4.-Formulación de EC-5

• 4.1.-Ecuaciones diferenciales.

• 4.2.-Método de la carga senoidal.

• 4.3.-Formulación de EC-5.

• 4.4.-El Anexo B (informativo) de EC-5.

• 4.5.-Pandeo. Anexo C (informativo) de EC-5.

• 4.6.-Metodología de análisis de A. Ceccotti, M. Fragiacomo, R.M. Gutkowski.

• 4.7.- Ejemplo de ordenación del cálculo.

4.1.-Ecuaciones diferenciales

Ecuaciones diferenciales entre cargas y deformaciones:

Ver referencias anteriormente mencionadas

1m1 m1+dm1

2

V2

m2

F2

(x)

-t(x)

V1

F1

V2+dV2

m2+dm2

F2+dF2

t(x)

(x) V1+dV1

F1+dF1

q(x)

dx

1 1 1 2 1 0sE A u k u u z y 2 2 2 2 1 0sE A u k u u z y

1 1 2 2 2 1IV

sE I E I y k u u z y z q

4.2.-Método de la carga senoidal (I)

Resultados muy aproximados y a favor de la seguridad al extrapolar a la jácena biapoyada con carga uniforme y en general a piezas en flexión simple con diagramas parabólicos del flector.

La pieza con sección y cosido de rigidez costante de conexión se comporta con una rigidez eficaz constante (EI)ef a flexión.

M(x) = M0 sen(x / l)

l

q(x) = q0 sen(x / l)

4.2.-Método de la carga senoidal (II)

Factor por deslizamiento:

Rigidez eficaz:

Axial distribuido:

Momentos distribuidos:

Fuerza (rasante) en conectores:

Flecha centro de vano:

2 2 2 1 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2ef

E A E AEI E I E I E A a E A a EI z

E A E A

1 1 1 1 2 2 2

ef ef

E A a E A aF M M

EI EI

1 1 1 1 2 2 2

.conec

ef ef

E A a s E A a sf V V

EI EI

4

max

5

384ef

q ly

EI

1 1 2 2

1 2;ef ef

E I E Im M m M

EI EI

1 21 12

1 2; ( ) ; ( )

31

ser serk kk ELS k ELU

E A s sk l

2 2 1 1 11 2

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 2

;E A z E A z

a aE A E A E A E A

z a a

z

m2

F

M1m

-F

a2

penalizada

c.g. sección

de cada material

a1

1E1

centros geométricos

4.2.-Método de la carga senoidal (III)

Comentarios:Comentarios:• Existe un paralelismo de formulación con el estado sin deslizamiento excepto en la

rigidez eficaz a flexión:

que no es la estricta aplicación del Teorema de Steiner pues no queda afectado el

término “E1I1” por el factor de deslizamiento.

• Factor de deslizamiento:

Por tanto, es un parámetro (adimensional) que mide la eficacia de la unión.

2 2 2 1 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2ef

E A E AEI E I E I E A a E A a EI z

E A E A

1 21 12

1

1

1 2; ( ) ; ( )

31

" 0" 0. sin .

" " 1. sin .

ser serk kk ELS k ELU

E A s sk l

Para k Estado conexión

Para k Estado deslizamiento

4.3.-Formulación de EC-5(I)

Sección “T” materiales en contacto (aplicación del anexo B de EC-5)Sección “T” materiales en contacto (aplicación del anexo B de EC-5)(ala y alma con sección rectangular)

3

1 21 12

2 2 1 2 1 1 1 1 21 2

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2

1 21 2

2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2

1; ; ;

121

( ) ( );

2 2

2

i i seri i i i

ef

b h kA b h I k

E A sk l

E A h h E A h ha a

E A E A E A E A

h ha a

EI E I E I E A a E A a

1 1 1 1 11 ,1

1 1 2 22 ,2

,max ,

22

2,max

1 1 1 2 2

:

;2

;2

:

2

:

m

ef ef

m

ef ef

i i m i

ef

ef ef

Tensiones normales

E a E hM M

EI EI

E a E hM M

EI EI

Tensiónmáxima decortadura enel alma

E hV

EI

Solicitacióndel conector

E a s E a sf V V

EI EI

b2

2,max

m1

sección

2

penalizadah

b1 x 1

c.g. de la 1

m22

1

h1

h2

4.3.-Formulación de EC-5(II)

Las fórmulas propuestas están basadas en la elasticidad lineal y bajo las siguientes consideraciones:

 La sección transversal es simétrica respecto al plano en el que actúan las cargas. Cada uno de los materiales es de una sola pieza o tiene empalmes encolados en caso de maderas.

