4PROBLEMAS DE

PRIMER GRADO

CON UNA O DOS

INCGNITAS

1 Problemas nmericos con una o dos incgnitas

1.1 Problemas de nmeros con una incgnita

Cmo resolver problemas de nmeros con una incgnita.Procedimiento:1) Representar la incgnita por una letra.2) Plantear la ecuacin que liga la incgnita con los datos.3) Resolver la ecuacin.4) Comprobar que el valor hallado satisface a las condiciones del problema (no se debe com-

probar en la ecuacin matemtica sino en el propio enunciado).

Ejemplo 1. Halla un nmero sabiendo que sumando 10 al doble del mismo resulta 32Solucin1) Representacin: Sea n el nmero.2) Planteamiento:

el doble de un nmero

2n

ms 10

+10

es igual a 32

=32

3) Resolucin:

2n+ 10= 32; 2n= 22; n= 11

4) Comprobacin:

2 (11) + 10= 32

Ejercicio 1. Plantea y resuelve los siguientes problemas:

a) Halla un nmero sabiendo que sumndolo a su cuarta parte se obtiene 45.

b) Halla un nmero sabiendo que restando 20 a ocho veces dicho nmero resulta 28.

c) Halla un nmero sabiendo que restando su cuarta parte de 10 se obtiene 3.

Soluciones: a) 36; b) 6; c) 28

1.2 Problemas numricos de ecuaciones con dos incgnitas

En estos problemas existen dos relaciones que ligan las incgnitas con los datos. Se pueden resolverpor dos mtodos:

Mtodo 1: Representando las dos incgnitas en funcin de una sola letra. Una de las ecuacioneses la que liga a las dos incgnitas en funcin de una sola letra. La otra es una ecuacin con unaincgnita.

Mtodo 2: Representando a las dos incgnitas con letras distintas . Las dos ecuaciones tienen,en este caso , dos incgnitas.

Los valores de las incgnitas deben satisfacer las condiciones del enunciado del problema.

Ejemplo 2. Halla dos nmeros sabiendo que uno de ellos es el doble del otro y que el mayor esigual al menor ms 10.

Solucin

1 Problemas nmericos con una o dos incgnitas 1

Mtodo 1:

representamos una incgnita con una letra: n=nmero menor

la otra incgnita en funcin de dicha letra: 2n= nmero mayor

ecuacin que liga las incgnitas: el mayor

2n

es igual

=

al menor ms 10

n+10

resolucin: 2n=n+ 10n= 10

el menor es n= 10 y el mayor es 2n= 20

Comprobacin: Cumplen los nmeros 10 y 20 las condiciones del enunciado:un nmero es doble que el otro: 20=2 10, efectivamente;el mayor es igual al menor ms 10: 20= 10+ 10, lo verifica.Mtodo 2:

un nmero es n; el otro nmero esm

un nmero

m

es

=

doble que el otro

2n

m=2n

el mayor

m

es igual

=

al menor ms 10

n+10

m=n+ 10

Tenemos un sistema de dos ecuciones con dos incgnitas, que resolvemos por igualacin:{

m=2nm=n+ 10

2n=n+ 10; n= 10 ;m=2n=2 10= 20; m= 20

Ejercicio 2. Plantea y resuelve los siguientes problemas por cualquiera de los dos mtodos anteriores:

a) Halla dos nmeros que se diferencien en 8 unidades siendo el mayor igual al triple del menor menos 16.

b) Halla dos nmeros que se diferencien en 30 unidades siendo el mayor igual al doble del segundo ms 6.

c) Halla dos nmeros tales que su suma sea 20 y su diferencia 11.

d) Halla dos nmeros tales que su suma se 12 y el doble del mayor ms el menor sea igual a 21.

e) Halla dos nmeros tales que su suma sea 42 y el menor sea igual a la mitad del mayor menos 3.

Soluciones: a) 20 y 12; b) 54 y 24; c)31

2y

9

2; d) 11 y 1; e) 30 y 12

1.3 Problemas numricos de nmeros enteros consecutivos

Tres nmeros enteros consecutivos: n, n+1, n+2; o bien, n 1, n, n+1

Ejemplo 3. La suma de tres nmeros enteros consecutivos es cinco veces el primero menos 3Solucin

n+n+1+n+2

suma de tres enteros consecutivos

= 5n 3

5 veces el primeromenos 3

3n+3=5n 3 2n=6 2n=6;n=6

2=3

los nmeros son: 3, 4, 5

2 Problemas de edades

Ejemplo 4. La suma de las edades de un padre y un hijo es 40 y el padre es 20 aos mayor queel hijo. Cules son sus edades?

