TRABAJO PARA SEPTIEMBRE MATEMÁTICAS DE 4º ESO GRUPO AB

TEMAS 1 Y 2: LOS NÚMEROS Y SUS UTILIDADES I

REPASA TEORÍA:

NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros. Utilidad.

Divisibilidad. Revisión de los procedimientos básicos.

Operaciones combinadas con números enteros (recuerda la regla de signos y la jerarquía de operaciones).

NÚMEROS RACIONALES.

Expresión fraccionaria.

Fracciones. Fracciones propias e impropias. Simplificación y comparación.

Operaciones con fracciones. La fracción como operador. Fracciones equivalentes.

Representación de los números fraccionarios en la recta numérica.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.-¿Cuáles son los números naturales? ¿Cuántos son? ¿Con qué símbolo se representan (expresan)?

2.-¿Cuáles son los números enteros? ¿Cuántos son? ¿Con qué símbolo se representan (expresan)?

3.-¿Cuáles son los números racionales? ¿Cuántos son? ¿Con qué símbolo se representan

(expresan)?

4.-Calcula, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones:

a) – (–2 + 10 – 3) + (7 – 9) – (1 – 2 + 9)

c) 16 – [1 – (5 – (3 – 1)) + (2 – 8)] – 20

e) (8 – 11 – 5) – (12 – 13) +(11 + 4)

g) 3 – [(5 – 8) – (3 – 6)]

i) 15 + (6 – 18 + 11) – (7 + 15 – 19) + (1 –3 –6)

b) 15 – [13 – (6 – 8)]

d) (6 – 10) – [(5 – 3) – (4 – 6)]

f) 2 – [6 – (12 – 3 – 1)] – 8

h) (2 + 7) – (5 – [6 – (10 – 4)])

j) 1 – (3 – [4 – (1 – 3)])

5.- Realiza las siguientes operaciones:

a) (–30) : (–2) · (+5)

b) (+75) : (–25) : (+3)

c) (+60) : (+10) : (–2)

d) (+400) : [(–40) : (–5)]

e) (+7) · [(–20) : (+10)]

f) (+300) : (+30) · (–2)

g) (–3) · (–4) · (–2)

h) (–30) : [(–2) · (+5)]

i) (–30) : [(–24) : (+4)]

j) (+60) : [(+10) : (–2)]

k) (+400) : (–40) : (–5)

l) (+300) : (+30) · (–2)

6.- Calcula, recordando la prioridad de las operaciones

a) 22 – [5 · 3 – 4 · (8 – 3)] – 6 b) 18 – 3 · 5 + 5 · (–4) – 3 · (–2)

c) 5 · (–4) + (–2) · 4 – 6 · (–5) – 3 · (–6) d) 48 : [5 · 3 – 2 · (6 – 10) – 17]

e) (+4) · (1 – 9 + 2) : (–3) f) 13 – [8 – (6 – 3) – 4 · 3] : (–7)

g) 18 – 40 : (5 + 4 – 1) – 36 : 12 h) 4 + 36 : 9 – 50 : [12 + (17 – 4)]

7.- Obtén tres fracciones equivalentes a:

m) 2

7 n)

15

20 o)

6

9 p)

8

5 q)

13

4

8.-Escribe:

r) Una fracción equivalente a 410

que tenga por numerador 10

s) Una fracción equivalente a 912

que tenga 16 por denominador.

9.- Obtén en cada caso la fracción irreducible:

a) 4

28 b)

30

36 c)

44

48 d)

36

60 e)

80

100

10.- Calcula y simplifica:

a) 5 2 3 1

6 3 2 4

b)

1 1 1 1:

2 3 2 3

c)

5 3 1 34 5 3

8 4 2 8

d) 1 1 1 1

2 12 3 2 3

e) 1 1 1 1 1 1

1 1 12 3 2 4 2 6

11.- De un depósito que estaba lleno se han sacado, primero, 3

2 del total y, después, 5

1 del total.

