEMPLO Prueba de drogas Remítase a la tabla 4-1 que se reproduceaquí para su comodidad. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300personas que fueron examinadas, calcule la probabilidad de seleccionar a unsujeto que haya resultado positivo o que consumía marihuana.

SOLUCIÓN En la tabla 4-1 observamos que hay 146 sujetos que tuvieron unresultado de prueba positivo o consumían marihuana. El total de 146 se obtuvoal sumar a los sujetos que resultaron positivos con los sujetos que consumíanmarihuana, teniendo cuidado de contar a cada uno sólo una vez. Al dividir eltotal de 146 entre el total general de 300, obtenemos el siguiente resultado:P(resultado positivo de la prueba o consumo de marihuana) � 146>300 o0.487.

En el ejemplo anterior existen varias estrategias que usted podría utilizar paracontar a los sujetos que resultaron positivos o consumían marihuana. Cualquierade los siguientes podría funcionar:

● Coloree las celdas que representan a los sujetos que resultaron positivos oconsumían marihuana, luego sume los números de las celdas coloreadas,teniendo cuidado de sumar cada número sólo una vez. Este método da porresultado

119 � 24 � 3 � 146

● Sume los 143 sujetos que resultaron positivos con los 122 sujetos que con-sumían marihuana, pero el total de 265 incluye un doble conteo de 119 su-jetos, de manera que para compensar esto se resta el traslape que consiste

El vocabulario deShakespeare

Según Bradley Efron y Ronald

Thisted, los escritos de Shakes-

peare incluyen 31,534 pala-

bras diferentes. Ellos usaron la

teoría de la probabilidad para

concluir que Shakespeare pro-

bablemente conocía al menos

otras 35,000 palabras que no

usó en sus escritos. Estimar el

tamaño de una población es un

problema importante que se en-

cuentra con frecuencia en estu-

dios ecológicos, pero el resultado

que aquí se presenta es otra apli-

cación interesante. (Véase “Esti-

mating the Number of Unseen

Species: How Many Words Did

Shakespeare Know?” en Biome-

trika, vol. 63, núm. 3).

Tabla 4-1 Resultados de exámenes sobre el consumo de marihuana

¿Los sujetos realmente consumen marihuana?

Sí No

Resultado de prueba positivo 119 24 (La prueba indica que (verdadero positivo) (falso positivo)la marihuana está presente).

Resultado de prueba negativo 3 154 (La prueba indica que la (falso negativo) (verdadero negativo) marihuana está ausente).

en los 119 sujetos que resultaron positivos y consumían marihuana. Estemétodo produce el siguiente resultado

143 � 122 � 119 � 146

● Comience con el total de 143 sujetos que resultaron positivos, luego sumelos sujetos que consumían marihuana y que aún no habían sido incluidos enel total, para obtener un resultado de

143 � 3 � 146

Estudie cuidadosamente el ejemplo anterior para comprender esta característi-ca fundamental del cálculo de la probabilidad de un suceso A o de un suceso B: eluso la palabra “o” sugiere una suma, y la suma se debe realizar sin un conteo doble.

Este ejemplo sugiere una regla general por medio de la cual sumamos el nú-mero de resultados que corresponden a cada uno de los sucesos en cuestión:

Para calcular la probabilidad de que un suceso A ocurra o un sucesoB ocurra, calcule el número total de formas en que A puede ocurrir yel número de formas en que B puede ocurrir, pero calcule ese total detal manera que ningún resultado se cuente más de una vez.

Un modo de formalizar la regla consiste en combinar el número de formas en queun suceso A puede ocurrir con el número de formas en que un suceso B puedeocurrir y, si hay algún traslape, se debe compensar restando el número de resulta-dos que se contaron dos veces, como se hace en la siguiente regla.

4-3 Regla de la suma 153

Regla formal de la sumaP(A o B) � P(A) � P(B) � P(A y B)

donde P(A y B) denota la probabilidad de que A y B ocurran al mismo tiempo,como resultado en un ensayo de un procedimiento.

La regla formal de la suma se presenta como una fórmula, pero no se recomiendael uso irreflexivo de fórmulas. En general, es mejor comprender el espíritu de laregla y utilizar esa comprensión de la siguiente forma.

Regla intuitiva de la sumaPara obtener P(A o B), calcule la suma del número de formas en que puede ocu-rrir el suceso A y el número de formas en que puede ocurrir el suceso B, suman-do de tal manera que cada resultado se cuente sólo una vez. P(A o B) es igual aesa suma, dividida entre el número total de resultados en el espacio muestral.

