45642971 Razones y Proporciones Porcentajes Guia Material

7/29/2019 45642971 Razones y Proporciones Porcentajes Guia Material

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RAZONES Y PROPORCIONES

1) Def. Razn

se puede decir que una razn es una manera de comparar dos cantidades mediante uncuociente.

La razn entre las cantidades a y b se puede escribir a / b a:b

Se lee - a es a b donde a antecedente y b consecuente.

Ejemplo

a) la edad de Jos es de 10 aos y la de Carmen 4 aos.Al compararlo con cuociente tenemos.

Edad de Jos = 10 aos = 1x(10) aos = 1edad de carmen 4 aos 4 x (10) aos 4

b) hallar la razn entre 16 y 56. como cuociente queda 1656

luego se tiene que 16:8 = 2 , por lo tanto la razn entre 16 y 56 es 2:7 es 2 es a 756:8 7

c) Un padre quiere repartir la mesada correspondiente a sus dos hijos, pero al fin de mes uno desus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos mesada que a su hermano, peroesta vez quiere que cada $3 del hermano que se port bien, el otro reciba solo $2, es decir quiererepartir el dinero a razn de 3 es a 2. Si dispone nuevamente de $20.000, Cunto dinero lecorresponder a cada uno?.

Respuesta :Para este tipo de problemas te recomendamos utilizar el siguiente mtodo; el entero que se va a

repartir (en este caso $20.000), divdelo en el total de partes ms conveniente para repartirse, lacual siempre resulta ser la suma entre el antecedente y el consecuente de la razn geomtrica, esdecir, en este caso debes dividir $20.000 en 5 partes iguales, ya que 3+2 = 5, y luego 3 de esaspartes le correspondern al antecedente (hijo que se port bien), y las otras 2 al consecuente (hijoque se port mal).

Observa el siguiente diagrama:

Donde la parte gris es la que le corresponde al hijo que hizo todas sus obligaciones. Obviamente

esta divisin del dinero que eligi su padre para castigarlo le conviene mas al mal hijo que laanterior. Claro que esto no quiere decir que siempre sea as, haz de ejercicio los mismos dosejemplos pero que el padre disponga solo de $10.000 para repartir y te podrs dar cuenta.Ejercicios

I lee la razn siguiente y calcula el valor .

1) 18:3 2) 45 Kg : 15 Kg 3) 35 cm : 20 cm

II 4) al cumpleaos de Sofa asistieron 14 mujeres y 15 hombres. cual es la razn entre el total de los asistentes y mujeres?

cual es la razn entre los asistentes y los hombres?

cual es la razn entre hombres y mujeres?


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5) Los ngulos de un tringulo estn a razn de 1 : 2 : 3 (recuerda que esto se lee; uno esa dos es a tres), Sabiendo que la suma de los ngulos interiores de un tringulo es 180grados. Cunto miden sus ngulos?.

Definicin de Proporciones :

Una proporcin es una igualdad ( comparacin) entre dos mas razones

Notacin a = c a : b = c : db d

se lee a es a b como c es a d

donde a y d se llaman extremos y b y c se conocen como medios de la proporcin,tener en cuenta que d , b no son iguales a cero

propiedades:

propiedad fundamental

a/b = c/d (a d=b c)

a = c 1) a + b = c + d o a + b = c + d composicin deproporcionesb d b d a c

2) a - b = c - d o a - b = c - d descomposicin deproporcionesb d a c

3) d = cb a

4) b = da c

5) c = ad b

6) a + b = c + d composicin deproporciones y descomposicin

a b c d

Ejercicios

1) En la proporcin6

12

18

36= aplica cada una de las siguientes propiedades:

a) Componer respecto al antecedenteb) Componer y descomponer a la vezc) Descomponer respecto al consecuente

d) Descomponer respecto al antecedente

2) Verificar si las siguientes igualdades de razones son proporciones

Con propiedad fundamental.

a) 5 = 358 56

b) 1 = 83 33

c) 9 = 812 24

d) 5 = 105

3 63


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PROPORCIONES

Clasificacin

a) proporcin discontinua: es aquella que tiene todos sus trminos desiguales: a:b=c:d

Ejemplo 21:3=49:7

Cuarta proporcional: es cada uno de los trminos de una proporcion discontinuaDel ejemplo anterior tenemos:21 es la cuarta proporcional entre 49, 3 y 749 es la cuarta proporcional entre 21,3 y 73 es la cuarta proporcional entre 21,49 y 77 es la cuarta proporcional entre 21,49 y 3

b) Proporcin continua: es la que tiene los medios o los extremos iguales: a:b=b=d a:b=c:a

