47__aplicaciones de Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables

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149http://www.damasorojas.com.veDr.DMASOROJAS

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGA

JOS ANTONIO ANZOTEGUI MATEMTICAS PARA INGENIEROS

APLICACIONESDEMXIMOSYMNIMOSDEFUNCIONESDEDOSVARIABLES(OPTIMIZACIN)

En esta seccin se resolver algunos ejercicios de aplicacin de los criterios de lasderivadas parciales para funciones de dos variables (se debe tomar en cuenta losteoremasrespectivosexplicadosenlaseccinanterior).

Condicionessuficientesparalaexistenciadeextremos.

(a)Casodedosvariables.Sea 0 0( , )P x y unpuntocrticodeunafuncin ( , )z f x y= conlas derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea 0 0( , )H x y eldeterminantedesumatrizHessiana,entonces:

2 20 0 0 02

0 0 2 20 0 0 0

2

( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

f x y f x yx x y

H x yf x y f x yy x y

=

0 0( , )H x y 0 0( , )xxf x y TIPOPositivo Positivo MnimoPositivo Negativo MximoNegativo PuntodesillaCero Duda

Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da 0 0( , )xxf x y , si esnegativamximoysiespositivamnimo).SielHessianoesnegativonohayextremo.YsielHessianoescerohayduda(quehabrqueresolverporotromtodo)

(b)Casodetresomsvariables.Calculamoslossiguientesdeterminantes:

[ ]1 2 3; ; ...xx xy xz

xx xyxx yx yy yz n

yx yyzy zy zz

f f ff f

f f f ff f

f f f

= = =

i. Sitodos losdeterminantestienensignopositivo,entonces la funcintieneunmnimoen 0 0( , )P x y

ii. Si losdeterminantes tienensignoalterno (comenzandoconunvalornegativo0 0( , ) 0xxf x y < ),entonceslafuncintieneunmximoen 0 0( , )P x y

iii. Encualquierotrocasohayduda.

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MnimosyMximosAbsoluto

Enestaseccinsedeseaoptimizarunafuncin,queesidentificarelmnimoabsolutoy/oelmximoabsolutode la funcin,enuna regindeterminadaen 2R .Tengaencuentaque cuandodecimosque vamos a estar trabajando enuna regin en la 2R queremosdecirquevamosaestarmirandoaalgunareginenelplanoxy.

Conelfindeoptimizarunafuncinenunareginquevamosatenerqueconseguirunpardedefinicionesdeunmedioyunhecho.Primerovamosaobtenerlasdefinicionesdeunmedio.

Definiciones

1.Se llamacerradosi incluyesu frontera.Una reginse llamaabierta sino incluyeningnlmitedesuspuntos.

2.Unareginen 2R .Sellamaacotadasisepuedeestarcompletamentecontenidaenundisco.Enotraspalabras,unareginserlimitadasiesfinito.

Pensemosunpocomssobreladefinicindecerrado.Dijimosqueunareginsecierrasi se incluye su frontera. Justo loque significaesto?Pensemosenun rectngulo.Acontinuacinsepresentandosdefinicionesdeunrectngulo,unosecerradoylaotraestabierta.

5 3 5 3: :

1 6 1 6x x

cerrado abiertay y

<

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absolutoy/omximoabsolutosepuedeproducirenelinteriordelareginopuedeocurrirenlafronteradelaregin.

PROCESO BSICO PARA ENCONTRAR EXTREMOS ABSOLUTOS FUNCIONES DE DOSVARIABLES

1.Buscartodos lospuntoscrticosde la funcinqueseencuentranen lareginDydeterminarelvalordelafuncinencadaunodeestospuntos.

2.Buscartodoslosextremosdelafuncinenlafrontera.

3. Losvaloresdemayoramenory seencuentranen losdosprimerospasos sonelmnimoyelmximoabsolutodelafuncin.

EJERCICIOSRESUELTOS.1.Determine lostresnmerospositivoscuyasumasea24demodoquesuproductoseaelmayorposible.

