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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
103
Unidad V
EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS En un modelo bastante simplificado se puede suponer que en una poblacin (puede ser una cra de peces en un estanque, un cultivo de bacterias para un experimento de laboratorio, etc.) la razn de cambio instantneo de la poblacin es proporcional a la poblacin presente. Esta situacin lleva al planteamiento de cierto tipo especial de ecuaciones que juegan un importantsimo papel en las aplicaciones del Clculo: las Ecuaciones Diferenciales. Las ecuaciones diferenciales surgen en una gran cantidad de contextos para describir fenmenos fsicos, qumicos, elctricos, mecnicos, radiactivos, calricos, de vibraciones y muchos ms. Definicin: Una ecuacin diferencial es aquella en que la incgnita es una
funcin y en la cual aparece una o ms de las derivadas de la funcin.
Ejemplo de algunas ecuaciones diferenciales. Las siguientes son ecuaciones diferenciales:
1. y + y +y = 2 x
2. 21
' 2 2=
+
+
xyyx
3. x y x 2 y = y
En todos los casos se supone que y es una funcin de x. Todas las ecuaciones diferenciales que se dan en el ejemplo anterior se dice que son ordinarias porque dependen de solo una variable independiente. La primera y la tercera son de segundo orden porque la derivada de orden mayor que aparece es y y la segunda es de primer orden porque la derivada de mayor orden que aparece es y . Una funcin f (x) es solucin de una ecuacin diferencial si al ser sustituida en la ecuacin la satisface. Verificando una solucin
Ejemplo: Verificar que la funcin f (x) = e 2x es solucin de la siguiente ecuacin
diferencial:
y - 3 y + 2 y = 0.
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Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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Solucin: Tomamos en el lugar de y la funcin f (x).
Tenemos que: f (x) = 2 e 2x y f (x) = 4 e 2x
y por lo tanto: y 3 y + 2 y = 4 e 2x 3 (2 e 2x) + 2 (e 2x) = 4 e 2x 6 e 2x + 2 e 2x = 0
Dado que el resultado ES 0, podemos decir que, f (x) s es solucin de la ecuacin diferencial.
Ejemplo: Verificar que la funcin g (x) = e 3x no es solucin de la siguiente ecuacin
diferencial:
y - 3 y + 2 y = 0. Solucin: Tomando ahora en vez de y la funcin g (x).
Tenemos que: g (x) = 3 e 3x y g (x) = 9 e 3x
y sustituyendo: y 3 y + 2 y = 9 e 3x 3 (3 e 3x) + 2 (e 3x) = 9 e 3x 9 e 3x + 2 e3x = 2 e 3x
El resultado NO ES 0, por lo tanto, g(x) no es solucin de la ecuacin diferencial.
Ejercicio: Pruebe que h (x) = e x s es solucin de la ecuacin diferencial del ejemplo
anterior.
Solucin: Tomamos en el lugar de y la funcin h (x). Tenemos que: h (x) = e x y h (x) = e x
y por lo tanto: y 3 y + 2 y = e x 3 (e x) + 2 (e x) = e x 3 e x + 2 e x = 0
Como el resultado ES 0, podemos decir que, h(x) s es solucin de la ecuacin diferencial.
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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
105
Probar que una funcin dada es solucin de una ecuacin diferencial es un proceso relativamente sencillo, sin embargo, encontrar las soluciones (esto es, resolver la ecuacin) no es en general un problema tan fcil. Desde luego, no es propsito resolver aqu estas ecuaciones. Cabe advertir que existen muchsimas familias de ecuaciones diferenciales, que se resuelven por mtodos particulares. Por otra parte, el uso del clculo integral en la resolucin de ecuaciones diferenciales es fundamental. 1. CRECIMIENTO POBLACIONAL
Sea N (t ) la poblacin en el instante t (puede ser que t sea segundos, horas, das, aos, etc., dependiendo de la poblacin de que se trate). Entonces, la razn instantnea de cambio es N (t ).
El modelo dice que esta razn de cambio es proporcional a la poblacin:
N (t ) N (t )
Dos cantidades son proporcionales si su cociente es una constante, digamos k. De manera que en este caso particular tenemos:
ktNtN
=)(
)('
que es la ecuacin diferencial que describe el modelo. Esta es una ecuacin diferencial sencilla y podemos encontrar su solucin de un modo relativamente fcil.
En efecto, si integramos a ambos lados de la ecuacin obtenemos:
dtkdttN
tN =)(
)('
ln N (t ) = k t + M
y
x0
Crecimiento exponencial
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Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
106
Recuerde que )(
)(' ' ) )(ln (
tNtN
tN = y M constante arbitraria.
Si aplicamos la exponencial a ambos lados tenemos: N (t ) = e k t + M que por las propiedades de la exponencial, se puede escribir como: N (t ) = C e k t
Donde: C = e M. Se puede comprobar que C es la poblacin inicial.
