5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS...
Transcript of 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS...
![Page 1: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/1.jpg)
5.4 NÚMEROS COMPLEJOS
Milena R. Salcedo Villanueva
Mate 3041
Copyright © Cengage Learning. All rights reserved.
![Page 2: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/2.jpg)
2
• Usar la unidad imaginaria i para escribir
números complejos.
• Adicionar, sustraer, y multiplicar números
complejos.
• Usar conjugados complejos para escribir el
cociente de números complejos en la forma
estándar
• Encontrar soluciones complejas de ecuaciones
cuadráticas.
OBJETIVOS
![Page 3: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/3.jpg)
3
La unidad imaginaria i
![Page 4: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Origen de los números complejos
Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios a
números como −1, −5, −8 , etc. Con el tiempo se hizo
necesaria la ampliación de los números reales para formar
el conjunto de los números complejos
Consideremos la ecuación 𝑥2 + 1 = 0. La solución no es
real. Por que si tratamos de resolver la ecuación
obtenemos que
𝑥2 = −1 ó equivalentemente 𝑥 = ± −1
No hay solución en los reales, por que −1 no existe en el
conjunto de los números reales.
![Page 5: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Para hacer que las ecuaciones cuadráticas siempre tengan
solución, definimos 𝑖 = −1 y esto resolvería nuestro
problema.
El número 𝑖 se conoce como la unidad imaginaria.
Para cualquier número real positivo b se cumple que:
𝑏 = 𝑖 𝑏
![Page 6: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Raíces de números negativos
Tal como pasa para cada número real 𝑟 tiene dos raíces
cuadradas 𝑟 y − 𝑟.
Si 𝑎 es un número positivo, la raiz cuadrada principal de
– 𝑎 es
−𝑎 = 𝑖 𝑎
Ejemplo: Hallar a raiz cuadrada principal de:
• −5
• −81
![Page 7: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Notas
• Si 𝑎, 𝑏 ≥ 0, entonces 𝑎 ⋅ 𝑏 = 𝑎𝑏.
• Si 𝒂 < 𝟎 y 𝒃 < 𝟎, 𝒂 ⋅ 𝒃 ≠ 𝒂𝒃.
• Ejemplo: −3 ⋅ −2 ≠ (−3)(−2)
![Page 8: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Propiedades de 𝑖
Sabemos que 𝑖 = −1, entonces
𝑖2 =
𝑖3 =
𝑖4 =
𝑖5 =
𝑖6 =
𝑖7 =
𝑖8 =
![Page 9: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Chistecito
![Page 10: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Números complejos
Un número complejo es una expresión de la forma:𝒂 + 𝒃𝒊
donde 𝑎 y 𝑏 son números reales y
• 𝑎 se le conoce como la parte real
• 𝑏 se le conoce como la parte imaginaria
• 𝑖 = −1 ó 𝑖2 = −1
Propiedad:
Dos números complejos son iguales
𝒂 + 𝒃𝒊 = 𝒄 + 𝒅𝒊 si y solo si 𝒂 = 𝒄 y 𝒃 = 𝒅.
![Page 11: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Ejemplos
Analizar los siguientes números complejos.
3 + 4𝑖 Parte real ____, Parte Imaginaria ____
1
2−
2
34𝑖 Parte real ____, Parte Imaginaria ____
6𝑖 Parte real ____, Parte Imaginaria ____
– 7 Parte real ____, Parte Imaginaria ____
![Page 12: 5.4 NÚMEROS COMPLEJOS Milena R. Salcedo Villanueva …math.uprag.edu/milena/5.5 NUMEROS COMPLEJOS.pdfOrigen de los números complejos Los primeros matemáticos llamaron números imaginarios](https://reader033.fdocumento.com/reader033/viewer/2022051310/601140e411ca271c4e03173b/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Forma estándar- Ejemplos
Escribir en la forma estándar los siguientes números
complejos:
• 8 − −25
• 3 − −27
• 12
• 3𝑖2 + 2𝑖