Ejemplo 4:6=6:9

Tercera proporcional geomtrica: es el trmino que se repite en una proporcin continua delejemplo anterior 6 es la media proporcional entre 4 y 9.

c) Serie de razones o proporciones:

si tenemos a= k ; c= k ; e= k .........etcb d f

a= c= e=..........kb d f

a esta igualdad de dos o ms razones se le llama serie de razones o serie de proporciones. Sepuede escribir tambin como:

a:c:e=b:d:f

a + c + e =kb + d + f

PROPORCIONALIDAD

a) Directa: x es directamente proporcional a y, si al aumentar (disminuir) y, x aumenta(disminuye) en la misma proporcin.

X=ky x=k ; k constantey

Ejemplo:Si para comprar dos kilogramos de pan necesitas $1.300, Cuanto dineronecesitas para comprar 5 kilogramos de pan?

Respuesta :Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad directa ya que siaumenta la cantidad de kilogramos de pan, entonces aumenta el dinero. Por lo tanto sedebe cumplir que:

kg $2 1300

5 x

X= 1300 5 =$3.2502

Y as puedes verificar que para cualquier cantidad de kilos de pan con el dinero quenecesites para comprarlo tendrn un cuociente constante. En este caso ese cuociente (k)es igual a 1,300 :2 = 650.Una forma de representar dos cantidades que son directamente proporcionales es atravs de un grfico, grafiquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntos2 con 1300, 4 con 2600, 6 con 3900, etc.


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b) Inversa: x es inversamente proporcional a y, si al aumentar (disminuir) y, x disminuye(aumenta) en la misma proporcin.

x=k xy=k ; k constantey

Ejemplo :2 trabajadores se demoran 24 horas en pintar una casa, Cunto se demorarn 6

trabajadores?Respuesta :Nos podemos dar cuenta que el ejemplo es sobre una proporcionalidad inversa debido aque si aumenta una de las magnitudes la otra disminuye ( si hay ms trabajadores sedemoran menos tiempo), por lo tanto se debe cumplir que:

trabajadores

horas

2 24

6 x

Trabajadores Horas = k 2 24 = 6 x 48 = x

6

x = 8 horas.

Una forma de representar dos cantidades que son inversamente proporcionales es atravs de un grfico, grafiquemos el mismo ejemplo anterior, es decir, unamos los puntoscuyo producto es 48 (pues 48 es la constante k de el ejemplo), entre ellos estan, 1 con 48,2 con 24, 3 con 16, 8 con 6 y 6 con 8.


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c) Compuesta: En este tipo de proporcionalidad estn los tipos antes mencionados, pero a en vezde dos variables hay tres.

Ejemplo :Si 10 vacas comen 30 kilos de pasto en 20 das, Cuntos kilos de pasto

comern 15 vacas en 10 das?.

Respuesta :Como puedes ver las variables en juego son ahora tres, el nmero de vacas, la cantidadde kilos de pasto y el nmero de das. Para comenzar es bueno esquematizar el problemacomo sigue:Vacas Kilos Das10 30 2015 x 10- +

x= 30 10 10

15 20

Ejercicios:2) Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:

a)2

5

24=

xb)

4836

27 x= c)

x

2,6

55,0

11,0=

d) x:9

4

5

3:6,0 = e)

135

35

28=

x

f)3

4

9=

xg)

x

15

24

6= h)

x

3

21

7=

i) x

15

4,1

7,0=

j) x

2,0

9,0

3,0=

k)x

6

5

3

2

4

3

= l) x:38,7:6,2 =

m)x

3

1

12

5

6

1

= n)x

6

02,4

01,2= ) 8,1:34,2: =x

o)x2

17

5

13

8 = p) 5,0:7,3:4,7 =x

q)2

12:

6

5:

3

2x=

RAZONES

1- Un grifo que entrega 0,6 litros de agua por segundo, llen un estanque en 21 horas. Cuntotiempo tardar en llenarlo otro grifo que da 0,9 litros por segundo?

a) 7 horas b)14 horas

c) 16 horas d) 28 horas e)31,5 horas

2- Una repisa con libros pesa 44 kg. Si el peso de la repisa est con el peso de los libros en larazn 1 : 10, cuntos kilos pesa la repisa?