  La viga está simplemente apoyada.

 Para vigas continuas pueden utilizarse las expresiones tomando como longitud de cálculo el 80 % de la luz. En voladizos se toma una longitud doble a la de éste.

 El espaciamiento entre conectores a lo largo de la jácena es constante o varía

uniformemente en función del esfuerzo cortante entre smin y smaz con smax< 4 smin (la rigidez de los conectores puede variar a lo largo de la viga, viga de rigidez variable).

4.3.-Formulación de EC-5(III)

Separación eficaz de los conectoresSeparación eficaz de los conectores

min max max min: 0,75 0,25 4efSeanaliza como si tuviese separaciónuniforme s s s con s s

Comprobaciones de resistencia en la madera y conector:Comprobaciones de resistencia en la madera y conector:

(sin ELU de inestabilidad)

En compresión y flexión: Conectador (Rd s/tipo de conector):

En tracción y flexión: Clavijas y conectores “Rd” s/ Cap. 8

CTE SE-M.

Nota: Con s(x) la comprobación pésima es

para el máximo de “V(x) s(x)”

Por tensiones cortantes:

, , 2, ,2,

,0, , ,0, ,

1t d m d d m d

t d m d t d m d

If f f f

, , 1, ,1,

,0, , ,0, ,

1c d m d d m d

c d m d c d m d

If f f f

max,

,

1d

v d

If

,d conector df R

minsmaxsl / 4

s min

l / 4 l / 2

4.4.-El Anexo B (informativo) de EC-5

En el Anexo B de EC-5 se incluyen la formulación de manera generalizada para

vigas de hasta tres materiales (en doble “T” y cajón).

4.5.-Pandeo. Anexo C (informativo) de EC-5

A partir de las ecuaciones diferenciales puede mostrarse que la carga crítica de bifurcación del

equilibrio o de pandeo es:

Las bases del análisis de la inestabilidad se establecen a partir de:

(Nota: Diferenciar en el estudio la carga casi permanente para incluir la fluencia)

2

2

efcr

EIN

l

00

,0, ,, 2

0,05,

:

:

: ;

( ) :

i ief

efef

ef

efef

c k irel i ef

i

Rigidez axial efectiva EA E A

EIRadiode giroefectivo i

EA

lEsbeltez l longitud pandeo pilar compuesto

i

fPara cadaelemento i

E

,0, ,

,0, , , ,

,0, , , ,

:

;

:

1

i i i ii d c d i d

ief ef

c d i m d i

c c d i m d i

Comprobaciónen ELU decadamaterial

E A N EN N N

EA A EA

Índicedeagotamientoen flexocompresión

f f

En axexo “C” de EC-5 se incluye formulación, considerando el deslizamiento, para el estudio de pilares compuestos por dos o mas cordones iguales unidos por separadores, presillas y celosías.

4.6.-Metodología de análisis de A. Ceccotti, M. Fragiacomo, R.M. Gutkowski

Método propuesto por A. Ceccotti, M. Fragiacomo, R.M. Gutkowski en el “International

Council for Research and Innovation in Buildings and Construction” para el análisis de

estructura mixta entre madera y hormigón bajo el título:

““Design of timber-concrete composite structures according to EC-5-2002 versionDesign of timber-concrete composite structures according to EC-5-2002 version””

Comentarios:- En la nueva versión de 2002 (respecto a prEN 1995) sólo hay factor de fluencia para

las combinaciones de carga del tipo casi permanente. CTE (SE-M) es acorde con la citada versión de 2002.

- Para las comprobaciones en las que afecta la reología se segrega de la acción total la que corresponde a la combinación casi permanente. La respuesta estructural, bajo cada grupo de acciones se analiza por separado. La respuesta final es la superposición de ambos estados.

4.7.-Ejemplo de ordenación del cálculo (I)

Ejemplo de ordenación del cálculo para un forjado mixto madera-hormigón en

base al método citado y según CTE.

Acciones:Carga permanente: G = 3,6 kN/m2 (incluido tabiquería)Sobrecarga de uso: Q = 2,0 kN/m2 (vivienda)

Características de la sobrecarga de uso:- 1 = 0,5 2 = 0,3- S/ SE-M puede considerarse como de media duración para el kmod.

