4.2.4. Método de cuadratura Gaussiana.

En las formulas de integración pasadas considerando que los espaciamientos son iguales, es decir que la variable independiente x esta dividida en intervalos equiespaciados. Gauss observo que a falta de exigir la condición de conocimiento de la función f(x) en valores predeterminados, una formula de tres términos requeriría seis parámetros (en vez de tres como el caso de Simpson) y correspondería a una formula de integración poli nómica de grado cinco. Las formulas gaussianas pueden aplicarse cuando la función f(x) se conoce explícitamente si por el contrario, se conocen valores equiespaciados de la función ya que estas han sido evaluadas experimentalmente, se deben usar las formulas de integración numérica. 

Las formulas de integración  de Gauss tienen la forma:

 Donde, wi son las funciones de peso y f(x) son las n+1 evaluaciones de la función f(x)-

Cuadratura Gauss Legendre

El objetivo de este método es aproximar la función f(x), por un polinomio pn (x) que sea ortogonal con respecto a una función de peso dado, en el intervalo.

f(x)=Pn(x)+Rn(x)

Donde w(x) son funciones de peso, Pn(x) es el polinomio seleccionado y Rn(x) es el residuo originado por la aproximación.

Es conveniente que los límites de integración sea entre (-1,1) y no entre (a, b ). para ello se puede hacer un sencillo cambio de variable de la siguiente forma:

Así se tiene que.

 L1 es el polinomio de Legendre: 

 Nótese que I e I’ están relacionadas de la siguiente manera:

 Reagrupando los términos de la primera ecuación de esta cuadratura, se tiene:

 Se puede demostrar que si la función F(t) es equivalente a un polinomio de grado inferiros o igual a un polinomio de grado 2n+1, la integral es exacta si los coeficientes son calculados por la formula:

 Las funciones Ω(t) son funciones positivas integrales asociadas a la propiedad de ciertos polinomios ortogonales. De hecho los valores que aparecen en el cálculo de la sumatoria son justamente las raíces de estos mismos polinomios ortogonales, raíces utilizadas en el desarrollo:

 Dependiendo del intervalo (a,b), también llamado dominio, se selecciona el tipo de polinomio que satisfaga la ecuación general del método de Romberg.Finalmente el resultado de la integral es:

 Polinomios de Legendre:

Dominio (1,1), función de peso Ω(x)=1

 

 Coeficientes para la cuadratura de Gauss-Legendre

  ti wi2 +-0,577350269189 13 o

+-0,7745966692410,888…(=8/9)0,555…(=5/9)

4 +-0,339981043585+-0,861136311594

0,6521451548620,347854845137

5 O+-0,538463310106+-0,906179845939

0,568880,4786286704990,236926885056

6 +-0,238619186083+-0,661209386466+-0,932469514203

0,4679139345730,36076157304810,171324492379

10 +-0,148874338982+-0,433395394129+-0,679409568299+-0,865063366689+-0,973906528517

0,2955242247140,2692667193100,2190863625150,1494513491510,066671344309

15 O+-0,201194093997+-0,394151347078+-0,570972172609+-0,724417731360+-0,848206583410

0,2025782419260,1984314853270,1861610001160,1662692088170,1395706779260,107159220467

+-0,937273392401+-0,987992518020

0,0703660474880,030753241996

Otras cuadraturas Gaussianas

Las técnicas de cuadratura Gaussiana pueden ser utilizadas para otro tipo de polinomios ortogonales. De las numerosas familias existentes, tres tienen un uso relativamente común. Se trata de las cuadratura de Gauss-Tchebychef, Gauss-Laguerre y Gauss-L’Hermite. Todas se diferencian fundamentalmente por tener las raíces ubicadas en dominios distintos y tener funciones de peso también diferentes.

Ejercicio1 Método de cuadratura: Gauss-Legendre (MetGaLeg)

Demostrar que para una cuadratura de Gauss-Legandre, los coeficientes para una colocación de tres puntos para zi y (t)i son los de latabla expuesta en el párrafo correspondiente:

Solución:Se calcularan primero las raíces del polinomio de Legendre que anulan el residuo en tres puntos:

 Siendo las raíces: 0, +

Los factores de peso se obtienen integrando los polinomios de Lagrange para caca uno de los valores que anuló el residuo.

 

Resolviendo se obtiene:

𝝎1 = 8/9

𝝎2 = 𝝎3 = 5/9

Ejercicio 2 :

Aproximamos 

 usando la regla de cuadrátura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en: 

 

Tenemos ahora que 

 

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n

parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.

Caso n = 2 e intervalo [-1, 1]

Queremos determinar x1, x2, c1 y c2 para que la fórmula 

 de un resultado exacto siempre que f(x) sea un polinomio de grado 2 · 2 - 1 = 3 o menor 

 Hay que demostrar que la fórmula produce resultados exactos cuando f(x) es 1, x, x2 y x3.

 

 Este sistema de ecuaciones tiene solución única 

 

La siguiente fórmula da resultados exactos para polinomios de grado _ 3 

 

Caso general Para n _ 2 e intervalo [-1, 1] el cálculo de los xi y ci se realizan utilizando los polinomios de Legendre y sus raíces.

Las constantes ci y las raíces de los polinomios de Legendre están tabuladas 

 Así:

Para el caso general de un intervalo cualquiera [a, b] se realiza un cambio de variable en la integral:

 

 

y se aplicara sobre la nueva integral.

Ejemplo3.