Dejar ,x y y z comolostresnmerospositivoscuyasumaes24.Sea P suproducto.24; 24x y z z x y+ + = = .

Entonces ( ) ( ) 2 2, 24 24P x y xyz xy x y xy x y xy= = = Si 24x o 24y o 0x = 0y = ,entonces 0P .Por lo tantoelmximode P seproduceenunmomentocriticodentrodelcuadrado 0 24,0 24x y .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

2

2

, 24 2 , 0; 24 2 0

, 24 2 , 0; 24 2 0x x

y y

P x y y xy y P x y y x y

P x y x x xy P x y x x y

= = == = =

Porque 0, 0x y> > , el nico punto critico es ( )8,8 que da el mximo absoluto.Entonces 8z = ,yas los tresnmerospositivos son8,8 y8.Alternativamente,verejercicio26.2.Obtengatresnmerospositivoscuyoproductosea24demaneraquesusumasealomspequeaposible.

Supongoquelonmerosnosontodosiguales.Reemplazamoslosmaspequeos,por

ejemplo x , y el mas largo, digamos y de dos nmeros a y xya

con el mismo

producto. Se muestra que la suma se reduce. De hecho

( ) ( )( )2 a x y axy ax ay a xyx y aa a a

+ + + = = .Porque x eselmspequeoy y eselmsgrande,entonces 0a x > y 0y a > .Yaquecadapasointroduceunnuevoplazode a ,en lamayorade n medidasdedisminucindesuma llegamosalcasodetodos lostrminosde igualdad.Enparticular,sielproductodetresnmerospositivosesde24,lasumaporlomenosesquecadanmeroes 3 24 .Paraprobarelteoremadeotros, sustituimos x y y dedosnmeros a y x y a+ con lamisma

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suma y demostrar que el producto se incrementa. De hecho( ) ( )( ) 0a x y a xy a x y a+ = > .

3.Encuentreelpuntodelplano3 2 5x y z+ = queestmscercaalpunto ( )1, 2,3 ,ycalculeladistanciamnima.

Dejar w unidadesde ladistanciadesdeelpunto ( )1, 2,3 aunpunto ( ), ,x y z enelplano 3 2 5; 3 2 5x y z z x y+ = + .Entonces ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 21 2 3 ; 1 2 3 2 8w x y z w x y x y= + + + = + + + + .Porque w serdeunmnimo cuando 2w esunmnimo,buscamoselvalormnimo

absoluto de ( )1, 2,3 . Porque ( ), 100f x y cuando ( ) ( )2 21 2 100x y + + elmnimodebeocurrirenunpuntocrticodentrodelcrculo ( ) ( )2 21 2 100x y + + = .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, 2 1 2 3 2 8 3 20 12 50. , 0;10 6 25

, 2 2 2 3 2 8 2 12 10 28. , 0;6 5 14x x

y y

f x y x x y x y f x y x y

f x y y x y x y f x y x y

= + + = + = + == + + + = + = + =

Elnicopuntocrticoes 41 5,14 7

quedebeserelmnimoabsoluto.Entonces3314

z = .

Por lo tanto, el punto ms cercano en el plano de ( )1, 2,3 es 41 5 33, ,14 7 14

y la

distanciamnimaesde2 2 241 5 33 91 2 3 14

14 7 14 14 + + + = .

4.Determine lospuntosde lasuperficie 2 4y xz = queestnmscercaalorigen,ycalculeladistanciamnima.

Sea F elcuadradodelnmerodeunidadesentreelorigenycualquierpunto ( ), ,x y z enelhiperboloidedeunahoja 2 4y xy = .Ladistanciaesdeunmnimocuando F esun mnimo. Hemos 2 2 2 2 2 4 2 2x yF x y z x z xz F x z F z x= + + = + + + = + = + .Porlotanto, 0x = y 0z = eselnicopuntocrticodelafuncin,ycuando 0x z= = ,quetenemos 4F = .Nosmuestranque2eselvalormnimoabsolutode F .