Solucin

edad del padre: xedad del hijo: y

la suma de las edades es 40x+ y = 40

el padre es 20 aos mayor que el hijox = y+ 20

{

x+ y= 40x= y+ 20

; por sustitucin y+ 20+ y= 40 2y= 20; y= 10

x= 10+ 20= 30

edad del padre: x= 30edad del hijo: y= 20

Ejemplo 5. La edad de un padre es 4 veces la edad de su hijo. Al cabo de 14 aos la edad delpadre ser el doble de la edad del hijo. Qu edades tienen actualmente padre e hijo?

Solucin

ahora dentro de 14 aos

hijo x x+ 14

padre 4x 4x+ 14

dentro de 14 aos:

la edad del padre ser doble de la edad del hijo4x+ 14 = 2 (x+ 14)

4x+ 14=2x+ 28 2x= 14 x=14

2= 7

solucin:hijo x=7

padre 4x= 28

Ejercicio 3. (1) La edad de un padre es 5 veces la edad de su hijo. Dentro de 7 aos la edad del padre ser el

triple de la edad de su hijo. Qu edades tienen actualmente padre e hijo?

(2) La edad de un padre es 5 veces la edad de su hijo. Hace dos aos la edad del padre era 7 veces la edad

de su hijo. Qu edades tienen actualmente padre e hijo?

(3) Juan es 10 aos mayor que Carlos y hace 12 aos Juan era tres veces mayor que Carlos. Qu edades

tienen Juan y Carlos?

(4) Elena tiene 8 aos ms que Emma. Halla sus edades actuales sabiendo que hace 14 aos la edad de Elena

era el doble que la de Emma.

Soluciones: (1) 35 y 7; (2) 30 y 6; (3) 27 y 17; (4) 30 y 22

3 Problemas de razn de dos magnitudes

Razn significa cociente.La razn entre dos magnitudes, expresadas en las mismas unidades, es el cociene de la primera

por la segunda.La razn puede expresarse como, por ejemplo: 3: 4; 3 es a 4;

3

4; 075; 75%.

Ejemplo 6. Halla dos nmeros cuya razn es 7 a 4 y su suma 99.Solucin

Si la razn es7

4, los nmeros son 7x y 4x y su suma 11x

11x= 99 x=99

11=9

los nmeros son:

{

7x=7 9= 634x=4 9= 36

Los nmeros son: 63 y 36

Ejercicio 4. Halla dos nmeros cuya razn es 7 a 4 en los casos siguientes:

a) su diferencia es 39

b) el doble del menor es igual al mayor ms 2

c) la suma del mayor y la mitad del menor es 36

Soluciones: (a) 91 y 52; (b) 14 y 8; (c) 28 y 16

4 Problemas de geometra

Algunas nociones de ngulos:

ngulos adyacentes : son dos ngulos que tienen el vrtice y un lado comunes.ngulos complementarios : son dos ngulos cuya suma es igual a un ngulo recto (90).ngulos suplementarios : son dos ngulos cuya suma es igual a un ngulo llano (180).La suma de los ngulos de un tringulo es 180.La suma de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es de 90.

4 Problemas de geometra 3

Permetro de un polgono es igual a la suma de sus lados. El permetro de un polgono regular esigual al producto de un lado por el nmero de ellos.

Ejemplo 7. Dados dos ngulos cuya razn es 3 a 2, hallar los ngulos en los casos siguientes:a) Los ngulos son adyacentes y su suma es 40

b) Los ngulos son complementarios.c) Los ngulos sun suplementarios.d) Los ngulos pertenecen a un tringulo y el otro ngulo es de 70.SolucinSi la razn es

3

2, los nmeros son 3x y 2x.

(a) 3x+2x= 40; 5x= 40;x=40

5= 8;

solucin:

{

3x=3 8= 24

2x=2 8= 16

(b) 3x+2x= 90; 5x= 90;x=90

5= 18

solucin:

{

3x=3 18= 54

2x=2 18= 36

(c) 3x+2x= 180; 5x= 180;x=180

5= 36

solucin:

{

3x=3 36= 108

2x=2 36= 72

(d) 3x+2x+ 70= 180; 5x= 110;x=110

5= 22

solucin:

{

3x=3 22= 66

2x=2 22= 44

5 Problemas de mezclas

tamao mezcla precio mezcla= cantidad Aprecio A + cantidad B precio B

Ejemplo 8. Un comerciante tiene dos clases de aceite, la primera de 6 el litro y la segundade 7,2 el litro. Cuntos litros hay que poner de cada clase de aceite para obtener 60 litros demezcla a 7 el litro?

