5.GEOESTADISITICA COMO HERRAMIENTA DE …bibing.us.es/proyectos/abreproy/30152/fichero/5... · V....
Transcript of 5.GEOESTADISITICA COMO HERRAMIENTA DE …bibing.us.es/proyectos/abreproy/30152/fichero/5... · V....
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 77
V. La geoestadística como herramienta de mejora
5.1.- Introducción
Los primeros usos de la geoestadística surgen para satisfacer la
demanda por el estudio de fenómenos con correlación espacial. Estos
primeros usos comenzaron a partir de los años sesenta, especialmente
con el propósito de predecir valores de las variables en sitios no
muestreados. Como precursores de estas técnicas suelen citarse
trabajos de Sichel (1947; 1949) y Krige (1951). El primero observó la
irregular naturaleza y disposición del mineral de oro en las minas
sudafricanas. En una primera aproximación asimiló esta distribución a
una distribución de probabilidad lognormal y desarrolló las fórmulas
básicas para describir esta disposición en el espacio. Se trataba con ello
de realizar estimaciones acerca de las reservas, sin necesidad de
realizar carísimas prospecciones.
Con esta técnica se realizaron unas primeras estimaciones de las
reservas, pero bajo el supuesto de que las mediciones eran
independientes, en clara contradicción con la experiencia de que
existen “zonas” más ricas que otras.
Para tratar de considerar la dependencia espacial, el geólogo G. Krige
que propuso una variante del método de medias móviles, el cual puede
considerarse como el equivalente al krigeado simple que, resulta ser uno
de los métodos de estimación lineal más robustos.
Ya a principio de los años 60, en la Escuela de Minas de París (Matheron
1.962), se le da una formulación académica a estos métodos
desarrollados por profesionales.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 78
Con los años la teoría se fue depurando, ampliando su campo de
validez y reduciendo las hipótesis necesarias (Samper y Carrera, 1990).
De la minería las técnicas geoestadísticas, se han "exportado" a muchos
otros campos como hidrología, física del suelo, ciencias de la tierra y
más recientemente a la monitorización ambiental, al procesamiento de
imágenes de satélite y a la valoración inmobiliaria.
La clave del análisis geoestadístico es la determinación de la estructura
de autocorrelación entre los datos y su uso en la predicción a través de
las técnicas conocidas como kriging y cokriging. Otros ámbitos
importantes dentro de esta rama de la estadística son el diseño de
redes de muestreo (McBratney et al ., 1981), la geoestadística
multivariada (Wackernagel, 1995) y la simulación (Deutsh y Journel,
1992).
Esta técnica es solo una las áreas del análisis de datos espaciales. Sin
embargo no toda la información georreferenciada es susceptible de ser
analizada por medio de dicha metodología.
Por ello una primera e ineludible etapa del trabajo será la de realizar un
análisis exploratorio de los datos. En esta fase se trata de identificar la
localización, variabilidad, forma y observaciones extremas. Por ello se
comenzará por una descripción de los datos de los que se dispone, así
como una mención a las fuentes de dichos datos. Posteriormente se irán
desgranando los principales conceptos básicos dentro de la teoría
geoestadística.
Posteriormente se entrará a detallar los procedimientos empleados para
identificar de manera experimental (con base en datos muestrales) la
estructura de autocorrelación espacial, para algunas distancias dadas,
de un conjunto de datos de una variable. Una vez detectada la
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 79
autocorrelación espacial, el siguiente paso es la predicción en sitios de
la región de estudio donde no se ha hecho medición de la variable de
interés. Para ello se recurrirá a los procedimientos kriging que sirven para
realizar predicciones.
5.2.- Análisis exploratorio de los datos
a. Estadística espacial (geoestadística)
Estadística espacial o geoestadística es un conjunto de metodologías
diseñadas para el análisis de datos que corresponden a la medición de
variables aleatorias en diversos puntos del espacio de una región. De
manera más formal se puede decir que la estadística espacial trata con
el análisis de realizaciones de un proceso estocástico { }Ss:X(s)X ∈= , en
el que S representa una región objeto de estudio, X (s) es una variable
aleatoria en la ubicación s y s una localización precisa sobre S.
b. Áreas de la geoestadística
La geoestadística se subdivide en tres grandes áreas. Esta clasificación
se realiza atendiendo a las características de la región objeto de
estudio. A continuación se mencionan dichas áreas y se describen las
propiedades de la región objeto de estudio.
