4_ecuaciones_inecuaciones_sistemas.pdf

ANTES DE COMENZAR RECUERDA

Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.

a) El doble de un nmero menos 9.

b) La tercera parte de un nmero ms 8.

c) El cuadrado del triple de un nmero.

d) El triple del doble de un nmero.

e) La cuarta parte de un nmero ms 6.

a) 2x 9 c) (3x)2

d) 3 2x

Clasifica estas igualdades algebraicas.

La expresin corresponde a una identidad.

La expresin es una ecuacin.

Representa estas rectas.

a) y = x 2 b) y = x + 1 c) 2x y = 3

Y

1

1

X

b)

Y

1

1

X

c)Y

1

1

X

a)

003

b) x = +

0 0 6 0

1

20 2 0 32

x = +

=

3 3 3 3

1

23 3

7

232 2 2

a) x = +

=

0 0 3 0

1

20 0

7

202 2 2

b) x x x x +

= 6

1

22 3a) x x x x x2 2 23

1

2

7

2+

=

002

b)x

38+

e)x

46+

001

4SOLUCIONARIO

119

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120

Ecuaciones, inecuaciones y sistemas

Indica los elementos de esta ecuacin: (x + 2) (x 5) + 2 = 7 x2

Trminos: x2; 3x; 8; 7; x2

Primer miembro: (x + 2) (x 5) + 2

Multiplicando el primer miembro: x2 3x 8

Segundo miembro: 7 x2

Incgnita: x

Grado: 2

Soluciones: x1 = 2,09; x2 = 3,59

Cules de los siguientes valores son soluciones de la ecuacin ?

a) x = 1b) x = 5c) x = 2d) x = 2

La solucin de la ecuacin es la del apartado d), x = 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones.

d) 32

34 2 1

4

72 4 21x x

xx x

+ =

+ + ( ) ( ) 114 56 28

4 14 561

9

+ =

= + =

x

x x x

c)4 3

2

5 8

66 3 2 12 36 5 40

36

( ) ( )( )

x xx x x

+= + =

=

xx x+ = 108 12172

29

b)3 2

22 1 0 3 6 4 2 0 4

( )( )

xx x x x

= + = =

a)2 1

3

1

7 228 14 6 6 21 8

x x xx x x x

= + = =

d) 4(2 2(32

31

4

74x x

xx

+ =

+ +) )

c)4( 3) 5( 8)

6( 3)x x

x

+

= + 2 6

2

b)3( 2)

(2x

x

=2

1 0)

a)2x x x

=1

3

1

7 2

006

x x+ = 43

1

2

5

2005

004

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121

ACTIVIDADES

Clasifica y resuelve estas ecuaciones de segundo grado.

a) x2 10x + 21 = 0 f) 3x2 18x = 0b) 3x2 + 20x + 12 = 0 g) 4x2 36 = 0c) 3x2 + 9x 4 = 0 h) 8x2 + 40 = 0d) 4x2 12x + 9 = 0 i) 5x2 + 30x = 0e) 2x2 + 5x 8 = 0 j) 3x2 = 2x2

a) Ecuacin completa:

b) Ecuacin completa:

c) Ecuacin completa:

d) Ecuacin completa:

e) Ecuacin completa:

No tiene soluciones reales.

f ) Ecuacin incompleta: 3x2 18x = 0 3x(x 6) = 0 x1 = 0 x2 = 6

g) Ecuacin incompleta: 4x2 36 = 0 x = x1 = 3 x2 = 3

h) Ecuacin incompleta: 8x2 + 40 = 0 x =

i) Ecuacin incompleta: 5x2 + 30x = 0 5x(x + 6) = 0 x1 = 0 x2 = 6

j) Ecuacin incompleta: 3x2 = 2x2 x2 = 0 x = 0

5

9

+ = =

=

2 5 8 0

5 5 4 2 8

2 2

522

x x x x ( ) ( )

( )

39

4

4 12 9 012 12 4 4 9

2 412

8

22

x x x

x

+ = =

= =

( ) ( )

33

2

3 9 4 09 9 4 3 4

2 3

9 129

6

22

1

x x x

xx

+ = =

=

( )

== +

=

=

=

9 1296

9 1296

3 392

0,39

x ,

3 20 12 020 20 4 3 12

2 3

20 16

6

22

x x x

x

+ + = =

=

xx

x

1

2

2

36

=

=

x x x

x

22

10 21 010 10 4 1 21

2 110

+ = =

=

( ) ( )

44

2

712

xx

==

3

001

4SOLUCIONARIO

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122

Resuelve estas ecuaciones.

a) 3(x2 1) + 2(x 5) 20 = 0b) (2 x)(5x + 1) (3 + x)(x 1) + 8x215x + 3 = 0c) (x + 2)(x 3) x(2x + 1) + 6x = 0d) 3x(x 2) + 2(1 + 9x) 2 = 3x(x + 4)e) (2 x)(2x + 2) 4(x 3) 5x = 0

a) 3(x2 1) + 2(x 5) 20 = 0 3x2 + 2x 33 = 0

b) (2 x)(5x + 1) (3 + x)(x 1) + 8x2 15x + 3 = 0

c) (x + 2)(x 3) x(2x + 1) + 6x = 0 x2 + 4x 6 = 0

No tiene solucin real.

d) 3x(x 2) + 2(1 + 9x) 2 = 3x(x + 4)

0 = 0 No es una ecuacin, es una identidad.

e) (2 x)(2x + 2) 4(x 3) 5x = 0 2x2 7x + 16 = 0

Determina, sin resolver la ecuacin, el nmero de soluciones que tiene.

a) 2x2 + 5x 8 = 0 d) 2x2 x 3 = 0b) 9x2 + 30x + 25 = 0 e) x2 + 9x 2 = 0c) 5x2 + 9x 6 = 0 f) 0,34x2 + 0,5x 1 = 0

Calculamos el discriminante:

a) = b2 4ac = 52 4 (2) (8) = 39 < 0. No tiene solucin real.

b) = b2 4ac = 302 4 9 25 = 0. Tiene una solucin.

c) = b2 4ac = 92 4 (5) (6) = 39 < 0. No tiene solucin real.

d) = b2 4ac = (1)2 4 2 (3) = 25 > 0. Tiene dos soluciones.

e) = b2 4ac = 92 4 (1) (2) = 73 > 0. Tiene dos soluciones.

f ) = b2 4ac = 0,52 4 0,34 (1) = 1,61 > 0. Tiene dos soluciones.

003

x

x

1

2

7 177

41 58

7 177

45 08

= +

=

=

=

,

,

x =

=

( ) ( ) ( )

( )

7 7 4 2 16

2 2

7 177

4

2

x =

=

( ) ( )4 4 4 1 6

2 1

4 8

2

2

2 8 8 08 64 64

422x x + =

=

x x

x=

=

=

=

2 2 4 3 33

2 3

2 20

6

11

33

21

2

( )

002


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123

Cuntas soluciones pueden tener estas ecuaciones bicuadradas? Resulvelas.

a) 4x4 37x2 + 9 = 0 c) 25x2(x2 1) + 11(x4 + 1) 7 = 0b) x2(x2 1) = 16(x2 1)

Como las ecuaciones son de cuarto grado, pueden tener un mximo de cuatrosoluciones.

a) 4x4 37x2 + 9 = 0 z = x2

4z2 37z + 9 = 0

z1 = 9 x1 = 3 x2 = 3

z2 = x3 = x4 =

b) x2(x2 1) = 16(x2 1) x4 17x2 + 16 = 0 z = x2

z2 17z + 16 = 0

z1 = 1 x1 = 1 x2 = 1z2 = 16 x3 = 4 x4 = 4

c) 25x2(x2 1) + 11(x4 + 1) 7 = 0 36x4 25x2 + 4 = 0 z = x

2

36z2 25z + 4 = 0

z1 = x1 = x2 =

z2 = x3 = x4 =

Halla la solucin de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.

z1 = 1 No tiene solucin real.z2 = 4 x1 = 2 x2 = 2

zzz

=

=

= =

3 3 4 1 4

2 1

3 5

2

14

21

2

( )

( )

b)4 3

0 3 4 0 3 4 04

2

2

4 22

2

x

x

xx x z z

z x+

= + + = + + =

=

xxx

=

=

==

( ) ( ) ( )1 1 4 1 6

2 1

1 5

2

32

21

2

a) xx

x

xx x+

+=

+

+ =

1

1

2 7

16 02

b)4 3

04

2

2x

x

x+ =a)

2x

x

x

x+

+=

++

1

1

7

1

005

2

3

2

3

4

9

1

2

1

2

1

4

zz

z=

= =

=

( ) ( )25 25 4 36 4

2 36

25 7

72

1

44

2 1

2

99

zzz

=

=

==

( ) ( )17 17 4 1 16

2 1

17 15

2

116

21

2

1

2

1

2

1

4

zz

z=

=

=

=

( ) ( )37 37 4 4 9

2 4

37 35

8

91

4

2 1

2

004

4SOLUCIONARIO

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124

Resuelve estas ecuaciones con radicales.