Solucin

clase de aceite cantidad precio por litro precio total

clase 1 x 6 6x

clase 2 60x 72 72 (60 x)

totalesmezcla 60 7 7 60= 420

precio total: 6x+72 (60 x) = 420;

6x+ 432 72x=420 6x72x= 420432 12x=1212x= 12 x=12

12=10

solucin:

{

clase 1: 10 litrosclase 2: 60 10= 50 litros

Ejercicio 5. Un comerciante tiene dos clases de caf, la primera a 40 el kg y la segunda a 60 el kg.

Cuantos kilogramos hay que poner de cada clase de caf para obtener 60 kilos de mezcla a 50 el kg?

(Solucin: 30 y 30 kg)

Ejercicio 6. Se mezclan una cantidad de trigo tipo A a 0,6 euros/Kg. con una cantidad de trigo tipo B a 0.8

euros/Kg. y se obtienen 80 kg a un precio de 075 euros/kg, cules son las cantidades de trigoA yBde lamezcla?

(Solucin: 20 y 60 kg)

Problemas similares son los siguientes:

Ejemplo 9. Cuntos litros de leche con 35% de grasa ha de mezclarse con leche de 4% de grasapara obtener 20 litros de leche con 25% de grasa?

Solucin

leche cantidad cantidad de grasa

tipoA x 035x

tipoB 20x 004 (20x)

totalesmezcla 20 025 20=5

cantidad de grasa en lamezcla: 035x+004 (20x)= 5

035x+08 004x=5

35x+ 80 4x= 500 31x= 500 80 31x= 420 x=420

31= 1355

solucin:leche cantidad

tipoA x= 1355

tipoB 20 x= 20 1355=645

Ejercicio 7. Un joyero tiene dos lingotes de oro, con un 80% de pureza y el otro con un 95% de pureza. Cunto

debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 Kg con un 86% de pureza? (Sol: 3 y 2 kg)

6 Problemas de mviles

En los siguientes problemas consideramos una velocidad uniforme (no vara con el tiempo)La distancia d recorrida por un mvil a una velocidad v durante un tiempo t en un movimiento

uniforme viene dada por: d= v t

6.1 Separacin de vehculos

Mviles que parten del mismo punto en el mismo instante y se desplazan en la misma direccin,pero en sentido contrario.

Figura 1. Mviles que se separan

Ejemplo 10. Dos aviones despegan del mismo aeropuerto en el mismo instante y se mueven enla misma direccin , pero en sentido contrario. La velocidad de uno de ellos es 100 km/h ms quela del otro. Sabiendo que al cabo de 5 horas la distancia que los separa es de 2000 km, hallar lavelocidad de cada uno de los aviones.

Solucin

velocidad tiempo espacio odistancia

avin ms rpido v+ 100 5 d1=(v+ 100) 5

avin ms lento v 5 d2= v 5

la suma de las distancias es 2000: 5 (v+ 100)+ 5v= 2000

5v+ 500+5v= 2000 10v= 1500 v=1500

10= 150

solucin:velocidad

avin ms rpido v+ 100= 150+ 100= 250 km/h

avin ms lento v= 150 km/h

Ejercicio 8. Se consideran dos mviles que parten en el mismo instante del mismo punto y se dirigen en sentido

contrario. Hallar:

a) El tiempo que transcurre hasta que su distancia de separacin sea 210 km sabiendo que sus velocidades

son de 25 y 15 km/h.

b) La velocidad de uno de ellos sabiendo que la del otro es de 39 km/h menos y que al cabo de 7 horas la

distancia que los separa es de 707 km.

(Solucin: a) 525 h; b) 70 km/h)

6 Problemas de mviles 5

6.2 Cruce de vehculos

Mviles que parten de dos puntos distintos en el mismo instante y se mueven enla misma direccin,pero en sentido contrario hasta que se encuentran.

Figura 2. Mviles que se cruzan

Ejemplo 11. Dos mviles parten de dos puntos distantes 150 km. Sabiendo que inician su movi-miento en el mismo instante y que sus velocidades son de 40 y 20 km/h, respectivamente, hallarel tiempo que tardan en cruzarse y las distancias recorrdias por cada mvil.

Solucin

velocidad tiempo distancia

mvil 1 40 t 40t

mvil 2 20 t 20t

La suma de las distancias es 150 km: 40t+ 20t= 150

60t= 150; t=150

60=25 horas

Los mviles se encuentran al cabo de 25 horas

el mvil 1 ha recorrido: 40t= 40 25= 100km

el mvil 1 ha recorrido: 20t= 20 25= 50km

Ejercicio 9. Dos mviles parten en el mismo instante de dos puntos distintos y se dirigen hacia su encuentro.