a) 4 b) 4,4 c) 6 d) 6,6 e) 8

3- Si 1 : c = 5 : d, entonces el producto entre 0,5 y c es igual a:a) 0,1d b) 0,5d c) 1,0d d) 2,5d e) 0,25d

4- Con $p se compran 4 cuadernos. Cuntos cuadernos del mismo valor se pueden comprar con$2pq?

a) q/8p b)8q c) 8q/p d) 8p e) 8p/q


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5- Juan tiene 24 aos y la razn entre su edad y la de su hermano es 3:4. Cul es la edad de suhermano?

a) 32 b) 18 c) 28 d) 48 e) 16

6- La diferencia de dos nmeros es 48 y su razn es 9:5. Cul es el nmero mayor?a) 108 b) 60 c) 88 d) 40 e) 102

7- Dos personas se reparten $ 25.000 en la razn 2:3. Cul es la diferencia entre lo que recibe

cada una de ellas?a) $ 10.000 b) $ 15.000 c) $ 5.000 d) $ 20.000 e) $ 500

8- Si A : B : C = 4 : 6 : 5 y A + B + C = 45. El valor de A + B - C es:a) 60 b) 45 c) 30 d) 15 e) 12

9- En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, la razn entre mujeres y hombres es:a) 36 : 12 b) 24 : 12 c) 36 : 24 d) 2 : 3 e) 1 : 2

10- En una fiesta hay 12 hombres y la razn entre mujeres y hombres es 2 : 3. Cuntas personashay en la fiesta?

a) 8 b) 16 c) 18 d) 20 e) 24

11- La diferencia entre dos nmeros es 48 y estn en la razn 5 : 9. Cul es el menor de ellos?

a) 5 b) 9 c) 12 d) 60 e) 108

12- Si 3 ladrillos pesan 6 kilos, cunto pesan, en kilos, una decena de ladrillos?a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 26

13- Siete obreros cavan en dos horas una zanja de 10 m. Cuntos metros cavarn, en el mismotiempo, 42 obreros?

a) 6 b) 30 c) 60 d) 69 e) 90

Resuelve:a) En un curso de 43 alumnos , 17 fueron reprobados. Cul es la razn entre el nmero

de aprobados y el nmero de alumnos del curso?

b) En un sitio, el rea construida es de 120 m2

y el rea libre es de 80 m2

. Cul es larazn entre el rea construida y el rea del terreno total?c) La razn entre las velocidades de un avin y de un tren es 2:3. Si la velocidad del avin

es de 600 Km/hr Cul es la velocidad del tren?d) En un curso, la razn entre el nmero de nios y nias es 3:2. Si el nmero de nios es

18, cul es el total de alumnos del curso?e) La razn de las longitudes de los lados de un rectngulo es 3:4. Si el lado menor mide

15 cm., cunto mide el permetro del rectngulo?

Resuelve:a) La suma de dos nmeros es 91 y estn en la razn 4 : 3. Calcula el valor de cada nmero.b) La diferencia entre el peso de dos vehculos es 120 kg. y estn en la razn 7 : 4. calcula el

peso de cada vehculo.c) Las edades de Ana y Julia estn en la razn 3 : 2. Qu edad tiene cada una, si la suma

de sus edades es 80 aos?d) El permetro de un rectngulo es 128 cm. y la razn entre la medida de sus lados es 5 : 3.

Calcula su rea.e) Dos amigos deben repartirse $ 27.000 en la razn 5 . 4. Cunto dinero recibe cada uno?

3) Resuelve:a) Si a + b = 54 y a : 4 = b : 5, calcula los valores de a y b.b) Si x y = 21 y x : y = 7 : 4, calcular x e y.

c) Calcula a y b sib

a=

5

7y a b = 30.

d) Si a + b = 18 y a : 5 = b . 4, calcula a y b.e) El dinero de dos personas estn en la razn 12 : 7 y una de ellas tiene $850 ms que la

otra, cunto dinero tiene cada una?f) Los ngulos interiores de un tringulo estn en razn 4:9:2. Cul es la medida de cadauno?

g) Se desea repartir $56.000 entre cuatro personas en la razn 1.2:3:4. Cunto recibe cadauna?

h) La suma de tres nmeros es 36 y estn en la razn 2 : 3 : 4. Calcula los nmeros.i) Hallar x, y, z, si x + y + z = 50 y x : y : z = 3 : 5 : 2.

j) Calcula el valor de x, y, z, si x y + z = 10 y x : y : z =2

1: 3 :

6

5

k) Si a + b + c = 72 y342

cba== , calcula a, b y c.

l) Si 237

cba== y a b c = 16, calcula a, b y c.