• Geoestadística: Los emplazamientos s provienen de una región o
conjunto S continuo y son seleccionadas atendiendo a las
necesidades del investigador. Este es el uso original que tuvo esta
técnica y como ejemplos de datos que pueden ser tratados con
esta son: estimación y localización de los contenidos de mineral
en una mina, niveles de un contaminante en diferentes sitios de
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 80
una región afectado por un vertido, valores de precipitación
medida en las diferentes estaciones meteorológicas en un mes
dado y como no, valores de inmuebles en un código postal. En los
ejemplos anteriores es claro que hay continuidad espacial, puesto
que en cualquier sitio de la parcela, de la mina, del acuífero o del
código postal pueden ser medias las correspondientes variables.
Es importante poner de manifiesto que en esta técnica el
propósito esencial es la predicción y si no hay continuidad
espacial pueden hacerse interpolaciones carentes de sentido. A
pesar de que las mediciones realizadas son georreferenciadas, es
muy frecuente que se corresponden a una superficie (finca) más
que a un punto del espacio.
• Lattices (enmallados): Los emplazamientos s pertenecen a un
conjunto S discreto y son seleccionadas por el investigador (S fijo).
La distribución espacial de los emplazamientos puede ser regular
o irregular. Algunos ejemplos de datos en mallas son los
siguientes42: Tasa de morbilidad de una enfermedad en un país o
región, tasa de accidentalidad en sitios de una ciudad,
producción de un determinado cultivo según municipio, colores
de los pixeles en interpretación de imágenes de satélite. La
característica común que se observa en los anteriores ejemplos es
que el conjunto de ubicaciones de interés es discreto y que estas
corresponden a agrupaciones en el espacio más que a un
conjunto de puntos del espacio. Evidentemente, la interpolación
espacial con este tipo de datos, probablemente, no tenga
sentido.
• Patrones Espaciales: el conjunto S objeto de estudio puede ser
discreto o continuo y su selección no depende del investigador (S
aleatorio). Ejemplos de datos dentro de esta área son43:
42 GIRALDO HENAO, RAMÓN. “Introducción a la geoestadística”. Universidad Nacional de Colombia. 43 Ibid.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 81
Localización de nidos de pájaros en una región dada, puntos de
imperfectos dentro de una placa metálica, ubicación de los sitios
de terremoto en zonas sísmicas o cuadrantes de una región con
presencia de una especie particular. Obsérvese como la
ubicación de los nidos de los pájaros, de los imperfectos dentro
de la placa metálica, de los sitios de terremoto o de los
cuadrantes con presencia de la especie presentarán
aleatoriedad en su ubicación. En este caso la primera etapa del
proceso es la de seleccionar los sitos en los que se quiera estudiar
una variable. En este caso, la máxima aspiración de la técnica
estará en verificar si esa variable que se pretende estudiar sigue
patrones de distribución aleatorios o no.
c. Datos Georreferenciados
Al realizar la toma de datos de las características de interés en un
estudio regionalizado, es imprescindible también emplazar
exactamente el sitio donde se realiza la medición. Para ello es necesario
recurrir a las coordenadas de los sitios en donde estas fueron tomadas.
El ámbito en el que este proyecto trata de llevarse a cabo es lo
suficientemente amplio como para que sea preciso un instrumento o
una herramienta que nos permita conocer las coordenadas que
emplacen la muestra tomada. En otros estudios en ámbitos más
reducidos es suficiente con plantear posiciones según unos planos
cartesianos.
A continuación, algunos conceptos básicos que permiten entender el
sistema de referencias que elegiremos;
• Coordenadas
o Geográficas.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 82
Mediante el Sistema de Coordenadas Geográficas es
posible definir toda posición sobre la Tierra usando dos de
las tres coordenadas de un sistema de coordenadas
esféricas. Este sistema de referencia estaría alineado con el
eje de rotación de la Tierra y a través de él es posible definir
dos ángulos medidos desde el centro de la Tierra:
• La latitud mide el ángulo entre cualquier punto y el
ecuador, es decir, se mide la “altura” respecto al plano
perpendicular al eje de rotación de la tierra. Las líneas
de latitud se llaman paralelos y son círculos paralelos al
ecuador en la superficie de la Tierra.
