4.- Numero Reales

Departamento de Matematica MAT-021

Numeros Reales

1. Axiomas de los numeros reales

Las propiedades de los objetos matematicos se deducen de propiedades mas basicas; lascuales, a su vez, provienen de otras mas bsicas aun, y as siguiendo hasta llegar a unconjunto de axiomas que estan en la base de toda teora. Razones pedagogicas hacenque, en los cursos, la exposicion de los temas no siga un orden logico estricto y por lotanto, muchas veces preferimos tomar como axiomas propiedades que en realidad van a serdemostradas en cursos mas avanzados. Ese estilo de presentacion de los temas no debilitala rigurosidad del tratamiento: si queda perfectamente claro cual fue el punto de partidaconvenido, podemos dejar para mas adelante el tramo que va desde el comienzo real dela teora hasta la deduccion de las propiedades que fueron tomadas provisoriamente comoaxiomas. La unica condicion que debemos cumplir es que cuando llegue el momento decompletar el trecho inicial, no hagamos uso de lo que fue deducido en la etapa anterior.

Dicho esto, vamos a introducirnos de pleno en establecer claramente lo que paranosotros va a ser el conjunto de axiomas de los numeros reales. A partir de ellos, deberemosmostrar como se deduce el cuerpo de proposiciones y teoremas que vamos a estudiar a lolargo del curso.

Suma y producto. El cuerpo de los numeros reales es un conjunto R junto con dosaplicaciones (x, y) 7 x + y y (x, y) 7 xy de R R en R y una relacion de orden x yentre elementos de R que satisfacen los siguientes cuatro grupos de axiomas:

(I) R es un cuerpo, es decir:Propiedades de la suma(I.1) Asociatividad: x+ (y + z) = (x+ y) + z;(I.2) Conmutatividad: x+ y = y + x;(I.3) Neutro: existe un elemento 0 R tal que, para cada x R, se verifica:

x+ 0 = x;(I.4) Inverso: para cada x R existe un elemento x R tal que x+ x = 0;Propiedades de la multiplicacion(I.5) Asociatividad: x(yz) = (xy)z;(I.6) Conmutatividad: xy = yx;(I.7) Neutro: existe un elemento 1 R tal que, para cada x R, se verifica: 1x = x;(I.8) Inverso: para cada x R, x 6= 0, existe un elemento x R tal que xx = 1;Propiedad mixta(I.5) Distributividad: x(y + z) = xy + xz.

(II) R es un cuerpo ordenado, es decir:Propiedades del orden(II.1) Transitividad: x y e y z implican x z;(II.2) Antisimetra: x y e y x implican x = y;(II.3) Linealidad: dados dos elementos x e y, vale alguna de las siguientes relaciones:

x y o y x;Propiedades mixtas

1


(II.4) Compatibilidad de la suma y el orden: x y implica x+ z y + z;(II.5) Compatibilidad de la multiplicacion y el orden: x y y 0 z implica xz yz.La relacion x y, x 6= y se escribe x < y. Algunas veces, en lugar de x y o x < y

vamos a escribir y x o y > x. El conjunto (a, b) = {x R | a < x < b} se llama intervaloabierto (con origen a y extremo b). A su vez, el conjunto [a, b] = {x R | a x b} sellama intervalo cerrado (con origen a y extremo b). Anlogamente se definen los intervalossemicerrados (a, b] y [a, b). En cualquier caso, los numeros a y b se llaman extremos delintervalo.(III) R es un cuerpo ordenado arquimediano, es decir:

Arquimedianidad: dado x en R, 0 x, existe un numero natural n tal quex n.

(IV) R es un cuerpo ordenado arquimediano completo, es decir:Completitud (axioma de intervalos encajados): dada una sucesion ([an, bn])nNde intervalos cerrados encajados; es decir, tales que an an+1 bn+1 bnpara todo n, existe al menos un elemento x R tal que x [an, bn] para todo n.

Ejercicio 1. Unicidad del neutro de la suma. Muestre que el elemento 0 de I.3 es unico,es decir, que si 0 fuese otro real con la misma propiedad, necesariamente sera 0 = 0.

Ejercicio 2. Unicidad del neutro de la multiplicacion. Muestre que el elemento 1 deI.7 es unico, es decir, que si 1 fuese otro real con la misma propiedad, necesariamentesera 1 = 1.

Ejercicio 3. Unicidad del inverso aditivo. Muestre que el elemento x de I.4 es unico, esdecir, que si x fuese otro real con la misma propiedad, necesariamente sera x = x. Unavez que la unicidad ha sido probada, tenemos derecho a hablar del inverso aditivo de x (encontraposicion a un inverso aditivo). Para el inverso aditivo se usa la notacion x.Ejercicio 4. Unicidad del inverso multiplicativo. Muestre que el elemento x de I.8es unico, es decir, que si x fuese otro real con la misma propiedad, necesariamentesera x = x. Una vez que la unicidad ha sido probada, tenemos derecho a hablar delinverso multiplicativo de x (en contraposicion a un inverso multiplicativo). Las notacionesque se usan son x1 y 1/x. El inverso multiplicativo tambin se denomina recproco.

Ejercicio 5. Demuestre las siguientes propiedades:- x+ z = y + z implica x = y.- x+ y = y implica x = 0.- 0 + 0 = 0.- 1 1 = 1.- xz = yz y z 6= 0 implican x = y.- xy = x y x 6= 0 implican y = 1.- (x) = x.- (x1)1 = x (siempre que x 6= 0).- Si 0 < x, entonces x < 0.- Si x < y, entonces y < x.- (1)x = x.