4) Calcula una cuarta proporcional entre:a) 6; 18; 15


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b) 2; 7; 12

c)2

1;3

1;4

1

d)8

3; 4;

2

1

Proporcin directa

a) Si 5 pantalones cuestan $60.000, cunto costarn 8 pantalones?.

b) Si un vehculo se mantiene con velocidad constante de 60 m/s, cuntos metros recorrer en un

minuto?.

c) Una persona a cierta hora del da da una sombra de 3 m, si un rbol de 4 m de altura da una

sombra de 6 m, cunto mide la persona?.

d) Si los nios y las nias de un curso estn a razn de 3 : 4 respectivamente,cuntas nias hay

si el curso es de 35 personas?.

e) Tres metros de gnero valen $800. Cunto valen ocho metros del mismo gnero?

f) Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura

de un rbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m.

Proporcin indirecta

a) Si 2 personas realizan un trabajo en 5 horas, cunto tiempo demoran 5 personas?.

b) Si un vehculo a una velocidad de 70 Km/hr se demora 3 horas en llegar de la ciudad

A a la ciudad B, a qu velocidad debe desplazarse para demorarse 2 horas entre

ambas ciudades?.

c) Si 5 personas se comen 100 completos en 35 minutos, cunto demorarn 7

personas en comer la misma cantidad?.

d) Un artesano hace 10 tazas de cermica por hora, cunto se demorarn 3 artesanos

en hacer la misma cantidad de tasas?.

e) Dos personas pueden drenar un pozo en un da En cuantas horas lo realizan 3 personas ?

f) En un campamento entran 1200 personas hay comida para 12 dias para cuantos dias

alcanzaria la comida, en las mismas condiciones,si llega otro grupo de 400 nios?

g) sabindo que 8 hombres tardan 12 dias en poner a punto 16 maquinas. Cuanto tardan

Tardan si emplean 15 hombres

h) Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a $20 cada uno. Si suben a $25, cuntos podr

comprar?

i) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. Cuntas hora demoran 60 telares

iguales en producir la misma cantidad de tela?

j) La rapidez de un automvil es de 70 Km/hr y demora 5 horas en recorrer una cierta distancia.

Cuntas horas demorar, en recorrer la misma distancia, otro automvil con una rapidez de 80

Km/hr?

Proporcin compuesta

a) Si 30 mquinas tejen 2.000 m. de tela en 20 das, cuntas mquinas iguales a las

anteriores sern necesarias para producir 7.000 m. de tela en 14 das?

b) Un depsito de 500 litros es llenado por un grifo a razn de 5 litros por segundo en 12

horas. Cunto tiempo tardara en llenarse un depsito de 1.250 litros por un grifo a razn

de 8 litros por segundo?

c) Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3.000 mensuales, estando encendidas 6 horas

diarias, qu gasto originaran 20 ampolletas durante 10 horas diarias?

d) 4 operarios producen en 10 das, 320 piezas de un cierto producto. Cuntas piezas de

este mismo producto harn 10 operarios en 16 das?e) Si tres personas arman un rompecabezas en 24 horas, cuntos rompecabezas

armarn 36 personas en 48 horas?.

f) 5 trabajadores construyen una muralla en 6 horas, cuntos trabajadores se


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necesitan para construir 8 murallas en solo un da?.

PORCENTAJE

1. Expresa en fraccin:

a) 20% b) 12% c) 60% d) 75% e) 100% f) 150% g) 1/2 % h) 3/5%

2. Expresa en porcentaje:

a) 0,12 b) 0,72 c) 0,7 d) 1,7 e) 3 f) 1/10 g) 0,333.... h) 3/4 i) 0,425j) 4,12

3. Completa la siguiente tabla:

Nmero

10% 12,5% 20% 25% 3

133

%

50% 75% 100% 200%

24

3

30

3

120

4,8

4. Calcula el

a) 12% de descuento por un artculo que vale $5.400.b) 35% de pginas ledas de un libro de 380 pginasc) 15% de goles marcados por Zamorano de un total de 40 goles marcados por el goleadordel campeonatod) 48% de alumnos varones en un colegio de 450 alumnos en total.

e) Si en una libreta de notas, de 56 notas, 32 estn sobre la nota 5 y 20 sobre o igual a lanota 4, Qu porcentaje de las notas son deficientes?

5. Determina qu porcentaje es:

a) 35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.b) $2.540 de rebaja por una compra de $63.500c) 357 manzanas podridas de un total de 1.500 manzanas.d) 40 horas de trabajo semanal de una jornada de 48 horas.

6. Calcula cul es:

a) el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es $56.000

b) el precio de un artculo cuyo 12% es $3.600c) la edad de un padre si el 24% de su edad equivale a la edad de su hija de 12 aos.d) el descuento del sueldo de un empleado si recibi $84.000 que equivale al 85%.

Mini EnsayoProporcionalidad1. Una docena de pasteles cuesta $6m, y media docena de queques cuesta$12n, cul de las expresiones siguientes representa el valor en pesos demedia docena de pasteles y dos docenas de queques?

a) 3(m + 8n) b) 3(m + 16n) c) 6(4m + n) d) 12(m + 4n)e) 24(m + 2n)


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2. En un curso hay 36 alumnos, si 24 son hombres, entonces la razn entrehombres y mujeres respectivamente es:

a) 1 : 2 b) 2 : 3 c) 24 : 12 d) 36 : 12e) 36 : 24

3. En una fiesta hay 12 hombres, si la razon entre mujeres y hombres que hayen la fiesta es 2 : 3, cuantas personas hay en la fiesta?

a) 8 b) 16 c) 18 d) 20 e) 244. Tres kilos de papas cuestan $x, 6 kilos cuestan $(x + 30), entonces el valorde 3 kilos de papas es:

a) $30 b) $40 c) $50 d) $60 e) $70

5. La diferencia entre dos nmeros es 48, y estn a razn de 5 : 9, cual es elmenor de ellos?

a) 5 b) 9 c) 12 d) 60 e) 108

6. Si 3 ladrillos pesan 6kg, cunto pesarn una decena de ladrillos?

a) 18kg b) 20kg c) 22kg d) 24kg e) 26kg

7. 7 obreros cavan en 2 horas una zanja de 10m, cuntos metros cavarn enel mismo tiempo 42 obreros?

a) 6 b) 30 c) 60 d) 69 e) 90

8. Las edades de Gonzalo y Cristian estn a razn de 1 : 3, si Gonzalo tiene 10aos, cuntos aos suman sus edades?

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

9. En una granja hay patos y gallinas en razn 9 : 10, si en una fiesta sesacrifican 19 gallinas la razn se invierte, cuntas gallinas haba inicialmente?

a) 10 b) 81 c) 90 d) 100 e) 119

10. La suma de 6 enteros pares consecutivos es 90, en qu razn estn los 2nmeros centrales?

a) 1 : 2 b) 3 : 4 c) 6 : 7 d) 7 : 8 e) 8 : 9

11. Si una repisa con libros pesa 44 kg, y la razn entre el peso de la bandeja yel de los libros es 110 , cunto pesa la repisa?

a) 4 kg b) 4,4 kg c) 6 kg d) 6,6 kg e) 8kg

12. Cristian tiene que pagar $90.000, si le rebajan el 5% de su deuda, cuntole queda por cancelar todava?

a) $450 b) $4.550 c) $85.500 d) $89.500 e)$94.550

13. De 125 alumnos de un colegio, el 36% son damas, Cuantos varones hay?

a) 89 b) 80 c) 45 d) 36 e) 25

14. Qu porcentaje de rebaja se hace sobre una deuda de $4.500 que sereduzca a $3.600?

a) 80% b) 60% c) 40% d) 20% e) 10%

15. El 35% de una hora es equivalente en minutos a:

a) 2 b) 21 c) 35 d) 135 e) 712

16. Un nio reparti 40 dulces entre sus amigos, a Cristian le dio 25 del total, aGonzalo el 25% del resto y a Paola el 50% de lo que le quedaba, con cuntosdulces se qued el nio?


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a) 9 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3

17. Un tubo se parte en cuatro partes iguales, a qu porcentaje del tuboequivale cada parte?

a) 40% b) 33,3% c) 25% d) 20% e) 75%

18. Qu porcentaje es 1/3 de 1/6?

a) 50% b) 100% c) 150% d) 200% e) 400%19. De qu cantidad 80 es el 25 %?a) 160 b) 200 c) 240 d) 320 e) 400

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