Considerarunaesferaderadio3,quecruzaelplano xz enuncrculoderadio3.Este

crculoconsuinterioresunconjuntocerradoyacotadode R yas, F tieneunvalor

mnimoabsolutoen R .Porque F tieneelvalor3enellmitede R y3esmayorque

2,entonceselmnimoabsolutode F en R nopuedeocurriren la frontera.Por lo

tanto,elmnimoabsolutode F sobre R debeocurrirenelpunto crtico.Porotra

parte, 3F > entodos lospuntosfuerade R .Porconsiguiente,elpuntocrticodael

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valormnimoabsolutode F paratodoslospuntos.Adems,si 0x = y 0z = ,hemos2 4y = .Por lotanto, ladistanciade2seproduceen lospuntos ( )0,2,0 y ( )0, 2,0 .

Solucinalternativa:

Completarelcuadradode x ,tenemos2

21 3 4 42 4

F x z z = + + +

Ylaigualdadsedasiysolosi 1 02

x z+ = y 0z = ,esdecir,esdecir,siysolosi 0x = y0z = .PorconsiguienteF tieneunvalormnimoabsolutode4cuando 0x = y 0z = .

5.Obtengalospuntosdelacurvadeinterseccindelelipsoide 2 2 24 4 4x y z+ + = yelplano 4 0x y z = queestnmscercadelorigen,ycalculeladistanciamnima.

Sea w unidades de la distancia desde el punto ( ), ,P x y z del elipsoide2 2 24 4 4x y z+ + = al origen. Entonces 2 2 211

4y z x+ = de modo que

2 2 2 2 2 2 21 31 14 4

w x y z x x x = + + = + = + quetieneunvalormnimoabsolutode1cuando porque 0x = . Porque P se encuentra sobre el elipsoide y en el plano

4 0x y z = , nos encontramos con la coordenadas y y z de P resolviendo elsistema 2 2 1,4 0y z y z+ = + = .Entonces 2 2 1 44 ; 16 1; ;

17 17z y y y y z= + = = = m .

Lospuntosson 1 40, ,17 17

y1 40, ,17 17

.6. En una fbrica, los trabajadores se han clasificado endosmaneras: A y B . Los

trabajadorestipo A ganan $14 porjornada,mientrasquelosdeltipo B ganan $13 .

Para alcanzar cierta produccin en una jornada, se ha determinado aumentar los

salariosdelostrabajadores,siseemplean x trabajadoresdeltipo A y y deltipo B ,

encontrar el nmero de dlares del costo de la jornada es 3 2 8 600y x xy+ + .Cuntos trabajadores de cada tipo deben emplearse a fin de que el costo de la

jornada seaunmnimo si se requierenpor lomenos tres trabajadoresde cada tipo

paraunajornada?

3 214 13 8 600, 3, 3,C x y y x xy x y x= + + + + y y enteros.

( ) ( )( )2

2 2

14 2 8 0, 4 7 13 3 8 0

0 3 8 4 7 13 3 32 69 3 23 3 3, 7x yC x y x y C y x

y y y y y y y x

= + = = = + == + = + = = =

o 23 71 2 6 8 12 643 3 xx yy xy

y x C C y C D y= = = = = =

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( ) ( )7,3 18 7,3 24yyC D= = puntodesilla.71 23 71 23, 46 283 3 3 3yy

C D = = ,mnimo relativo.En71 23, 590.23 3

C = y

lascurvasdenivelsonaproximadamente ( )2 2 2 21 2 16 46 8 232z h hk k h hk k= + = + .Elegimos 1z = y completar el cuadrado de h para obtener una representacinparamtrica.Porlotanto ( )2 21 4 7 4 cos

7h k k k sen h k = + = = + .

71 234 cos3 37 7

x sen y sen = + + = + . Vemos que el punto entero mscercano ( )24,8 seencuentra fuera lacurva,pero ( )25,8 seencuentraenel interior.Dehecho, ( )24,8 592C = pero ( )25,8 591C = eselmnimo.