Por la forma de la solucin este modelo se llama de crecimiento exponencial.
Ejemplo: Bacterias y crecimiento
Una poblacin de bacterias crece segn el modelo de crecimiento exponencial. Si inicialmente haba 1,500 bacterias y a los 20 minutos ya haba 2,000 bacterias, encontrar una funcin que describa el nmero de bacterias presente en cada instante t. Cuntas habr a los 30 minutos?
Solucin: La funcin es N (t ) = C e k t
Sabemos que C es la poblacin inicial, en este caso 1 500; entonces: N (t ) = 1 500 e k t
Para tener la funcin completa debemos encontrar k; sta la determinamos a partir de la otra informacin:
N (20) = 1 500 e 20 k = 2 000 e 20 k = 2 000 / 1 500 = 4 / 3
Es decir: e 20 k = 4 / 3, pero esta ecuacin se puede poner en forma logartmica como: 20 k = ln (4 / 3)
Entonces se tiene: 20 k = 0,287682 k = 0,287682 / 20
k = 0,0143
y, por lo tanto, la funcin es: N (t ) = 1 500 e 0,0143 t
Para saber el nmero de bacterias a los 30 minutos evaluamos la funcin en 30:
N (30) = 1 500 e (0,0143) 30 = 1 500 e 0,429 = (1 500) (1,535721) = 2 303,58
y
x0
N (t ) = 1 500 e k t
1 500
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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
107
Podemos decir que a los 30 minutos habr alrededor de 2 300 bacterias.
Ejemplo: Poblacin y crecimiento
El crecimiento de una ciudad, es proporcional al nmero de habitantes que hay en un instante cualquiera. Si la poblacin inicial es de 400 000; y al cabo de 3 aos es de 450 000.
Cunto tardar en duplicarse? Qu poblacin habr en 10 aos?
Datos: Inicialmente para t = 0 aos C = 400 000 habitantes
Para t = 3 aos N (3) = 450 000 habitantes
Solucin: La funcin es N (t ) = C e k t
Sabemos que C es la poblacin inicial, en este caso 400 000; entonces: N (t ) = 400 000 e k t
Para tener la funcin completa debemos encontrar el valor de k
Este valor de k lo determinamos a partir de t = 3 aos:
N (3) = 400 000 e 3 k = 450 000 e 3 k = 450 000 / 400 000 = 45 / 40 = 9 / 8
Es decir: e 3 k = 9 / 8, pero esta ecuacin se puede poner en forma logartmica como: 3 k = ln (9 / 8)
Entonces se tiene: 3 k = 0,117783 k = 0,117783 / 3 k = 0,03926
y, por lo tanto, la funcin es: N (t ) = 400 000 e 0,03926 t
Para saber el tiempo en que la poblacin se duplica tenemos: 800 000 =
400 000 e 0,03926 t
Por lo tanto: e 0,03926 t = 2 en forma logartmica: 0,03926 t = ln (2)
Entonces: 0,03926 t = 0,6931 t = 0,6931/0,03926 t = 17,65 aos 17 aos, 7 meses, 24 das
Para saber el nmero de habitantes al cabo de 10 aos evaluamos la funcin
en 10 aos:
N (10) = 400 000 e (0,03926) 10 = 400 000 e 0,3926 = (400 000) (1,4808) = 592 330
Podemos decir que al cabo de 10 aos habr alrededor de 592 330 habitantes.
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Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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Grfica que nos indica el comportamiento de la poblacin y el tiempo en el cual se duplica.
Grfica que nos dice el comportamiento de la poblacin y el nmero de habitantes que habr al cabo de los 10 aos.
2. ECUACIONES DIFERENCIALES
Son muchas las situaciones que se pueden describir mediante ecuaciones diferenciales. A continuacin damos dos ejemplos de circuitos elctricos y dos de mezclas qumicas.
Circuitos elctricos simples
Ejemplo I: Una fuerza electromotriz de 20 voltios se aplica en un tiempo, t =
0, a un circuito formado por un inductor de 2 henrios, conectado en serie con un resistor de 40 ohmios. Si la intensidad de la corriente es nula para t = 0. Calcular:
a) El valor de la intensidad de corriente en cualquier instante de
t > 0 b) El valor lmite de la intensidad de corriente.