2


- (1)(x) = x.- (x+ y) = x+ (y).- (x)y = x(y) = (xy).- Si x y y z < 0, entonces yz xz.- Si x < y y z < 0, entonces yz < xz.- 0 < 1, 1 < 0.- 0 < x y 0 < y implican 0 < xy.- 0 < x y y < 0 implican xy < 0.- x < 0 y y < 0 implican 0 < xy.- Las relaciones x y y 0 < y x son equivalentes. Idem reemplazando por 0, existe un natural n tal que 1/n < .

Ejercicio 7. Pruebe la siguiente variante del axioma de arquimedianidad: Dados dosnumeros reales a y b con b > 0, existe n N tal que a < nb.Valor absoluto. El valor absoluto de x es el numero |x| definido como sigue:

|x| ={x ; si 0 xx ; si x < 0.

Geomtricamente el valor absoluto de un numero x representa la longitud del segmentocuyos extremos son x y 0. Por ese motivo, en general, dados dos elementos x e y, se definela distancia de x a y como d(x, y) = |x y|. La aplicacion x 7 |x| tiene interesantespropiedades cuya demostracion, en algunos casos, dejamos como ejercicio para el lector.

Ejercicio 8. Pruebe- 0 |x|.- x |x|- |x| = | x|- |x| = 0 si, y solo si, x = 0.- |x| y si, y solo si, y x y. Idem reemplazando con


Anlogamente, (x+ y) = x+ (y) < x+ 0 = x |x| |x|+ |y|. Y como |x+ y| es,o bien x+ y o bien (x+ y), vemos que en ambos casos se cumple la desigualdadEjercicio 9. Pruebe que si a > 0, la desigualdad |x| a es equivalente a a x a yla desigualdad estricta |x| < a es equivalente a a < x < a.1.2 Proposicion. Cualesquiera sean los numeros reales x e y se verifica:

|x y| ||x| |y||.Demostracion. Pongamos z = x y. Entonces x = y+ z y en consecuencia |x| = |y+ z| |y|+ |z|, en virtud de la desigualdad triangular. Luego, |x||y| |z| = |xy|. Razonandode manera anloga con z = y x, se obtiene que (|x| |y|) = |y| |x| |y x| = |x y|.Reuniendo las dos desigualdades, vemos que ||x| |y|| |x y|

2. El Principio de Induccion CompletaUna de las tcnicas de demostracion ms comunmente usadas es el llamado Principio deinduccion completa o PIC. Este principio establece una caracterizacion del conjunto N denumeros naturales. El principio afirma que N es el menor subconjunto inductivo de R.Esta caracterizacion encierra dos afirmaciones: por un lado, N es un subconjunto inductivode R y por otro, N est contenido en todo subconjunto inductivo de R. Un subconjuntoH de R es inductivo si verifica las dos siguientes condiciones:

i) 1 Hii) h H h+ 1 H.

La segunda condicion suele confundir a los estudiantes. Se trata de una proposicion quetiene la forma de una implicacion. El antecendente de la implicacion es h H, el conse-cuente es h+ 1 H. Las implicaciones son proposiciones de la forma p q en donde p yq son, a su vez, proposiciones (recordemos que las proposiciones son afirmaciones, es decir,oraciones sobre las que tiene sentido decidir su verdad o falsedad). En la logica proposi-cional (aristotlica) que usamos en matemtica, la implicacion p q es verdadera cuando py q son verdaderas o cuando p es falsa. Por ese motivo, para demostrar que p q es unaproposicion verdadera habr de probarse que q es verdadera cuando p lo es. La tabla deverdad de la implicacion muestra todas las combinaciones que pueden producirse al tomarp y q los posibles valores de verdad V (verdadero) y F (falso).

p q p qV V VF V VV F FF F V

Ejercicio 1. Complete las tablas de verdad para el O logico inclusivo, simbolizado por ;para el O logico exclusivo, simbolizado por 4, y para el Y logico, simbolizado por .

La implicacion p q y las operaciones logicas como el O logico p q y el Y logicop q son binarias, es decir, operan con dos proposiciones. Existe tambin otra operacion

4


logica, en este caso unaria porque opera sobre una sola proposicion. Es la negacion, y sesimboliza con . Esta operacion permite escribir a p q como p q, resultado obvio alcomparar las correspondientes tablas de verdad. Observe que la implicacion es verdaderacuando p lo es, o sea cuando p es falsa; o, si p es verdadera, cuando q lo es. Ahorapodemos utilizar las leyes de de Morgan para la negacion (demuestre):1. Negacion del O logico: (p q) = p q.2. Negacion del Y logico: (p q) = p q.

Es claro que p = p. Tomemos p q y negumoslo dos veces. Operando, obtenemos(p q), que claramente es equivalente a nuestra implicacion original. A veces ocurreque es ms fcil probar que p q es falsa, que probar que p q es verdadera. Cuandomostramos la falsedad de p q (y por lo tanto la veracidad de la implicacion original),se dice que procedemos por el absurdo.

Volviendo a la definicion de conjunto inductivo, la segunda condicion significa queh+1 pertenece a H cualquiera sea h H. tambin es importante observar que el conjuntoN es, ,l mismo, inductivo. Hechas esas aclaraciones, digamos ahora que el PIC afirma losiguiente:

H inductivo N H. (PIC)Al conjunto de axiomas de los numeros reales que vimos en la seccion anterior vamos aagregar tambin el PIC. Una consecuencia de este principio es que si H es un subconjuntode N, para probar que H es igual a N, ser suficiente probar que H es inductivo (porqueen ese caso tendramos que N H en virtud del PIC).