7. Una inyeccin de x miligramos de cierto medicamento A y y miligramos delmedicamento B produceunarespuestade R unidades,y ( )2 3R x y c x y= ,dondec es una constante positiva. Qu dosis de cada medicamento ocasionarn larespuestamxima?

( )2 3 2 3 3 3 2 4 , 0, 0R x y c x y cx y x y x y x y= = . Si , , 0x c y c x = , o 0y = ,entonces 0R .Tanto,elmximoquebuscamoshadeproducirseenunpuntocrticodentrodelcuadrado 0 ,0x c y c .

3 2 3 42 3 2xR cxy x y xy= y 2 2 3 2 2 33 3 4yR cx y x y x y= .( ) ( )3 2 20; 2 3 2 0;3 2 0; 3 3 4 0;3 4 3x yR xy c x y x y c R x y c x y x y c= = + = = = + =

Elnicopuntocrticoescuando 1 13 2

x c y c= = .Porlotanto,larespuestamxima

escuando 13cmg dedroga A y 1

2cmg de B seinyecta.

8. Suponga que t horasdespus de la inyeccin de x miligramos de adrenalina larespuestaesde R unidades,y ( )tR te c x x= ,donde c esunaconstantepositiva.Quvaloresde x y t producirnlarespuestamxima?

Dejar ( ) ( ), tR t x te c x x= . Parcial de diferenciacin, se obtiene( ) ( ) ( ), 1 ttR t x t e c x x= y ( ) ( ), 2txR t x te c x= .Si ( ), 0tR t x = ,entoncesobien

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1, 0t x= = o x c= . Si ( ), 0xR t x = , entonces o bien 0t = o 12x c= . Los puntoscrticosson ( ) ( )0,0 , 0,c ,y 11,

2c .

Eldominiode R eselconjuntocerrado,perosonlmites ( ){ }, : 0,0t x t x c .Para demostrar que 1 2 21 11, 0.09

2 4R c e c c = es un valor mximo absoluto,

considerelacerradayacotada ( ){ }, : 0 2,0D t x t x c= .En los tres lados de la frontera 0, 0t x= = , y x c= tiene el valor 0. Porque( ) 221 1

4 2c x x c x c = a continuacin, en el lado 2t = , hemos

( ) ( )2 2 2 21 12, 2 0.07 1,2 2

R x c c x x c c c R c = < .Por lo tanto R tieneunvalormximoabsolutoen D quedebeocurrirenelpuntocrtico interior.Adems,porque ( ) ( )1 0t ttD te t e = < para 1x > ,entonces tte esdecrecientepara 1t > .Por lotanto,paracualquierpunto ( ),t x fuerade D tenemos( ) ( ) ( ) ( )2, 2 2,tR t x te c x x e c x x R x = < < .

Porlotantoelmximoabsolutoen D esunmximoabsolutodetodoeldominiode

R .Porlotanto,lamximarespuestaseproducecuando 1t = y 12

x c= .Alternativamente ( ) ( ) ( ),R t x g t h x= , donde ( ) , 0tg t te t= y( ) ( ) ,0h x c x x x c= .Porque g y h sonpositivos,maximizamoscadafuncinpor

separado.( ) ( )1 tg t t e =

Porque ( ) 0g t > donde 0 1t < y ( ) 0g t < si 1t > , entonces g tiene un valormximoabsolutocuando 1t = .

( ) 2h x c x = Porque ( ) 0h x > si 10

2x c < y ( ) 0h x < si 1

2c x c< ,entonces h tieneunvalor

mximoabsolutocuando 12

x c= .As, R tieneunvalormximoabsolutocuando 1t = y 1

2x c= .

9.Calculeelvolumendelmayorparaleleppedorectangularquepuedainscribirseenelelipsoide 2 2 236 9 4 36x y z+ + = si las aristas deben ser paralelas a los ejescoordenados.