La solucin es x = 5.

z = x2

z2 11z + 18 = 0

z1 = 9 x1 = 3 x2 = 3z2 = 2 x3 = x4 =

Las soluciones son x1 = 3 y x2 = 3.



Estas ecuaciones aparecen factorizadas. Encuentra su solucin.

a) 3(x 1)(x + 2)(x 4) = 0 d) 2x2(x 3)2(3x + 4) = 0b) x(x 2)(x + 3)(x 12) = 0 e) 5x(x 1)2(2x + 7)3 = 0c) (2x 1)(4x + 3)(x 2) = 0

a) x1 = 1 x2 = 2 x3 = 4 d) x1 = 0 x2 = 3 x3 =

b) x1 = 0 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 12 e) x1 = 0 x2 = 1 x3 =

c) x1 = x2 = x3 = 23

4

1

2

7

2

4

3

007

x x=

=

( ) ( )249 249 4 64 171

2 64

249 135

256

2

11

2

57

643

=

=

x

d) 2 1 3 4 3 5 0 2 1 3 4 3 5

6 32

2 2x x x x

x

+ + = + =

( ) ( )

( )22 2 230 4 3 64 249 171 0= + =( )x x x

x x

x=

=

=

=

( ) ( )9 9 4 2 4

2 2

9 7

4

1

24

21

2

c) x x x x x x x xx x

+ + = + + + + + = ++ =

12 8 4 2 12 12 8 44 48 3

2

2

66 96 64 2 9 4 02 2x x x x + + =

22

zzz

=

=

==

( ) ( )11 11 4 1 18

2 1

11 7

2

92

21

2

b) x x x x x x x2 2 4 2 2 4 23 2 4 8 16 3 2 11 18 0 = + = + =

xx=

=

=( ) ( ) .226 226 4 1 1 105

2 1

226 216

2

21

552212x =

a) x x x x x

x

+ + = = + + +

=

4 2 1 6 2 1 4 12 4 36

41 122

( ) ( xx x x+ + =4 226 1 105 02 2) .

d) 42 1 3 3 5 0x x+ + =b) 3x x2 2 2 4 =

c) 8x x x+ + = +12 4a) 2x x+ + =4 1 6

006


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125

Factoriza las ecuaciones y resulvelas.

a) x4 2x3 13x2 + 38x 24 = 0b) x5 6x4 + 10x3 6x2 + 9x = 0c) x4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0

a) (x 1)(x 2)(x 3)(x + 4) = 0x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = 4

b) x(x 3)2(x2 + 1) = 0x1 = 0 x2 = 3

c) (x + 4)2(x2 + 1) = 0x = 4

Escribe una ecuacin que tenga como soluciones: x = 3, x = 2 y x = 7.Cul es el mnimo grado que puede tener?

Respuesta abierta.

(x 3)(x 2)(x + 7) = 0

El mnimo grado que puede tener es 3.

Resuelve estos sistemas de ecuaciones.

Escoge el mtodo que consideres ms adecuado.

a) Resolvemos el sistema por sustitucin:

b) Resolvemos el sistema por reduccin:

Sumamos las ecuaciones:

Sustituimos en una de las ecuaciones:

5p p+

= =21

21

2

5

= =

= =

15 6 315 10 11

16 81

2

p qp q

q q

5 2 115 10 11

15 6 315 1

3p qp q

p qp

+ = =

=

00 11q =

63

29 6

1

3

31

32

1

2

= = =

=

yy y x

4 6 06 9 6

3

2

x yx y

xy+ =

=

=

b) 5 215 10

p qp q

+ = =

111

a) 4 66 9

x yx y

+ = =

06

010

009

008

4SOLUCIONARIO

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126

Halla las soluciones de estos sistemas.


Resolvemos por reduccin:


2x + 3 = 2 x =

Resolvemos por reduccin:


5x + 6 8 = 58 x = 2

Clasifica estos sistemas de ecuaciones, y resulvelos por el mtodo ms adecuado.

Sistema compatible indeterminado: y = 4x 2.

b) Resolvemos el sistema por reduccin:


Sistema compatible determinado.

p p = =16

71

23

7

p qp q

p qp q

+ = =

= =

2 1

3 113 6 33 11

3

( )

=

= 7 88

7q q

a) 8 2 412 3 6

4 2x yx y

y x =

+ =

=

b) 23

p qp q

+ = =

1112

a) 8 212 3

x yx y

= + =

46

012

5 6 583 4 26

15 18 17435

x yx y

x y+ = + =

+ =

+ =

=

=15 20 130

38 304 8x y

y y

b)x y

x y

x

+

=

+ + =

+5

3

2 1

52

3 2 4 1 36

5

( ) ( )

66 583 4 26

yx y

= + =

1

2

+ = =

= =

2 22 5 14

4 12 3

x yx y

y y

3 2 1 6 4 153 2 6 4

( ) ( )( )

x y x yx y x y

+ = + + + =

+ =

=

2 22 5 14

x yx y

b)2

3(2 4(

x y

x y

+ =

+ + =

5

3

1

52

1 36) )

a) 3(2 6(43( 2

x y x yx y x y

+ = + + + =

1 156 4

) ))

011


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127

Decide de qu tipo son estos sistemas de ecuaciones, y representa grficamente su solucin.

a) Sistema incompatible. b) Sistema compatible determinado.

Expresa en forma de ecuacin.

a) La diferencia de dos nmeros es 10.

b) El doble de la suma de dos nmeros es 36.

c) La suma de dos nmeros es igual a su producto.

a) x y = 10 b) 2(x + y ) = 36 c) x + y = x y

La suma de las edades de Fernando y su padre es 40 aos. Adems, la edad del padrees 7 veces la edad del hijo. Qu edades tienen ambos?

Llamamos x a la edad de Fernando e y a la de su padre.

x 7x 40 x 5, y 35

Fernando tiene 5 aos y su padre, 35 aos.

Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos, y por cada fallo le quitan 1 punto. Si la calificacin final fue de 8 puntos, cuntos aciertos y fallos tuvo?

Llamamos x al nmero de aciertos e y al de fallos.

x 10 y

2(10 y) y 8 20 2y y 8 y 4, x 6

Tuvo 6 aciertos y 4 fallos.

En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el nmero de camas es 195, cuntas habitaciones son de cada tipo?

Llamamos x al nmero de habitaciones dobles e y al de individuales.

x 120 y

2(120 y) + y 195 240 2y y 195 y 45, x 75

Son 75 habitaciones dobles y 45 Individuales.

x yx y

+ =+ =

1202 195

017

x yx y

+ = =

102 8

016

x yy x

+ ==

407

015

014

Y

X1

1

Y

X0,3

0,3

b) 21 1412 81

a ba b

= + =

3520

a) 12 98 6

+ = =

x yx y

20

013

4SOLUCIONARIO

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128

Resuelve estos sistemas.

Resuelve los sistemas.



