INTRODUCCION

En el presente trabajo se muestran los resultados obtenidos en la práctica de Sistema Masa Resorte.

Para esto utilizamos un resorte y un juego de pesas de diversos tamaños. Medimos la masa del resorte y le colocamos pesas en su extremo para medir el estiramiento del resorte. Luego medimos la cantidad de tiempo que le tomaba al resorte hacer 15 oscilaciones con las diferentes masas en su extremo.

OBJETIVOS

Determinar la fuerza en función del alargamiento de un resorte.

Obtener la constante de rigidez del resorte.

Determinar el periodo en función de la masa m.

Determinar la masa efectiva del resorte y comprobar que la fracción de masa a considerar es 1/3 de la de este.

APARATOS Y MATERIALES

Soporte

Resorte

Pesas

Metro graduado

Balanza

Cronómetro

MARCO TEORICO

La figura 1, muestra un resorte de constante de rigidez K y longitud L. Si se suspende del resorte un cuerpo de masa m, como en la parte b, se restablece el equilibrio cuando el resorte se ha alargado una longitud x tal que la fuerza ejercida por él sea igual al peso del cuerpo.

Supongamos ahora que el resorte se encuentra a una distancia x por debajo de su posición de equilibrio, como se muestra en la figura 2. El alargamiento del resorte es ahora Δx + x. Al soltar el cuerpo, éste oscilara con movimiento armónico simple cuya ecuación diferencial es:x = (K/m) * x

En el análisis hecho se ha considerado que la masa del resorte es nula, lo cual representa un caso ideal. Si queremos considerar el caso real, ha de tomarse en cuenta el hecho de que también el resorte oscila. Sin embargo, no se trata de sumar simplemente la masa del resorte a la del cuerpo suspendido, ya que no todas las partes del mismo oscilan con la misma amplitud. La amplitud del extremo inferior es igual a la del cuerpo suspendido, mientras que la del extremo superior es nula. El término correcto se calcula como sigue:

Sea L la longitud del resorte cuando el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio, y m’, su masa. Calculemos la energía cinética del resorte en el instante en que la velocidad del extremo inferior es v. Para ello, consideremos un elemento del resorte de longitud dy, a una distancia y por debajo del extremo superior fijo. La masa dm’ del elemento es:Dm’ = (m’/ L) * dy

Puede admitirse que todas las porciones del resorte oscilan en fase, y que la velocidad v’ del elemento es proporcional a su distancia al extremo fijo:V’ = (Y/L) * v

La energía cinética del elemento es:dEc = ½ dm’ v’2 = ½ m’ (Y/L * v)2

y la energía total del resorte será:

Ec = ½ m’/L3 * v2 0∫L y2 dy = ½ m’/3 v2 = 1/2mef v2

Esta energía cinética equivale a la de un cuerpo de masa igual a la tercera parte de la del resorte y que se mueve con la misma velocidad que el resorte suspendido:mef = 1/3 m’ masa efectiva del resorte

Para calcular el periodo real de un sistema masa-resorte hay que considerar una fracción de masa del resorte f = 1/3, es decir, la masa equivalente del sistema vibrante es igual a la del cuerpo suspendido más la masa efectiva del resorte.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

L = 0.075 m. longitud normal m’ = 0.0246 kilogramos

Colocar al final del resorte un peso y anotar la posición de equilibrio en la Tabla I. Aumentar gradualmente el peso.

Colocar al final del resorte un peso, ponga el sistema a oscilar, tome el tiempo para un numero de oscilaciones no menos de 15. Repita la oscilación aumentando gradualmente el peso. Colocar los datos en la Tabla II

TABLAS

Tabla I ΔX = X – L , F = m * gL =0.075 m , g = 9.8 m/s²

No.

X (m)

Δx (m)

m (kg)

F(N)

1 0.122 0.047 0.05 0.492 0.172 0.097 0.1 0.983 0.227 0.152 0.15 1.474 0.272 0.197 0.2 1.965 0.325 0.25 0.25 2.456 0.371 0.296 0.3 2.947 0.421 0.346 0.35 3.43

Tabla II T = t / n

No.

m (kg) n

t (seg)

tprom.

T(seg)

T2(seg2)

1 0.05 209.65

9.640.48 0.23

9.63

2 0.1 2013.09

13.120.66 0.44

13.15

3 0.15 2015.93

15.920.8 0.64

15.90

4 0.2 1513.59

13.610.91 0.83

13.63

5 0.25 1515.09

15.141.01 1.02

15.19

6 0.3 1516.59

16.581.12 1.25

16.57

7 0.35 1517.75

17.751.2 1.44

17.75

CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

I. Plotear en papel milimetrado los datos de la Tabla I, Δx = f(F).

Determinar a partir del tipo de curva obtenido la forma de la ecuación correspondiente y calcular las constantes utilizando los métodos conocidos

La ecuación de la curva es del tipo y = mx + bF = K* ΔXb = 0 ; m = k = pendiente del grafico;m = (y5 – y4) / (x5– x4) = (F5 - F4) / (ΔX5 - ΔX4)m = (0.25 – 0.197) / (2.45 – 1.96)m = 0.11 N/mF = K * ΔXF = 0.11 N/m * Δ X

II .Trazar en papel milimetrado T como función de m. Los datos generan una curva tipo ley de potencia. Determinar a partir del tipo de curva la forma de la ecuación correspondiente y calcular las constantes utilizando los métodos conocidos.Encuentre la constante del resorteDetermine ambas intersecciones en el gráfico T2 en función de m e interpretarlas.

a) Cuando Y = 0 intercepto en X es igual a mcol = -mef

Pe = Mpendiente

b) Cuando X = 0 intercepto en y es igual a b =(4π²/k)mef donde mef=bk/4π² entonces mef =b/pe y b= mef*pe por lo que b=8.2x10-3 *3.8b=0.0311 seg2 entonces mef=0.311/3.8=8.2x10-3kg m/seg2

La ecuación de la curva es del tipo y2 = mxy² = mx + b ; b = 0 ; m = pendiente del graficoT = 2π √(mt / k) mt= mcol + mef

grafico linealizado: T² = 4π² mcol/k+(4π²/k)mef/k ; T² = (4π²/k)mcolg+ (4π²/k)mef

m = (T²5 – T²3) / (mcol5 – mcol4) = (1.02 –0.64) / (0.25 –0.15) = 3.8 seg2/kgT² = (4π²/k)mcol +(4π²/k) mef

Constante del resorte: m = 4π²/kk = 4π²/m = 4π²/= 10.4N/m

CONCLUSIONES

Se determinó la fuerza en función del alargamiento de un resorte.

Se obtuvo la constante de rigidez del resorte.

Se determinó el periodo en función de la masa m.

Se determinó la masa efectiva del resorte y se comprobó que la fracción de masa a considerar es 1/3 de la del resorte.