5.3 Funciones Especiales
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5.3 Funciones Especiales• Ecuación de Bessel de orden v
(1)donde v 0, y x = 0 es un punto singular regular de (1). Las soluciones de (1) se llaman funciones de Bessel.
• Lengender’s Equation de order n(2)
donde n es un entero no negativo, y x = 0 es un punto ordinario de (2). Las soluciones de (2) se llaman funciones de Legendre.
0)( 222 yvxyxyx
0)1(2)1( 2 ynnyxyx
La Solución de la Ecuación de Bessel
• Puesto que x = 0 es un punto singular regular, sabemos que existe al menos una solución de la forma . Entonces de (1),
(3)
0nrn
nxcy
0
2
1
22220
0
22
1
220
00
22
00
222
])[()(
])()1)([()(
)()1)((
)(
n
nn
r
n
nn
rr
n
nn
rn
nn
rr
n
rnn
n
rnn
n
rnn
n
rnn
xcxxvrncxxvrc
xcxxvrnrnrncxxvrrrc
xcvxcxrncxrnrnc
yvxyxyx
De (3) tenemos la ecuación indicial r2 – v2 = 0, r1 = v, r2 = −v. Cuando r1 = v, tenemos
(1 + 2v)c1 = 0(k + 2)(k + 2+ 2v)ck+2 + ck = 0
ó (4)
La elección de c1 = 0 implica c3 = c5 = c7 = … = 0, así que para k = 0, 2, 4, …., dejando que sea k + 2 = 2n, n = 1, 2, 3, …, tenemos
(5)
,2,1,0,)22)(2(2
k
vkkcc k
k
)(2222
2 vnncc n
n
Así
(6)
,3,2,1,)()2)(1(!2
)1(
)3)(2)(1(3212)3(32
)2)(1(212)2(22
)1(12
20
2
60
24
6
40
22
4
20
2
nvnvvn
cc
vvvc
vcc
vvc
vcc
vcc
n
n
n
....
...
..
Elegimos c0 como valor específico
donde (1 + v) es la función gamma. Vease el Apéndice II. Hay una relación importante:
(1 + ) = ()Así que podemos reducir el denominador de (6):
)1(21
0 vc v
)1()1)(2()2()2()21()1()1()11(
vvvvvvvvv
De ahí que podemos poner (6) como
,...2,1,0,)1(!2
)1(22
n
nvnc vn
n
n
Funciones de Bessel de Primera Clase
• Podemos definir Jv(x) mediante
(7)
y
(8)
En otras palabras, la solución general de (1) en (0, ) es
y = c1Jv(x) + c2J-v(x), v entero (9)
Fig 5.3
0
2
2)1(!)1()(
n
vnn
vx
nvnxJ
0
2
2)1(!)1()(
n
vnn
vx
nvnxJ
Fig 5.3
Ejemplo 1
• Considere la ED
Hallamos v = ½, y la solución general en (0, ) es
0)1/4('" 22 yxxyyx
)()( 1/221/21 xJcxJcy
Funciones de Bessel de Segunda Clase
• Si v entero, entonces
(10)
y la función Jv(x) son soluciones linealmente independientes de (1). Otra solución de (1) es y = c1Jv(x) + c2Yv(x).
• Como v m, m un entero, (10) tiene la forma 0/0. De la regla de L’Hopital, la función
y Jv(x) soluciones linealmente independientes de
vxJxJvxY vv
v sin)()(cos)(
)(lim)( xYxY vmvm
0)('" 222 ymxxyyx
De ahí que para cada valor de v, la solución general de (1) es
(11)
Yv(x) se llama función de Bessel de segunda clase de orden v. Fig 5.4 ilustra y0(x) y y1(x).
)()( 21 xYcxJcy vv
Fig 5.4
Ejemplo 2
• Considere la ED
Hallamos v = 3, y de (11) la solución general en (0, ) es
0)9('" 22 yxxyyx
)()( 3231 xYcxJcy
EDs Solubles en Términos de Funciones de Bessel
• Sea t = x, > 0, en
(12)entonces por la regla de la cadena,
0)( 2222 yvxyxyx
dtdy
dxdt
dtdy
dxdy
2
22
2
2
dtyd
dxdt
dxdy
dtd
dxyd
• Así, (12) pasa a ser
La solución de la anterior ED es y = c1Jv(t) + c2Yv(t)Sea t = x, tenemos
y = c1Jv(x) + c2Yv(x) (13)
0
0
222
22
222
22
2
yvtdtdyt
dtydt
yvtdtdyt
dtydt
• Otra ecuación se llama ecuación de Bessel modificada de orden v,
(14)
• Ahora dejamos que sea t = ix, entonces (14) se transforma en
Las soluciones son Jv(ix) y Yv(ix). Una solución de valores reales, llamada función de Bessel modificada de primera clase de orden v se define como(15)
0)( 222 yvxyxyx
0)( 222
22 yt
dtdyt
dtydt
)()( ixJixI
• Análogamente a (10), la función de Bessel modificada de segunda clase de orden v entero se define como
(16)
y para cualquier v = n entero,
Puesto que Iv y Kv son linealmente independientes en (0, ), la solución general de (14) es
(17)
sin)()(
2)( xIxIxK
)(lim)( xKxKnn
)()( 21 xKcxIcy
• Consideramos otra ED importante:
(18)
La solución general de (18) es
(19)
Aquí no se especifican los detalles.