Dejar 2 , 2wl y 2h el nmero de unidades de la longitud, anchura y altura,respectivamente,delparaleleppedo P .Continuacin,eneloctanteelvrticede P esta en ( ), ,w hl . Desde este punto es en el elipsoide

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( )2 2 2 2 2 2936 9 4 36; 4 44h h + + = = l l .SiV unidadescbicaseselvolumendeP ,entonces ( )( )( )2 2 2 8V h h = =l l .Dejar( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4, 64 144 4 4 144 4 4f V h = = = = l l l l l l l

El dominio de f es la regin cerrado y acotado por el circulo 2 24 4+ =l , y( ), 0f =l enlafrontera.Tantoelmximoquebuscamoshadeocurrirenuninterior

depuntoscrticos.

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 4 2 4 2 2, 144 8 16 2 , 144 8 8 4f f = = l l l l l l l l l ( ) ( )2 2 2 2 2, 0 288 4 8 0 8 4f = = + =l l l l l ( 0=l o 0 = daunpunto

frontera) ( ) ( )2 2 2 2 2, 0 576 2 2 0 2 2f = = + =l l l l Por lo tanto2 1

3=l y 2 4

3 = .Elnicopuntocrtico,ypor lo tantoelvalormximoabsoluto,es

cuando 13

=l y 23

= . Entonces 2 9 4 44 3; 34 3 3

h h = = = y el volumen

mximo es ( )1 2 16 168 3 333 3 3 = = . Como alternativa, porque la suma2 2 236 9 4h+ +l esunaconstante,elproducto ( )( )( )2 2 2 281 36 9 44 V h= l esmayor

cuando las condiciones son iguales, y as2 2 2 1 236 9 4 12 , , 3

3 3h h = = = = = =l l .

10. Seelaborauna caja rectangular sin tapa conun costodematerialde $10 .Siel

materialparaelfondodelacajacuesta $0.15 porpiecuadradoyelmaterialparalos

ladoscuesta $0.30 porpiecuadrado,determine lasdimensionesde lacajademayor

volumenquepuedaelaborarse.

Dejar ,pie piel ,y h pie la longitud,anchurayalturadelpiso,de lacaja 3V pie elvolumen. Entonces ( ).15 30 2 2 10,3 12 12 200h h h h + + = + + =l l l l . Porque lasuma es constante, el producto ( )( )( )2432 3 12 12V h h = l l es mayor cuando

32 2 2200 200 5003 12 12 432 2

3 3 2710 52 23 6

h h h h

h hh

= = = = = = = = =

l l l l

l ll l

11.Seconstruyeunacajarectangularcerradaconunvolumende 310pie empleando

trestiposdemateriales.Elcostodelmaterialparaelfondoylatapaesde $0.18 por

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piecuadrado,elcostodelmaterialparaelfrenteylapartetraseraesde $0.16 porpie

cuadrado, y el costo del material para los otros dos lados es de $0.12 por pie

cuadrado.Calcule lasdimensionesde lacajademodoqueelcostode losmateriales

seaunmnimo.

Dejar ,pie piel y h pie la longitud,anchurayaltura, respectivamente,de la caja.Que centavos C es el costo de los materiales. Entonces 1616h h = =l l y

256 19218 16 12 18C h h = + + = + +l l l l . Si 1000l y 0.1 o 0.1l y1000 ,entonces ( )( )18 1000 0.1 1800C = .Si 0.1l ,entonces ( )

256 25600.1

C = ;

si 1 ,entonces ( )192 19200.1

C = .Porlotanto,elvalormnimoabsolutodeC debeocurrirenunmomentocrticoenelinteriordelaplaza 0.1 1000,0.1 1000 l .

223

2 2 2

256 64 192 9 51218 0 18 0 18 19264 279

C C = = = = = =

ll l ll l l

El nico punto crtico, y por lo tanto el valormnimo absoluto, es cuando 83

=l y2 = .Entonces 3h = y 288C = .

12.SupongaqueT gradoseslatemperaturaencualquierpunto ( ), ,x y z delaesfera

2 2 2 4x y z+ + = ,y 2100T xy z= .Obtengalospuntosdelaesferadondelatemperaturaeslamximaytambinlospuntosdondeesmnima.Adems,calculelatemperaturaenestospuntos.