• La longitud mide el ángulo a lo largo del ecuador desde
cualquier punto de la Tierra. El origen de esta sistema
pasa por Greenwich en Londres (sería la longitud 0). A
diferencia de los paralelos las líneas de longitud son
círculos iguales que pasan por los polos y se llaman
meridianos. En la figura 41 se representa el sistema de
coordenadas esféricas necesario para emplazar un
punto sobre la superficie terrestre.
Figura 41: Coordenadas geográficas; meridianos y paralelos
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 83
o UTM.
El Sistema de Coordenadas Universal Transversal de
Mercator (En ingles Universal Transverse Mercator, UTM) es
un sistema de coordenadas basado en las ideas de
representación de Gerardo Mercator (1.512-1.594),
cartógrafo flamenco que ideo un sistema cartográfico a
partir del cual era posible representar la superficie esférica
de la tierra sobre una superficie cilíndrica que al ser
desplegada permitiera la identificación de cualquier punto
de la superficie terrestre sobre un mapa.
La idea de base es la misma aunque la superficie cilíndrica
ideada por Mercator era tangente al ecuador.
Actualmente la proyección se hace tangente a un
meridiano.
Mientras que el sistema de coordenadas tradicional utiliza
ángulos, el sistema UTM utiliza metros (al nivel del mar que es
la base de la proyección del elipsoide de referencia). En la
figura 42 se representa el desarrollo de la proyección de la
superficie terrestre sobre un cilindro tangente al ecuador.
Figura 42: Coordenadas UTM
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 84
Podemos observar las 60 zonas UTM (llamadas “husos”)
cada uno de ellos dividido en 20 bandas;
- Las bandas C a M están en el hemisferio sur.
- Las bandas N a X están en el hemisferio norte.
• GPS (Sistema de Posicionamiento Global)
El Global Position System (GPS) o Sistema de
Posicionamiento Global (más conocido con las siglas GPS
aunque su nombre correcto es NAVSTAR-GPS[]) es un
Sistema Globsal de Navegación por Satélite (GNSS) que
mediante un sistema formado por 27 satélites, es capaz de
localizar la posición de un cuerpo, con una precisión de
centímetros, en cualquier punto del Globo Terráqueo. El
origen del sistema es militar (actualmente es operado por el
Departamento de Defensa de los EEUU).
Sinteticamente, el funcionamiento del sistema es el
siguiente; el aparato utilizado para determinar la posición
(hoy este aparato podría ser un teléfono móvil) localiza un
mínimo de tres de los satélites del sistema. Al recibir una
señal de la posición de cada satélite dicho aparato
sincroniza el reloj del GPS y calcula el retraso de las señales,
es decir, la distancia al satélite. Por triangulación calcula la
posición en que éste se encuentra. Al tratarse de un
posicionamiento en tres dimensiones la triangulación se
resuelve averiguando el ángulo respecto de puntos
conocidos y la distancia de cada satélite respecto al punto
de medición. Conocidas las variables, se determina
fácilmente la propia posición relativa respecto a los tres
satélites que con posiciones conocidas permiten obtener la
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 85
posición absoluta o coordenadas reales del punto de
medición.
• Sistemas de Información Geográfica
Un Sistema de Información Geográfica (SIG o GIS, en su
acrónimo inglés) es un sistema formado por equipos,
programas informáticos y datos diseñado para almacenar,
analizar, manipular y desarrollar información situada en el
espacio. Las utilizadas de estos sistemas son enormes, desde
el apoyo para el conocimiento y la gestión del territorio
(Ministerio de Defensa o de medio Ambiente), la
ordenación y disciplina urbanística (Ayuntamientos),
comercial (páginas web de locales, inmuebles, telleres...),
etc.
A finales de 2.007 se publicó en el B.O.E. La Orden Ministerial 3011/2007,
de 4 de octubre, que modificó la Orden Ministerial 805/2003, de 27 de
marzo, sobre normas de valoración de bienes inmuebles y de
determinados derechos para ciertas finalidades financieras.
Entre otras novedades, la Orden introdujo la necesidad de incluir la
información catastral descriptiva y gráfica del inmueble acreditativa de
sus características físicas entre los documentos precisos para la
determinación del valor de tasación a efectos hipotecarios.