Sabiendo que aún quedan 400 litros, ¿cuál es la capacidad del depósito?

12.- Un vendedor despacha, por la mañana, las 4

3 partes de las naranjas que tenía. Por la tarde

vende 5

4 de las que le quedaban. Si al terminar el día aún le quedan 100 kg de naranjas,

¿cuántos kilos tenía?

13.-Alberto ha disfrutado de 30 días de vacaciones. En el viaje ha ocupado 4 días, 12 días ha

disfrutado de la playa, 10 días ha realizado excursiones y el resto ha visitado a sus amigos. ¿Qué

proporción del tiempo ha destinado a cada actividad?

14.- Ana sale de compras y gasta la cuarta parte del dinero en comida y más tarde la mitad de lo que

le queda en ropa. Si vuelve a casa con 30 euros, ¿con cuánto dinero salió?

15.- De un solar se vendieron los 32 de su superficie, y después, los 32 de lo que quedaba. El

Ayuntamiento expropió los 3.200 m2 restantes para un parque público. ¿Cuál era su superficie?

16.-Efectúa: a) 2 1 3 7 5 1 1

5 2 5 12 3 4 5

b)

3 1 3 1 3 2: 5

10 3 5 2 7 3

TEMAS 1 Y 2: LOS NÚMEROS Y SUS UTILIDADES II

REPASA TEORÍA:

EXPRESIONES DECIMALES Y SU RELACIÓN CON LAS FRACCIONES.

Tipos de expresiones decimales. Paso de fracción a decimal. Paso de decimal exacto a fracción.

Paso de decimal periódico a fracción.

RECONOCIMIENTO DE NÚMEROS RACIONALES

Número racional como el que puede ponerse en forma de fracción, o bien el que tiene una

expresión decimal exacta o periódica. Números irracionales. Algunos tipos.

POTENCIACIÓN

Potencias de exponente entero. Propiedades.

Operaciones con potencias de exponente entero y base racional. Simplificación.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.- Halla la fracción generatriz irreducible de las siguientes expresiones decimales:

a) 7,2 b) 0,65 c) 1,264 d) 8,04 e) 0,014

f) 7,123123123... g) 0,001212.... h) 0,001212

2.- Halla la fracción generatriz irreducible de las siguientes expresiones decimales:

a) 0,8 b) 3,5 c) 2,53 d) 58,625 e) 3,539

f) 0,093 g) 12,348 h) 6,503 i) 9,090 j) 24,224

3.- Expresa en forma de fracción y calcula:

a) 2,3 1,1 0,20 b) 2,01 1,2 0,3 c) 3,7 1,4 : 0,08 d) 0,36 1,67 1,6 :1,1

4.- Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales: a) 1,28 b) 1,2828....

c) 1,234567... d) 0,242526 e) 0,242526... f) 6 g) 3,5

5.- Calcula el valor de las siguientes potencias: a) 25

b) 20 c) 6

1 d) 3

-2

e) (- 3)3 f) (- 2)

4 g) 7

-1 h) 22

0 i)

31

2

j)

31

4

k)

21

5

l)

21

7

m)

32

5

n)

13

4

o)

01

2

p) 5 – 3

q) (- 3) - 4

r) (- 2) – 5

s)

11

10

t)

21

4

u)

31

4

6.- Efectúa: a) 23 . 2

-2 . 2

6 b) a

-3 . a

7 . a

1 : a

3 c)

2 53 2

2 3

d)

3 2 4

0 6

3 3 3

3 3

7.- Simplifica usando las propiedades de las potencias:

a) 3 4 3

6 3

3 2 7

7 2 3

b)

42 5 3

4 2 7

5 3 2 5 3

5 2 2 3

c)