Ilustremos con un ejemplo la forma en que el PIC puede ayudarnos a probar unapropiedad.

2.1 Proposicion. Dados n numeros reales x1, . . . , xn, vale la desigualdad

|x1 + + xn| |x1|+ + |xn|. ()

Demostracion. Llamemos H al conjunto de todos los numeros naturales n que verifican ().Probar la proposicion significa probar que H = N. Por el PIC es suficiente demostrar queH verifica las condiciones (i) y (ii) de la definicion de conjunto inductivo. Que 1 Hes trivial porque cuando n = 1, la ecuacion () se reduce a |x1| |x1|. Para probar (ii)necesitamos mostrar que si un cierto h verifica la propiedad, entonces h + 1 tambin laverificar. Que h verifique la propiedad significa que es cierta la desigualdad

|x1 + + xh| |x1|+ + |xh|. ()

La relacion () se denomina hipotesis inductiva (abreviadamente, HI). Ahora, para verque () se verifica para n = h+ 1 razonamos del siguiente modo:

|x1 + + xh + xh+1| = |(x1 + + xh) + xh+1| |(x1 + + xh)|+ |xh+1| desg. triang. |x1|+ + |xh|+ |xh+1|. HI

5


Hemos demostrado que la propiedad () se verifica para todos los numeros naturales puestoque el subconjunto H de numeros naturales en donde es vlida es inductivo

En general el PIC lo vamos a utilizar para demostrar propiedades predicables sobreel conjunto de los numeros naturales. Aqu otra dificultad que encuentran inicialmente losestudiantes est en comprender que una igualdad como () en la proposicion anterior puedeverse como una propiedad del numero n. Las propiedades predicables sobre los naturalessuelen ser formulas que dependen de una variable n que puede tomar valores en N. Elejemplo ms comunmente utilizado es:

P (n) 1 + + n = n(n+ 1)2

.

En este enunciado la propiedad P produce, para cada valor particular de la variable n,una proposicion. Por ejemplo P (1) es 1 = 1(1 + 1)/2, P (2) es 1 + 2 = 2(2 + 1)/2,P (3) es 1 + 2 + 3 = 3(3 + 1)/2, etc. Decimos que P es predicable sobre N porque tienesentido dar a la variable n valores en el conjunto de los numeros naturales. Sin embargo,con frecuencia la propiedad P no es una formula sino una proposicion ms complicadaenunciada en trminos de una variable natural. La proposicion que sigue ms abajo es unejemplo de este tipo de enunciados.

Independientemente de la forma de la propiedad P , lo cierto es que la forma usual deemplear el PIC para demostrar que P (n) es una proposicion verdadera para cada n N,es considerar el conjunto HP = {n | P (n) es verdadera } y probar que es inductivo. Porel PIC se tendr que HP = N, lo que equivale al resultado deseado. Argumentando de estemodo, vemos que un enunciado equivalente del PIC es el siguiente: Si la propiedad P espredicable sobre N y verifica:

i) P (1) es verdadera yii) P (h) P (h+ 1) es verdadera para todo h N,

entonces P (n) es verdadera para todo n N.2.2 Proposicion. Todo subconjunto finito y no vaco A de R tiene un elemento a quees mnimo y otro b que es mximo (es decir, a x b para todo x A).Demostracion. Vamos a probar que la propiedad es verdadera por induccion en el numeron de elementos de A. Es decir, la propiedad predicable sobre n ser: Si A tiene n elementos,entonces A tiene mnimo y mximo. La propiedad es verdadera cuando n = 1 puesto queen ese caso A posee un unico elemento, el cual es a la vez el ms grande y el ms chico.Supongamos ahora que la propiedad es verdadera para todos los subconjuntos de R de helementos. Tenemos que probar que tambin lo es para los subconjuntos de h+1 elementos.Si A es un tal subconjunto, como 1 < h+1, A debe tener al menos un elemento. Llamemosc a uno de los elementos de A y consideremos B = A\{c}. El conjunto B tiene h elementos.Por hipotesis inductiva, B verifica la propiedad; es decir, tiene un elemento mnimo a yotro mximo b. Si c < a, entonces c ser el mnimo de A y si a c, el mismo a ser tambinmnimo de A. Anlogamente, si b < c, el mximo de A ser c y en caso contrario, lo ser b. Encualquier caso, A verificar la propiedad

Ejercicio 2. Pruebe que para todo n N es 2n n.

6


Ejercicio 3. Demuestre que no existe ningon numero naturalm tal que 1 < m < 1+1. Engeneral, demuestre que no existe ningon numero natural estrictamente comprendido entren y n+1 cualquiera sea n N. Deduzca que si m < n son dos numeros naturales, entoncesm + 1 n. (Indicacion: en la primera afirmacion, razone por el absurdo suponiendo queun tal m existe y pruebe que H = N \ {m} es inductivo).Ejercicio 4. Pruebe que el siguiente algoritmo, que acepta como entrada un subconjuntofinito A = {a1, . . . , an} de R, responde el elemento mximo.1. i 1.2. max ai.3. Si i = n fin. Responda max.4. i i+ 1.5. Si max < ai, max ai.6. Vaya a 3.

(Indicacion: Llamemos P (h) a la proposicion: Al entrar al paso 3 cuando i = h, la variablemax contiene el valor mximo de {a1, . . . , ah}. Razone por induccion para mostrar queP (h) es verdadera para todo h n. El fragmento comprendido entre los pasos 3 y 6 es unbucle, el algoritmo recorre el bucle una y otra vez hasta alcanzar la condicion de fin, i = n,en 3. La propiedad P se denomina invariante del bucle. La conjuncion entre la condicionde fin y el invariante del bucle permite deducir el resultado deseado.)