Sustituimos en la ecuacin:

x1 = 20 11 = 9x2 = 20 9 = 11

( )20 202 20 99 0 119

2 2 2 1

2 + = + = =

=

y y y yyy

x yx y

x y2 2 202

2020+ =

+ =

=

b)2

x xyx y

2 2413

+ =+ =

a) x yx y

2 2 20220

+ =+ =

020

b) x y zx y z

x y z

E =+ =

+ + =

2 82 3 11

2 3 522 2 1

3 3 1

22 8

3 53 5

=

=

+ =+ =

+ =

E E

E E E

x y zy z

y z 33

2 83 5

4 23 3 2

+ =+ =

=

= E E E

x y zy z

z

=

=

=

x

y

z

43

611

61

2

a) x y zx y

x y zE E

+ + = =

+ =

=

23 1

5 7 3 33 3

++ =

+ + = =

+ =

3 1 3

23 1

8 10 9E E

x y zx y

x y EE E

x y zx y

x

x

y3 210

23 1

38 19

1

2+

+ + = =

=

=

= 11

21z =

b) x y zx y z

x y z

=+ =

+ + =

2 82 3 11

2 3 5

a) x y zx y

x y z

+ + = =

+ =

23 1

5 7 3 3

019

b) x y zx y zx y z

+ + =+ =+ + =

2 02 5 6 03 4 0

EE E E

E E E

x y zy z

y

2 2 1

3 3 1

2

3

2 03 10 0

5

=

=

+ + = =

zz

x y zy zE E E

=

+ + = == +

0

2 03 10

3 3 23

005 0

000z

xyz=

===

a) x yx yx y

E E =

+ =+ =

= 3

3 2 192 3 16

2 2

33

21

3 3 1

35 105 10

E

E E E

x yyy

x

=

===

===

52y

b) x y zx y zx y z

+ + =+ =+ + =

2 02 5 6 03 4 0

a) x yx yx y

=+ =+ =

33 2 192 3 16

018


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 128

129

b) Resolvemos el sistema por sustitucin:

(13 2y)2 + (13 2y)y = 24 2y2 39y + 145 = 0

Sustituimos en la ecuacin:

x1 = 13 2 5 = 3 x2 = 13 2 = 16

Calcula dos nmeros, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es .

Planteamos el sistema de ecuaciones:

Resolvemos el sistema por sustitucin:

72y + 72(42 y) = 7(42 y)y y2 42y + 432 = 0

x1 = 42 18 = 24x2 = 42 24 = 18Los nmeros pedidos son 18 y 24.

Resuelve la siguiente inecuacin:

Razona los pasos realizados para resolverla.

Resolvemos la ecuacin: x 4 = 3x + 1 x = 2

Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:x = 4 de (, 2) x = 0 de (2, +)

Comprobamos si esos puntos son soluciones:

Si x = 4 (, 2) es solucin.

Si x = 0 4 1 (2, +) no es solucin.

Comprobamos si el extremo es solucin:

Si x = 2 x = 2 es solucin.

Por tanto, la solucin de la inecuacin es el intervalo (, 2].

Encuentra el error cometido en la resolucin de esta inecuacin.

2x 8x 126x 12 6x 12 x 2 (, 2)

Al pasar del segundo al tercer paso, se ha multiplicado la ecuacin por 1, y se debera haber cambiado el sentido de la desigualdad, por las relaciones de orden que cumplen los nmeros reales.

023

=

+ = 52

24 3 2 1 5( )

=

+ = 64

24 3 4 1 11( )

1

2

1

24 1x x +3022

yy

1

2

1824

==

x y

x y

x yy x x

+ =

+ =

= + =

421 1 7

72

4272 72 7

yy

7

72021

29

2

y

y

1

2

529

2

=

=

x xyx y

x y2 24

2 1313 2+ =

+ =

=

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 129

130

Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incgnita.

a) x2 3x + 2 0 f) (x 3)(x + 4) 0b) x2 3x + 2 0 g) (x + 3)x 0 h) x2 30 >xd) x2 9 0 (, 0) es solucin de la inecuacin.Si x = 1 12 9 1 < 0 (0, 9) no es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 9 10 > 0 (9, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es (, 0) (9, +).

d) Resolvemos la ecuacin: x2 9 = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 0 x = 10

Si x = 10 (10)2 9 > 0 (, 3) no es solucin de la inecuacin.Si x = 0 02 9 < 0 (3, 3) es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 9 > 0 (3, +) no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es (3, 3).

e) El primer miembro de la inecuacin siempre ser positivo. Por tanto, la inecuacin no tiene solucin.

f ) Resolvemos la ecuacin: (x 3)(x + 4) = 0


Si x = 10 (10 3)(10 + 4) > 0 (, 4) es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 (0 3)(0 + 4) < 0 (4, 3) no es solucin de la inecuacin.

xx

1

2

43

= =

xx

1

2

33

= =

xx

1

2

09

==

xx

1

2

12

==

024


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 130

131

Si x = 10 (10 3)(10 + 4) > 0 (3, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin lo son tambin de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es (, 4] [3, +).

g) Resolvemos la ecuacin: (x + 3)x = 4


Si x = 10 (10 + 3) (10) 4 > 0 (, 4) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 (0 3) 0 4 < 0 (4, 1) es solucin de la inecuacin.Si x = 10 (10 3) 10 + 4 > 0 (1, +) no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.


h) Resolvemos la ecuacin: x2 x 30 = 0


Si x = 10 (10)2 10 30 > 0 (, 5) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 0 30 < 0 (5, 6) es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 10 30 > 0 (6, +) no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.


i) El primer miembro de la inecuacin es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuacin no tiene solucin.

j) El primer miembro de la inecuacin es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuacin no tiene solucin.

Resuelve estas inecuaciones de grado superior, siguiendo el mtodo utilizado para las inecuaciones de segundo grado.

a) (x 2)(x 3)(x2 2) 0 c) x3 + 2x2 + 3x 6 0

a) Resolvemos la ecuacin: (x 2)(x 3)(x2 2) = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10

Si x = 10 (10 2)(10 3)((10)2 2) > 0 es solucin.Si x = 0 (0 2)(0 3)(02 2) < 0 no es solucin.Si x = 1,5 (1,5 2)(1,5 3)(1,52 2) > 0 es solucin.Si x = 2,5 (2,5 2)(2,5 3)(2,52 2) < 0 (2, 3) no es solucin.Si x = 10 (10 2)(10 3)(102 2) > 0 (3, +) es solucin.Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es . , 2 2 2 3( +, [ , )

2 2,( )2 2, ( )

, 2( )

x

xxx

1

2

3

4

22

23

= ===

025

xx

1

2

56

= =

xx

1

2

41

= =

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 131

132

b) Resolvemos la ecuacin: x(x 4)(x +1)(x3 1) = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 0,5 x = 0,5 x = 2 x = 10

Si x = 10 10 (10 4)(10 + 1)((10)3 1) > 0 (, 1) no es solucin.

Si x = 0,5 0,5 (0,5 4)(0,5 + 1)((0,5)3 1) < 0 (1, 0) es solucin.

Si x = 0,5 0,5 (0,5 4)(0,5 + 1)(0,53 1) > 0 (0, 1) no es solucin.Si x = 2 2 (2 4)(2 + 1)(23 1) < 0 (1, 4) es solucin.Si x = 10 10 (10 4)(10 + 1)(103 1) > 0 (4, +) no es solucin.Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es [1, 0] [1, 4].

c) Resolvemos la ecuacin: x3 + 2x2 + 3x 6 = 0 x = 1Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:

x = 0 x = 10Si x = 0 03 + 2 02 + 3 0 6 < 0 (, 1) es solucin.Si x = 10 103 + 2 102 + 3 10 6 > 0 (1, +) no es solucin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es (, 1).

d) Resolvemos la ecuacin: x4 5x3 + 4x2 + 9x 9 = 0

Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 10 x = 0 x = 2 x = 2,5 x = 10

Si x = 10 (10)4 5 (10)3 + 4 (10)2 + 9 (10) 9 > 0

es solucin.

Si x = 0 04 5 03 + 4 02 + 9 0 9 < 0 no es solucin.

Si x = 2 24 5 23 + 4 22 + 9 2 9 > 0 es solucin.

Si x = 2,5 2,54 5 2,53 + 4 2,52 + 9 2,5 9 < 0 no es solucin.

Si x = 10 104 5 103 + 4 102 + 9 10 9 > 0 (3, +) es solucin.

Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es . ,1 13

21

1 13

2

+

, (( , )3 +

1 13

23

+

,

11 13

2,

+

1 13

21

,

,1 13

2

x

x

x

x

1

2

3

4

1 13

211 13

23

=

=

=+

=

xxxx

1

2

3

4

1014

= ===


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 132

133

Representa en el plano la regin solucin de estas inecuaciones.

a) x + y 1b) x y 0 d) y 2 0

a) c)

b) d)

Dibuja las siguientes regiones del plano.

a) Los puntos del plano con abscisa positiva.b) Los puntos del plano con ordenada mayor o igual que cero.