Puesto que el traslape de sucesos es un aspecto esencial en la regla de la suma,existe un término especial para describirlo:

DefiniciónLos sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando am-bos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos nose traslapan).

154 Capítulo 4 Probabilidad

EJEMPLO Examen de drogas De nuevo, remítase a la tabla 4-1.

a. Considere el procedimiento de elegir al azar a uno de los 300 sujetos incluidosen la tabla 4-1. Determine si los siguientes sucesos son disjuntos: A: elegir aun sujeto con un resultado de prueba negativo; B: elegir a un sujeto que noconsumía marihuana.

b. Suponiendo que se elige al azar a una de las 300 personas que fueron someti-das a la prueba, calcule la probabilidad de elegir a un sujeto con un resultadode prueba negativo o que no consumía marihuana.

SOLUCIÓN

a. En la tabla 4-1 observamos que hay 157 sujetos con resultados de pruebanegativos y 178 sujetos que no consumían marihuana. El suceso de elegir aun sujeto con un resultado de prueba negativo y elegir a un sujeto que noconsumía marihuana pueden ocurrir al mismo tiempo (ya que existen 154sujetos con resultados de prueba negativos y que no consumían marihuana).Como esos eventos se traslapan, pueden ocurrir al mismo tiempo y decimosque los sucesos no son disjuntos.

b. En la tabla 4-1 debemos calcular el número total de sujetos que tuvieron re-sultados de prueba negativos y que no consumían marihuana, pero debemoshacerlo sin contar dos veces a cada uno. Obtenemos un total de 181.

Puesto que 181 sujetos tuvieron resultados de prueba negativos o no consumíanmarihuana, y como hay un total de 300 sujetos, obtenemos

Psresultados de prueba negativos o no consumían marihuanad 5181

3005 0.603

En la figura 4-3 se muestra un diagrama de Venn que nos ofrece una ilustra-ción de la regla formal de la suma. En esta figura podemos ver que la probabilidadde A o B es igual a la probabilidad de A (círculo izquierdo) más la probabilidad deB (círculo derecho) menos la probabilidad de A y B (región media con formade balón de fútbol americano). Esta figura nos muestra que la suma de las áreas delos dos círculos haría que se contara dos veces la región media. Éste es el conceptobásico que subyace en la regla de la suma. Debido a la relación entre la regla de lasuma y el diagrama de Venn que se muestra en la figura 4-3, es común el uso dela notación P(A ´ B) en vez de P(A o B). De manera similar, se usa con frecuen-cia la notación P(A ¨ B) en vez de P(A y B), de manera que la regla formal de lasuma se expresa como

P(A ´ B) � P(A) � P(B) � P(A ¨ B)

La regla de la suma se simplifica cuando A y B son disjuntos (no pueden ocurrirsimultáneamente), de manera que P(A y B) se convierte en cero. La figura 4-4indica que si A y B son disjuntos, tenemos P(A o B) � P(A) � P(B).

Podemos resumir los puntos clave de esta sección de la siguiente manera:

1. Para calcular P(A o B), primero debemos asociar el uso de la palabra “o” conla suma.

2. Considere si los sucesos A y B son disjuntos; es decir, ¿pueden ocurrir al mis-mo tiempo? Si no son disjuntos (es decir, si pueden ocurrir al mismo tiempo),

P (A) P (B)

P (A y B)

Área total = 1

P (A) P (B)

Área total = 1

Figura 4-3 Diagrama deVenn de sucesos que no sondisjuntos

Figura 4-4 Diagrama deVenn de sucesos disjuntos

asegúrese de evitar (o al menos compensar) un conteo doble cuando se sumanlas probabilidades relevantes. Si usted comprende la importancia de no reali-zar un conteo doble cuando calcule P(A o B), no necesariamente debe calcularel valor de P(A) � P(B) � P(A y B).

Los errores que se cometen al aplicar la regla de la suma a menudo implicanun conteo doble; es decir, tratar a los sucesos que no son disjuntos como si lo fueran.Una indicación de este tipo de error es una probabilidad total mayor que 1; sinembargo, no siempre los errores que implican a la regla de la suma hacen que laprobabilidad total sea mayor que 1.