Ejercicio 5. Escriba un algoritmo que acepta como entrada un subconjunto finito de losreales y resonde su elemento mnimo. Demuestre por induccion que el algoritmo funcionacorrectamente.

Ejercicio 6. Pruebe que no existe ningun numero natural m tal que 1 < m < 2 (Indi-cacion: razone por el absurdo suponiendo que s y mostrando que H = N \ {m} es induc-tivo). Luego pruebe que dado n N, no existe ningun m N tal que n < m < n + 1.Deduzca la siguiente propiedad: dados dos naturales n ym, si n < m, entonces n+1 m.

7


3. Supremos e nfimos

En esta seccion vamos a dar algunas definiciones y a deducir las primeras propiedades conrazonamientos - (o tal vez -n0). En matemtica, definir es ponerle un nombre a una cosa.La cosa, as nombrada, queda permanentemente unida a su definicion, de modo tal quetodo lo que afirmemos acerca de sus caractersticas y propiedades deber ser deducido, poralgun razonamiento logico, a partir de la definicion. El papel que juegan las definicionesen Matemtica es diferente al que juegan en otras disciplinas en donde tienen un caracterpuramente descriptivo. Los objetos matemticos, en cambio, son idnticos a su definicion.Es por eso que la idea que de ellos nos vamos formando debe surgir de las propiedadesque se deducen formalmente de su definicion. La actitud del estudiante debera ser la detratar de entender los objetos matemticos a trav,s de las propiedades que se demuestran apartir de su definicion. La actitud opuesta, consistente en deducir propiedades sobre labase de la idea que nos hemos formado de un objeto, debe estar orientada a descubrirpropiedades que tengan alguna posibilidad de ser demostradas rigurosamente. En el texto,los nombres dados en las definiciones aparecern siempre en letra inclinada.

Definiciones. Un numero real a es una cota inferior del conjunto X si a x para cadax X. Una cota superior de X es un numero b tal que x b para todo x X. Cuando Xtiene alguna cota superior, se dice que X est acotado superiormente. Cuando tiene algunacota inferior, que est acotado inferiormente. Decimos que X est acotado si lo est superiore inferiormente. El elemento a es mnimo de X si a X y, adems, a es cota inferior de X.El elemento b es mximo de X si b X y, adems, b es cotas superior de X.

Que un conjunto est acotado (pongamos por caso) inferiormente, no grantiza quetenga un elemento mnimo. Por ejemplo, el conjunto {1/n | n N} est acotado inferior-mente por 0 y por cualquier numero negativo, pero no tiene un mnimo. En efecto, unmnimo del conjunto debera pertenecer al conjunto y en consecuencia sera de la forma1/m para algun m N. Pero ese natural m debera satisfacer la relacion 1/m 1/n paracualquier n N. Sin embargo, eso no es cierto para, por ejemplo, n = m+ 1.Ejercicio 1. (Unicidad del maximo y el mnimo). Pruebe que si un conjunto X tiene unmaximo (resp. mnimo), entonces tiene solo uno.

3.1 Proposicion. Si X est acotado inferiormente (respectivamente superiormente), en-tonces el conjunto X = {x | x X} est acotado superiormente (resp. inferiormente).Adems, si a es una cota inferior (resp. superior) de X, a es una cota superior (resp. in-ferior) de X.Demostracion. Como la primera afirmacion es consecuencia de la segunda, ser suficienteprobar la segunda. Supongamos que a es una cota inferior (resp. superior) de X. Tenemosque probar que a es una cota superior (resp. inferior) de X, o sea, que x a(resp. a x) para todo x X. Pero eso es consecuencia de uno de los puntos deEjercicio I.5 puesto que, por hipotesis, a x (resp. x a) para todo x X

De la definicion de cota inferior se deduce inmediatamente que si a es una tal cota,y a a, entonces a tambin lo ser. Anlogamente, si b es una cota superior y b b, b escota superior (del mismo conjunto). Por lo tanto, el conjunto M de cotas superiores deun conjunto X no est acotado superiormente (la arquimedianidad de R garantiza esto).

8


Sin embargo, M est acotado inferiormente por, por ejemplo, los elementos de X. (Unapropiedad anloga puede enunciarse para el conjunto de cotas inferiores).

Una consecuencia del PIC es la llamada propiedad de buena ordenacion de losnumeros naturales. De eso se trata la siguiente

3.2 Proposicion (Principio de buena ordenacion). Todo subconjunto no vaco de Ntiene un elemento mnimo.Demostracion. Razonando por el absurdo vamos a suponer que existe un subconjunto novaco X de N que no posee elemento mnimo. Llamemos H al conjunto de cotas inferioresnaturales de X. Vamos a ver que el conjunto H es inductivo (y por lo tanto, igual a N).1 H. En efecto, como los elementos de X son numeros naturales, todos ellos sonmayores o iguales que 1. En consecuencia, 1 es una cota inferiror de X.h H h+1 H. Si h H, por ser cota inferior de X debe verificar h x para todox X. Pero dado que estamos suponiendo que X no tiene mnimo, ninguna cota inferiorpuede pertenecer a X. As, debe ser h < x para todo x X. En consecuencia, h+ 1 xpara todo x X, lo que demuestra que h+ 1 H.