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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Solucin: Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito elctrico; indicando:
E = fuerza electromotriz = 20 voltios
L = inductor = 2 henrios
R = resistor = 40 ohmios
I = intensidad en amperios
De cuerdo a la ley de Kirchhoff, se cumple que: La fuerza electromotriz es igual a la suma de la cada de voltaje en el inductor y a la cada de voltaje en la resistencia
tdId
L
= cada de voltaje en el inductor
R I = cada de voltaje en la resistencia
IRtdId
LE +=
Aplicando a nuestro problema, tenemos:
ItdId
+= 40
220
Vemos que es una Ecuacin Diferencial Lineal, resolvindola se tiene:
2
120 +==+ tecI 1020
I
td
Id ver anexo N 1
De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, la corriente: I = 0, con lo cual se puede calcular la constante c
De la ecuacin final tenemos que: 2
1=c
Respuesta a) Por lo tanto, resulta que la intensidad de corriente en cualquier instante
est dada por la siguiente ecuacin:
amperios )(12
1 20 teI =
E
R
L
I
+-
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
110
Respuesta b) Para resolver esta pregunta, hacemos que =t , por lo que resulta que:
amperios 2
1=I
Anexo N1
1020 =+ It d
I d
(1). Itd
Id= 2010
(2). tdI
Id
2010
=
(3). integrando (2): += ctdIId
2010
Donde: c = constante porque las integrales no tienen lmites
(4). Cambio de variable: 10 20 I = U
(5). Derivando (4): 0 20 d I = d U -20 d I = d U 20
=
UdId
(6). Reemplazando (5) y (4) en (3): += ctdUUd
20
+= ctdUUd
20
1
(7). Recordar: XX
Xdln
= , y que XXd = ctU += ln20
1
(8). Reemplazando de (4): ctI +=
)2010ln(20
1
)(20)2010ln( ctI +=
(9). Recordar: aeXaX ==ln
)(202010 cteI += 1020 )(20 += + cteI 20
10
20
)(20+=
+ cteI
2
1
20
)2020+=
cteI
2
1
20
2020+
=
ct eeI
20
20 cec
=
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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2
120 += tecI
Ejemplo II: Un condensador de 5 x 10-3 faradios est conectado en serie con
un resistor de 25 ohmios y una fuerza electromotriz de 50 voltios. Se cierra el interruptor cuando t = 0. Suponiendo que para t = 0 la carga del condensador y la intensidad de corriente son nulas, determinar:
a) La carga en cualquier instante.
b) La intensidad de corriente en cualquier instante.
c) La carga mxima que puede alcanzar el condensador.
Solucin: Se recomienda hacer una grfica con los elementos del circuito
elctrico; indicando:
Q = carga en coulombios
E = fuerza electromotriz = 50 voltios
C = condensador = 5 x 10-3 faradios
R = resistor = 25 ohmios
De los datos del problema tenemos: CQ
RIE +=
Y si adems sabemos que: tdQd
I
=
Por lo tanto: CQ
tdd
RE +=
Q
Reemplazando valores del problema tenemos:
28
Q
105
Q 2550 3 =+
+= QtddQ
tdd
Podemos observar que es una Ecuacin Diferencial Lineal que resolvindola se tiene:
tecQ += 8
4
1 ver anexo N 2
De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, la carga: Q = 0, con lo cual se puede calcular la constante c
E
R
C
I
+ -
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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De la ecuacin final tenemos que: 4
1=c
Respuesta
a) Por lo tanto, resulta que la carga en cualquier instante ser:
coulomb )e-(141 8 tQ == e
4
1-
4
1 8 tQ
Respuesta
b) Para la intensidad de corriente en cualquier instante, se calcula
previamente:
)888 (e4
8 e
4
1
4
1
)e1(
4
1
ttt Itd
dI
td
d
td
QdI
====
amperios e2 8 tI =
Respuesta
c) Haciendo = t , resulta:
coulomb 0,25=mximoQ
Anexo N2
28 =+ Qt d
Q d
(1). Qtd
Qd= 82
(2). tdQ
Qd
82
=
(3). integrando (2): += ctdQQd
82
Donde: c = constante porque las integrales no tienen lmites
(4). Cambio de variable: 2 8 Q = X
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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(5). Derivando (4): 0 8 d Q = d X -8 d Q = d X
8
X
=
dQd
(6). Reemplazando (5) y (4) en (3): += ctdXd
8 X
+= ctdXd
X
8
1
(7). Recordar: UU
Udln
= , y que PPd = ctX += ln8
1
(8). Reemplazando de (4): ctQ +=
)82ln(8
1
)(8)82ln( ctQ +=
(9). Recordar: aeXaX ==ln
)(882 cteQ += 28 )(8 = + cteQ 8
2
8
)(8
=
+ cteQ
4
1
8
)88+
=
cteQ
4
1
8
88+
=
ct eeQ
8
8 cec
=
4
1+= tecQ 8
3. PROBLEMAS QUMICOS Y MEZCLAS
Ejemplo I: Se tiene un recipiente que contiene 400 litros de agua y un contenido de 25 kilogramos de sal. Esta mezcla se mantiene uniforme mediante un mecanismo de agitacin. Si a este depsito ha de ingresar salmuera que contiene 0,25 kilogramos de sal por litro de salmuera a razn de 12 litros por minuto: determinar:
a) La cantidad de sal que
contendr en cualquier instante, si la mezcla sale del recipiente con el mismo gasto que entra.
b) La sal que contendr al cabo
de 30 minutos. c) Cundo contendr 75
kilogramos de sal?
12 litros / minuto
t = 0400 litros de agua 25 kilogramos de sal
12 litros / minuto 0,25 kilogramos de sal por litro de salmuera
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
114
Solucin: Iniciada la operacin tendremos:
Al transcurrir t minutos, hay x kilogramos de sal en el recipiente.
La ecuacin ser:
400)1212(400x
tx
=+
Luego al transcurrir dt minutos, x se incrementa en dx.
dx = (cantidad de sal que entra) (cantidad de sal que sale) que es la ecuacin de continuidad
dx = E dt S dt
Sal que entra: dtdtE == 325,012
Sal que sale: dtxdtxS ==1003
40012
Por lo tanto tenemos:
3= 3 - = 3 (1 - )
100 100 x
dx dt dt dx dt
Vemos que es una Ecuacin Diferencial Lineal, resolvindola se tiene:
t
eCxdtx
dx 1003
100)100
1(3
== ver anexo N 3
De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, el contenido de sal es de 25 kilogramos, con lo cual se puede calcular la constante C
De la ecuacin final tenemos que: 75)1(10025 == CC
Respuesta a) Por lo tanto, resulta que la cantidad de sal en cualquier instante est dada
por la siguiente ecuacin: t
ex 1003
75100
= Respuesta
b) Para resolver esta pregunta, hacemos que minutos 30=t , por lo que resulta
que:
x = 69,5 kilogramos
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Respuesta
c) Contendr 75 kilogramos de sal en:
6,3631
ln1003
7575100
7510075 1003
100
3
==
==
ttee
tt minutos
Anexo N3
dtxdx =
10013
(1). dtx
d=
1003
3
x
(2). integrando (1): +=
ctdx
d
1003
3
x
Donde: c = constante porque las integrales no tienen lmites
(3). Cambio de variable: Ux =1003
3
(4). Derivando (3): dUdx =1003
0 dUd =3
100 x
(5). Reemplazando (4) y (3) en (2): +=
cdtU
Ud 3
100
+= cdtUUd
3100
(6). Recordar: vv
dln
v= , y que vd = v ctU += ln3100
(7). Reemplazando de (3): ctx +=
1003
3ln3
100
)(1003
1003
3ln ctx
+=
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
116
(8). Recordar: aevav ==ln
)(
100
3
1003
3ct
ex +
= )(
100
3
31003 ct
ex +
= )(
100
3
3100
100ct
ex
=
tceex 100
3
100
3
3100
100
= 3 3
- -100 100100=100 -
3
c tx e e
c
eC 1003
3100
=
3
100100 C
= t
ex
Ejemplo II: Un tanque se llena con 320 litros de salmuera que contiene 8
kilogramos de sal disuelta. Luego se introduce en el tanque a un gasto de 16 litros por minuto, salmuera que contiene 0,3 kilogramos de sal por litro y la mezcla bien agitada sale del tanque con el mismo gasto.
a) Establecer la ecuacin
diferencial para la cantidad de sal en cualquier instante.
b) Hallar la cantidad de sal en
cualquier instante. c) Determinar la concentracin
de sal despus de 10 minutos
d) Cunta sal contendr el
tanque, cuando haya transcurrido mucho tiempo?
Solucin: Iniciada la operacin tendremos:
Al transcurrir t minutos en el tanque, hay x kilogramos de sal.
La concentracin ser: 320)1616(320x
tx
=+
Sal que entra: dtdtE == 4,80,316
Sal que sale: dtxdtxS ==
2032016
16 litros / minuto 0,3 kilogramos de sal por litro
16 litros / minuto
t = 0320 litros de salmuera 8 kilogramos de sal
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
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Respuesta a) Por lo tanto tenemos:
dtxdxdt
xdtdx =
= )96(20
208,4
Vemos que es una Ecuacin Diferencial Lineal, resolvindola se tiene:
2096)20
96(
t
eCxdtx
dx
=
=
De acuerdo al enunciado del problema, tenemos que para cuando: t = 0, el contenido de sal es de 8 kilogramos, con lo cual se puede calcular la constante C
De la ecuacin final tenemos que: 88)1(968 == CC
Respuesta b) Por lo tanto, resulta que la cantidad de sal en cualquier instante est dada
por la siguiente ecuacin:
208896
t
ex
= Respuesta
c) La concentracin de sal cuando t = 10 minutos es:
13,03208896 20
10
=
=
einconcentrac kilogramos / litro
Respuesta
d) Al transcurrir =t tenemos:
X = 96 kilogramos
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
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ANOTACIONES:
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................