La consulta descriptiva y gráfica de bienes catastrales, en la que se
excluyen los datos de carácter personal, incluye la referencia catastral
que identifica unívocamente el bien en cuestión. Gracias a esa
referencia y gracias a que en la muestra utilizada disponemos de ella
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 86
usaremos la cartografía catastral para emplazar las muestras. Dicha
cartografía tiene las siguientes características 44:
• Proyección: U.T.M. en los husos 27, 28, 29, 30 y 31
• Sistema Geodésico: ED50 para península y Baleares (husos 29, 30 y
31) y WSG84 para Canarias (husos 27 y 28) .
• Ámbito de unidades de proceso: Término municipal, dividido en:
o Cartografía Catastral de Urbana:
§ Escalas de captura 1:500 y 1:1.000
o Cartografía Catastral de Rústica:
§ Escalas de captura 1:2.000 y 1:5.000
Figura 43: Ficha catastral de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla
En la figura 43 en la que pueden verse, en el plano de la derecha, las
coordenadas geográficas en las que se encuentra esta Escuela de
Ingenieros.
44 Servicio de publicación de mapas catastrales. Catastro. Ministerio de Economía y Hacienda.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 87
En una primera fase de aplicación de la geoestadística se suele utilizar,
al igual que en otros procedimientos estadísticos (por ejemplo los
modelos ARIMA dentro de la teoría de series de tiempo), el análisis
gráfico. Mediante la utilización de gráficos es posible identificar
fácilmente valores extremos y su ubicación geográfica, la evaluación
de la forma de la distribución y el cálculo de medidas de localización.
El gráfico explotarlo más empleado es el histograma45, con el propósito
de identificar localización, variabilidad, forma y observaciones extremas.
De igual modo son muy utilizados también los gráficos de dispersión
(que son especialmente útiles para detectar tendencias y relaciones
entre las variables) y para tener una idea visual de la existencia o no de
estacionariedad (un supuesto fundamental en el análisis geoestadístico
es que el fenómeno es estacionario, para lo cual, entre otros aspectos,
la media de la variable debe ser constante en todos los puntos del área
de estudio.)
Una detección de tendencia en el gráfico de dispersión puede ser una
muestra de que no se satisface dicho supuesto. El gráfico se construye
tomando como eje de las abcisas la variable que representa la
coordenada geográfica y en el eje de las ordenadas la variable
cuantitativa de estudio, el valor unitario en el caso que nos ocupa). La
observación de la nube de puntos resultante, incluso el ajuste de una
línea de regresión, permite establecer de manera empírica si existe
dicha tendencia. Un gráfico de dispersión entre valores de la variable
separados por una distancia espacial dada (dispersograma rezagado)
es útil en la detección de autocorrelación espacial46.
45 Ver figura 44 de histograma en un código postal de Sevilla, facilitado por ATASA. 46 GIRALDO HENAO, RAMÓN. “Introducción a la geoestadística”. Universidad Nacional de Colombia. Http://www.docentes.unal.edu.co/rgiraldoh/docs/LIBRO%20DE%20GEOESTADISTICA..pdf
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 88
Figura 44: Histograma de la distribución de valores unitarios
5.3.- Conceptos básicos de geoestadística
a. Procesos estocásticos
Puesto que son los procesos estocásticos la base sobre la que se apoya
el edificio de la geoestadística, en este capítulo introductorio se
repasará, sucintamente, los principales conceptos que definen los
citados procesos.
Un proceso estocástico (del griego “hábil en conjeturar”) puede
definirse, sencillamente, como un conjunto de variables aleatorias.
En el caso del presente proyecto, en el que se trata de explicar y aplicar
técnicas geoestadísticas para modelar el comportamiento de los
valores de determinados inmuebles, el proceso X se expresa como
{ },),...(),...,(),( 10 nSXSXSX donde el argumento de la función indica las
distintas localizaciones del plano euclídeo, y en el que cada variable
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 89
aleatoria )( isX representa, por ejemplo, el precio de la vivienda en la
localización is .
Todo ello se basa en la premisa de que un determinado fenómeno
puede ser modelado a partir de una (pequeña) muestra extraída de un
(gran) conjunto de datos o potenciales observaciones del fenómeno.
Bajo este enfoque, se entiende realización del proceso o variable
regionalizada47 a una asignación para cada valor de ,Ss∈ de un
posible valor de )(sX , es decir, se obtendrían n predicciones,
formalmente, se obtendrían n valores )(),...,(),( 21 nsxsxsx relativos a los
valores de las respectivas variables aleatorias.
