CAPITULO 6

FLUJO NO PERMANENTE EN TUBERIAS - Se produce cuando las características hidráulicas a lo largo de la tubería varían con el tiempo. - Las condiciones de flujo no permanente se producen debido a algún tipo de excitación del

sistema. - Las excitaciones representativas son la apertura o cierre de válvulas, el funcionamiento de

bombas o turbinas, la ruptura de tubos y eventos de cavitación. - Se produce en plantas hidroeléctricas y sistema de distribución de agua. APERTURA INSTANTANEA DE VALVULA: - Asumiendo un flujo incompresible en una tubería inelástica. - En el esquema mostrado, inicialmente para una apertura de válvula dada se tiene una velocidad

V=Vo, de pronto la válvula será abierta súbitamente produciendo una nueva velocidad V=Vs. Se trata de calcular la nueva velocidad y calcular luego de que tiempo de abierta la válvula se obtienen condiciones estables.

- Se estudiará el caso de un tubo horizontal de longitud L de diámetro constante D.

Aplicando la segunda ley de Newton en el volumen de control: ∑ = xx amF .

dtdVALDLppA o ρπτ =−− )( 21 (1)

Aplicando la ecuación de la energía entre el punto 2 y 3:

2

2

32VKpp ρ

+= (2)

Expresando el esfuerzo cortante en la pared de la tubería (τo

) en función del coeficiente de Darcy (f).

8

2fVo

ρτ = (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) y aceptando que ( )3131 . HHgpp −=− ρ se obtiene.

02

312

=−

−

++

LHH

gVLK

Df

dtdV

(4) Ecuación que representa el flujo incompresible

inestable en un tubo

Condiciones de borde: cuando : t = 0 , V=Vcuando se alcanza estado estable: dV/dt=0 y V=V

o s

, en (4)

KDfLHHg

Vs +−

=/

)(2 31 (5)

despejando ( f/D+K/L) de (5) y sustituyendo (4) luego de separar variables e integrar se tiene.

∫∫ −−=

V

V s

st

oVV

dVHHg

LVdt

2231

2

0 )( (6)

Luego de integrar, se obtiene una relación entre la velocidad V luego de un instante t después de la excitación de la válvula:

( )( )( )( )oss

osss

VVVVVVVV

HHgLV

t+−−+

−= ln

)(2 31

(7)

Según la expresión (7) se requerirá un tiempo ∞=t para que obtener V=Vs lo cual no es exacto. Para fines prácticos bastará con determinar el momento en que se alcanzará un porcentaje dado de Vs

.

CIERRE INSTANTANEO DE VALVULA - Se asumirá flujo compresible en un tubo elástico. - En el mismo esquema anterior, ahora la válvula será cerrada instantáneamente. - El movimiento de la válvula hará que una onda acústica, o de presión, se propague corriente

arriba con una velocidad a. - La presencia de la onda implica condiciones de flujo no permanente observándose a la entrada

una velocidad V y a la salida una velocidad V+∆V. (fig. a) - A fin de analizar el problema con las leyes de estado estable el problema se hará que el frente

de onda parezca estacionario desde el punto de vista de un observador que se mueve a la misma velocidad de la onda. (fig b)

Aplicando la conservación de masa a través del volumen de control mostrado en la figura b se tiene:

( )( )( ) ( )AaVAAaVV +−∆++∆+∆+= ρρρ0 (8) Aplicando la ecuación de momentum a través del mismo volumen de control y considerando solo las fuerzas de presión como se muestra en la figura c se tiene:

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]aVaVVaVAAAppApppA +−+∆++=∆+∆+−∆∆++ ρ (9) Expandiendo (8) y (9) y desechando los términos que contienen factores de ∆2 y ∆3

, las ecuaciones se convierten en:

( )( ) 0=∆+∆++∆ AAaVVA ρρρ (10) y

( ) VaVApA ∆+=∆− ρ (11) En casi todas las situaciones V<<a, así que la ecuación (11) se convierte en:

Vap ∆−=∆ ρ (12) Ecuación de Joukowsky

Combinando (11) con (10) eliminando el término ∆V, debido a que V<<a, se tiene

AA

ap ∆

+∆

=∆

ρρ

ρ 2 (13)

De la definición de modulo de elasticidad volumétrica del fluido (B) se tiene que Bp // ∆=∆ ρρ En la tubería de radio r, se tiene que rrAA /2/ ∆=∆ , siendo rr /∆ conocido como el cambio de deformación circunferencial ( rr /∆=∆ε ). En un tubo de pared delgada de espesor (e), el esfuerzo circunferencial esta dado por epr /=σ de donde si r y e son pequeños se tiene que

( ) per ∆≈∆ /σ El modulo de elasticidad del material de la pared del tubo se define como: εσ ∆∆= /E , reemplazando las expresiones deducidas se tiene:

( )AA

perrrperE

/)/2(

//

∆∆

=∆

∆≈

∆∆

=εσ

(14)

despejando ∆A/A y reemplazando junto con ∆ρ/ρ en (13)

eEpr

Bp

a∆

+∆

=∆ 2

2ρρ

(14)

sustituyendo 2r por el diámetro (D) y despejando la velocidad de la onda de presión (a) se tiene:

)/)(/(1/

EBeDBa

+=

ρ (15)

Se tiene que: a = f [propiedades del liquido(ρ y B), propiedades de la pared (D,e y E)] si el tubo es muy rígido el término DB/eE <<1 y la ecuación (15) se transforma en:

ρBa = (16) Velocidad del sonido en un liquido

MOVIMIENTO DE LA ONDA DE PRESION

VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN DIVERSOS PUNTOS DE LA TUBERÍA.

APLICACIONES 1.- Un tubo horizontal 1000 m de longitud , con un diámetro de 500 mm y una velocidad estable de 0.5 m/s, se somete repentinamente a un nuevo diferencial de carga piezométrica de 20 m cuando la válvula corriente abajo se abre repentinamente y su coeficiente cambia a K = 0.2. Suponiendo un factor de fricción de f = 0.002, determinar la velocidad final de estado estable, y el instante en que la velocidad real alcanza el 75% del valor final. 2.- Se suministra gasolina por gravedad sin bombeo desde un tanque de almacenamiento a través de una tubería casi horizontal de 800 m de largo y 50 mm de diámetro, hacia un camión tanque. Hay una válvula de acción rápida en el extremo de la tubería. La diferencia de altura entre la gasolina del depósito y el tanque del camión es de 8 m. Inicialmente, la válvula está parcialmente cerrada, y K = 275. Luego el operador decide aumentar la descarga abriendo la válvula rápidamente a la posición en la que K=5. Suponiendo un fluido incompresible y una tubería inelástica, determine la nueva descarga en estado estable y el tiempo que toma alcanzar el 95 % de ese valor. Suponer f=0.015. 3.- Una tubería de acero (E-207x106

kPa, L=1500m, D=300 mm, e=10 mm) transporta agua a 20 oC. La velocidad inicial es Vo = 1m/s. Una válvula en el extremo corriente abajo se cierra con tal rapidez que el movimiento se considera instantáneo y reduce su velocidad a cero. Determinar la velocidad de la onda de presión en el tubo, la velocidad del sonido en un medio acuoso no limitado, el aumento de presión en la válvula, el tiempo que la onda tarda en viajar de la válvula al depósito que está en el extremo corriente arriba, y el período de oscilación.