42 2

3 3 2 2a b a b

8.- Simplifica, descomponiendo previamente en factores primos, y utilizando las propiedades de las

potencias:

a) 3 2

2 3

24 6

22 12

b)

3 6

2 3

49 25 5

35 7

c)

2 5

2 4

625 9 6

75 32

d)

2 1

2 3

12 20

72 24

9.- Opera teniendo en cuenta la prioridad de operaciones:

a)

23 5

4 6

b)

2 21 2

25 3

c) 1 1 11

5 3 3 22

d)

2

2 023 5 3

5

10.- Opera teniendo en cuenta la prioridad de operaciones:

a) 2231 :32313 25453 232

b) 8)5(7426 3)43(:144352

c) 473213572

d) 81332)231(63)1(37)7(:35 2252

11.- Clasifica los siguientes números según sean Naturales, Enteros, Racionales o Irracionales:

33 10 10 15 43,1 ..2,2345389. 8

16 9 23,25 46 3,666... 23

8

7

N

Z

Q

I

12.- Expresa mediante una potencia de base 10:

a) 0,001 b) 1 000 000 c) 0,00000000001 d) (1 000) 3 e) (10 000)

– 3

f) (0,01) 5 g)

1

1 000 h)

1

0,0001 i)

3

1

0,01

j)

21

0,01

TEMAS: MONOMIOS Y POLINOMIOS

REPASA TEORÍA:

EXPRESIÓN ALGEBRAICA: qué es; tipos; valor numérico.

MONOMIO: qué es; grado; coeficiente; parte literal; valor numérico monomios semejantes;

operaciones (suma, resta, multiplicación y división).

POLINOMIO: grado; coeficientes; coeficiente principal; términos; término independiente; valor

numérico de un polinomio; suma, resta y multiplicación de polinomios; igualdades notables;

divisiones en casos sencillos (coeficientes enteros): dividir por Ruffini.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.- Halla el grado de los siguientes monomios e indica su coeficiente y su parte literal:

a) 6 xy3z

4 b) xyz c) – 8 x

7y

4 d) – y

3 e)

1

4 xy

10z

4

* escribe un monomio semejante a cada uno de ellos.

2.- Calcula el valor numérico de los siguientes monomios:

a) 3 x4y para x = - 2 e y = 5 b) 3 x

4y para x = - 1 e y = 0

3 e 1 para 3

2 ) 3 yxyxc

32) para 3 e 2

3d x y x y

3.- Realiza las siguientes sumas y restas de monomios:

22222 20754 ) yxxyxa 2222 462 ) yyyyb

2233

5

72

4

5

2

1 ) yyxxc xxxxd 53217 ) 22

4.- Opera:

42 53 ) xyyxa

zyxxyzb 534

4

3

3

1 ) 6332 59 ) yxyxc

242 3:6 ) xyyxd

372

4

3:

5

2 ) xyyxe

xyyxf

3

10:6 ) 32

xxg 5:

7

15 ) 2

4254 :35

2 ) zxyzxh yxzyxi 2432 3:45 )

5.- Halla el valor numérico de las siguientes expresiones:

a) yx26 para 2x e 5y b) 22 bab para 1a y 3b

c) P(x) = 537 2 xx para x = 2 d) 3 para 732)( 3 xxxxQ .

e) 2

1 para 42)( 234 xxxxxxR

6.- Ordena en orden decreciente e indica el grado y el término independiente:

Polinomio Polinomio ordenado Grado Término independiente 253 7274 xxxx

9148412 59055 xxxxx

222 551136 xxx

7.Si 2 3 2 3 2 3P( ) 3 7 4 2 ; Q ( ) 3 2 2 ; R( ) 2 6 x x x x x x x x x x x x efectúa

las operaciones indicadas:

a) )()( xQxP b) )()()( xRxQxP c) )()()( xPxRxQ

8.- Opera:

a)

1

3

4

2

12

3

1

2

3 22 xxxx b)

233

5

123

2

1

5

2xxxx

c)