Porque 2 2 24y x z= esunafuncinde x y z ( ) ( )2 2 2 2, 100 4 4T x z xz x z x z= + (1)

As: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 100 2 4 100 3 4xT x z xz x z x z z x z = + = + y( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2, 100 2 4 100 3 4zT x z xz z x x z z z x = + = + .

Si ( ), 0xT x z = y ( ), 0zT x z = ,hemos ( )2 23 4 0z x z+ = (2)( )2 23 4 0x z z+ = (3)

Si 0z = ,continuacindelaecuacin(3)obtenemos 0x = o 2z = Si 0x = ,continuacindelaecuacin(2)obtenemos 0z = o 2z = Si 0x y 0z ,entoncesobtenemos 2 23 4 0x z+ = y 2 23 4 0z x+ = (4)Lassolucionesde laecuacin (4)son 1x = y 1z = .Usamos (1)paraencontrarelvalordeT encadapuntocrtico.

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Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 0 0,2 0 0, 2 0 2,0 0 2,0 0T T T T T= = = = = y( ) ( ) ( ) ( )1,1 1, 1 200 1, 1 1,1 200T T T T= = = = .

Porque 2 2 4x z+ esunconjuntocerradoyacotadoyT tieneelvalor0enellmite,elmximoabsolutoyelmnimode T seencuentranen lospuntoscrticos.Adems

2 2y = cuando 1x = y 1z = .Por lotanto,200gradoses lamayortemperatura,yesta temperatura se produce en los puntos ( )1, 2,1 y ( )1, 2, 1 . La menortemperatura es 200 grados, que se produce en los puntos ( )1, 2, 1 y( )1, 2,1 .Alternativamente,losextremosdelaT seproduceenelmximode 2T .

( ) ( )2 2 2 2 22500 2 2T x y y x= Porquelasumadelosfactores 2 2 2 22 2 8x y y z+ + + = eslams grande una constante, el producto es cuando los factores son iguales, que es

cuando ( )2 2 2 12 2 8 2 1, 2, 14

x y z x y z= = = = = = = que conduce a lamismaconclusin.13.Supongaqueenlaproduccindeciertoartculoserequieren x horasmquinayy horas persona, y que el costo de produccin est dado por ( ),f x y , donde( ) 3 2, 2 6 500f x y x xy y= + + .Determinelosnmerosdehorasmquinaydehoras

personanecesariosparaproducirelartculoalcostomnimo.

Cuando la produccin de la mercanca requiere x horas mquinas y y horas persona, el costo de produccin est dada por( ) 3 2, 2 6 500 0, 0f x y x xy y x y= + + .( ) 2 2, 6 6 0;xf x y x y y x= = = y ( ) 2, 6 2 0; 6 2 0; 0,3yf x y x y x x x= + = + = =

Los puntos crticos son ( )0,0 y ( ) ( )3,9 . 0,0 500f = y ( )3,9 473f = . Ahora( ) ( ) ( )22, 2 9 3 500f x y z x x y= + + . S ( ) ( )10, , 100 11 500 1600 473x f x y + = > ;

si 0 10x y 60y entonces ( ) ( ) ( )2, 9 100 30 500 500 473f x y + + = > . Por lotanto, el mnimo absoluto debe ocurrir en un punto crtico dentro del rectngulo0 10,0 60x y ,esdecir,en ( )3,9 .14.Una tiendade ropa vende dos tipos de camisaque son similares pero que sonelaboradaspordiferentes fabricantes.Elcostode latiendaparaelprimertipoesde$40 y el costo del segundo tipo es de $50 . Por medio de la experiencia, se hadeterminadoquesielpreciodeventadelprimertipoesde x dlaresyelpreciodeventaparaelsegundotipoesde y dlares,entonceselnmerodecamisasdelprimertipoquesevendenmensualmentees 3200 50 25x y + ,yeldelasdelsegundotipoes25 25x y .Culdebeserelpreciodeventadecadatipodecamisaafindeobtenerlamximautilidad?

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Losbeneficiossonlaunidad 40x y 50 .( )( ) ( )( ) 2

2

40 3200 50 25 50 25 25 3950 250 50 50

25 128,000 3950 100 50 0 250 50 50 0

4200 50 0, 84 2 4450 50 0, 89

100 50 50 2500 0

x y

x y x y

xx yy xy

P x x y y x y x y x xy

y P x y P x yP P x x P P y yP P P D

= + + = + + = + = = + =

+ = = = + = = == = = = >

El punto crtico es unmximo relativo. Ya que P es una cudrica. Tambin es unmximoabsoluto,vender laprimera $84 ,el segundoen $89 paraunagananciade$49.025 .15.Undecorador,quienesunmonopolista,hacedostiposdemarcosparapinturas.Pormediodelaexperiencia,eldecoradorhadeterminadoquesielabora x marcosdelprimer tipo y y marcos del segundo tipo y los pone a la venta en una sala de

exhibicin, pueden venderse por ( )100 2x dlares y ( )120 3y dlares cada uno,respectivamente. El costo totalde fabricacinde estosmarcos es ( )12 12 4x y xy+ + dlares.Cuntosmarcosdecadatipodebeproducirparaobtenerlamximautilidad,yculesesautilidad?

( ) ( ) ( )

( )

2 2100 2 120 3 12 12 4 2 4 3 88 1084 4 88 0 4 6 108 0 3 2 4 48 0, 12

2 20 0, 10 4 4 8 12,10x y x y

x y yy yy

P R C x x y y x y xy x xy y x yP x y P x y P P x x

P P y y P P D

= = + + + = + += + = = + = = + = = = = = = = =

Es un mximo relativo, ya que P es una cudrica, es un mximo absoluto.( )12,10 1064P = .Producir12detipo1,10detipo2,conunagananciade $1064 .

16.Demuestrequelacajarectangulardemayorvolumenquepuedecolocarsedentrodeunaesferatienelaformadeuncubo.

Dejar ( )12,10 1064P = unidadesqueeldimetrodelaesfera,donde ( )12,10 1064P = esunaconstante.Suponemosqueelcuadroesunslidorectangularyquelacajaconmayorvolumenseinscribeeslaesfera.Silosladosdelacajatienenunalongitud ,x y y z unidades,yelvolumenesV unidadescbicas,acontinuacin v xyz= .Porqueelcuadroseinscribeenlaesfera,unadiagonaldelacajaesdeundimetrodelaesfera.Por lo tanto 2 2 2 2x y z a+ + = . Eliminamos la variable z . Entonces

( )2 2 2 2 2 2 2 2 2V x y z x y a x y= = . Dejar f la funcin definida por( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4,f x y x y a x y a x y x y x y= = y el valor mximo de V se

produceenelpuntodonde f tieneunvalormximo.Paraencontrarelpuntocrticode f fijamosderivadasparcialesigualesa0.As,

( ) 2 2 3 2 4, 2 4 2 0xf x y a xy x y xy= = (1)( ) 2 2 4 2 3, 2 2 4 0yf x y a x y x y x y= = (2)

www.

.com

Matem

atica

1




Eliminamos a delaecuacindelsistemaen(1)y(2).Porque 0x y 0y ,dividimoslaecuacin(1)por y yecuacin(2)por x .Estosetraduceen

2 3 32 4 2 0a xy x y xy = (3)2 3 32 2 4 0a xy x y xy = (4)

Restando laecuacin (4)de laecuacin (3),tenemos 3 32 2 0x y xy + = .Dividiendoaambos lados por 2xy , obtenemos 2 2 2 20x y y x y x + = = = . Sustituyendoy x= enlaecuacin(1),tenemos

2 3 5 5 3 2 1 12 4 2 0 2 6 3 33 3

a x x x a x x a y a = = = = . Se muestra que61 1 13 , 3

3 3 27f a a a = esunvalormximoabsoluto.Debidoaqueeldominode f eselcerradoyacotadoens 2 2 2x y a+ y f tieneelvalor0enlafrontera,entoncesf tiene un valor mximo que debe ocurrir en el punto crtico interior. Porque