Hallar.

a) El tiempo que tardan en cruzarse sabiendo que la distancia inicial que los separa es de 297 km y que sus

velocidades son de 38 y de 28 km/h.

b) La velocidad de uno de ellos sabiendo que es 46 km/h ms que la del otro, que tardan 5 horas en cruzarse

y que la distancia inicial que los separa es de 630 km.

c) La velocidad de uno de ellos sabiendo que la del otro es 5 veces mayor, que tardan 6 h en cruzarse y que

la distancia inicial que los separa es 480 km.

(Solucin: a) 45 h; b) 86 km/h; c) 133 km/h)

6.3 Adelantamiento de vehculos

En este tipo de problema se considera un mvil que inicia su movimiento y al cabo de un ciertotiempo sale otro mvil desde el mismo punto en la misma direccin y sentido que el primero hastaalcanzarle.

Figura 3. Adelantamiento de mviles

Ejemplo 12. Un automvil marcha a 30 km/h. Al cabo de 3 horas de iniciar su movimiento, saleun segundo mvil a 50 km/h tratando de adelantarle. Hallar el tiempo que tarda en alcanzarle yla distancia que recorre hasta conseguirlo.

Solucin

velocidad tiempo distancia

mvil primero 30 t+3 30 (t+3)

mvil segundo 50 t 50t

Igualando las distancias: 30 (t+3)= 50t

30t+ 90= 50t 90= 20t t=90

20=45horas

el segundo tarda 45 horas en adelantar al primero y recorre una distancia de:

d= 50t= 50 45= 225km

Ejercicio 10. Un mvil parte de un punto con una velocidad de 24 km/h. Otro mvil sale del mismo punto 3

horas ms tarde y se dirige hacia el primero a una velocidad de 32 km/h. Hallar la distancia que recorre hasta

adelanterle y el tiempo que emplea en conseguirlo. (Solucin: 288 km y 9 h)

7 Ejercicios diversos

Ejercicio 11. La suma de las edades de 3 pesonas da 85 aos. Clculese la edad de cada una, sabiendo que la

segunda tiene doble de edad que la primera, y que la tercera tiene 15 aosmenos que la segunda. (Sol: 20, 40 y 25)

Ejercicio 12. Preguntado un pastor por el nmero de carneros de su rebao, costest: Si a los que tengo se

aadiera1

3y 12 ms, tendra 132. Cuntos tengo? (Solucin: 90)

Ejercicio 13. Dos grifos llenan un depsito de 2310 litros corriendo el uno 2 horas y el otro 3 horas; despus

llenan otro depsito de 2340 litors corriendo el uno 3 horas y el otro 2 horas. Cuntos litros de agua vierte por

hora cada grifo? (Solucin: 480 y 450)

Ejercicio 14. Una seora compra 15 madejas de hilo y 8 de lana, haciendo un total de 2560 metros. En otra

ocasin compra 30 madejas de lana y devuelve 5 madejas de hilo, haciendo un total de 2250 metros. Cuntos

metros tiene cada madeja de hilo y de lana? (Solucin: 120 y 95)

Ejercicio 15. Sea 30 la suma de dos nmeros, y 4 su diferencia. Cules son estos nmeros? (Sol: 17 y 13)

Ejercicio 16. Repartir 284 manzanas entre tres personas, de modo que la primera reciba 18 manzanas ms

que la segunda, y la tercera tanto como las otras dos. (Solucin: 80, 62 y 142)

Ejercicio 17. Repartir 305 naranjas entre tres personas, de modo que la primera reciba 15 naranjas ms que

la segunda, y sta 10 naranjas ms que la tercera. (Solucin: 115, 100 y 90)

Ejercicio 18. Tres personas tienen juntas 110 aos; hllese la edad de cada una sabiendo que la segunda tiene

12 aos ms que la primera y que la tercera tiene tanta edad como las otras dos menos 6 aos. (Solucin: 23,

35 y 52 aos)

Ejercicio 19. Hllese un nmero cuya tercia y cuarta parte sumen 1421. (Solucin: 2436)

Ejercicio 20. Dividir 198 en dos partes, de manera que partiendo la una por 5 y la otra por 3, ambos cocientes

sumen 42. (Solucin: 180 y 18)

Ejercicio 21. Cul es el nmero cuyos5

8aumentado en 15 equivalen a los

3

4disminuidos de 10? (Sol: 200)

Ejercicio 22. Se han vendido1

3,

1

4y

1

6de una pieza de pao y quedan an 18 metros. Hllese la longitud de

la pieza. (Solucin: 72 metros)

Ejercicio 23. Una persona lega su fortuna a 4 sobrinos; deja al mayor1

3; al siguiente,

1

4; al tercero,

1

5, y al

menor, el resto 5200 gramos de oro. Cul era la fortuna del to? (Solucin: 24.000 gramos de oro)

Ejercicio 24. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. Cuntos cerdos y pavos

hay? (Soluci: 23 y 12).

7 Ejercicios diversos 7