0 ,0212
2222222
pyxcpaxcby
xay c
)]()([ 21c
pc
pa bxYcbxJcxy
Ejemplo 3
Hallar la solución general de en (0, )SoluciónEscribiendo la ED como
recurriendo to (18)1 – 2a = 3, b2c2 = 9, 2c – 2 = −1, a2 – p2c2 = 0
luego a = −1, c = ½ . Además tomamos b= 6, p = 2.De (19) la solución es
093 yyyx
093 yx
yx
y
)]6()6([ 2/122
2/121
1 xYcxJcxy
Ejemplo 4
• Recordamos el modelo de la Sec. 3.8
Se debe comprobar que tomando
se tiene
0 ,0 xkexm t
2/ 2 tenks
022
22 xs
dsdxs
dsxds
Ejemplo 4 (2)
La solución de la nueva ecuación es x = c1J0(s) + c2Y0(s),
Si volvemos a sustituir
obtenemos la solución.
2/ 2 tenks
2/
022/
0122)( tt emkYce
mkJctx
Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
)()1()( xJxJ mm
m
)()1()( xJxJ mm
m
0,10,0
)0(mm
Jm
)(lim
0xYmx
Ejemplo 5
Obtener la fórmula SoluciónDe la ecuación (7) se deduce
1
1
120
2
0
20
2
2)1()!1()1()(
2)1(!)1(2
2)1(!)1(
2)1(!)2()1()(
nk
n
vnn
v
n
vnn
n
vnn
n
vnn
v
xnvn
xxvJ
xnvn
nxnvn
v
xnvnvnxJx
)()()(' 1 xxJxvJxxJ vvv
Ejemplo 5 (2)
)()(2)2(!
)1()(
1
0
12
xxJxvJ
xkvk
xxvJ
vv
k
vkk
v
• El resultado del ejemplo 5 puede escribirse como
que es una ED lineal en Jv(x). Multiplicando ambos lados por el factor de integración x-v, se obtiene
(20)
Se puede demostrar que(21)
Cuando y = 0, se deduce del (14) que(22)
)()()( 1 xJxJxvxJ vvv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
)()]([ 1 xJxxJxdxd
vv
vv
,)()( 10 xJxJ )()( 10 xYxY
Funciones de Bessel Esféricas
• Cuando el orden v es la mitad de un entero impar, esto es,
1/2, 3/2, 5/2, …..La función de Bessel de primera clase Jv(x) puede expresarse como función de Bessel esférica :
Como (1 + ) = () y (1/2) = ½, entonces
0
2/12
2/1 2)2/11(!)1(
)(n
nn xnn
xJ
!2)!12(
211 12 n
nn n
De ahí que
y
0
12
0
2/12
12
2/1 )!12()1(2
2!2
)!12(!
)1()(n
nn
n
n
n
n
xnx
x
nnn
xJ
(24) cos2)(
(23) sin2)(
2/1
2/1
xx
xJ
xx
xJ
La Solución de Ecuación de Legendre
• Como x = 0 es un punto ordinario de (2), usamos
Después de sustituir y simplificar, obtenemos
o en las formas siguientes:
0n
nnxcy
0)1)(()1)(2(06)2)(1(02)1(
2
31
20
jj cjnjncjjccnnccnn
Usando (25), para al menos |x| < 1, obtenemos
6
4201
!6)5)(3)(1()2)(4(
!4)3)(1()2(
!2)1(1)(
xnnnnnn
xnnnnxnncxy
(25) ,4,3,2,)1)(2(
)1)((!3
)2)(1(!2
)1(
2
13
02
jcjjjnjnc
cnnc
cnnc
jj
Observaciones: Si n es un entero par, la primera serie termina, mientras que y2 es una serie infinita. Si n es un entero impar, la serie y2 termina con xn.
(26) !7
)6)(4)(2)(1)(3)(5(!5
)4)(2)(1)(3(!3
)2)(1()(
7
5312
xnnnnnn
xnnnnxnnxcxy
Polinomios de Legendre
• Los siguientes polinomios de orden n son polinomios de Legendre:
(27) )157063(81)(),33035(
81)(
3)5(21)(),13(
21)(
)(,1)(
355
24
33
22
10
xxxxPxxxP
xxxPxxP
xxPxP
Son a su vez soluciones particulares de las EDs.
(28)
Fig 5.5
0122)1(:3
062)1(:2022)1(:1
02)1(:0
2
2
2
2
yyxyxnyyxyxnyyxyxn
yxyxn
Fig 5.5
Propiedades
• (1)
• (2)
• (3)
• (4)
• (5)
)()1()( xPxP nn
n
1)1( nP
nnP )1()1(
impar ,0)0( nPn
par ,0)0(' nP n
Relación de Recurrencia
• Sin comprobación, tenemos (29)
que es válida para k = 1, 2, 3, …Otra fórmula puede generar los polinomios de Legendre por diferenciación. La fórmula de Rodrigues para estos polinomios es:
(30)
0)()()12()()1( 11 xkPxxPkxPk kkk
... ,2 ,1 ,0 ,)1(!2
1)( 2 nxdxd
nxP n
n
n
nn