Transformada de Laplace

Ejemplos

Definición de la Transformada de Laplace

• Definición básica Si f(t) está definida para t 0, entonces

b

b

dttftsKdttftsK00

)(),()(),( lim

Si f(t) está definida para t 0, entonces es la Transformada de Laplace de f.

Transformada de Laplace

0

)()}({ dttfetf stL

Transformadas inversas y Transformadas de derivadas

(a)

(b) (c)

(d) (e)

(f) (g)

Algunas transformadas inversas

s

11 1L

,3,2,1,!1

1

ns

nt

n

n L

ase ta 11L

22

1sinks

ktk L

22

1cosks

stk L

22

1sinhks

ktk L

22

1coshks

stk L

Ejemplo 1

Hallar las transformadas inversas de (a) (b)

Solución

(a)

(b)

5

1 1

sL

7

12

1

sL

4

5

1

5

1

24

1!4

!4

11t

ss

LL

tss

7sin7

1

7

7

7

1

7

12

1

2

1

LL

Hallar

Solución

Ejemplo 2

4

622

1

s

sL

4

622

1

s

sL

4

2

2

6

42

4

6

4

2

2

1

2

1

22

1

ss

s

ss

s

LL

L

tt 2sin32cos2

Ejemplo 3

Hallar Solución

Usando fracciones parciales Luego Si hacemos s = 1, 2, −4, entonces

)4)(2)(1(

9621

sss

ssL

)4)(2)(1(

962

sss

ss

2 6 9 ( 2)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 2)s s A s s B s s C s s

421

s

C

s

B

s

A

Así

16/5, 25/6, 1/30A B C

Ejemplo 3 (2)

)4)(2)(1(

9621

sss

ssL

ttt eee 42

30

1

6

25

5

16

4

1

30

1

2

1

6

25

1

1

5

16 111

sssLLL

Si son continuas en [0, ) y son de

orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes

en [0, ), entonces

donde

Transformada de una derivada

)1(,,', nfff

.)}({)( tfsF L

( )

1 2 ( 1)

{ ( )}

( ) (0) (0) (0)

n

n n n n

f t

s F s s f s f f

Resolver

Solución

Ejemplo 4

6)0(,2sin133 ytydt

dy

}2{sin13}{3 tydt

dyLLL

4

26)(36)(

2

ssYssY

4

266)()3(

2

ssYs

)4)(3(

506

)4)(3(

26

3

6)(

2

2

2

ss

s

ssssY

43)4)(3(

50622

2

s

CBs

s

A

ss

s

2 26 50 ( 4) ( ) 3

si 3: 104 (13) 8

s A s Bs C s

s A A

Ejemplo 4 (2)

2 26 50 8( 4) ( ) 3

si 0 : 50 32 3 6

s s Bs C s

s C C

2 26 50 8( 4) ( 6) 3

si 1: 56 40 ( 6) 4 2

s s Bs s

s B B

Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así

2

2 2

6 50 8 2 6( )

3( 3)( 4) 4

s sY s

ss s s

4

23

42

3

18)(

2

1

2

11

ss

s

sty LLL

ttety t 2sin32cos28)( 3

Ejemplo 4 (3)

Ejemplo 5 Resolver

Solución

5)0(',1)0(,2'3" 4 yyeyyy t

}{}{23 4

2

2tey

dt

dy

dt

yd

LLLL

4

1)(2)]0()([3)0()0()(2

ssYyssYysysYs

2

2 2

2

1( 3 2) ( ) 2

4

6 9 6 9( )

( 1) 2 4( 3 2) 4

s s Y s ss

s s s sY s

s s ss s s

Ejemplo 5 (2)

-16 1 25 1 1 1( )

5 ( 1) 6 ( 2) 30 ( 4)Y s

s s s

ttt eeesYty 421

30

1

6

25

5

16)}({)( L

2

2

6 9( )

( 1)( 2)( 4) ( 1) ( 2) ( 4)

6 9 ( 2)( 4) ( 1)( 4) ( 1)( 2)

16 25 1Para 1; 2 4 se obtiene ;

5 6 30

s s A B CY s

s s s s s s

s s A s s B s s C s s

s y A B y C

Demostración

L{eatf(t)} = e-steatf(t)dt =

e-(s-a)tf(t)dt = F(s – a)

Si L{f (t)} = F(s) y a cualquier número real, entonces

L{eatf(t)} = F(s – a)

Primer teorema de traslación

assat tfLtfe )}({)}({L

Hallar las T.L. de

(a) (b)

Solución (a) (b)

Ejemplo 6

}{ 35 te tL }4cos{ 2 te tL

45

45335

)5(

6!3}{}{

sstte

ssss

t LL

16)2(

2

16

}4{cos}4cos{

22

2

)2(2

s

s

s

s

tte

ss

sst LL

Hallar la T.L. inversa de (a) (b) Solución (a) tenemos A = 2, B = 11

Ejemplo 7

2

1

)3(

52

s

sL

64

3/52/2

1

ss

sL

22 )3(3)3(

52

s

B

s

A

s

s

BsAs )3(52

22 )3(

11

3

2

)3(

52

sss

s

Ejemplo 7 (2)

y tenemos

2

11

2

1

)3(

111

3

12

)3(

52

sss

sLLL

tees

s tt 33

2

1 112)3(

52

L

(a)

Ejemplo 7 (3)

2 2 2 2

/ 2 5 / 3 / 2 5 / 3 / 2 5 / 3

4 6 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 2

s s s

s s s s s

2 2 2 2

2 2

/ 2 2 / 2 5 / 3 2 / 2 1 2 2 1

2 3( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 2 ( 2) 2

1 2 2 2

2 ( 2) 2 ( 2) 23 2

s s

s s s s

s

s s

(b)

Ejemplo 7 (4) (b)

22

1

22

1

2

2

23

2

22

1

ssss ss

sLL

tete tt 2sin3

22cos

2

1 22

1 1 1

2 2 2

/ 2 5 / 3 1 2 2 2

24 6 ( 2) 2 ( 2) 23 2

s s

s s s s

Resolver

Solución

Ejemplo 8

6)0(',2)0(,9'6" 32 yyetyyy t

)(9)]0()([6)0()0()(2 sYyssYysysYs3)3(

2

s

)()96( 2 sYss3)3(

252

ss

)()3( 2 sYs3)3(

252

ss

)(sY52 )3(

2

)3(

52

ss

s

Ejemplo 8 (2)

52 )3(

2

)3(

11

3

2)(

ssssY

1 1 1

2 5

1 1 2 4!( ) 2 11

3 4!( 3) ( 3)y t

s s s

L L L

,1 3

32

1 t

ss

tes

Lt

ss

ets

34

35

1 !4

L

ttt etteety 3433

12

1112)(

Ejemplo 9

Resolver

Solución

0)0(',0)0(,16'4" yyeyyy t

)(6)]0()([4)0()0()(2 sYyssYysysYs1

11

ss

)()64( 2 sYss)1(

12

ss

s

)(sY)64)(1(

122

ssss

s

64

3/52/

1

3/16/1)(

2

ss

s

sssY

Ejemplo 9 (2)

2 21 1 1 2cos 2 sin 2

6 3 2 3

t t ty t e e t e t

1 1

1 1

2 2

1 1 1 1( )

6 3 1

1 2 2 2

2 ( 2) 2 ( 2) 23 2

y ts s

s

s s