8

1

4

1

8

3

4

11

2

5

8

3 222 xxxxx d)

245245 2

6

5

2

1

4

3

5

3xxxxxx

9.- Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 3522 23 xxx b) 78453 232 xxxx

c)

3

6

27

2

3

9

4 25 xxx d)

223

3

53

3

4

5

1xxxx

10.- Opera:

a) 4215 xx b) xx 4313 2

c) 6332 3 xxx d) xxxxx 29423 232

e) 153732 22 xxxx f) xxxxx 4863 2323

11.- Opera:

a) 3532 xx b) 31231 xxxx

c) 32225 2433 xxxxx d) 412236 2222 xxxxx

e) 32527 42323 xxxxx f)

3

2

1 2x

23

5

1

2

1xx

12.- Sabiendo que 352)( 23 xxxxP , 46)( 2 xxxQ y 34)( xxR efectúa las

operaciones indicadas:

a) )()()( xRxQxP b) )(5)(2 xRxP c) )()( xQxP d) )()( xRxQ

e) )()()( xRxQxP f) 2)(xR g) )()()( xRxPxQ h) )()()( xRxQxP

13.- Utiliza las identidades notables:

a) 25x b) 2

15 x c) 22x d) 2

32 x e) 234 x

f) 22 4xx g) 22 32 xx h) 27x i) 232 53 xx j) 2354 x

14.- Utiliza las identidades notables:

a) 55 xx b) 11 22 xx c) 5353 xx d) 7474 33 xx

e)

xx

2

31

2

31 f)

4

32

4

32 xx g)

7

1

7

1 33 xx

15.- Opera (usando las identidades notables):

a) 2222 xx b) 22

33 xx c)

2

2

1

2

1

2

1

xxx

16.- Efectúa las siguientes divisiones:

)4(:416128 ) 234 xxxxxa )32(:214294 ) 32 xxxxb

)453(:2540286 ) 223 xxxxxc 12:8264 ) 2245 xxxxxd

)2(:87124 ) 2234 xxxxxxe f) 2:32724 2234 xxxxxx

)323(:12201776 ) 232345 xxxxxxxg

17.- Divide usando la regla de Ruffini:

1:3

13 ) 3:626 )

5:1165 ) 2

1:232 )

)2(:)16( ) )4(:246138 )

)2(:428 ) )3(:61526 )

334

2332

423

35243

xxhxxxxg

xxxxfxxxxe

xxdxxxxc

xxxxbxxxxxa

TEMAS: ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

REPASA TEORÍA:

ECUACIONES DE 1ER

GRADO: cuáles son; solución de una ecuación de 1er grado; ecuaciones

equivalentes; transformaciones que mantienen la equivalencia; cómo se resuelven.

ECUACIONES DE 2º GRADO: cuáles son; solución de una ecuación de 2º grado; tipos: incompleta

y completa; cómo se resuelven en general; discriminante; cómo se resuelven en el caso de que sean

incompletas.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2

1351

4

26

xx b)

4

1

2

1

2

4

3

12

xxx c)

14

38

2

96

7

7

xxx

d) 5

12

6

1 xx

e) 0

24

7

4

32

8

11

xxx f) 03

6

5

4

2

x

xx

g) 18)16(2)54(3 xx h) )18(6531223 xxx

i) 2 1

2 5 5 2

x x j)

4 52

3 9 3

x x x k)

1 53 2

4 2x x

l) 2

3 1 23 2

xx m)

14 2 1 9

3x x n)

1 12 3

2 3 2

xx x

ñ) 2 2 1 3 34

3 6 4

x xx o)

5 2 2 1 153

2 4 4

x xx

p) 2 2 1 3 23

3 6 4

x xx q)

