Modelos de Lneas y PerformancezxyxyxVrIrVsIsI(x)V(x+ x)+-+-V(x)I(x + x)xxl+-+-Lnea con parmetros distribuidos de largo l :Constante de atenuacinConstante de fase

Ejemplo 5.1:

Aplicacin funcin movie para ver la propagacin de la onda de tensin en una lneade transmisin:xy=[-10 20;0 20;10 20;-7 29;7 29]; % Preparacin de los datos de entradadatc=[15.19 0.0234 3 40];datn=[4.75 3.75];ro=100;f=60;[z012]= zser(xy,datc,datn,ro,f)[y012]= yshunt(xy,datc,datn,ro,f)zp=z012(2,2); % Clculo de la impedancia serieyp=y012(2,2); % y admitancia serie sec. positiva.Vr=150e3; % Tensin yIr=500; % Corriente en el extremo receptorx=(0:10:1250); % Tramo a considerar en (km).

gamma=sqrt(zp*yp); % Clculo de las constantes de laZc=sqrt(zp/yp); % ecuacion de tensin a lo largo de laA1=(Vr+Zc*Ir)/2; % lneaA2=(Vr-Zc*Ir)/2;alfa=real(gamma);beta=imag(gamma);

axis([x(1) x(end) -300e3 300e3]); % Le fijo los ejesset(gca,'nextplot','replacechildren'); % Le digo que la curva siguiente me % reemplace la anterior sin actualizarme % sin actualizarme los ejes set(gca,'XDir','reverse');M=moviein(20); % Me prepara la variable M para recibir 20 curvas.

w=2*pi*60;j=0;for t = 0:1e-3:16.67e-3 j=j+1; V1=sqrt(2)*A1*exp(alfa*x).*cos(w*t+beta*x); V2=sqrt(2)*A2*exp(-alfa*x).*cos(w*t-beta*x); plot(x,real(V1+V2)); pause M(:,j) = getframe; % Va "guardando" cada figuar en Mendmovie(M,20)

Ejemplo 5.2:

El siguiente archivo resuelve V(x) e I(x) usando el symbolic toolbox:syms Vx z y Ix Vr Ir % Declaracin de las variables simblicas gamma=sqrt(z*y); Vx=dsolve('D2Vx-(gamma^2)*Vx=0','x') % Solucin de V(x)derVx=diff(Vx); % Clculo de la derivada de V(x)Ix=simple((1/z)*derVx) % Clculo de I(x) y posterior simplificacineq1=['Vr=' char(subs(Vx,0))]; % Armado del sistema de ecuaciones para resolvereq2=['Ir=' char(subs(Ix,0))]; % C1 y C2[C1,C2]=solve(eq1,eq2,'C1','C2') % Clculo de C1 y C2 te5ej2 Vx =C1*exp(gamma*x)+C2*exp(-gamma*x) Ix =gamma*(C1*exp(gamma*x)-C2*exp(-gamma*x))/z C1 =1/2*(gamma*Vr+Ir*z)/gamma C2 =1/2*(-Ir*z+gamma*Vr)/gammaLa ejecucin nos da el siguiente resultado:1Comentarios:

1- eq1 y eq2 son strings que contienen las ecuaciones para determinar C1 y C2 se forman as: subs(Vx,0) substituye por x=0 en la expresin de Vx dando como resultado C1+C2, lo que convertimos de simblico en string con el comando char y finalmente concatenamos con Vr= quedando entonces eq1=Vr=C1+C2, analogamente para Ix(0). En la sintaxis de solve se debe aclara que se resolver para C1 y C2 afn que el Matlab pueda distinguir las incgnitas de los parmetros.

Dado el siguiente modelo :ZY/2Ir+-VrY/2+-VsIzIs

Recapitulando:

Dado los parmetros z e y de una lnea de transmisin se puede relacionar la corrientey tensin de salida con la corriente y tensin de entrada mediante la expresin:Adems la lnea se puede representar por el siguiente modelo :Ir+-Vr+-VsIsZ=Zc sinh ( l)

Funcin zy2abcd :

La siguiente funcin, dados los parmetros de secuencia positiva (o secuencia cero) deuna lnea, calcula los parmetros del equivalente y las constantes A B C D .

Argumentos de entrada: Impedancia serie en Admitancia shunt en . Longitud en km.Argumentos de salida: Elemento serie del equivalente . Elemento shunt del equivalente Matriz 2x2 con los parmetros A B C Dfunction[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,l)gamma=sqrt(z*y);Zc=sqrt(z/y);A=cosh(gamma*l);B=Zc*sinh(gamma*l);C=1/Zc*sinh(gamma*l);D=A;ABCD=[A B;C D];Z=B;Y=2*(A-1)/B;Ejemplo 5.3:

Dados los siguientes parmetros de lnea, plotear la diferencia en por ciento entre la constante C calculada usando parmetros distribuidos y calculada usando parmetros concentrados en un rango de 1 a 500 km.z=0.0238 + 0.3476i /kmy=4.7410iMduloAngulo

clearz=0.0238 + j*0.3476;y=j*4.7410*1e-6;

l=1:500;

for k=l, Zc=z*k; Yc=y*k; Cc(k)=Yc*(1+Yc*Zc/4); % C usando parmetros concentrados. [Zd,Yd,abcd]= zy2abcd(z,y,k); Cd(k)=abcd(2,1); % C usando parmetros distribuidos.end

pC=100*((Cd-Cc)./Cd); % Diferencia porcentual entre uno y otro.pM=abs(pC);pA=angle(pC);

figure(1)subplot(2,1,1), plot(l,pM)title('Diferencia porcentual de C')ylabel('% mdulo')gridsubplot(2,1,2), plot(l,pA)ylabel('% fase')xlabel('Longitud en km')gridzoom

Funcin dadoR:

Dadas las magnitudes en el extremo receptor de la lnea, la siguiente funcin calcula las magnitudes en el extremo emisor, as como las perdidas, regulacin de tensin yeficiencia.Argumentos de entrada: Vector tensin extremo receptor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Vector potencia extremo receptor - [Pr (MW) Qr (MVAr)] ABCD - Matriz de 2x2 con las constantes de la lnea.Argumentos de salida: Vector tensin extremo emisor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Vector potencia extremo emisor- [Ps (MW) Qs (MVAr)] Vector perdidas - [Pl (MW) Ql (MVAr)] Regulacin de tensin en %. Eficiencia en %.function[vVs,vSs,vSl,VReg,Ef]=dadoR(vVr,vSr,ABCD)

VrM=vVr(1); % Extraccin de los valores de mduloif length(vVr)==1; % y fase del vector tensin en el extremo VrF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0.else VrF=vVr(2);endVrFrad=deg2rad(VrF);Vr = VrM*exp(j*VrFrad)/sqrt(3); % Tensin fase-tierra compleja.

Pr=vSr(1); % Extraccin de los valores de P y QQr=vSr(2); % del vector de potencia en el extremo receptor.Sr = Pr+j*Qr; % Potencia aparente.

Ir = conj(Sr)/(3*conj(Vr)); % Corriente compleja.VsIs = ABCD*[Vr;Ir]; % Clculo de la tensinVs = VsIs(1); % y corriente en el extremo emisor.Is = VsIs(2); % usando ABCD.VsM = abs(Vs)*sqrt(3); % Mdulo y ngulo de la tensinVsF = rad2deg(angle(Vs)); % fase-fase.Ss = 3*Vs*conj(Is); % Potencia aparente extremo emisor.Ps = real(Ss); % Potencia real.Qs = imag(Ss); % Potencia reactiva.Sl = Ss - Sr; % Prdida aparente.Pl = real(Sl); % Prdida real.Ql = imag(Sl); % Prdida reactiva.

vVs = [VsM VsF]; % Vector tensin en el extremo emisor.vSs = [Ps Qs]; % Vector potencia en el extremo emisor.vSl = [Pl Ql]; % Vector perdidas.VReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulacin de tensin.Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia.1

Comentarios:

1- La regulacin de tensin es la diferencia porcentual entre la tensin en el extremo receptor en condicin de vaco frente a la tensin en el mismo extremo en condicin de carga:Ejemplo 5.4:

Aplicacin con los siguientes datos de entrada: lnea de 60Hz, 300km cuyosparmetros son: r=0.016 /km, L=0.97mH/km y C=0.0115 F/km, en el extremoreceptor la potencia de la carga es 800 MW 600 MVAr y la tensin 500kV.w=2*pi*60;z=0.016+j*w*0.97*1e-3;y=j*w*0.0115*1e-6;[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,300);vVr=500;vSr=[800 600];[vVs,vSs,vSl,VReg,Ef]= dadoR(vVr,vSr,ABCD)vVs = 623.5109 15.5762

vSs = 815.4043 535.1287

vSl = 15.4043 -64.8713

VReg = 34.1597 !!!

Ef = 98.1108

Funcin dadoS:

La siguiente funcin es anloga a la anterior pero en este caso se dan los datos en el extremo emisor y se calculan los del extremo receptor.function[vVr,vSr,vSl,VReg,Ef]=dadoS(vVs,vSs,ABCD)

VsM=vVs(1); % Extraccin de los valores de mduloif length(vVs)==1; % y fase del vector tensin en el extremo VsF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0.else VsF=vVs(2);endVsFrad=deg2rad(VsF);Vs = VsM*exp(j*VsFrad)/sqrt(3); % Tensin fase-tierra compleja.

Ps=vSs(1); % Extraccin de los valores de P y QQs=vSs(2); % del vector de potencia en el extremo emisor.Ss = Ps+j*Qs; % Potencia aparente.

Is = conj(Ss)/(3*conj(Vs)); % Corriente compleja.VrIr = inv(ABCD)*[Vs;Is]; % Clculo de la tensinVr = VrIr(1); % y corriente en el extremo receptor.Ir = VrIr(2); % usando el inverso de ABCD.VrM = abs(Vr)*sqrt(3); % Modulo y ngulo de la tensinVrF = rad2deg(angle(Vr)); % fase-fase.Sr = 3*Vr*conj(Ir); % Potencia aparente extremo receptor.Pr = real(Sr); % Potencia real.Qr = imag(Sr); % Potencia reactiva.Sl = Ss - Sr; % Prdida aparente.Pl = real(Sl); % Prdida real.Ql = imag(Sl); % Prdida reactiva.

vVr = [VrM VrF]; % Vector tensin en el extremo receptor.vSr = [Pr Qr]; % Vector potencia en el extremo receptor.vSl = [Pl Ql]; % Vector perdidas.VReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulacin de tensin.Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia.Comentarios:Idntica a la anterior pero en este caso usando la relacin:

Funcin corto:

Dada la tensin en el extremo emisor, la siguiente funcin calcula la corriente de cortocircuito en el extremo emisor y en el receptor.Argumentos de entrada: Vector tensin extremo emisor - [Modulo (kV) Fase (grados)] Matriz 2x2 con los parmetros A B C D.Argumentos de salida: Corriente de cortocircuito extremo receptor, en ampers. Corriente de cortocircuito extremo emisor, en ampers.function[Ir,Is]=corto(vVs,ABCD)

VsM=vVs(1); % Extraccin de los valores de mduloif length(vVs)==1; % y fase del vector tensin en el extremo VsF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0.else VsF=vVs(2);endVsFrad=deg2rad(VsF);Vs = VsM*exp(j*VsFrad)/sqrt(3); % Tensin fase-tierra compleja.

Ir=Vs/ABCD(1,2); % Corriente de cortocircuito extremo receptorIs=ABCD(2,2)*Ir; % Corriente de cortocircuito extremo emisorComentarios:

Dada la siguiente configuracin en cortocircuito:A BC D+-+-LneaVsVr=0IsIrSe tiene:

Flujo de potencia compleja a travs de las lneas de transmisin.A BC D+-+-LneaVsVrIsIr

Funcin comp:

Cual es la compensacin que hay que poner en el extremo receptor de una lnea para que la tensin en este sea la requerida?.

Argumentos de entrada: Vector tensin requerida en el extremo receptor - [Mdulo Fase]. Vector potencia en el extremo receptor- [Pr Qr]. ABCD - Matriz de 2x2 con las constantes de la lnea. Porcentaje de compensacin capacitiva serie. Mdulo de la tensin en el extremo emisor. Argumentos de salida: Vector tensin en el extremo emisor- [Mdulo Fase]. Vector potencia en el extremo emisor - [Ps Qs] Vector perdidas - [Pl Ql]. Potencia de la compensacin shunt. Potencia de la compensacin serie. Regulacin de tensin. Eficiencia. Corriente compleja en el extremo emisor. Corriente compleja en el extremo receptor.Funcionalidades adicionales del programa:

- Permite entrar con el porcentaje de la impedancia serie de la lnea que se quiere compensar con un capacitor serie. El programa recalcula las constantes ABCD con este nuevo elemento (se puede ingresar 0 si no interesa considerar esta opcin)

- Se puede no ingresar la tensin en el extremo emisor, en este caso el programa interpreta que no se quiere calcular compensacin shunt, y el problema se reduce a la funcin dadoR aunque con la opcin de considerar compensacin serie.A BC D+-+-VsVrIsIrPr, QcargaQcshIcargaIcshQcsr

function[vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs)

if nargin==4; % Si no se ingresa Vs se le asigna Vs=-1; % un "flag" -1 lo que le indicar alend % programa que no debe calcular % compensacin "shunt".

VrM=vVr(1); % Extraccin de los valores de mduloif length(vVr)==1; % y fase del vector tensin en el extremo VrF=0; % receptor, si no se da la fase se asume 0.else VrF=vVr(2);endVrFrad=deg2rad(VrF);Vr = VrM*exp(j*VrFrad)/sqrt(3); % Tensin fase-tierra compleja.

Pr=vSr(1); % Extraccin de los valores de P y QQcarga=vSr(2); % del vector de potencia en el extremo receptor.Scarga = Pr+j*Qcarga; % Potencia de carga aparente.

Z=ABCD(1,2); % Clculo de las constantes delY=2*(ABCD(1,1)-1)/ABCD(1,2); % modelo pi.

if kc~=0, % Si se ingresa compensacin serie: Xcsr=-j*kc*imag(Z)/100; % se calcula la reactancia de esta, Z2=Z+Xcsr; % se le adiciona a la Z serie de la lnea ABCD=[1+Z2*Y/2 Z2;Y*(1+Z2*Y/4) 1+Z2*Y/2]; % y se recalculan laselse % constantes ABCD. Xcsr=0; end

if Vs~=-1, % Se procede a calcular la compensacin ba = angle( ABCD(1,2) )- angle(ABCD(1,1)); S1 = Vs*VrM/abs(ABCD(1,2)); S2 = abs(ABCD(1,1))*VrM^2/abs(ABCD(1,2)); bd = acos( (Pr + S2*cos(ba))/S1 ); Qr = S1*sin(bd) - S2*sin(ba); Qcsh = Qr - Qcarga;else Qr=Qcarga; Qcsh=0;end1

Sr = Pr + j*Qr; % Potencia en el extremo receptorIr = conj(Sr)/(3*conj(Vr)); % Corriente en el extremo receptor Icarga = conj(Scarga)/(3*conj(Vr)); % Corriente solo en la carga Icsh = Ir - Icarga; % Corriente a travs de la compensacinVsIs = ABCD*[Vr; Ir]; % Tensin y corriente en el extremo emisorVs = VsIs(1); Is = VsIs(2);VsM = abs(Vs)*sqrt(3);VsF = rad2deg(angle(Vs));vVs=[VsM VsF]; % Vector tensin extremo emisorSs = 3*Vs*conj(Is);Ps=real(Ss);Qs=imag(Ss);% Potencia extremo emisorvSs=[Ps Qs]; % Vector potencia en el extremo emisorSl = Ss - Sr;Pl = real(Sl); Ql = imag(Sl); % Perdidas en la lneavSl=[Pl Ql]; % Vector perdidas en la lneaIlinea = Ir + Y/2*Vr; % Corriente en la lneaQcsr =-abs(Xcsr)*(abs(Ilinea))^2; % Potencia capacitiva serieVReg = 100*(VsM/abs(ABCD(1,1)) - VrM)/VrM; % Regulacin de tensin.Ef = Pr/Ps*100; % Eficiencia.Comentarios:1-S1S2

Ejemplo 5.5:

Dada la lnea del ejemplo 5.4, calcular la compensacin necesaria para que, cuando la lnea est en vaco, la tensin en el extremo receptor sea de 500 kV, siendo la tensin en el extremo emisor tambin de 500kV, adems comparar graficamente el perfil de tensiones de la lnea con compensacin y en vaco en un rango de 0 a 300 km de 10 en 10.clearw=2*pi*60;z=0.016+w*j*0.97e-3;y=w*j*0.0115e-6;

l=0:10:300;[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,max(l));vVr=500;vSr=[100 400];kc=0;Vs=500;[vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs)

in=0;for k=l; in=in+1; [Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,k); vV=dadoS(vVs,vSs,ABCD); % Clculo tensin con compenzacin V(in)=vV(1); Vro(in)=abs(Vs/ABCD(1,1)); % Clculo tensin en vacioend

figure(1)plot(l,V,l,Vro)title('Perfil de tensiones')ylabel('Mdulo en kV')xlabel('Distancia en km')gridzoom

te5ej5

vVs = 500.0000 0.0021

vSs =0.1741 -164.5422

vSl = 0.1741 -329.0769

Qcsh = 164.5347 MVAr inductivos

Ejemplo 5.6:

Determinar la performance de la lnea del ejemplo 5.4, con una compensacin shunttal que las tensiones en los extremos emisor y receptor sean de 500kV, adems la lneacuenta con una compensacin serie del 40%, comparar la regulacin de tensin con la encontrada en el ejemplo 5.4.clearw=2*pi*60;z=0.016+w*j*0.97e-3;y=w*j*0.0115e-6;

l=0:10:300;[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,max(l));vVr=500;vSr=[800 600];kc=40;Vs=500;[vVs,vSs,vSl,Qcsh,Qcsr,VReg,Ef,Is,Ir]=comp(vVr,vSr,ABCD,kc,Vs) te5ej6

vVs = 500.0000 12.0224

vSs = 812.2567 -137.0232

vSl = 12.2567 -159.3035

Qcsh = -577.7196 MVAr Capacitivos

Qcsr = -37.7274

VReg = 4.4162 Gran mejora!

Ef = 98.4910

Funcin diagpot:

Esta funcin construye diagramas Qr contra Pr para diferentes relaciones de Vs y Vr, en el rango de dado.

Argumentos de entrada: Mdulo tensin en el extremo receptor Vector relacin Vs/Vr, ej: (0.8:0.1:1.3) Vector ngulo delta entre Vr y Vs, ej: (0:40) Constantes ABCDfunction diagpot(VrM,rVsr,delta,ABCD)d = delta*pi/180;ld=length(d);lrVsr=length(rVsr);

ba = angle( ABCD(1,2) )- angle(ABCD(1,1)); for k = 1:lrVsr, % Sentencias de clculo de Pr y Qr, para k diferentes VsM = VrM*rVsr(k); % relaciones de Vs/Vr, en un rango dado de delta. bd = angle(ABCD(1,2)) - d; S1 = VsM*VrM/abs(ABCD(1,2)); S2 = abs(ABCD(1,1))*VrM^2/abs(ABCD(1,2)); Pr(:,k) = (S1*cos(bd) - S2*cos(ba))'; Qr(:,k) = (S1*sin(bd) - S2*sin(ba))';end

% Ploteo de las curvas Pr y Qr, y puntos Pr y Qr en intervalos de 10 en 10 grados.plot(Pr, Qr,Pr(1:10:ld,:),Qr(1:10:ld,:),'s');

tx = max(Pr); ty = min(Qr); % Determinacin de las coordenadas de los textos % indicando la relacin Vs/Vr de cada curva.for k=1:lrVsr % "Impresin" de las relaciones Vs/Vr text( tx(k)+50, ty(k), num2str(rVsr(k)))end

xlabel('Pr, MW'), ylabel('Qr, Mvar')titulo=['Diagrama de potencia: delta de ' num2str(min(delta)) ' a ... num2str(max(delta))];title(titulo)gridzoom

Ejemplo 5.7:

Usar la funcin anterior para obtener los diagramas Qr contra Pr, para:Mdulo de la tensin en el extremo receptor 500Se harn tres diagramas: Vs/Vr=[0.8 1 1.2], para variando de 0 a 40 grados.Considerar la misma lnea de los ejemplos anteriores.clearw=2*pi*60;z=0.016+w*j*0.97e-3;y=w*j*0.0115e-6;[Z,Y,ABCD]=zy2abcd(z,y,300);% A los efectos de considerar compensacin serie:% Xcsr=-j*40*imag(Z)/100; % Z2=Z+Xcsr; % ABCD=[1+Z2*Y/2 Z2;Y*(1+Z2*Y/4) 1+Z2*Y/2];VrM=500;rVsr=(0.8:0.2:1.2);delta=(0:40);diagpot(VrM,rVsr,delta,ABCD)

Ejemplo 5.8:

Repetir el ejemplo anterior con una compensacin serie del 40 %.

*