5 HIDROSTATICA

7/31/2019 5 HIDROSTATICA

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Soluciones ejercicios

jercicio 5.1 La compuerta de la figura tiene 2 m de ancho y contieua. Si el eje que soporta la compuerta que pasa por A soporta un par mmo de 150 kNm, determine la mxima altura h que puede tener el agua

h

2.1 m

2.8 m

Solucin. El perfil de presin que acta sobre la compuerta se ilustra efigura que sigue


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h

h1

z

L

e manera que necesitamos el rea y centroide de la figura

a b

L

A1

A2

omo conocemos las propiedades de un rectngulo y de un tringulo esbtener

A = A1 + A2 =1

2L(b a) + La =

1

2L(a + b).

l centroide est en posicin (medida desde la izquierda)

xC =L2

A2 +2L3

A1

A1 + A2

=1

3L

a + 2b

a + b

La presin vara de la forma

p = gh1 + gz sin ,

ntonces la fuerza por unidad de longitud es

wgh1 + wgz sin ,


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y su punto de aplicacin es

zc =1

3L

(wgh1) + 2(wgh1 + wgL sin )

wgh1 + (wgh1 + wgL sin )

=1

3L

3h1 + 2L sin

2h1 + L sin

El torque ser de magnitud

A = F(L zc) =1

2wgL(2h1 + L sin )(L

1

3L

3h1 + 2L sin

2h1 + L sin )

=1

6L3gw sin +

1

2L2gwh1

Nota: Vale la pena aprender a integrar pues es muy directo calcular

A =

ZL0

(L z)(wgh1 + wgz sin )dz

=1

6L3gw sin +

1

2L2gwh1

Numricamente w = 2 m, = 1 g c m3 = 1000kgm3, g = 10 m s2,L =

p2,12 + 2,82 = 3. 5 m, cos = 2,1/3,5 = 0,6, = 53. 13, calculamos

A = 1. 1433 105 + 1. 225 105h1,

de manera que de

1. 1433 105

+ 1. 225 105

h1 = 150000, resulta h1 = 0,29118m y luego

h = h1 + 2,8 = 3. 091m.

N

Ejercicio 5.2 Determnese el par que se requiere hacer en A para sostenerla compuerta indicada cuyo ancho, perpendicular al papel es w = 2 m.

6 m

2 m


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Solucin. Si z indica la posicin en la compuerta medida desde Aabajo, entonces numricamente ( = 1000kgm3, g = 10 m s2, w =

p = 10000(4 + z) N m2

y la fuerza por unidad de longitud ser

20000(4 + z) N m1.

Su resultante y punto de aplicacin ser calculada igual que en el proanterior con

F = 12

(2)(20000 4 + 20000 6)

= 200000 N

y su punto de aplicacin es

zc =1

32

(20000 4) + 2(20000 6)

20000 4 + (20000 6)

= 1. 067m.

de modo que el torque es

A = 200000 1. 067 = 2. 134 105 N m

Note de nuevo que integrando es mucho ms directo

Z2

0

20000(4 + z)zdz = 2. 13 105

N

Ejercicio 5.3 Determine la ubicaciny del pivotefijo A de manejusto se abra cuando el agua est como se indica en lafigura.


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2 m

1 m y

Solucin. Si h indica una coordenada de posicin medida desde la su-perficie del agua hacia abajo, entonces la presin en un punto ubicado a esaprofundidad es

p = gh,

(la presin atmosfrica acta por ambos lados y se cancela). Para que lacompuerta justo se abra, el punto de aplicacin de la resultante debe estaren el punto A. La coordenada del punto de aplicacin medida desde el puntoms alto de la compuerta puede escribirse

zc =1

3L

(wgh1) + 2(wgh2)

wgh1 + (wgh2)

=1

3L

h1 + 2h2h1 + h2

,

entonces1

3

1 + 2(2)

1 + 2= 0,56 m

por lo tanto

y = 1 0,56 = 0,44 m

N


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Ejercicio 5.4 Un bloque con una seccin transversal de rea A, altudensidad , est en equilibrio entre dosfluidos de densidades

1y

2

1

< < 2

. Suponga que losfluidos no se mezclan. Determine la de empuje sobre el bloque y encuentre la densidad del bloque en func1

, 2

, H y h.