2 2 2 2x y z a+ + = ,acontinuacin,sustituyendo losvaloresencontradospara x y y ,obtenemos 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1

3 3 3z a x y a a a a= = = .Por lo tanto 1 3

3x a= .Por lo

tanto x y z= = y concluimosqueV tieneunvolumenmximo si lacajaesten laformadeuncubo.Comoalternativa,porquelasumadelosfactoresde 2 2 2 2V x y z= eslaconstante 2 2 2 2x y z a+ + = elproductoesmayor,cuando losfactoresson iguales,por lotanto, x y z= = yconcluimosqueV tieneunvolumenmximosi lacajaestaenformadeuncubo.17. Se elaborauna caja sin tapa conuna cantidaddematerialdada.Determine lasdimensionesrelativasdelacajaquecontengaelmayorvolumenposible.

Dejar ,wl y h elnmerodeunidadesdelalongitud,anchurayalturadelacaja.Sea S unidadescuadradasquesusuperficie( S esunaconstante)yV unidadescubicassuvolumen.

( ) ( )( )

2 2

2 2 2 32

2 2 , 0, 02 2

2 0 2 02

S w S w wS w h wh h V wh ww w

V Sw w w S ww

= + + = = = > >+ + = = = +

l l ll l l ll ll l l ll l

y ( )2 2 2 3

22

2 0 2 02

V S w w S w ww w

= = = +l l l l

l. Restando, se obtiene

2 2w w= =l l y as ,3 3S S

es el nico punto crtico. Entonces12 3

Sh = y321

2 3SV = . Si 10 Sl y 0.1w S o 0.1 Sl y 10w S , entonces

www.

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Matem

atica

1




( )( ) 02

w S wV

w= +

l ll . Si

( ) 3 320.1 10.12 20 2 3

S S S Sw S V = < l

l y lo mismo si

0.1 Sl . Por lo tanto, el volumenmximo absoluto se produce en unmomentocrticodentrodelcuadrado 0.1 10 0.1 10S S S w S l .Esdecir,cuando

1: : 1:1:2

w h =l .Comoalternativa,porquelasuma 2 2w h wh+ +l l esunaconstante,elproducto ( )( )( )24 2 2V w h wh= l l esmayorcuandolascondicionessoniguales.Porlotanto 1 2 22 2 : : 2 : 2 :1w h wh w h

h w= = = = =l l ll .

18.Unmonopolistaproduceengrapadorasygrapascuyasecuacionesdedemandason

11 2 2x p q= y 19 2 3y p q= ,dondelademandadeengrapadorases1000x sielpreciounitarioes p dlares,y lademandadegrapasesde 1000y cajassielpreciounitarioporcajaes q dlares.Elcostodeproduccindecadaengrapadoraesde $2 ,yeldecadacajadegrapasesde $1 .Demuestrequeparaobtener lamximautilidadtotal,lasengrapadorasdebensergratuitasylasgrapasdebensercostosas.

Centrodeactividad:

( )( ) ( )( ) 2 22, 12 11 2 2 1 19 2 3 17 26 2 4 3 41

117 4 4 0 26 4 6 0 2 1 4 0,4

99 2 0,2

P q P q

p q

p q Pp p q q p q p q p pq q

P p q P p q P P p p

P P q q

+ = + = = = = = = =

= + = =

Porqueelnicopuntocrticonoesteneldominio,elmximoesen la frontera.Si2 13 460 26 3 41 26 6 0

3 3p P q q P q q P= = = = = = .S 20 17 2 41 0q p p= . Por lo tanto, el mximo beneficio se produce si lasgrapadorassonlibresyunacajadegrapassevendepor $4.33 .Nota:SerecomiendaconsultarelarchivodeoptimizacinlocalizadoenelenlacedeTRAYECTOIMECANICAMANTENIMIENTO,TRIMESTREII.

DMASOROJASFEBRERO2012

47__aplicaciones de Máximos y Mínimos de Funciones de Dos Variables

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