2 2 3 3 11

3 21

x x

2.- Resuelve, empleando la fórmula: a) x2 - 8x + 15 = 0 b) 2x

2 – 3x + 1 = 0

c) 15x2 – x-6 = 0 d) x

2 – 3x – 10 = 0 e) 10x

2 – x – 2 = 0 f) x

2 + 3x – 18 = 0

3.- Resuelve, aplicando el método adecuado a cada caso (algunas son ecuaciones incompletas):

a) x2 = 100 b) 5x

2 = 45 c) 2x

2 + 8 = 0 d) 4x

2 – 2x = 0 e)

2

182

x

f) 2

2 8

x x g) x

2 – 3x = 0 h) 3x

2 = 12x i) x

2 – 15 = 0 j) 9x

2 – 4 = 0

k) 3x2 + 5x + 11 = 0 l) 2x

2 – 50 = 0 m) 7x

2 + 5x = 0 n) -2x

2 + 10x = 0

o) 2

2x (x + 2) = x +1 2 p) 2(x + 1) (x - 3) + (x - 2) (x - 3) = x - 3x -1

TEMA: SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

REPASA TEORÍA:

ECUACIÓN LINEAL DE DOS INCÓGNITAS: cuáles son; solución de una ecuación lineal con dos

incógnitas; cómo se resuelven.

SISTEMA LINEAL DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS: qué es; solución de un

sistema; sistemas equivalentes; sistema compatible e incompatible; cómo se resuelven: método de

sustitución, igualación y reducción.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.- Resuelve por sustitución:

a) 5 0

2 3 22

x

x y

b)

3 7

5 2 11

x y

x y

c)

3 1

5 2 9

y x

x y

d)

8 5 1

3 2 12

x y

x y

2.- Resuelve por igualación:

a) 3 7

4 3 13

x y

x y

b)

3 2 11

5 2 21

x y

x y

c)

2 5

3 5

x y

x y

d)

4 5 10

3 6

x y

x y

3.- Resuelve por reducción:

a) 2 5

3 2 7

x y

x y

b)

6 2 0

3 5 12

x y

x y

c)

5 10

4 3 8

x y

x y

d)

7 5 10

2 3 5

x y

x y

4.- Resuelve:

a) 2 1 3 1

0

x y

x y

b)

4 2 7 5 0

3 3 4 4 0

x y

y x

c)

52 3 1

2

3 1 4 5 2

yx

x y

d)

2 1 7 8

3 2

3 2 7

x y

x y

e)

1 20

3 5

2 32

5

x y

xy

f)

12

1

3 12

2

x

y

xy

TEMA: PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES Y DE LOS SISTEMAS.

REALIZA LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1.- Expresa los siguientes enunciados en lenguaje algebraico:

a) El doble de un número. b) La mitad de un número. c) El cuadrado de un número.

d) La edad de Pepe dentro de 3 años. e) La edad de Pepe hace 5 años.

f) El triple de un número menos la tercera parte de ese número.

2.- La suma de dos números consecutivos es 221. Halla dichos números.

3.- Si añadimos 6 al doble de un número, el resultado es 40. ¿Cuál es ese número?

4.- Si al triple de un número le restamos 5 nos sale el mismo resultado que si le añadimos 7 al

doble de ese número. ¿Cuál es ese número?

5.- Calcula un número cuya mitad es 63 unidades menor que su doble.

6.- Calcula un número sabiendo que sus tres cuartos superan en 22 unidades a su mitad.

7.- Un número par, su siguiente y su anterior suman 24. Calcúlalos.

8.- Un número impar, su siguiente y su anterior suman 213. Calcúlalos.

9.- Calcula dos números impares consecutivos cuyo producto sea 195.

10.- Si multiplicas la tercera parte de un cierto número por sus tres quintas partes, obtienes 405.

¿Cuál es el número?

11.- La suma de dos números es 87 y su diferencia 25 ¿Cuáles son esos números?

12.- Calcula dos números de forma que su diferencia sea 43 y el triple del menor supere en cinco

unidades al mayor.