Características madera maciza: Características hormigón:- Clase servicio: 2 - Ec,28=27.000 N/mm2 (No se tiene- kmod (carga permanente): 0,6 en cuenta su crecimiento con la - kmod (larga duración): 0,7 edad)- kmod (media duración): 0,8 -Coeficiente de fluencia: (,t0) = 2,5- kmod (corta duración): 0,9- kmod (instantánea): 1,1- kmod (incendio): 1,0- kdef (cuasipermanente): 0,8- E0,medio=9000 N/mm2

Por brevedad, sólo se hará referencia en ELU a la combinación “G+Q” con kmod=0,8.

4.7.-Ejemplo de ordenación del cálculo (II)

ELUELULa acción total de cálculo es: Fd = 1,35 G + 1,5 Q = 1,35 x 3,6 + 1,5 x 2 = 7, 86 kN/m2

ELU (inicial)

Se comprueba para Fd = 7,86 kN/m2 con:Madera: 9.000 N/mm2 ; Hormigón: 27.000 N/mm2 ; (2/3) kser

ELU (diferido bajo fluencia)

A.-Para la combinación casi permanente: Fg = G + 2 Q = 3,6 + 0,3 x 2,0 = 4,20 kN/m2 con:Em = 9.000 / (1 + 0,8) = 5.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 / (1 + 2,5) = 7714 N/mm2 (2/3) kser / (1+ 0,8)

B.-Para la acción diferencia Fd = 7,86 – 4,20 = 3,66 kN/m2:Em = 9.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 = 7714 N/mm2 ; (2/3) kser

Se superponen “A + B”.

ELU (incendio)ELU (incendio)La carga total de cálculo es: F = G + 1 Q = 3,6 + 0,5 x 2,0 = 4,60 kN/m2. No se minoran las resistencias. Sección residual de madera.

Si puede mantenerse la capacidad (total o parcial) de los conectadores se estudia como pieza mixta. Para ello se puede seguir el mismo método (es complejo el análisis en estado diferido).

4.7.-Ejemplo de ordenación del cálculo (III)

ELSELS

Apariencia de la obraCarga casi permanente: G + 2 Q = 3,6 + 0,3 x 2 = 4,2 kN/m2. Se comprueba que la flecha es menor de “L/300”

utilizando:

Em = 9.000 / (1 + 0,8) = 5.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 / (1 + 2,5) = 7714 N/mm2 ; Kser / (1 + 0,8)

Confort de usuariosSe comprueba que la flecha de la sobrecarga de uso de corta duración, es menor de “L/350” utilizando:

Em = 9.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 N/mm2 ; Kser

Integridad de elementos constructivosLa carga total es la combinación característica: Fk = G + Q = 3,6 + 2 = 5,6 kN/m2

La flecha final (incluyendo fluencia) se obtiene con la siguiente suma “A+B”:

A.-Bajo la acción de las cargas cuasipermanentes: Fg = G + 2 Q = 3,6 + 0,3 x 2 = 4,2 kN/m2 con:

Em = 9.000 / (1 + 0,8) = 5.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 / (1 + 2,5) = 7714 N/mm2 ; kser / (1+ 0,8)

B.-Bajo la carga diferencial = 5,6 – 4,2 = 1,4 kN/m2 con:

Em = 9.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 N/mm2 ; kser

A esta flecha final se le deduce la flecha inicial de la concarga después de la puesta en obra del elemento dañable

utilizando: Em = 9.000 N/mm2 ; Eh = 27.000 N/mm2 ; kser.

Esta deformación debe se inferior a “L/500”, “L/400” o “L/300” según los casos.

4.7.-Ejemplo de ordenación del cálculo (IV)

Pieza mixta con materiales de la misma reologíaPieza mixta con materiales de la misma reologíaCaso de unión con iguales factores de fluencia “Kdef”- Para el factor de penalización por deslizamiento:

- Para la rigidez eficaz:

- Por tanto: La comprobación en ELU es la misma (sin efectos de 2º orden) y se simplifica el estudio en ELS.

1 21 12

,1,1, , 1, 1,

1 2; ( ) ; ( )

31

;1 1

ser ser

ser finalinicialfinal ser final final inicial

def def

k kk ELS k ELU

E A s sk l

kEE k

k k

2 2 2 1 1 1 2 21 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2

1 1 1 2 2

,

, 1

ef

ef inicial

ef finaldef

E A E AEI E I E I E A a E A a EI z

E A E A

EIEI

k