1

2

Hh

Solucin. El empuje es igual al peso de la regin de fluido ocupael cuerpo, es decir

E = 1gV1 + 2gV2

= 1gAh +

2gA(H h).

Para obtener la densidad tenemos que

gAH = 1gAh + 2gA(H

h),

o sea

=1h +

2(H h)

H.

N

Ejercicio 5.5 Un cuerpo de material desconocido pesa 4 N en el

2,52 N sumergido en agua. Encuentre la densidad especfi

ca del materSolucin. En aire el peso es

P = CgVC,

completamente sumergido

P0 = CgVC LgVC,


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de manera queP

P0=

CgVCCgVC LgVC

=C

C L,

entonces

C = 2. 7027L

o seaC = 2. 7027gcm

3.

N

Ejercicio 5.6 Una balsa de rea A, espesorh y masa400kg flota en aguastranquilas con una inmersin de 5 cm. Cuando se le coloca una carga sobreella, la inmersin es de 7,2 cm. Encuentre la masa de la carga.

Solucin. Si la masa del cuerpo es M y la de la carga es m podemosescribir

Mg = (LgA)5,

(M + m)g = (LgA)7,2,

de donde se obtieneM + m

M=

7,2

5,

ym = 0,44M = 176,0 kg.

N

Ejercicio 5.7 Un cuerpo homogneo prismtico de 20cm de espesor 20cmde ancho y 40cm de longitud se mantiene en reposo sumergido en agua a50cm de profundidad al aplicar sobre l una tensin de 50 N . Cunto pesaen aire y cul es su densidad relativa?

Solucin. La tensin es el peso sumergido, es decir

P0 = CgVC LgVC = 50,

pero gVC = 0,2 0,2 0,4 10 = 0,16 de manera que

C L =50

0,16= 312. 5


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de manera queC = 1312. 5 k g m

3,

la densidad relativa esCr = 1,3125,

y el peso en aire ser

P = CgVC

= 0,16 1312. 5 = 210,0 N

N

Ejercicio 5.8 Qu fraccin del volumen de una pieza slida de mdensidad relativa al agua 7,25 flotar sobre un mercurio de densidad r13,57?

Solucin. Sea m la masa de la pieza (C). Su peso ser

W = mg.

Su volumen total serV =

m

C,

de modo que podemos escribir el peso en trminos del volumen como

W = CV g

Cuando una fraccin VS del volumen queda sumergido, la fuerza dpuje es

E = HggVS.

En la situacin de equilibrio el peso iguala al empuje de modo que

CV g = HggVS,

de dondeVSV

=C

Hg=

7,25

13,57= 0,534

o sea hay un 53,4 % sumergido y por lo tanto 46. 6 % sobre el nivMercurio.


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N

Ejercicio 5.9 Un tarro cilndrico de 20cm de dimetro flota en agua con10cm de su altura por encima del nivel del agua cuando se suspende un bloquede hierro de 100N de peso de su fondo. Si el bloque se coloca ahora dentrodel cilindro qu parte de la altura del cilindro se encontrar por encima dela superficie del agua? Considere la densidad del hierro 7,8 g c m3.

Solucin. Sea H en metros, la altura del cilindro, R el radio y h la alturapor encima del nivel del agua. El volumen sumergido de cilindro ser

V = R2(H h).

Sean V0, W0, 0 el volumen, peso y densidad del hierro

V0 =M0

0=

W0

g0,

entonces la condicin de equilibrio ser

MCg + W0 = H2OgR

2(H h) + H2OgW0

g0.

