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MTODO DE LA TRANSFORMADA Z BILINEAL

Este mtodo es el ms ampliamente utilizado en la determinacin de los coeficientes de los filtros IIR. En este mtodo, la operacin bsica es que a partir de la funcin de transferencia H(s) de un filtro analgico se pasa a un filtro digital equivalente simplemente al reemplazar a s de la funcin de transferencia como sigue:La expresin anterior mapea una funcin de transferencia analgica, H(s), en el plano-s en una funcin de transferencia discreta, H(z), en el plano-z.Im (=jw)Re0plano-sImRe0plano-zMTODO DE LA TRANSFORMADA Z BILINEAL

Como se observa en la grfica anterior el eje jw en el plano-s es mapeado en el crculo unitario, el lado izquierdo en el plano-s se mapea dentro del crculo unitario, y el lado derecho del plano-s se encuentra mapeado fuera del crculo unitario del plano-z. As, si se tiene un filtro analgico, con polos sobre la mitad izquierda del plano-s, equivale a tener un filtro digital con polos dentro del crculo interno.El cambio de las expresiones anteriores no es sencillo, en lugar de ello se utiliza:RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS COEFICIENTES DEL FILTRO DIGITAL POR EL MTODO BZT

Usar las especificaciones del filtro digital para determinar una funcin de transferencia adecuada, H(s).Determinar la frecuencia de corte (o frecuencia de corte pasa banda) del filtro digital y se llama wp.Obtener una frecuencia de corte del filtro analgico equivalente (wp) usando la relacin de la diapositiva anterior.

4. Desnormalizar el filtro analgico por el escalamiento en frecuencia H(s). Esto se alcanza al reemplazar s con s/wp5. Aplicar la transformacin bilineal para obtener la funcin de transferencia del filtro digital deseada H(z) pero reemplazando s por (z-1)/(z+1)EJEMPLO

Determinar, usando el mtodo BZT, la funcin de transferencia y la ecuacin de diferencias para el filtro digital del filtro RC analgico. Considerar una frecuencia de muestreo de 150Hz y una frecuencias de corte de 30Hz. La funcin de transferencia normalizada del filtro RC es:EJEMPLODIAGRAMAS DEL FILTRO ANALGICO Y DEL FILTRO DIGITALx(t)RCy(t)

y(n)-10.15840.4208x(n)EJEMPLO

ETAPA 2. CLCULO DE LOS COEFICIENTES DEL FILTRO IIRLa tarea aqu es calcular el valor de los coeficientes del filtro. Una forma simple de obtener tales coeficientes es colocar los polos y los ceros de manera apropiada en el plano z de tal forma que el filtro resultante tenga la forma de respuesta adecuada. Dicha aproximacin es til slo para filtros sencillos. Una forma de diseo ms comn es aquella que se basa en el diseo de filtros analgicos para convertirlos en filtros digitales.MTODO DE COLOCAR POLOS Y CEROS. Cuando un cero es colocado en un punto dado del plano z, la respuesta en frecuencia ser cero en dicho punto. Un polo, produce un pico en el diagrama de respuesta en frecuencia. Fs/43Fs/4Fs/20Fs/43Fs/40MTODO DE POLOS Y CEROSSe desea disear un filtro pasa banda que se ajuste a los siguientes requerimientos.Rechazo de la seal tanto a un nivel de cd como a 250 HzUn efecto pasa banda a una frecuencia centrada en 125 HzUn ancho de banda de 3 dB a 10 HzConsiderando que la frecuencia de muestreo es de 500 Hz, se desea obtener la respuesta en frecuencia del filtro, los polos y ceros del filtro, as como su ecuacin de diferencia.Fs/43Fs/4Fs/20LOS CEROS. Se encontrarn en las frecuencias de 0 y 250 Hz. Lo que en el crculo del plano z se traduce en (0x250)/500=0 y (360x250)/500=180.LOS POLOS. Se encontrarn en las frecuencias de 125 Hz. Lo que en el crculo del plano z se trduce en +-(360x250)/500=+-90.MTODO DE POLOS Y CEROS