Encuentra una inecuacin que tenga cada una de esas regiones como conjuntosolucin.

a) x > 0 b) y 0

Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: (2, +).

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: . +

6

11,

b) 73 1415 8

6

16

11

+ < +

>

xx x

x

x

a)2x

xxx

+ > >

>>

3 51 11

26

b) 73 14

15 86

+ < +

xx x

a)2

xx

+ > >

3 51 11

028

Y

1

1 X

Y

1

1 X

027

Y

1

1 X

Y

1

1 X

Y

1

1 XX

Y

1

1

026

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 133

134

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incgnita.

Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones:

Son ciertas para todos los nmeros reales.

Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.

a) b)

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incgnitas.

a) b) Y

2

2 X

Y

2

2 X

b) 4x yx

+ + + >2

3

1

50 5 10 3 3 0 3 2 10 02 2

( )

c)2 2

xx x + 1

3

1

45

2

e)12 2x x x x

x + 14 3

1

3

2 2

b)3x x x + 23

1

50

)

066

c) 12 5

6

1 4

2

1

30 6 2 5 3 12 2 2 0

+

< + + + 16 16 1x x

,

63

22

b) +

+

+ + + +

2 3

5

6 4

3

1

20 12 18 60 40 15 0

22

x xx x

xx x 6363

22

+

37

49,

a)1 5

42

4 3

5

1

25 25 32 24 10

49 37

+

x xx x

x x

37

49

b)3 4 + + + 2

5

6

3

1

20

x x

c)2 4

15

6

1

2

1

30 +

153

Si x = 1 2 (1)2 + 7 (1) + 3 < 0 es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 2 02 + 7 0 + 3 > 0 no es solucin de la inecuacin.


Por tanto, la solucin es .

Resolvemos la ecuacin: 6x2 + 20x 67 = 0

No tiene solucin real. Como el primer miembro de la ecuacin toma siemprevalores negativos, la inecuacin no tiene solucin.

Resolvemos la ecuacin:


Si x = 10 2(10)2 + 26 (10) + 27 > 0 es solucin de la inecuacin.

Si x = 5 2(5)2 + 26 (5) + 27 < 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 2 02 + 26 0 + 27 > 0 es solucin de la inecuacin.

Las soluciones de la ecuacin lo son de la inecuacin.



Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:

x = 10 x = 5 x = 0

Si x = 10 4 (10)2 + 33 (10) + 7 > 0 es solucin de la inecuacin.

,

33 977

8

4 33 7 0

33 977

833 977

8

21

2

x xx

x

+ + ==

= +

e)x x x x

x x x

+

+ + 1

4

12

3

2 1

34 33 7 0

2 22

++

, ,

13 115

2

13 115

2

++

13 115

2,

+

13 115

2

13 115

2,

,

13 115

2

2 26 27 0

13 115

213 115

2

21

2

x xx

x

+ + ==

= +

d) 32 3

2

16

30 18 6 9 32 2 0

2 2

22

2

+

+ + + +

+

x x xx x x

x 66 27 0x +

c) xx x

x x x x

+

+ +1 2

3

2 1

45 12 4 8 6 3 60 6 2

22 2 00 67 0x

3

1

2,

+

1

2,

3

1

2,

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 153

154

Si x = 5 4 (5)2 + 33 (5) + 7 < 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 4 02 + 33 0 + 7 > 0 es solucin de la inecuacin.



Cul es la solucin de estas inecuaciones?

a) x2 x 6 < 0 c) 2x2 + 5x + 6 < 0 e) 2x2 + 5x 3 > 0b) x2 2x + 8 < 0 d) x2 + 3x 4 < 0 f) 6x2 + 31x + 18 0

a) Resolvemos la ecuacin:


Si x = 10 (10)2 + 10 6 > 0 (, 2) no es solucin de la inecuacin.Si x = 0 02 0 6 < 0 (2, 3) es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 10 6 > 0 (3, +) no es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (2, 3).

b) Resolvemos la ecuacin:


Si x = 10 (10)2 2 (10) + 8 < 0 (, 4) es solucin de la inecuacin.Si x = 0 02 2 0 + 8 > 0 (4, 2) no es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 2 10 + 8 < 0 (2, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (, 4) (2, +).

c) Resolvemos la ecuacin: 2x2 +5x + 6 = 0 No tiene solucin real.El primer miembro de la ecuacin siempre toma valores positivos.No tiene solucin.

d) Resolvemos la ecuacin: x2 + 3x 4 = 0 No tiene solucin real.El primer miembro de la ecuacin siempre toma valores negativos.Es una identidad.

e) Resolvemos la ecuacin:


Si x = 10 2 (10)2 + 5 (10) 3 > 0 (, 3) es solucin de la inecuacin.

2 5 3 03

1

2

21

2

x xx

x+ =

=

=

+ = = =

x xxx

2 1

22 8 0 4

2

x xxx

2 1

26 0 2

3 = =

=

067

++

, ,

33 977

8

33 977

8

++

33 977

8,

+

33 977

8

33 977

8,


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 154

155

Si x = 0 2 02 + 5 0 3 < 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 2 102 + 5 10 3 > 0 es solucin de la inecuacin.


Por tanto, la solucin es

f ) Resolvemos la ecuacin:


Si x = 10 6 (10)2 + 31 (10) + 18 > 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 1 6 (1)2 + 31 (1) + 18 < 0 es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 6 02 + 31 0 + 18 > 0 no es solucin de la inecuacin.


Por tanto, la solucin es

Resuelve estas inecuaciones que contienen fracciones algebraicas.

(3, 5)

5

21,

d)2

2 51 0

3 3

2 50

15

2

+

>

+>

<

>

x

x

x

x

x

x

+ , ( , )

2

31

c) +

> +

>

xx

c)3

+

>xx

1

20b)

2x

x

+

156

Resuelve estos sistemas de inecuaciones.

Obtn las soluciones de estos sistemas.

Resolvemos cada una de las inecuaciones:


x = 10 x = 0 x = 10

Si x = 10 (10)2 3 (10) 4 > 0 (, 1) es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 3 0 4 < 0 (1, 4) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 102 3 10 4 > 0 (4, +) es solucin de la inecuacin.


x xxx

2 1

23 4 0 1

4 = =

=

a) x xx

2 3 4 02 3 0

>

b) 32

x xx

2 4 03 0

< >

a) 32

x xx

2 4 03 0

>

+ +

>

1 06 7 0

1

27

6

7

6x

x

x ,, +

b) 4 2 5 2 8 2 7 03 1 2 3 2 1 1 0( ) ( )

( ) ( )x x

x x + + +

+ > +

>

4 3 012 7 0

3

47

12

xx

x

x

3

4

7

12,

a) 2 5 3 2 2 03 2 3

8 162

( ) ( )( )

x xx x

x < + + >

3

23

2

3

22 ,

d) 3( )5

2

+ + >

+

5 03

) ))

069


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 156

157



La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (, 1).

b) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solucin es .

c) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solucin es (4, +).

d) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solucin es .

Resuelve estos sistemas de inecuaciones.

a) Resolvemos cada una de las inecuaciones:


Si x = 10 (10)2 3 (10) + 10 < 0 (, 5) es solucin.Si x = 0 02 3 0 + 10 > 0 (5, 2) no es solucin.Si x = 10 102 3 10 + 10 < 0 (2, +) es solucin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.

Por tanto, la solucin es (, 5) (2, +).3x + 5 > 16 x > 7

Por tanto, la solucin es (7, +).La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (7, 5) (2, +).

b) La inecuacin de segundo grado es la misma que en el apartado anterior.

Por tanto, la solucin es (, 5) (2, +).2x 3 > 13 x > 8

Por tanto, la solucin es (8, +).La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (8, +).

c) Resolvemos cada una de las inecuaciones:


x = 10 x = 0 x = 10

x xxx

2 1

24 5 0 5

1+ = =

=

+ = = =

x xxx

2 1

23 10 0 5

2

d) 43

x xx

2 5 02 10

+ < >

b) 32

10 03 13

2 < >

x xx

c) 43

x xx

2 5 02 10

+ > 0 (, 5) es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 + 4 0 5 < 0 (5, 1) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 102 + 4 10 5 > 0 (1, +) es solucin de la inecuacin.