¿Pueden considerarse los valor de los inmuebles como la realización de
un proceso estocástico?
Cualquier operador inmobiliario conoce las variaciones que se puede
encontrar en mercados de naturaleza inmobiliaria. Las causas de estas
variaciones pueden ser de lo más peregrinas por lo que está
perfectamente justificado el tratamiento probabilístico que se le
daremos a los valores, a pesar de que en problemas de estimación no
se conoce la función de distribución conjunta del proceso estocástico.
La máxima aspiración será con conocer algunos estadísticos básicos
(momentos de primer y segundo orden en la literatura) como son;
- Esperanza del proceso o valor esperado: función no aleatoria de s
que en cada punto coincide con la esperanza de la variable
aleatoria en ese punto.
NisXEssiXEs ii ∈∀== )),(()()()( µµ
47 MONTERO LORENZO J.M. Y LLARRAZ IRIBAS B. (2008): “Introducción a la Geoestadística Lineal”, Netbiblo, La Coruña.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 90
En el caso de que esta función )(sµ no sea constante, se dice que
el proceso presenta deriva o tendencia.
- Varianza del proceso: función no aleatoria de s que en cada
punto coincide con la varianza de la variable aleatoria en ese
punto.
NisiXVssiXVs i ∈∀== )),(()²()()²( σσ
- Autocovarianza del proceso: función no aleatoria de is y js tal
que para cualquier par de valores ),( sjsi coincide con la
covarianza entre las variables aleatorias en esos dos puntos.
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]jjiijiji ssXssXEsXsXssC µµ −−== ,cov,
- Función de autocorrelación: función no aleatoria de is y js tal que
para cualquier par de valores ),( sjsi coincide con el coeficiente
de correlación lineal de las correspondientes variables aleatorias;
( ) ( )( )[ ] ( )[ ]ji
jiji
sVsVssC
ss·
,
, =ρ
Cabe la posibilidad de que el proceso tenga varianza constante
por lo que
[ ] [ ] [ ])()()( sXVsXVsXV ji ==
- Semivariograma del proceso es una función no aleatoria de dos
variables definida de la siguiente manera:
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 91
[ ])()(21
),( jiji sXsXVss −=γ
b. Clasificación de procesos estocásticos
b.1. Proceso Estocástico Estacionario en sentido estricto
Se dice que la función aleatoria }:)({ SssXX ∈= es estrictamente
estacionaria si las familia (o los conjuntos) de variables aleatorias
{ },)(),...,(),( 21 nsXsXsX y { })(),...,(),( 10 hsXhsXhsX n +++ tienen la misma
función de distribución conjunta .0fhys∀ Es decir, la función de
distribución conjunta no sufre modificaciones por un movimiento de una
magnitud cualquiera h, por lo que las funciones de densidad
unidimensionales son independientes de la localización.
Por tanto, una función aleatoria es estacionaria en sentido estricto si
todas las variables aleatorias que la componen tienen la misma función
de distribución de probabilidad o lo que es lo mismo, el lugar concreto
en el que se examinará el proceso no es relevante.
En la práctica, ésta es una condición tremendamente estricta (se trata
más de una condición teórica que práctica), ya que será muy difícil
aceptar que las variables aleatorias que conforman la función aleatoria
generadora de la regionalización observada tengan la misma función
de distribución de probabilidad, pues normalmente la función de
distribución variará a medida que nos movemos en el espacio. Es por
esto por lo que dicha hipótesis suele relajarse hasta la denominada
hipótesis de estacionariedad de segundo orden, que impone la
igualdad de medias y varianzas pero permite distintas funciones de
distribución.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 92
b.2. Proceso Estocástico Estacionario de segundo orden
Se dice que el proceso { }SssXX ∈= :)( es estacionario de segundo
orden (débilmente estacionario o simplemente estacionario) si posee
momentos de segundo orden finitos (es decir, la covarianza existe) y
cumple que (Clark, 1979):
- el valor esperado existe y es constante: NisXE i ∈∀= ,))(( µ
- la covarianza existe y depende de la distancia entre las dos
localizaciones pero de los puntos )s(y)s( 21 concretos:
( ) ( )( ) ( ) ( )( )hsXhsXsXsX jiji ++= ,cov,cov Ni ∈∀ y .0fh
Vemos como la covarianza es función única del vector de
separación h que une las dos localizaciones en las que se está
observando sendas variables. Y puede depender no sólo de su
distancia o módulo sino también dirección. Se dice que la
covarianza es isótropa si solo depende del módulo de h y
anísotropa si además del módulo también depende de su
dirección
En la figura 45 se muestra el gráfico de una variable regionalizada
estacionaria.