El radio, r de los polos se determina por el ancho de banda deseado. Una relacin de aproximacin entre y, para r>0.9, y un ancho de banda bw, es:Del diagrama de polos y ceros, la funcin de transferenciase puede escribir de la forma:

y(n)-1-0.877969MTODO DE POLOS Y CEROS

El radio, r de los polos se determina por el ancho de banda deseado. Una relacin de aproximacin entre y, para r>0.9, y un ancho de banda bw, es:Del diagrama de polos y ceros, la funcin de transferencia se puede escribir de la forma:CONVERSIN DE FILTROS ANALGICOS EN SU EQUIVALENTE DE FILTROS DIGITALESMTODOS UTILIZADOS:Mtodo del impulso invarianteMtodo de la transformada Z bilinealMTODO INVARIANTE CON EL TIEMPOEn este mtodo, se inicia con una funcin de transferencia analgica, H(s), la respuesta al impulso, h(t), se obtiene utilizando la transformada de Laplace. La h(t) obtenida entonces, es muestreada para producir h(nT), y la funcin de tranferencia deseada, H(z), se obtiene al aplicar la transformada Z a la sucesin de puntos h(nT)EJEMPLO

GENERALIZACIN

En la expresin Cr y Ci son las partes real e imaginaria de C1, Pr y Pi son las partes real e imaginaria de P1 y * representa el conjugado complejo.EJEMPLO

Aplicando el mtodo del impulso invariante realizar el diseo de un filtro digital IIR de tal forma que se aproxime a la respuesta en frecuencia del siguiente filtro en el tiempo continuo.Considerar que el filtro tiene la frecuencia de corte es a 150 Hz de 3 dB, a una frecuencia de muestreo de 1.28kHz.Antes de aplicar el mtodo, se debe de escalar en frecuencia la funcin de transferencia normalizada, esto es:

EJEMPLO

Si se sustituye z=(exp)iwT en la ecuacin anterior, el valor de H(z) en w=0 es de 1223, aproximadamente igual a la frecuencia de muestreo. Tal ganancia tan grande es caractersticas de los filtros invariantes al impulso. En general, la ganancia de la funcin de transferencia obtenida mediante este mtodo es igual a la frecuencia de muestreo (1/T), y resulta del muestreo de respuestas al impulso. Para conservar la ganancia y evitar sobreflujos cuando el filtro es implementado, es prctica comn multiplicar H(z) por T (o de forma equivalente dividir por la frecuencia de muestreo). Por lo que el problema se reduce a:Un mtodo alternativo de remover el efecto de la frecuencia de muestreo sobre la ganancia del filtro es trabajar con frecuencias normalizadas. Para el ejemplo se tendra:RESUMEN DE MTODOS INVARIANTES AL IMPULSO PARA OBTENER COEFICIENTES IIRDeterminar el filtro analgico normalizado, H(s), que satisface las especificaciones del filtro digital deseado.Si es necesario, se expande H(s) usando fracciones parciales para simplificar el siguiente paso.Obtener la transformada z de cada fraccin parcial.Obtener H(z) para combinar la transformada z de las fraccione parciales dentro del segundo trmino y posiblemente un trmino de primer orden. Si la frecuencia de muestreo es usada entonces al multiplicar H(z) por T.PUNTOS QUE RECORDAR SOBRE EL MTODOLa respuesta al impulso del filtro discreto, h(nT), es idntica a la del filtro analgico h(t), en instantes de tiempo t=nT, con n=0,1,2,,La frecuencia de muestreo afecta la respuesta en frecuencia del filtro discreto invariante al impulso.Como en el caso de los sistemas de datos muestreados, el espectro del filtro invariante al impulso que corresponde a H(z) debe ser el mismo a aquel del filtro analgico, H(s), pero repetido en mltiplos de la Fs, permitiendo el aliasing.