Cuando el bloque se coloca adentro, no est presente el empuje sobre elbloque de hierro de modo que

MCg + W0 = H2OgR

2(H h0),

donde h0

es la nueva altura sobre el nivel del agua. Al igualar las dos ecua-ciones se obtiene

R2(H h) +W0

g0= R2(H h0),

h +W0

R2g0= h0

h

0

= h

1

R2

W0

g0 .Los datos son h = 0,1 m, R = 0,1 m, 0 = 7800kgm3 y W0 = 100N,g = 10 m s2 obteniendo

0,11

(0,1)2100

10 7800

h0 = 0,059 m = 6 cm


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N

Ejercicio 5.10 Considere el sistema de la figura donde el tubo estde aceite de densidad = 0,85gcm3. Uno de los recipientes est abla atmsfera y el otro est cerrado y contiene aire. Determine la preslos puntos A y B si la presin atmosfrica es 1atm.

Aceite

Aire

0.5 m

2 m

A

B

Solucin. Al nivel del aceite de la izquierda tenemos actuando la patmosfrica pa = 1 atm = 101 325 Pa y se tiene

1 g c m3 = 1000 kg m3

pa = pA + gh1,

pB = pA + gh2,

con h1 = 2,5 m y h2 = 2 m. As calculamos

pA = 101 325 850 9,8 2,5

= 80500,0 Pa= 0,79447atm,

y

pB = 80500,0 + 850 9,8 2

= 97160,0 Pa

= 0,95889atm.


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N

Ejercicio 5.11 Con respecto a lafigura, determine la presin en los puntosA, B, y C de lafigura donde el aceite tiene densidad 0,90gcm3 y el agua1,00gcm3.

Aire AAire

C

Aceite

Agua

0.3 m

0.3 m

0.6 m

B

D

Solucin. Supondremos que la presin atmosfrica que acta sobre lasegunda columna de agua es pa = 1 atm = 101 325 Pa. Entonces

pa = pA + agua g 0,6,

pB = pa + agua g 0,6,

pB = pC + aire g 0,9.

Si se desprecia la densidad del aire tenemos que

pA = 101325 1000 9,8 0,6

= 95445 Pa

pB = pC = 101325 + 1000 9,8 0,6

= 1 072 10 Pa.

N

Ejercicio 5.12 En una piscina se encuentra flotando una balsa que tieneforma de un paraleleppedo de densidad relativa (al agua) de 0,3 y cuyasdimensiones son120cm de largo, 100cm de ancho y25cm de alto. Determine

a) La fuerza de empuje.

b) La altura medida desde el fondo de la balsa a la que se encuentra lalnea deflotacin.


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c) El peso que debera colocarse sobre la balsa para que esta se hu6 cm ms.

Solucin. Si la balsa flota, entonces la fuerza de empuje debe seal peso, esto es

E = gV = 300 9,8 1,2 1 0,25 = 882,0 N.

Sea h la altura sumergida. El empuje debe adems ser igual al pelquido desplazado, es decir

E = aguagVdesp,

entonces podemos igualar

300 9,8 1,2 1 0,25 = 1000 9,8 1,2 1 h

de donde

h =300 0,25

1000= 0,075 m = 7,5 cm.

Para que se hunda 6 cm ms tenemos que agregar un peso W, donde etotal debe igualar al nuevo empuje, esto es

882 + W = 1000 9,8 1,2 1 (0,075 + 0,06) = 15 87,6

de dondeW = 15 87,6 882 = 7 05,6 N.

N

Ejercicio 5.13 Determine la fuerza resultante y su punto de aplidebida a la accin del agua sobre la superficie plana rectangular de AB = 2 m y de ancho 1 m (hacia adentro del papel), donde el puntoa profundidad de 1,2 m.