3x 2 < 10 x < 4

Por tanto, la solucin es (, 4).

La solucin del sistema es la interseccin de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (, 5) (1, 4).

d) Repitiendo el proceso del apartado anterior, vemos que el sistema no tiene solucin.

Obtn grficamente las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones.

a) La solucin es la regin ms oscura. b) La solucin es la regin ms oscura.

Calcula las soluciones de estos sistemas.

d) 24 2

x yx y

+ > + >

6 02

c) 24 2

x yx y

+ > +

6 02

a) 24 2

x yx y

+ < + + >

6 011

a) 2 32

x yx y

+

6 011

072


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 158

159

a) No tiene solucin. c) La solucin es la regin ms oscura.

b) La solucin es la regin ms oscura. d) La solucin es la regin ms oscura.


a) La solucin es la regin ms oscura. c) La solucin es la regin ms oscura.

b) La solucin es la regin ms oscura.

Y

1

1 X

Y

2

2 X

Y

2

2 X

b)2

2 2 3

1

2

3

3

1

2

14

3 20

+ +

+ +

x y x y

x y x y

c)6

2 3

x x y y

x x y x

+ + + <

+ + < +

12 25

3

51

32

3

2

1

4

a)2x y y

x y

+ < +

+

>

b b ac

a

b b ac

a

2 24

20

4

20y Tiene cuatro sol uuciones.

cb

ax x

b

a=

> = =

0 0 0y Tiene tres soluciones: , .

cb

ax=

< =0 0 0y Tiene una solucin: .

b

a20

Si Tiene una solucin:

= = = =b

ab c x

20 0 0 0( , ) .

Si Si No tiene soluci = = =

161

Utiliza el mtodo de sustitucin para resolver estos sistemas de ecuacionesno lineales.


x2 + x 2 = 0

Las soluciones son: x1 = 2 x2 = 1Si x1 = 2 y1 = 4Si x2 = 1 y2 = 1

b) Resolvemos el sistema por sustitucin:

x2 + x + 2 = 0

Las soluciones son: x1 = 2 x2 = 1Si x1 = 2 y1 = 6 2 1 = 11Si x2 = 1 y2 = 6 (1) 1 = 7

c) Resolvemos el sistema por sustitucin:

x2 3x 10 =0

Las soluciones son: x1 = 2 x2 = 5

Si x1 = 2 y1 = = 5

Si x2 = 5 y2 = = 2

d) Resolvemos el sistema por sustitucin:

x2 4x + 15 = 0Esta ecuacin no tiene solucin real, por lo que el sistema no tiene solucin.

y x xx y

+ + = + =

2 5 6 09 0

10

5

10

2

xxx

=

=

= =

( ) ( ) ( )3 3 4 1 10

2 1

3 7

2

25

21

2

102 5

=+ = +

x yx y

xxx

=

=

==

1 1 4 1 2

2 1

1 3

2

21

21

2

( )

( )

y x xy x

+ ==

2 5 3 06 1

xxx

=

=

= =

1 1 4 1 2

2 1

1 3

2

21

21

2

( )

y xx y

=+ =

2

2 0

d) 5y x xx y

+ + = + =

2 6 09 0

b) 56

y x xy x

+ ==

2 3 01

c) 102 5

=+ = +

xyx y

a) y xx y

=+ =

2

2 0

077

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 161

162

Resuelve la ecuacin.

Trata de hacerlo sustituyendo en la expresin y obtendrs una ecuacin

de segundo grado. Calcula las soluciones para la incgnita t y luego sustituyepara hallar el valor de x.

Sustituimos:

Resolvemos la ecuacin: 2t2 3t = 0

t1 = t2 = 0

Sustituimos para calcular x:

x3 = 1 x4 = 1

Determina la solucin de estas ecuaciones realizando las sustituciones de variablenecesarias.

a) Sustituimos:

Resolvemos la ecuacin: 2t2 9t + 10 = 0

Sustituimos para calcular x:

x3 = 1

xx

+ =1

2

x x1 21

22= =

xx

+ =1 5

2

t t1 25

22= =

t xx

= =1

0

b)6

6x

x x

x

x

2

2 9 38 0

+

+ =

a) 21

91

10 02

xx

xx

+

+

+ =

079

x x1 = =1

222

xx

=1 3

2

3

2

xx

t =1

21

31

02

xx

xx

=

xx

t =1

21

31

02

xx

xx

=

078


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 162

163

b) Factorizamos el denominador de segundo grado:

Lo expresamos como una igualdad notable:

Sustituimos:

Resolvemos la ecuacin: t2 1 = 0t1 = 1 t2 = 1Sustituimos para calcular x:

Si Max sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menosque si los sube de dos en dos. Cuntos escalones tiene la torre?

Llamamos x al nmero de escalones:

La torre tiene 180 escalones.

El jeque Omar tiene dispuesto en su testamento que la tercera parte de sus camellosse entregue a su primognito, Al; la tercera parte del rebao sea para su segundohijo, Casim, y el resto vaya a parar a su esposa Ftima. A la muerte de Omar y, una vezhecho el reparto, a Ftima le corresponden 140 camellos. Cuntos camelloscomponan el rebao del jeque?

Llamamos x al nmero de camellos del jeque:

El rebao del jeque estaba compuesto por 420 camellos.

En una bodega venden dos tipos de vino: crianza y reserva. Averigua cul es su precio si sabemos que Juan compr 3 botellas de reserva y 12 botellas de crianza y pag 69, mientras que Beln compr 6 botellas de crianza y 8 botellas de reserva, y pag 80 .

Llamamos x al precio de la botella de crianza e y al precio de la botella de reserva:

6x + 8 7 = 80 x = 4El precio de la botella de crianza es de 4 y el precio de la botella de reserva es de 7 .

12 3 696 8 80

12 3 62

x yx y

x y+ =+ =

+ =

( )99

12 16 16013 91 7

=

= =x y

y y

082

xx x

x x x = = =3 3

140 3 2 420 420

081

x xx x x

330

22 180 3 180+ = + = =

080

=

=13

3 62x

xx

13

3 41=

=x

xx

tx

x=

33

x

x

=3

3 1 02

x

x

x

x

2

23

6

38 0

( )

+ =

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 163

164

Esther viaja de Barcelona a Sevilla en su coche. Sale a las 8 de la maana y lleva una velocidad constante de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobs que viaja a 70 km/h, con la misma direccin que Esther. A qu hora se encuentra Esther con el autobs? Qu distancia ha recorrido cada uno?

El tiempo que tardan en encontrarse es x, y como:90x = 110 + 70x 20x = 110 x = 5,5 horas, se encuentran a las 13 h 30 min. La distancia recorrida por Esther es: 5,5 90 = 495 km y la distancia recorrida por Juan es: 495 110 = 385 km.

A las 7 de la maana, Toms sale de Zamora con direccin a Cdiz a una velocidad de 75 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cdiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Toms a una velocidad de 60 km/h. A qu hora se cruzarn Toms y Natalia? A qu distancia estarn de Cdiz?

Siendo x el tiempo que tardan en encontrarse, y considerando que estn a una distancia de 660 km: 75x + 60x = 660 135x = 660 x = 4,888 horas = 4 h 53 min 20 s, es decir, se cruzarn a las 11 h 53 min 20 s y estarn a 4,888 60 = 293,333 km de Cdiz.

Tenemos un alambre de 17 cm. Cmo hemos de doblarlo para que forme un ngulorecto de modo que sus extremos queden a 13 cm?

Trozo mayor: x. Trozo menor: 17 x. Diagonal:

x 2 + (17 x)2 = 132 2x 2 34x + 289 = 169 x 2 17x + 60 = 0

Las dimensiones son 12 cm y 5 cm.

Un cine tiene igual nmero de filas que de butacas por fila. El propietario decideremodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Despus de la remodelacin, el nmero de butacas es 323.

a) Cuntas filas tena el cine antes del cambio?

b) Cuntas butacas hay ahora en cada fila?

Butacas iniciales = filas iniciales = x Butacas finales = x 1 Filas finales = x 3(x 1)(x 3) = 323 x 2 4x 320 = 0

La solucin negativa no es vlida.

a) El nmero de filas iniciales era de 20.

b) Ahora hay 20 1 = 19 butacas en cada fila.

xx

x

= +

==

+=

=

=

4 16 1 2802

4 36

220

4 36

218

1

2

.

086

xx

x

=

==

+=

=

=

17 289 240

2

17 7

212

17 7

25

1

2

x x2 217+ ( ) .

085

084

083


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 164

165

Reparte el nmero 20 en dos partes tales que la suma de sus cuadrados valga 202.

Parte 1: x Parte 2: 20 x

x 2 + (20 x)2 = 202 2x 2 40x + 400 = 202 x 2 20x + 99 = 0

Las partes son 11 y 9.

Para embaldosar un saln de 8 m de largo por 6 m de ancho, se han utilizado 300 baldosas cuadradas. Cunto mide el lado de las baldosas?

Lado de la baldosa: x

300x 2 = 8 6 x 2 = 0,16 x = 0,4 m

El lado de la baldosa mide 40 cm.

Dos kilos de albaricoques y tres kilos de fresas cuestan 13 . Tres kilos de albaricoques y dos kilos de fresascuestan 12 . Cul es el precio del kilo de albaricoques?Y el de fresas?

Albaricoques: x Fresas: y

Sumando queda: 5y = 15 y = 3, x = 2

Los albaricoques cuestan 2 /kg y las fresas 3 /kg.

Se han comprado sellos de 0,26 y de 0,84 . En total se ha pagado 5,18 por 11 sellos. Cuntos sellos son de 0,26 ? Y de 0,84 ?

Sellos de 0,26 : x Sellos de 0,84 : y

x = 11 y 2,86 0,26y + 0,84y = 5,18 y = 4, x = 7.

Hay 7 sellos de 0,26 y 4 sellos de 0,84 .

En una compra se han utilizado monedas de 2 y billetes de 5 . En total, son 13 monedas y billetes y se ha pagado 32 . Cuntas monedas de 2 se utilizan? Y cuntos billetes de 5 ?

Monedas: x Billetes: y

x = 13 y 26 2y + 5y = 32 y = 2, x = 11

Se utilizan 11 monedas de 2 y 2 billetes de 5 .

x yx y

+ = =

132 5 32

091

x yx y

+ = =

110 26 0 84 5 18, , ,

090

6 9 396 4 24

x yx y

+ = =

2 3 133 2 12

x yx y

+ =+ =

089

088

xx

x

=

==

+=

=

=

20 400 396

2

20 2

211

20 2

29

1

2

087

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 165

166

Para una merienda se han comprado bocadillos de jamn, a 2,80 la unidad, y de queso, a 2,50 . En total se pagan 48 por 18 bocadillos. Cuntos bocadillosse compran de jamn? Y de queso?

Jamn: x Queso: y

x = 18 y 50,4 2,8y + 2,5y = 48 y = 8, x = 10.

Se compran 10 bocadillos de jamn y 8 de queso.

Se mezcla vino de 12 / con vino de 15 / , de modo que resultan 50 de vino de 13 / de mezcla. Cuntos litros de cada tipo de vino se han mezclado?

Vino de 12 /: x Vino de 15 /: y

x = 50 y

Se mezclan litros de vino de 12 / y litros de vino de 15 /.

Se han mezclado 40 kg de caf, a 10 /kg, con otra cantidad de caf a 14 /kg. Cuntos kilos se han usado de cada clase si se vende la mezcla a 12,80 /kg?

Caf de 14 /kg: x Total de caf: y

y = 40 + x

512 + 12,8x 14x = 400 x = 93,3; y = 133,3

Se han usado 93,3 kg de caf de 14 /kg para obtener 133,3 kg.

Para hacer un lingote de 9 kg de oro de ley 0,85 se funde oro de ley 0,81 con oro de ley 0,9. Qu cantidad de cada ley hay que tomar?

Kilos de oro de ley 0,81: x Kilos de oro de ley 0,9: y

9 0,85 = x 0,81 + (9 x) 0,9 0,09x = 0,45 x = 5, y = 4

Se toman 5 kg de ley 0,81 y 4 kg de ley 0,9.

Se dispone de 7.500 g de plata de ley 0,94. Con qu cantidad de otro metal menos valioso hay que fundirla para hacer un lingote de ley 0,8? Cunto pesar el lingote?

Otro metal: x Total: y

y = 8.812,5; x = 1.312,5.

Hay que fundirla con 1.312,5 g de oro, y el lingote pesar 8.812,5 g.

y xy

==

7 5000 8 7 500 0 94

., . ,

096

x yx y

y x+ =

= +

= 99 0 85 0 81 0 9

9, , ,

095

x yy x

= =

4012 8 14 400,

094

50

3

100

3

600 12 15 65050

3

100

3 + = = =y y y x ,

x yx y

+ =+ =

5012 15 50 13

093

x yx y

+ = =

182 80 2 50 48, ,

092


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 166

167

Se dispone de 3.500 g de oro de ley 0,85. Con qu cantidad de oro puro habra que fundirlo para conseguir un lingote de ley 0,88? Cunto pesar el lingote?

Oro: x Total: y

y = 3.500 + x

3.080 + 0,88x x = 2.975 x = 8,75; y = 3.508,75 Habra que fundirlo con 8,75 g de oro, y el lingote pesar 3.508,75 g.

El permetro de una parcela rectangular es de 350 m y el triple de su largo es igual al cudruple de su ancho. Cules son las dimensiones de la parcela?

Largo: x Ancho: y

Las dimensiones de la parcela son 100 m y 75 m.

Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 aos. Dentro de diecisiete aos las edades de Marta y Miguel sumarn un siglo. Calcula sus edades, sabiendo que Marta le lleva siete aos a Carmen.

Marta tiene 35 aos, Miguel tiene 31 aos y Carmen tiene 28 aos.

Tres amigos compran acciones de tres valores: la empresa aseguradora ABX (A), el Banco BETRIX (B) y la empresa de construcciones CONSUR (C). Calcula cunto vale cada una de las acciones si:

Flix ha comprado 100 acciones de A, 60 de B y 20 de C, y ha tenido que pagar 1.660.

Damin ha comprado 60 acciones de A, 10 de B y 100 de C, y ha desembolsado 1.570 .

Carlos, que ha gastado 1.560 , tiene 30 acciones de A y 150 de C.

Las acciones de A valen 12 , las acciones de B valen 15 y las acciones de C valen 8 .

100 60 20 1 66060 10 100 1 570

30 150

x y zx y z

x

+ + =+ + =

+

.

.zz

x y zx y z

x=

+ + =+ + =

+1 560

5 3 836 10 157

5.

zz

x y zx

E E E

=

+ + =+

=

52

5 3 8313 292 2 1

3 zz

x z

x y

E E E

=+ =

+ +

=

3885 52

5 3

3 3 213

zzx z

z

xyz

=+ =

=

===

8313 29 388

36 288

121588

100

x y zx y

x z

x y z+ + =+ + + =

= +

+ + =9417 17 100

7

9

44667

94

3 3 1x yx z

x y zxE E E+ =

=

+ + =

= +

++ =+ =

+ + =

=

yx y

x y z

E E E

662 101

94

3 3 2

xx yx

xyz

+ ==

===

6635

353128

099

8

32 350 75 100

yy y x+ = = = ,

xy

=4

3

2 2 3503 4

x yx y

+ ==

098

y xy x

= =

3 5000 88 3 500 0 85

., . ,

097

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 167

168

En dos empresas, A y B, hay un puesto de comercial vacante. En la empresa A pagande salario 300 fijos ms 75 por cada venta, y en la empresa B se cobra 125por cada venta, sin fijo. A partir de cuntas ventas se cobra ms en la empresa B que en A?

Salario en la empresa A: y = 300 + 75x

Salario en la empresa B: y = 125x

A partir de 6 ventas se cobra ms en la empresa B que en la empresa A.

En la playa Miralinda alquilan sillas y tumbonas. Por cada silla cobran 3 a la hora y por cada tumbona 5 , ms 2 por cada hora. A partir de cuntas horas es ms econmico alquilar una tumbona que una silla?

Coste de las sillas: y = 3x

Coste de las tumbonas: y = 5 + 2x

A partir de 5 horas es ms econmica una tumbona que una silla.F

Un comerciante compra melones a 40 cntimos/kg y los vende a 60 cntimos. Halla cuntos kilogramos de melones compr si se le estropearon 10 kg y obtuvo 42.

Llamamos x al nmero de kilogramos de melones que compr:

0,20(x 10) = 42

x = 220

El comerciante compr 220 kg de melones.

103

Y

1

2

X

102

Y

1

100

X

101


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 168

169

Carmen se dispone a invertir 100.000 . En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4 % de inters anual, y Fondo Riesgo B, al 6 %de inters anual. Invierte una parte en cada tipode fondo y al cabo del ao obtiene 4.500 deintereses. Cunto adquiri de cada producto?

Llamamos x al dinero invertido en el Fondo Tipo A e y al dinero invertido en el Fondo Riesgo B:

x = 100.000 25.000 = 75.000Adquiri 75.000 del Fondo Tipo A, y 25.000 del Fondo Riesgo B.

Un ciclista y un coche parten uno al encuentro del otro desde dos ciudades separadaspor 180 km. Sabiendo que el ciclista avanza cuatro veces ms despacio que el cochey que tardan 1 h 48 min en encontrarse, cul es la velocidad de cada uno?

Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v t.Llamamos x a la distancia recorrida por el ciclista e y a su velocidad:

1 h 48 min = 1,8 h

x = 1,8 20 = 36La velocidad del ciclista es de 20 km/h, y la velocidad del coche es de 80 km/h.

Un camin sale de una ciudad a 80 km/h y dos horas despus parte en la mismadireccin un coche a 100 km/h. Cunto tardar en alcanzarlo y cunta distanciahabr recorrido hasta ese momento?

Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v t.Llamamos x a la distancia recorrida por el camin e y al tiempo que tarda en alcanzarlo:

x = 80 8 = 640Tardar 8 horas en alcanzarlo y habr recorrido 800 kilmetros.

Los lados de un rectngulo se diferencian en 2 m. Si aumentramos en 2 m cadalado, el rea se incrementara en 40 m2. Halla las dimensiones del rectngulo.

Llamamos x al lado menor del rectngulo e y a su rea:

y = 8(8 + 2) = 80Los lados del rectngulo miden 8 y 10 m, respectivamente.

x x yx x y

x x x( )

( )( )+ =

+ + = +

+ + = +22 4 40

6 8 22 2 xx x x+ = =40 4 32 8

107

x yx y

y y y=

+ =

+ = =80160 100

80 160 100 8

106

x yx y

y y y=

=

= =1 8180 7 2

180 1 8 7 2 20,,

, ,

105

x yx y

+ =+ =

100 0000 4 4 500

4 000 0

..

.,0 0,06

,,0 ,00,0

4 0 6 4 5002 500 25 000

y yy y

+ == =

..

104

4SOLUCIONARIO

833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 169

170

Calcula un nmero, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierteel orden en que estn colocadas, el nmero disminuye en 18 unidades.

Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades:

y = 14 8 = 6

El nmero es 86.

El alquiler de una tienda de campaa cuesta 80 al da. Ins est preparando una excursin con sus amigos y hace la siguiente reflexin: Si furamos tres amigos ms, tendramos que pagar 6 menos cada uno. Cuntos amigos van de excursin?

Llamamos x al nmero de amigos de Ins, e y al dinero que tiene que pagar cada uno:

Van de excursin 5 amigos.

Jacinto est cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambrea dos lados consecutivos del terreno, se da cuenta de que ha gastado 170 m de alambre. Si sabe que la diagonal del rectngulo mide 130 m, cules son las dimensiones y el rea del terreno?

Llamamos x e y a las dimensiones del terreno:

Si y1 = 120 x1 = 170 120 = 50

Si y2 = 50 x2 = 170 50 = 120

Las dimensiones del terreno son 120 y 50 m, respectivamente.

El rea del terreno mide 6.000 m2.

yy=

= =( ) ( ) .170 170 4 1 6 000

2 1

170 70

2

12 1 220502y =

x yx y

y y+ =

+ =

+ =170130

170 6 000 02 2 22 .

110

Si y x2 21680

165= = =

yy=

= = ( ) ( ) ( )6 6 4 1 160

2 1

6 26

2

102 1 Sollucin no vliday2 16=

x y

x y y

=+ =

+

80

3 6 80

803

( )( ) (( )y

yy

y y

= + =

=

6 80 80480

3 18 80

6 160 02

109

x y

y x x y

y x

y x

+ =+ + = +

= + =

14

10 18 10

14

9 9 18

00

126 9 9 18 0 18 144 8

+ = = = x x x x

108


833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Pgina 170

171

La apotema de un hexgono regular mide 8 cm. Determina la medida de su lado, y su rea.

Llamamos x al lado del hexgono, y aplicamos el teorema de Pitgoras al tringulorectngulo que tiene por catetos a la apotema y la mitad del lado, y porhipotenusa, la longitud del lado:

La longitud del lado es cm.

El rea de un polgono regular es:

Por tanto, el rea mide:

Averigua las dimensiones que tiene un pliego rectangular de papel, sabiendo que si dejamos los mrgenes laterales de 1 cm y los verticales de 2,5 cm, el rea es 360 cm2, y que si los mrgenes laterales son de 2 cm y los verticales son de 1,25 cm, el rea es la misma.

Llamamos x e y a las dimensiones del pliego:

Las dimensiones del pliego son 20 y 25 cm, respectivamente.

Calcula un nmero entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente nmerole restamos ocho veces su inverso obtenemos 23.

Llamamos x al nmero:

(x + 1)2 = 23 x3 + 2x2 + x 8 = 23x x3 + 2x2 22x 8 = 0

El nmero entero es 4.

x x x1 2 33 7 3 7 4= = + =

x x xx

x2

21

2

6 2 06 6 4 1 2

2 1

6 2 7

2

3 7+ + = =

=

=

== +

3 7

1 2 224 4 24

1 6 2

880

8

x

113

Si Siy x y x1 1 2 235

2

350 235

235

25

14 25= =+

= = ==+

=350 2 25

25 520

y y=

=

= ( ) ( ) ( )15 15 4 2 8752 2

15 85

4

3521 22

252y =

( )( )( )( , )

x yx y

x =

=

=2 5 360

4 2 5 360

350

++

=+

2

5350 4

2 5

2 15 82

y

y

xy

y

y y

,

775 0=

112

A = 128 3 2cm

AP ap=

2

16 3

3

xx

x x x x2 22

2 218

24 256

256

3= +

= + = =

116 3

3

16 3

32x =

111

4SOLUCIONARIO

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172

Si aumentramos en 4 cm la arista de un cubo, su volumen se multiplicara por 8.Halla la medida de la arista.

Llamamos x a la arista del cubo:

(x + 4)3 = 8x3 7x3 + 12x2 + 48x + 64 = 0

x = 47x2 16x 16 = 0 7x2 + 16x + 16 = 0

La longitud de la arista es de 4 cm.

Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que diecisis ovejas. Una vaca y cuatroovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismoque cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal.

Llamamos x al precio de las vacas, y al precio de los terneros y z al precio de las ovejas:

Una vaca vale lo mismo que cuatro ovejas, y un ternero cuesta igual que ochoterceras partes del precio de una oveja.

Un nmero que tiene tres cifras lo representamos en la forma abc. Determnalo,sabiendo que si escribes cab, el nmero disminuye en 459 unidades; si escribes bac,el nmero disminuye en 360 unidades, y que bca es 45 unidades menor que bac.

A la cifra de las centenas la llamamos a, a la cifra de las decenas b y a la cifra de las unidades c:

a = c + 5 y b = c + 1Para determinar la solucin sabemos que los tres nmeros son enteros y, por tanto, c es un nmero de 0 a 9. Como a = c + 5, c solo puede valer 0, 1, 2, 3 y 4.Para cada uno de estos valores de c resultan a y b.

Si c = 0, entonces: a = 5 y b = 1. El nmero es 510.Si c = 1, entonces: a = 6 y b = 2. El nmero es 621.Si c = 2, entonces: a = 7 y b = 3. El nmero es 732.Si c = 3, entonces: a = 8 y b = 4. El nmero es 843.Si c = 4, entonces: a = 9 y b = 5. El nmero es 954.

100 10 100 10 459100 10 100 10

a b c c a ba b c b

+ + = + + ++ + = + aa c

b c a b a c+ +

+ + = + +

360100 10 100 10 45

9

00 9 99 45990 90 360

9 9 45

a b ca b

a c

+ = =

+ =

+ = =

+ =

10 11 51

10 10 405

a b ca b

a c

a c b cb c

= + = + =

5 110 10 10

116

2 3 164 3

3 8 4

48

3

x y zx z yy z x

x z

y z

+ =+ =+ =

=

=

115

x =

=

16 16 4 7 162 7

16 192

14

2

No tiene soluciin.

7 12 484 28 64

7 16 16

6464

0

114


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173

El triple de un nmero menos su mitad es siempre mayor que 3. Qu nmeros cumplen esta propiedad?


Los nmeros que cumplen esta propiedad son los nmeros mayores que .

De un nmero se sabe que si a su cuadrado le restamos su mitad, se obtiene un nmero menor que 1. Qu nmero puede ser?




x = 10 x = 0 x = 10

Si x = 10 2 (10)2 (10) 1 > 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 2 02 0 1 < 0 es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 2 102 10 1 > 0 no es solucin de la inecuacin.



Los nmeros pedidos son los nmeros mayores que y menores que .

Es cierto que la suma de un nmero y de su cuadrado es siempre positiva? Qu nmeros cumplen esa condicin?


Vemos que no se verifica que:

x + x2 > 0Resolvemos la ecuacin:


x = 10 x = 0,5 x = 10Si x = 10 (10)2 10 > 0 (, 0) es solucin de la inecuacin.Si x = 0,5 (0,5)2 0,5 < 0 (1, 0) no es solucin de la inecuacin.Si x = 10 102 + 10 > 0 (0, +) es solucin de la inecuacin.Las soluciones de la ecuacin no lo son de la inecuacin.Por tanto, la solucin es (, 1) (0, +).

x xxx

2 1

20 1

0+ = =

=

+

=

1

2

1

2

1

4

2

119

1 17

4

+1 174

1 17

4

1 17

4

+

,

1 17

4

++

,

1 17

4

1 17

4

+

,

,

1 17

4

2 2 0

1 17

41 17

4

21

2

x xx

x

==

=+

xx

x x2 22

1 2 2 0 < > > +

,

117

4SOLUCIONARIO

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174

Encuentra todos los nmeros enteros que, multiplicados por el siguiente nmero, den un resultado menor que 24.

Llamamos x al nmero: x(x + 1) < 24 x2 + x 24 < 0



x = 10 x = 0 x = 10

Si x = 10 (10)2 10 24 > 0 no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 + 0 24 < 0 es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 102 + 10 24 > 0 no es solucin de la inecuacin.



Los nmeros pedidos son los nmeros mayores que y menores

que .

Determina para qu valores de x es posible realizar las operaciones indicadas.

a)

b)

c)d) log (2 5x)e) log (6 x x2)f ) log (x2 2x + 1)

b) x 3 0 x 3[3, +)

c) 4 3x x2 0



x = 10 x = 0 x = 10

+ = = =

x xxx

2 1

23 4 0 4

1

,

5

3

a) 5 3 05

3 x x

4 3 2 x x

x 3

5 3x

121

+1 972

1 972

+

1 97

2

1 97

2,

+

1 97

2,

+

1 97

2

1 97

2,

,

1 97

2

x xx

x

21

2

24 0

1 97

21 97

2

+ ==

= +

120


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175

Si x = 10 (10)2 3 (10) + 4 < 0 (, 4) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 3 0 + 4 > 0 (4, 1) es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 102 3 10 + 4 < 0 (1, +) no es solucin de la inecuacin.


Por tanto, la solucin es [4, 1].

e) 6 x x2 > 0



x = 10 x = 0 x = 10

Si x = 10 (10)2 (10) + 6 < 0 (,3) no es solucin de la inecuacin.

Si x = 0 02 0 + 6 > 0 (3, 2) es solucin de la inecuacin.

Si x = 10 102 10 + 6 < 0 (2, +) no es solucin de la inecuacin.



f ) x2 2x + 1 > 0

La ecuacin solo se anula para x = 1, y en el resto de los valores el primermiembro de la inecuacin es siempre positivo.

x1

Jess y Beatriz quieren saber cunto cuesta un bote de refresco, pero no recuerdanexactamente lo que pagaron. Jess compr 8 botes y sabe que pag con un billetede 5 y que le devolvieron una moneda de 2 y algo ms de dinero. Beatrizcompr 18 botes y recuerda que pag la cantidad exacta con un billete de 5 ,una moneda de 2 y alguna moneda ms. Con estos datos, qu podras decir del precio del bote de refresco?

Llamamos x al precio del bote de refresco:

El precio del bote de refresco es menor que 0,375 .

5 8 218 7

3

87

18

> 0: = b2 4ac = (2)2 4 1 log mPara que la ecuacin no tenga solucin: 4 4 log m < 0 (10, +)Para que la ecuacin tenga una solucin: 4 4 log m = 0 m = 10Para que la ecuacin tenga dos soluciones: 4 4 log m > 0 (, 10)

Si las soluciones de la ecuacin ax2 + bx + c = 0 son x1 y x2, escribe ecuacionesde segundo grado cuyas soluciones sean:

a) Los cuadrados de x1 y x2.b) Los inversos de x1 y x2.c) Los opuestos de x1 y x2.

a) (x x12)(x x22) = 0 x2 (x12 + x22)x+ x12 x22

c) (x + x1)(x + x2) = 0 x2 + (x1+ x2) + x1 x2 = 0

b) xx

xx

x

=

1 10

1

1 2

2xx x

xx x1 2 1 2

1 1 10+

+ =

126

125

x y z= = = 6

11

12

113, ,

A B C

A B C

A B C

+ =

+ =

+ =

2 3 1

2 4 517

3

3 6 22

3

+ ==

=

E E E

E E E

A B C

2 2 1

3 3 1

2

3

2 3 11

8 1111

3

77

3

11

6

+ =

=

=

B C

C

A

B ==

=

11

121

3C

Sean , yAx

By

Cz

= = =1 1 1

.

1 2 31

2 4 5 17

33 6 2 2

3

x y z

x y z

x y z

+ =

+ =

+ =

124

2 1 2 1 02 1 0 1 2 2 1

3 3

3 2

x x x xx x x x x

> + > = + + =

( )( ) 00 1 x =

123


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177

Halla la relacin entre los coeficientes de la ecuacin ax3 + bx2 + cx + d = 0 y la suma, el producto y la suma de los dobles productos de sus tres races.

(x )(x )(x ) = 0 x3 ( + + )x2 + ( + + )x = 0Dividiendo la ecuacin de tercer grado entre el coeficiente del monomio de mayorgrado, y comparando los coeficientes, se obtiene que:

El coeficiente de segundo grado es el opuesto a la suma de las tres races.

El coeficiente de primer grado es la suma del resultado de multiplicar las racesdos a dos.

El trmino independiente es el opuesto del producto de las tres races.

Juan y Luis suben en una escalera mecnica. Juan sube tres veces ms rpido que su amigo, hacindolo ambos de peldao en peldao. Al terminar de subir, Juancont 75 escalones y Luis cont 50 escalones. Con esos datos, calcula los peldaosvisibles de la escalera.

Mientras Juan sube un escaln, la escalera mecnica ha subido x escalones,y el nmero de escalones visibles es 75 + 75x.Luis sube 50 escalones. Como lo hace tres veces ms despacio que Juan, mientrasque Luis sube un escaln, la escalera sube 3x. El nmero de escalones visibles es 50 + 150x.Por tanto, resulta que: 75 + 75x = 50 + 150x x = El nmero de peldaos visibles es 100.

Tenemos un suelo rectangular, formado por baldosas enteras cuadradas de colorclaro, que est rodeado de baldosas oscuras, tambin cuadradas. Qu dimensionesdebe tener el rectngulo claro para que el nmero de baldosas de la zona clara sea igual al de la franja oscura que lo rodea?

Sean x e y el nmero de baldosas claras que hay en el largo y el ancho.

(x + 2)(y + 2) = 2xy Esta ecuacin tiene infinitas soluciones.Una solucin de esta ecuacin es: x = 10 e y = 3Es decir, el rectngulo claro tendr 10 baldosas de largo y 3 baldosas de ancho.

129

1

3

128

127

4SOLUCIONARIO

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