Ahora que sabemos que H es inductivo, deducimos que H = N. Es decir, todos losnumeros natures son cotas inferiores de X. Pero eso es imposible porque como existe algunx X (X no es vaco por hipotesis), ese x sera a la vez cota inferior y miembro de X, esdecir, mnimo; algo que contradice lo que habamos supuesto. La contradiccion provino desuponer que X no tena mnimo. En consecuencia, X tiene mnimo y la proposicion quedademostrada

Hasta aqu, todas las propiedades que hemos deducido se desprenden unicamente delos axiomas del primero y segundo grupo. La siguiente proposicion es una consecuenciadel axioma de arquimedianidad.

3.3 Proposicion. Cada intervalo abierto de R contiene infinitos numeros racionales.Demostracion. Es suficiente probar que si a < b, el intervalo (a, b) contiene al menos unnumero racional c porque entonces, el intervalo (a, c) contendr otro d y el (a, d) otro, yas siguiendo indefinidamente. A continuacion podemos suponer que b > 0 porque si nolo fuera razonaramos con el intervalo (b,a) en el que a > 0. Llamemos al mnimoentre b y b a > 0. Por arquimedianidad existe n N tal que 1/ < n. En consecuencia1/n < . Aplicando una vez ms la arquimedianidad, deducimos que el conjunto

S = {m N | b m/n}

no es vaco. En consecuencia tiene un elemento mnimo que llamaremos h. Como h1 / S,debe ser o bien h = 1, o bien (h 1)/n < b. Pero si fuese 1 = h S, sera b 1/n locual es imposible por la eleccion de n. Por lo tanto tiene que ser (h 1)/n < b. Peroa < (h 1)/n ya que en caso contrario sera a (h 1)/n = h/n 1/n > b (b a) = a,lo cual es imposible

Hasta aqu hemos usado todos los axiomas de los numeros reales excepto el (IV) deintervalos encajados. Eso significa que todo lo que hemos dicho hasta ahora, vale no solo

9


para los reales sino tambin para, por ejemplo, los racionales. El teorema siguiente es unaconsecuencia importante de ese axioma de los reales que no verifican los racionales.

3.4 Teorema (de completitud). Si un subconjunto no vaco X de R est acotado superi-ormente, entonces el conjunto M de cotas superiores de X tiene mnimo.

Demostracion. Tomemos un elemento cualquirea a X. Reemplazando X por X a ={x a | x X} podemos suponer, sin p,rdida de generalidad, que 0 X. Si 0 fuese elmaximo de X, sera tambin la menor de sus cotas superiores y por lo tanto no habra nadaque probar. Supongamos entonces que X R>0 6= .

Para cada n N, consideremos la sucesion

2n, 2 2n, 3 2n, . . . , i 2n, (i+ 1) 2n, . . .

Por arquimedianidad, para i suficientemente grande, la sucesion alcanza algun elemento deM (demuestre). Llamemos pn al menor valor de i tal que i2n M . Como pn1 < pn, elintervalo In = [(pn1)2n, pn2n] debe contener algun elemento deX; es decir, InX 6= .

Al repetir la misma construccion con n + 1 en lugar de n, el intervalo In, cuyalongitud es 2n, queda dividido por la mitad en dos subintervalos de longitud 2n1:I n = [(pn1)2n, (2pn1)2n1] y I n = [(2pn1)2n1, pn2n]. Si (2pn1)2n1 M ,entonces In+1 = I n; en cambio, si (2pn 1)2n1 / M , entonces In+1 = I n (demuestre).En cualquier caso In+1 In.

Por el axioma de intervalos encajados, existe algun elemento que pertenece a to-dos los In. Y como las longitudes de estos intervalos se hacen arbitrariamente pequeas(demuestre), no puede haber ms de un elemento con esa propiedad. Llamemos a eseelemento. Tenemos que In para todo n N.

Vamos a mostrar que es el mnimo de M . Tenemos que mostrar dos cosas: (1) M y (2) y para todo y M .1) Si no fuese una cota superior de X, habra un elemento x X tal que < x. Tomandoun n suficientemente grande como para que x > 2n, obtenemos que In y x / In(demuestre). Pero esto es imposible porque, por un lado, el extremo derecho de In es pordefinicion una cota de X, y por el otro el elemento x queda estrictamente a la derecha deese extremo (demuestre).

2) Si hubiera algun y M estrictamente a la izquierda de , tomando un n suficientementegrande como para que y > 2n, obtendramos: In e y / In. Pero esto no es posiblepuesto que y quedara estrictamente a la izquierda de In (demuestre), en contradiccion conel hecho de que In X 6= . El teorema queda probado3.5 Cororlario. Si un subconjunto no vaco X de R est acotado inferiormente, entoncesel conjunto N de cotas inferiores de X tiene maximo.

Demostracion. Consideremos X = {x | x X}. Por la proposicion 3.1, el conjunto Mde cotas superiores de X es igual a N = {c | c N}. Por el teorema, N tiene unelemento mnimo; el inverso aditivo de ese elemento ser maximo de N

Definiciones. De acuerdo al teorema y su corolario, dado un subconjunto no vacoX deR,si X est acotado superiormente, entonces su conjunto de cotas superiores tiene un mnimo.

10


A ese mnimo lo llamaremos supremo de X y lo denotaremos sup(X). Anlogamente, siX est acotado inferiormente, el conjunto de cotas inferiores de X tiene un maximo; a esemaximo lo llamaremos nfimo de X y lo notaremos inf(X).