1.2 m

2 m

O

A

B


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Solucin. Como se explica en el texto

F =1

2wg

y22 y2

1

y su punto de aplicacin ser

yP = 23

y2

1 + y2y1 + y2

2

y1 + y2.

siendo y1 = 1,2 m, y2 = 3,2 m, = 1000 kg m3, w = 1 m, g = 9,8 m s2 as

calcule

F =1

21000 9,8(3,22 1,22) = 43120,0 N,

y

yP =2

3

1,22 + 1,2 3,2 + 3,22

1,2 + 3,2 = 2. 3515m,

medido desde la superficie del agua.

N

Ejercicio 5.14 Repita el problema anterior si la lnea OAB forma un n-gulo de 30o respecto a la vertical.

1.2 m

2 m

O

A

B 30

Solucin. Como se explica en el texto

F =1

2wg

y22 y2

1

cos ,

y su punto de aplicacin ser

yP =2

3

y21

+ y2y1 + y2

2

y1 + y2,


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donde los y se miden desde la superficie pero a lo largo de la compEntonces tenemos

y1 =1,2

cos30= 1. 3856m,

y2 = y1 + 2 = 3. 3856m,

calculando obtenemos

F =1

21000 9,8(3. 38562 1. 38562)cos

6= 40493 N,

yP =2

3

1. 38562 + 1. 3856 3. 385 6 + 3. 38562

1. 385 6 + 3. 3856= 2. 5253m.

N

Ejercicio 5.15 Un tubo en U que est abierto en ambos extremos s

parcialmente con agua. Despus se vierte keroseno de densidad 0,82gen uno de los lados que forma una columna de 6 cm de altura. Determdiferencia de altura h entre las superficies de los dos lquidos.

h

papa

6 cm

Solucin. Al nivel de la columna de agua en el lado derecho, la pes la misma en las dos ramas, por lo tanto

a(6 h) = k6,

de dondeh = 1. 08cm.


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N

Ejercicio 5.16 Un tubo en U que est abierto en ambos extremos se llenaparcialmente con mercurio. Despus se vierte agua en ambos lados obteniendouna situacin de equilibrio ilustrada en lafigura, donde h2 = 1 cm. Determi-ne la diferencia de altura h1entre las superficies de los dos niveles de agua.

h2

papa

h1

Solucin. Sea a la densidad del agua y m la densidad del mercurio. La

presin al nivel inferior del mercurio puede es la misma y puede calcularsepor las dos ramas obteniendo

mgh2 = agh2 + agh1,

de donde

h1 = (ma 1)h2.

N

Ejercicio 5.17 La compuerta de lafigura tiene una altura de 2 m un anchode 2 m, est articulada en A y apoyada en B como se indica en lafigura. Sielfluido es agua de densidad = 1000 kg m3 y su nivel llega hasta la mitadde la compuerta, determine las reacciones horizontales en los puntos A y B.


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2 m 1 m

A

B

figura (3)

Solucin. El centro de presin est a distancia

yP = 1 +2

3=

5

3m

del punto A y la fuerza de presin es

F =1

2gwh2 =

=1

21000 9,8 2 12

= 9800,0 N.

Si llamamos HA y HB las reacciones horizontales en A y en B, tenem

HA + HB + F = 0,

HB 2 + F5

3= 0

de donde

HB = F5

6= 8166. 7 N,

HA = 8166. 7 9800,0 = 1633. 3 N,

ambas hacia la izquierda.

N

Ejercicio 5.18 El tubo en U de lafigura est abierto a la presin atrica en ambos extremos y contiene dos lquidos (1) y (2) que no se m


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como se indica en lafigura. Determine la razn de las densidades 12

.

h2

papa

h1

figura (4)

Solucin. Igual que en un problema anterior, igualamos la presin cal-

culada por las dos ramas (2 el lquido inferior)

2gh2 = 1g(h1 + h2),

de donde1

2

=h2

h1 + h2.

N

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