13.- Entre Pedro y yo tenemos 12 € . Si yo le diera 1,7 € entonces él tendría el doble que yo. ¿Cuánto

tenemos cada uno?

14.- Un puesto ambulante vende los melones y las sandías a un tanto fijo la unidad. Coral compra 5 melones

y 2 sandías por 13 € . Beltrán compra 3 melones y 4 sandías por 12 €. ¿Cuánto vale un melón? ¿Y una

sandía?

15.- En una granja entre gallinas y conejos hay 100 cabezas y 252 patas. ¿Cuántas gallinas y cuántos conejos

hay en la granja?

16.- Ana tiene el triple de edad que su hermana María, pero dentro de 5 años solo tendrá el doble ¿Cuál es la

edad de cada uno?

17.- Un fabricante de jabones envasa 550 kg de detergente en 200 paquetes, unos de 2 kg y otros de 5 kg.

¿Cuántos paquetes de cada clase utiliza?

18.- Un trabajador gana 60 € en un turno de día y 80 € en un turno de noche. ¿Cuántos días y cuántas

noches ha trabajado en un mes, si en total ha hecho 24 turnos y ha cobrado 1 600 €?

19.- Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto 13 y su padre Pedro 43. ¿Cuántos años han de transcurrir

para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?

20.- Halla la edad actual de un joven sabiendo que dentro de 15 años su edad excederá en tres años al doble

de su edad actual.

21.- Juan realiza las tres cuartas partes del camino en ferrocarril, las siete octavas partes del resto en coche y

los últimos 26 km en moto. ¿Cuántos km ha recorrido en total?

22.- En un aparcamiento hay 97 vehículos entre coches y motos. Al contar el nº de ruedas el resultado es

302. ¿Cuántas motos y cuántos coches hay?

23.- Por una obra en la que han trabajado 10 albañiles y 4 peones se pagan 2 844 €. Si cada peón cobra 80 €

menos que cada albañil, ¿cuánto le corresponde a cada uno?

24.- ¿Qué cantidad de euros le toca a cada una de las tres amigas si les toca una quiniela de 15 000 € y a

Mónica le corresponde el doble que a Berta, y ésta ha cobrado el triple que Andrea?

25.- Halla dos números enteros consecutivos cuyo producto sea 182.

26.- Halla un nº cuyo cuadrado exceda en 5 unidades al cuádruplo de dicho número.

27.- Halla dos números que suman 19 y la suma de sus cuadrados sea 221.

28.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Halla las longitudes de los catetos sabiendo que

su diferencia es 7 cm.

29.- Los lados de un triángulo miden 2, 3 y 4 cm. ¿Qué cantidad se debe sumar a cada uno de los lados

para que resulte un triángulo rectángulo?.

30.- La suma de dos números es 90, y su diferencia es 16. ¿Cuáles son esos números?.

31.- En una caja fuerte hay 2 500 € en billetes de 20 y 50 euros. Sabiendo que en total hay 110 billetes,

¿cuántos hay de cada clase?

32.- En una nevera hay 22 latas de refresco, unas de 1/3 de litro y otras de 1/5 de litro. En total

contienen 6 litros. ¿Cuántas latas hay de cada tipo?.

33.- En un examen tipo test se suman 2 puntos por cada problema bien resuelto. Si el problema está

mal resuelto, se resta 1 punto. Después de realizar 60 problemas, un alumno obtiene 30

puntos. ¿Cuántos problemas hizo bien y cuántos mal?

34.- Encuentra dos números tales que un tercio del primero sumado a la mitad del segundo sea igual

a 5 , y que el doble del primero más el triple del segundo sea igual a 30.

35.- Halla dos números pares consecutivos cuyo producto sea 2 040.

1. Representa las siguientes funciones:

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j) k)

l) m) n)

2. Escribe la ecuación de cada una de las siguientes funciones: