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La estática aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B 7 UNIDADES 1.2 Y 1.3 LA ESTÁTICA APLICADA EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL Estática Aplicada. Vectores: - Libres: Tienen dirección, sentido y magnitud. - Axiles: Tienen dirección, sentido, magnitud y recta de acción. - Fijos: Tienen dirección, sentido, magnitud, recta de acción y punto de aplicación. Las fuerzas actuantes sobre un cuerpo rígido se pueden representar con vectores axiles, mientras que a las fuerzas actuantes sobre un cuerpo deformable se las puede representar con vectores fijos. F r ' F r ' ' F r ' ' ' F r libres ' F F → = r r ' ' ' F F fijos ' ' F F r r r r = → ≠ ' ' F F axiles ' F F r r r r = → ≠ Los efectos de F y F’ son idénticos. F F’ F F’ Forma original Deformada Los efectos de F y F’ son distintos. RÍGIDO
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La esttica aplicada en el campo bidimensional Estructuras I-B
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UNIDADES 1.2 Y 1.3
LA ESTTICA APLICADA EN EL CAMPO BIDIMENSIONAL
Esttica Aplicada. Vectores: - Libres: Tienen direccin, sentido y magnitud.
- Axiles: Tienen direccin, sentido, magnitud y recta de accin.
- Fijos: Tienen direccin, sentido, magnitud, recta de accin y punto de aplicacin.
Las fuerzas actuantes sobre un cuerpo rgido se pueden representar con vectores axiles, mientras que a las fuerzas actuantes sobre un cuerpo deformable se las puede representar con vectores fijos.
Fr
'Fr
''Fr
'''Fr libres'FF = rr
'''FF
fijos''FFrrrr
=
''FF
axiles'FFrrrr
=
Los efectos de F y F son idnticos.
F
F
F
F
Forma original
Deformada
Los efectos de F y F son distintos.
RGIDO
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F1F2
F3
F1
F2
Sistemas de Fuerzas: Conjunto de fuerzas que actan sobre un cuerpo
Sistemas de fuerzas coplanares: Todas las fuerzas estn contenidas en un mismo plano
Sistema de Fuerzas espaciales: Las fuerzas estn en distintos planos.
Sistema de fuerzas concurrentes: Cuando todas las fuerzas del sistema pasan por el mismo punto, pudiendo ser coplanares o espaciales.
Dos vectores axiles y coplanares son siempre concurrentes. (Si son paralelos se considera que concurren a un punto impropio). Unidad de Medida de una Fuerza.
- Sistema Tcnico: .Kg [F] = o t = 1000 Kg . Kilogramo fuerza Tonelada fuerza. - Sistema Internacional. (o Sistema Legal Argentino)
.smKgN [F] 2
= 1 Newton 100 g.
1 KN = 103 N
Principios de la Esttica. Primer Principio. Regla del Paralelogramo:
La accin de un sistema de fuerzas de dos vectores concurrentes puede ser reemplazada por una nica fuerza cuyo vector est dado por la diagonal del paralelogramo construido a partir de hacer
coincidir los orgenes de ambos vectores. A esta fuerza R se la denomina Resultante del Sistema.
F1
F2
F3 F4
F5
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F2
F1R
F2
F1
F1
F2
R
F2
F1R
x
F1
F2
R
F1xF2x Rx
F1x Rx = F1x +F2x
Paralelogramo
Si los vectores son axiles, se puede obtener la resultante de dos fuerzas, trasladando stas hasta la interseccin de ambas rectas de accin.
Segundo Principio. De Accin y Reaccin: A toda accin corresponde una reaccin de igual magnitud y direccin pero de sentido contrario. Las fuerzas de accin y reaccin actan cada una en un sistema distinto. Tercer Principio. De Rigidez. La accin de un sistema de fuerzas sobre un cuerpo rgido puede ser reemplazada por cualquier otro sistema estticamente equivalente, es decir, con la misma resultante, produciendo el mismo efecto.
Proyeccin de una Fuerza Sobre un Eje.
X"" en F ed ProyeccinxF = Fx = F cos
Mdulo de F
F2F1
F2F1 =Rgido
H
Fxx
F
Tringulo de fuerzas
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HFx
FyFy
Fx
F
X
YUna fuerza axil en el plano queda definida a partir de sus proyecciones sobre dos ejes siempre que stos no sean paralelos.
Polgono de Fuerzas.
Sistema en Equilibrio: Decimos que un sistema de fuerzas concurrentes est en equilibrio cuando su resultante es nula.
Si a un sistema de resultante R le agregamos una nueva fuerza igual y contraria a R, el sistema quedar en equilibrio. Esta nueva fuerza se llama equilibrante del sistema.
EQUILIBRANTE = - RESULTANTE Un sistema de fuerzas concurrentes estar en equilibrio cuando el polgono de fuerzas est cerrado.
Momento de una Fuerza Respecto de un Punto:
Para que un sistema no concurrente est en equilibrio no alcanza con que tenga resultante nula. Por ejemplo, si el sistema es de dos fuerzas, stas deben ser colineales, adems de iguales y contrarias.
( ) ( )FxFyarctg
FyFxF
FsenFycosFFx
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=+===
F1 R
F2
F3
R1F1
F2F3
R
F1
F2F3
R
F4 F =4 -R
A d
F
M = F dF,A.
Momento de F con respecto a A
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Para que un sistema de fuerzas est en equilibrio, la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto de cualquier punto debe ser cero. Signo del Momento: Debe atribuirse convencionalmente un signo para el clculo del momento de una fuerza. Podemos adoptar una convencin, por ejemplo, si la fuerza produce una tendencia a rotar alrededor del punto en sentido horario lo consideraremos positivo (+), y negativo (-) en caso contrario. Los signos de las proyecciones de las fuerzas se consideran positivos cuando coinciden con el sentido positivo del eje de proyeccin. Representacin Grfica del Momento de una Fuerza:
Representacin Vectorial del Momento:
El momento respecto de un punto A se puede representar
mediante un vector, cuya direccin es perpendicular al plano que definen el vector fuerza y el punto A, su mdulo es el valor del momento (F.d) y su sentido est dado por la regla del tornillo.
Teorema de Varignon: El momento producido por la fuerza resultante es igual a la suma de los momentos de las fuerzas componentes. Pares de Fuerzas: Un par de fuerzas esta conformado por dos fuerzas coplanares iguales y contrarias y no colineales.
A dF2
F1 0012 += FdFM A == 0dFdFM 21A
A d
F2
F1
A
d
F
2M
2dFArea ==
A
d
F
Area = M/2
Ad F
M
M = F d.
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Momento de un Par Respecto de Un Punto:
MA = F (a+d) Fa
MA = Fa + Fd Fa MA = Fd
El momento de un par es independiente del centro o punto donde se toma el momento. Condiciones Analticas Necesarias y Suficientes Para el Equilibrio. Para que un sistema de fuerzas coplanares est en equilibrio es necesario y suficiente que: 1- Las proyecciones sobre dos ejes no paralelos tengan suma cero y que adems la suma de los momentos de todas las fuerzas respecto de un punto cualquiera tambin sea cero.
MA = 0 FX = 0 Condicin: X no paralelo a Y.
FY = 0
2- O la suma de las proyecciones en un eje sea cero y la suma de momentos respecto de dos puntos tambin sea cero, siempre que la recta que determinan ambos puntos no sea paralela al eje.
FX = 0 MA = 0 Condicin: Recta AB no paralela a X.
MB = 0
3- O la suma de los momentos respecto de tres puntos no alineados debe ser cero.
MA = 0 MB = 0 Condicin: A, B y C no alineados.
MC = 0
A
dF
F
a
F3A
F2F1
X
Y
F3
AF2F1
X
Y
B
F3
AF2
F1
X
Y
B
C
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F1
F2F
F 1
F 3 F
F 2
Estticamente, sobre un cuerpo rgido sometido a un sistema de fuerzas coplanares, no puede haber ms de tres incgnitas. En estas condiciones si planteamos una cuarta ecuacin, sta sera una combinacin lineal de las tres anteriores. De la misma forma, para sistemas concurrentes planos no se pueden tener ms de dos incgnitas.
FX = 0 FY = 0 Incgnitas: F1 y F2
FX = 0 FY = 0
Incgnitas: F1 , F2 y F3. (infinitas soluciones)
Si existen tres incgnitas, como en este caso, el problema es estticamente indeterminado (hiperesttico).
F
1 2
F
1 23
![L+# * ($# ! * $ * #& # * *' # $* *(+#% )€¦ · = lim [ ( ) − ] = lim + − 4 + 4 − 4 + 4 − = + − 4 + 4 − ( − 4 + 4 ) − 4 + 4 = lim 5 − 8 + 4 − 4 + 4 = ∞ ∞](https://static.fdocumento.com/doc/165x107/5f483e2f6fe8343e605bd54f/l-lim-a-lim-a-4-4.jpg)