En los trminos recin definidos, el teorema (y su coroloario) pueden enunciarse diciendoque todo subconjunto no vaco de R, acotado superiormente (resp. inferiormente), tienesupremo (resp. nfimo).

3.6 Proposicion (Caracterizacion del supremo). El numero real es el supremo delconjunto X si, y solo si, verifica las siguientes dos condiciones:

1) es cota superior de X y2) Para cada > 0, existe un elemento x X tal que < x .

Demostracion. La proposicion comprende dos afirmaciones; una es que las condiciones (1)y (2) implican que = sup(X); la otra que = sup(X) verifica (1) y (2). La primeraafirmacion es la parte solo si del enunciado, la segunda es la parte si. La afirmacionsolo si se llama condicion necesaria; la afirmacion s se llama suficiente.

Dicho esto, veamos primero que las condiciones (1) y (2) son suficientes para que sea el supremo de X. La condicion (1) ya nos dice que es una cota superior de X. Faltaprobar que es la menor cota superior de X. Si no fuese as, existira otra cota superiorc de X tal que c < . Pero entonces la condicion (2) no se verificara para = c > 0porque tendramos c = ( c) < x para algun x X.

Por otro lado, las condiciones (1) y (2) son necesarias porque, al ser = sup(X) lamenor de las cotas superiores de X, se tendr por seguro que cualquiera sea > 0, < no podr ser cota superior del mismo conjunto

Ejercicio 2. Enuncie y demuestre una proposicion anloga a la anterior que valga paranfimos en lugar de supermos.

Ejercicio 3. Dada una familia (A)L de subconjuntos de R acotados superiormenteconsideremos su union A =

LA y el conjunto de supremos B = {sup(A) | L}.

Pruebe que A est acotado superiormente si, y solo si, B lo est y en tal caso sup(A) =sup(B). D, un ejemplo en donde A (y por lo tanto B) no estn acotados superiormente.

Definiciones (Supremo e nfimo de funciones). Dada una funcion f :A R con dominioen un conjunto A (no necesariamente un subconjunto de R), decimos que f est acotadasuperiormente (resp. inferiormente) en A si la imagen f(A) = {f(a) | a A} es unsubconjunto acotado superiormente (resp. inferiormente) de R. En tal caso escribimos

sup f = supaA

f(a) = sup f(A) (resp. inf f = infaA

f(a) = inf f(A))

para denotar al supremo (resp. nfimo) de f en A.

Ejercicio 4. Demuestre

- Si f est acotada superiormente, entonces f est acotada inferiormente y, adems,infaA(f(a)) = supaA f(a).

11


- Si f :A B R est acotada superiormente, entonces para cada a A existe elsupremo supbB f(a, b) y adems

sup(a,b)AB

f(a, b) = supaA

(supbB

f(a, b)).

- Si f y g son dos aplicaciones de A en R acotadas superiormente, entonces f + gtambin lo es y

supaA

(f(a) + g(a)) supaA

f(a) + supaA

g(a).

- Si f est acotada superiormente en A y c R, entonces la aplicacion a 7 c+ f(a) deA en R est acotada superiormente y, adems, supaA(c+ f(a)) = c+ supaA f(a).

Enuncie y demuestre propiedades similares para el nfimo.

4. Sucesiones y lmites

Una sucesion de numeros reales es una funcion a:N R para la cual se emplea unanotacion especial: en lugar de escribir a(n), nos referimos a ese elemento como an. Inclusola sucesion misma se denota por (an)nN ms que por a. Vale la pena remarcar que, entanto funciones, las sucesiones no tienen ninguna particularidad; lo unico que las distinguees la notacion que usamos para referirnos a ellas. El elemento an se llama nsimo trminode la sucesion. A veces, al nsimo trmino se lo llama trmino general. En ciertos casos eldominio de una sucesion no es N sino algun subcojunto de N. En particular, si el dominioes finito, se dice que la sucesion es finita. Otras veces, el dominio incluye enteros negativoso cero. Todas estas generalizaciones de la nocion de sucesion extienden con naturalidadlo que digamos aqu para el caso en que el dominio es N. Algunos ejemplos de sucesionesson:

- Sucesion constante: (c)nN. El nsimo trmino de esta sucesion es c para todo n N.- (n)nN. El nsimo trmino de esta sucesion es el mismo n para todo n N.- (1/n)nN. Los primeros trminos de esta sucesion son: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . ..- (1/2n)nN. Los primeros trminos de esta sucesion son: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, . . ..

Una sucesion se puede definir dando una formula en trminos de n para el nsimo trmino,tal como lo hicimos en los ejemplos anteriores. En esos casos, decimos que la sucesionest expresada en forma cerrada. Esta no es, sin embargo, la unica manera de definir unasucesion. Por ejemplo, podramos decir que an es el nsimo numero primo y al hacerloestaramos definiendo la sucesion sin dar una expresion cerrada. En otros casos, unadefinicion que inicialmente no es cerrada, admite una expresion equivalente que s lo es.Como ejemplo, consideremos la sucesion 1,1, 1,1, 1,1, . . .. Una manera de definirlaes ,sta

an =

{1 ; si n es impar

1 ; si n es par(n N)

o equivalentementean = (1)n+1 (n N)

12


Si bien ambas expresiones son cerradas, la segunda es preferible a la primera. Esta pre-ferencia no responde a cuestiones estticas, est relacionada directamente con el hecho deque muchas veces vamos a hacer cuentas con las sucesiones y en esos casos es preferibletener una formula lo ms simple posible. Ejemplos de operaciones con sucesiones son lassiguientes, en donde (an)n y (bn)n son dos sucesiones,

- Suma: la suma es la sucesion cuyo trmino general es an+bn. Es decir (an)n+(bn)n :=(an + bn)n.

- Producto: el producto es la sucesion cuyo trmino general es anbn. Es decir (an)n (bn)n := (an bn)n.

- Cociente: el cociente, que tiene sentido unicamente cuando bn 6= 0 para todo n, es lasucesion cuyo trmino general es an/bn. Es decir (an)n/(bn)n := (an/bn)n.

- Inverso aditivo: el inverso aditivo de (an)n es la sucesion cuyo trmino general es an.Es decir (an)n := (an)n.

- Inverso multiplicativo: el inverso multiplicativo de (an)n, que tiene sentido unica-mente cuando an 6= 0 para todo n, es la sucesion cuyo trmino general es a1n . Esdecir ((an)n)1 := (a1n )n.

La notacion := significa que la expresion que est a la derecha define a la que est a laizquierda de este smbolo. Equivalentemente, la expresion de la izquierda es un nombrepara la de la derecha.

Ejercicio 1. Pruebe que la suma y el producto de sucesiones son operaciones asociativas,conmutativas y tienen elemento neutro. Enuncie y demuestre la distributividad del pro-ducto con respecto a la suma. Muestre adems que siempre existe inverso para la suma.Cules son las sucesiones que tienen inverso multiplicativo?

Un recurso comunmente utilizado para definir sucesiones consiste en definir el (n +1)simo trmino a partir de los trminos anteriores. Estas definiciones se llaman recursivas oinductivas. A veces la recurrencia hace uso unicamente del trmino anterior como en

an+1 := an + n+ 1. ()

Otras veces, la recurrencia involucra los dos trminos anteriores, como es el caso con laconocida sucesion de Fibonacci

Fn+1 = Fn + Fn1. ()

Las ecuaciones de recurrencia, de por s solas, no alcanzan para definir todos los trminosde una sucesion. De hecho estas ecuaciones nada dicen del valor del primer trmino a1 (oposiblemente a0). Por ejemplo, existen infinitas sucesiones (an)n y (Fn)n que satisfacen() y () para todo valor de n. Sin embargo, una vez que se han fijado los valores iniciales,la sucesion queda completamente determinada. As, en el primer caso, fijando el valor dea1 a un cierto valor, digamos , obtenemos a2 = + 2, a3 = + 5, a4 = + 9, etc. En elsegundo caso, como la recurrencia utiliza los dos trminos anteriores, es necesario fijar losdos primeros valores iniciales. Poniendo, por ejemplo, F0 = y F1 = , de () deducimos:F2 = + , F3 = + 2, F4 = 2 + 3, etc. En general, si la recurrencia utiliza los k

13


trminos anteriores, fijando k valores iniciales podemos determinar completamente cadauno de los trminos de la sucesion.

Definiciones (Lmite de una sucesion). Dada una sucesion (an)n, decimos que el numeroreal es el lmite de la sucesion, o que an tiende a , si para cada > 0, existe n0 Ntal que |an | < para todo n n0. En tal caso escribimos

lim an = o tambin limn an = .

Decimos que an tiende a + si para cada M > 0, existe n0 N tal que an > M paratodo n n0. En ese caso escribimos

lim an = + o tambin limn an = +.

Por ultimo, decimos que an tiende a si para cada M > 0, existe n0 N tal quean < M para todo n n0. En ese caso escribimos

lim an = + o tambin limn an = .

Ejemplos.- lim c = c. Es decir, si (an)n es la sucesion constante de trmino general an = c,entonces lim an = c. En efecto, dado > 0, para todo n se tiene: |an c| = |c c| =0 < . Por lo tanto basta tomar n0 = 1.

- limn = +. Es decir, si (an)n es la sucesion de trmino general an = n, entonceslim an = +. La razon es que si M > 0, tomando n0 > M (tal n0 existe porarquimedianidad) obtentemos an = n n0 > M para todo n n0.

- lim 1/n = 0. La demostracion es muy sencilla: dado > 0, por arquimedianidadexiste un n0 tal que 1/n0 < . Luego |an 0| = 1/n 1/n0 < para todo n n0.

Notacion. En lo que sigue va a resultar conveniente llamar R al conjunto extendidode numeros reales R {+,}. Los elementos de R se denominan finitos. Tambinextendemos las operaciones de suma y producto de la siguiente manera, donde a es finito,

- a+ =+ a = + y a = + a = .- + = + y = .- a = + si a > 0, a = si a < 0, a () = si a > 0, a () = +si a < 0.

- =, () () = +, (+) () = .- 1/() = 0 y 1/0 = .- a < + y < a para todo a finito. Adems < +.

Es importante remarcar que hemos dejado indefinidos 0.() y .Ejercicio 2. Unicidad del lmite. Pruebe que, dada una sucesion (an)n no puede haberdos elementos 6= R que verifiquen la definicion de lim an.4.1 Proposicion (Propiedades aritmticas del lmite). Suponiendo que lim an = ylim bn = con , R, se verifican:

14


i) lim(an + bn) = + (siempre que + est definido).ii) lim(an) = .iii) lim(anbn) = (siempre que est definido).iv) lim(1/an) = 1/ (si 6= 0 o bien an tiene signo constante para todo n).

Demostracion. Vamos a hacer las demostraciones para el caso en que y son finitos.Los casos en donde o sean infinitos los dejamos a cargo del lector.

Si y son finitos, dado > 0, existen n0 y n0 tales que |an| < /2 y |bn| < /2

para todo n > n0 := max(n0, n0). Luego |(an + bn) ( + )| = |(an ) + (bn )|

|an |+ |bn | < para todo n > n0.Para probar la segunda propiedad, si nos es dado > 0, sabemos que existe n0 tal

que |an | < si n n0. En consecuencia | an ()| = |an | < para todos esosvalores de n.

En la tercera propiedad razonamos del siguiente modo: dado > 0, definamos =min(1, /(1 + || + ||)). Luego tomemos n0 tal que |an | < y |bn | < paratodo n n0. Ahora, dado n n0 nos queda |anbn | = |(an )bn + (bn )| |(an )bn| + |(bn )| < |bn| + || (|bn | + ||) + || ( + || + ||) (1 + ||+ ||) < .

En la ultima propiedad vamos a suponer que 6= 0 (el caso = 0 tambin lo dejamosal lector). Dado > 0 definamos = |2|/2. Por hipotesis existe n0 tal que |an | < y |an | < ||/2 si n n0. Como || |an| ||| |an|| |an | < ||/2, resulta|an| ||/2 si n n0. Luego |1/an 1/| = 1|an| |an | 2/|2| < como queramosdemostrar

Ejercicio 3. Muestre con un ejemplo que si an no tiene signo constante, la conclusion dela propiedad (iv) de la proposicion puede ser falsa.

La definicion de lmite pone el acento en el comportamiento que la sucesion muestraa partir de un cierto n0. Esto hace que los trminos generales para n < n0 sean irrelevantes.Ms precisamente tenemos la siguiente

4.2 Proposicion. Si lim an = y (bn)n es otra sucesion tal que an = bn para todo nmayor o igual que un cierto K > 0, entonces lim bn = .

Demostracion. Es suficiente reemplazar n0 por max(n0,K) en la definicion de lmite

4.3 Proposicion. Si lim an = , entonces dado k N vale que limn an+k = .Demostracion. Si |an| < para n n0, entonces |an+k| < para n max(1, n0k)Notacion. En muchas oportunidades vamos a afirmar que la propiedad P (n) es verdaderapara n suficientemente grande. Esto querr decir que existe K > 0 tal que P (n) esverdadera si n > K. Una forma abreviada y equivalente de expresar esta circunstanciaser: P (n) es verdadera si n 0.Definiciones. Una sucesion (an)n es creciente (resp. estrictamente creciente, decreciente,estrictamente decreciente) si an an+1 (resp. an < an+1, an an+1, an > an+1) paratodo n N.

15


4.4 Proposicion. Toda sucesion creciente en sentido amplio o estricto que est acotadasuperiormente tiene lmite y adems

limnan = sup

nan.

Demostracion. Que la sucesion est acotada superiormente significa que el conjunto {an | n N} est acotado superiromente. Por el teorema de completitud existe entonces = supn an.Resta probar que = limn an. Dado > 0, la caracterizacion del supremo asegura la exis-tencia de un cierto n0 tal que < an0 . Usando que la sucesion es creciente resulta: < an < + para todo n n0. Esto muestra que |an | < si n n0 locual, por definicion de lmite, corresponde a lim an =

4.5 Corolario. Toda sucesion decreciente en sentido amplio o estricto que est acotadainferiormente tiene lmite y adems

limnan = inf

nan.

Demostracion. Basta aplicar la proposicion a la sucesion (an)n4.6 Proposicion. Supongamos que (an)n y (bn)n son dos sucesiones tales que an bnpara todo n 0. Si existen = lim an y = lim bn, entonces .Demostracion. Vamos a hacer la demostracion unicamente en el caso en que y seanfinitos. Los casos en que alguno de estos lmites sea infinito lo dejamos como ejercicio parael lector. Razonando por el absurdo, vamos a suponer que > . Aplicando la definicionde lmite = obtenemos

|an | < 2 y |bn | . Luego lo que termina la demostracion4.7 Corolario. Supongamos que (an)n es una sucesion tal que an c para n 0. Siexiste = lim an, entonces c.Demostracion. Basta aplicar la proposicion al caso en que (bn)n es la sucesion constante c

4.8 Corolario. Dadas tres sucesiones (an)n, (bn)n y (cn)n, si an bn cn y ademsexisten = lim an = lim bn, entonces tambin existe lim bn y es igual a .Demostracion. Dado > 0, aplicando la definicion de lmite a las sucesiones (an)n y (cn)n,para n 0 obtenemos < an bn cn < + 4.9 Proposicion. Si (an)n es una sucesion con lmite y k es un entero cualquiera(positivo o negativo), entonces la sucesion (an+k)n tiene como lmite tambin a .

16


Demostracion. Dado > 0, existe n0 tal que | an| < si n n0. Tomamos n1 =max(1, n0 k), nos queda | an+k| < para todo n n1 puesto que si n n1, entoncesn+ k n1 + k n0Defininicion. Una subsucesion de una sucesion (an)n es una sucesion de la forma (ank)kcuyo ksimo trmino ank tiene por ndice al ksimo trmino de una sucesion estrictamentecreciente (nk)k de numeros naturales.

4.10 Lema. Si una sucesion (an)n tiene lmite c, entonces toda subsucesion (ank)ktambin es convergente y tiende al mismo c.Demostracion. Dado > 0,. existe n0 tal que |an c| < si n n0. Como (nk)k escreciente, no puede ser acotada y por lo tanto existe k0 tal que nk0 n0. Luego, si k k0,debe ser nk nk0 n0 y en consecuencia |ank c| <

17

4.- Numero Reales

Documents

Transcript of 4.- Numero Reales