Sucesos complementariosEn la sección 4-2 definimos el complemento del suceso A y lo denotamos como A–.Dijimos que A– consiste en todos los resultados en los que el suceso A no ocurre.Los sucesos A y A– deben ser disjuntos, porque es imposible que un suceso y sucomplemento ocurran al mismo tiempo. Además, podemos estar absolutamenteseguros de que A ocurre, o bien, de que no ocurre, lo que implica que debe ocurrirA o A–. Estas observaciones nos permiten aplicar la regla de la suma para sucesosmutuamente excluyentes de la siguiente manera:

P(A o A– � P(A) � P(A–) � 1

Justificamos P(A o A– ) � P(A) � P(A– ) señalando que A y A– son disjuntos; justi-ficamos el total de 1 por nuestra certeza absoluta de que A ocurre, o bien, noocurre. Este resultado de la regla de la suma da lugar a las siguientes tres formasequivalentes.

4-3 Regla de la suma 155

Regla de los sucesos complementariosP(A) � P(A–) � 1

P(A–) � 1 � P(A)

P(A) � 1 � P(A–)

La figura 4-5 es una representación visual de la relación entre P(A) y P(A–).

P (A)

P (A) � 1 � P (A)—

Área total = 1

Figura 4-5 Diagrama deVenn del complemento del suceso A

EJEMPLO En realidad, cuando nace un bebé, P(niño) � 0.512. CalculeP(niño—).

SOLUCIÓN Usando la regla de los sucesos complementarios, tenemos

P(niño—) � 1 � P(niño) � 1 � 0.512 � 0.488

Es decir, la probabilidad de no tener un niño, que es la misma que la de teneruna niña, es de 0.488.

La principal ventaja de la regla de los sucesos complementarios es que puedesimplificar mucho ciertos problemas. Ilustraremos esta ventaja en la sección 4-5.

4-3 DESTREZAS Y CONCEPTOS BÁSICOSConocimientos estadísticos y pensamiento crítico

1. Sucesos disjuntos. Con sus palabras, describa qué significa que dos sucesos seandisjuntos.

2. Regla de la suma. Con sus palabras, describa cómo se aplica la regla de la suma paracalcular la probabilidad de que ocurra el suceso A o de que ocurra el suceso B.

3. Encuesta. Para un proyecto de investigación, usted necesita calcular la probabili-dad de que una persona sea zurda o conduzca un automóvil. ¿En qué error incurriríasi encuestara a un grupo de 500 personas, formado por sus amigos más cercanos yparientes?

4. Sucesos disjuntos y complementos. Si un suceso es el complemento de otro suceso,¿los dos sucesos deben ser disjuntos? ¿Por qué?

Determinar si los sucesos son disjuntos. En cada uno de los incisos de los ejercicios5 y 6, ¿los dos eventos son disjuntos para un solo ensayo? (Sugerencia: Considere que“disjunto” es equivalente a “separado” o “que no se traslapa”).

5. a. Elección de un presidente de Estados UnidosElección de una candidata

b. Seleccionar al azar a una persona que fuma puroSeleccionar al azar a un hombre

c. Seleccionar al azar a una persona tratada con el fármaco Lipitor que reduce losniveles de colesterolSeleccionar al azar a una persona de un grupo de control que no recibe el medicamento

6. a. Seleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos rojosSeleccionar al azar una mosca de la fruta con ojos sepia (café oscuro)

b. Recibir una llamada telefónica de un sujeto de encuesta voluntario que se opone ala clonaciónRecibir una llamada telefónica de un sujeto de encuesta voluntario que aprueba laclonación de ovejas

c. Seleccionar al azar a un enfermeroSeleccionar al azar a un hombre

7. Cálculo de complementosa. Si P(A) � 0.05, calcule P(A– ).b. Las mujeres tienen una tasa del 0.25% de ceguera a los colores rojo y verde. Si

se elige una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga ceguera a loscolores rojo y verde? (Sugerencia: Considere que el equivalente decimal de 0.25%es 0.0025, no 0.25).

8. Cálculo de complementosa. Calcule P(A– ), dado que P(A) � 0.01.b. Una encuesta de Reuters>Zogby indicó que el 61% de los estadounidenses creen

que existe vida en otros lugares de la galaxia. ¿Cuál es la probabilidad de elegir alazar a una persona que no tenga esta creencia?

En los ejercicios 9 a 12, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los resultadosde 985 muertes de peatones causadas por accidentes (según datos de la National HighwayTraffic Safety Administration).

156 Capítulo 4 Probabilidad

¿El peatón estaba intoxicado?

Sí No

Sí 59 79

No 266 581¿El conductor estaba intoxicado?

9. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule la pro-babilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor estuviera intoxicado.

10. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule laprobabilidad de que el peatón no estuviera intoxicado o que el conductor no estuvieraintoxicado.

11. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule laprobabilidad de que el peatón estuviera intoxicado o que el conductor no estuvieraintoxicado.

12. Muertes de peatones. Si se elige al azar una de las muertes de peatones, calcule laprobabilidad de que el conductor estuviera intoxicado o que el peatón no estuvieraintoxicado.

En los ejercicios 13 a 20, utilice los datos de la siguiente tabla que resume los grupossanguíneos y los factores Rh de 100 personas comunes. Estos valores pueden variar endiferentes regiones de acuerdo con el origen étnico de la población.

4-3 Regla de la suma 157

13. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidadde seleccionar a alguien que no sea del grupo A.

14. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidadde seleccionar a alguien del tipo Rh�.

15. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidadde seleccionar a alguien que sea del grupo A o del tipo Rh�.

16. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule la probabilidadde seleccionar a alguien que sea del grupo A o del grupo B.

17. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(no del tipo Rh+).

18. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo B otipo Rh+).

19. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo ABo tipo Rh+).

20. Grupos y tipos sanguíneos. Si se elige a una persona al azar, calcule P(grupo A uO o tipo Rh+).

En los ejercicios 21 y 22, remítase la figura (en la parte superior de la siguiente página)que describe los guisantes utilizados en un estudio genético. (Las probabilidades tienenun papel importante en la genética, y Mendel realizó sus famosos experimentos de hibri-dación con guisantes, como los que se muestran en la figura).

21. Construcción de tabla. Utilice la figura de la siguiente página para identificar las fre-cuencias en la tabla que aparece al margen. (Las flores son las porciones superiores ylas vainas son las porciones inferiores. Para completar la tabla considere que el colormorado está representado en la figura por gris oscuro, y el verde por gris medio. El co-lor amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blanco aparece como tal).

22. Experimento de hibridación. Suponga que se elige al azar uno de los guisantes.(Recuerde que en la figura el color morado está representado por gris oscuro, y el verdepor gris medio. El color amarillo está representado por gris claro, en tanto que el blancoaparece como tal).

a. Remítase a la figura y calcule P(vaina verde o flor morada).b. Remítase a la tabla construida en el ejercicio 21 y calcule P(vaina verde o flor morada).c. ¿Qué formato es más fácil de usar: la figura o la tabla?

Grupo

O A B AB

Tipo Rh1 39 35 8 4Rh2 6 5 2 1

Tabla del ejercicio 21

FlorMorada Blanca

Verde ? ?

Amarilla ? ?Vaina

23. Resistencia a la encuesta. Las empresas que realizan encuestas están preocupa-das por los niveles decrecientes de cooperación de las personas que se eligen paraser encuestadas. Un encuestador se pone en contacto con 84 personas entre 18 y21 años de edad; encuentra que 73 responden y 11 se rehúsan a contestar. Cuandose pone en contacto con 275 personas entre 22 y 29 años, 255 responden y 20 serehúsan a responder (según datos de “I Hear You Knocking but You Can’t Come In”,de Fitzgerald y Fuller, Sociological Methods and Research, vol. 11, núm. 1). Supon-ga que se selecciona al azar a 1 de 359 personas. Calcule la probabilidad de quesea una persona en el rango de edad de 18 a 21 años o una persona que se rehúsa aresponder.

24. Resistencia a la encuesta. Remítase al mismo conjunto de datos utilizado en el ejercicio23. Suponga que se selecciona al azar a 1 de las 359 personas y calcule la probabilidad deque sea una persona en el rango de 18 a 21 años o alguien que sí respondió.

4-3 MÁS ALLÁ DE LO BÁSICO25. Sucesos disjuntos. Si los sucesos A y B son disjuntos, y los sucesos B y C son disjun-

tos, ¿los sucesos A y C deben ser disjuntos? Dé un ejemplo que apoye su respuesta.

26. O exclusivo. ¿En que se modifica la regla de la suma si se utiliza o exclusivo en vezde o inclusive? En esta sección se señaló que o exclusivo significa uno o el otro, perono ambos.

27. Extensión de la regla de la suma. La regla formal de la suma, presentada en esta sec-ción, expresa la probabilidad de A o B como sigue: P(A o B) � P(A) � P(B) � P(A y B).Extienda esta regla formal para desarrollar una expresión aplicable a P(A o B o C). (Su-gerencia: Dibuje un diagrama de Venn).

158 Capítulo 4 Probabilidad

Guisantes utilizados en un experimento de hibridación