Exceptuando fluctuaciones aleatorias, el valor promedio de la variable
no muestra una tendencia definida en alguna dirección.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 93
Figura 45: Gráfico de una variable regionalizada estacionaria
La existencia de la covarianza implica que la varianza existe, es finita y
no depende de h, es decir ( ) ².)0( σ== CXV s
Si un proceso es estacionario en sentido estricto, entonces lo es también
en sentido amplio. El reciproco, claro está, no es cierto en general. Este
caso de estacionariedad es más interesante que el anterior debido a
que se ajusta mejor al mercado inmobiliario, dada la severidad de las
condiciones de estacionariedad estricta.
b.3. Procesos intrínsicamente estacionarios.
La función aleatoria { }SssXX ∈= :)( se dice que intrínsicamente
estacionaria si para todo vector h , los incrementos de primer orden
( ) ( )sXhsX −+ de la función son estacionarios de segundo orden, no
teniendo por qué serlo la función aleatoria propiamente dicha:
( ) ( )[ ] 0=−+ sXhsXE
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 94
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )',cov'',cov hhhsXhhsXsXhsX =++++−+
b.4. Procesos no estacionarios
Se dice que la función aleatoria { }SssXX ∈= :)( es no estacionaria si:
( )[ ] ( )ssXE µ=
En la figura 46 se representa una variable regionalizada en la que existe
tendencia en el valor promedio de la variable, lo cual es claro indicador
de no estacionariedad.
Figura 46: Gráfico de una variable estacionaria
En la práctica resulta compleja la identificación de estacionariedad.
Suelen emplearse gráficos de dispersión de la variable respecto a las
coordenadas, de medias móviles y de valores clasificados según puntos
de referencia, con el propósito de identificar posibles tendencias de la
variable en la región de estudio. La isotropía es estudiada a través del
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 95
cálculo de funciones de autocovarianza o de semivarianza muestrales)
en varias direcciones. Si estas tienen formas considerablemente distintas
puede no ser válido el supuesto de isotropía. Finalmente una variable
regionalizada será no estacionaria si su esperanza matemática no es
constante y presenta deriva, esto es si ( )( ) )(ssXE µ= .
5.4.- Análisis estructural de la dependencia espacial
Para el estudio de la estructura de dependencia espacial se utilizarán la
covarianza y el semivariograma ya que al aparecer al menos dos
localizaciones muestrales en su definición, son capaces de transmitir
información estructural mediante la descripción de la interacción entre
los valores.
a. Covariograma
• Definición
Tal y como se definió en los conceptos previos, la función de covarianza
viene dada por la siguiente expresión;
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )[ ]jjiiji ssXssXEssC µµ −−=,
Para el estudio de la función de covarianza es necesario restringirse al
caso en que la función aleatoria )(sX sea estacionaria de orden dos, es
decir, bajo la hipótesis de estacionariedad de la media y la varianza ya
que al aparecer al menos dos localizaciones muest rales en su definición,
son capaces de transmitir información estructural mediante la
descripción de la interacción entre los valores.
• Elementos
En la figura 47 se representan los principales elementos de un
covariograma tipo:
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 96
C(0) m
a h
Figura 47: Ejemplo de covariograma tipo
o Valor en el origen (m): que coincide con la varianza de la
función aleatoria, C(0).
o Su comportamiento a medida que aumenta la distancia h,
módulo de h, indica la rapidez con la que decrece la
función.
o Su alcance (a), es la distancia a partir de la cual se
considera que la covarianza entre las variables aleatorias es
nula.
• Principales modelos teóricos de Covariograma
o Efecto pepita puro (figura 48)
0,0 fmsiendohsim =
=)(hC
0 0fhsi
C(0)
h
Figura 48: Covariograma teórico denominado “Efecto Pepita”
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 97
Este modelo refleja, mediante su discontinuidad en el origen, una
ausencia total de correlación espacial, que puede ser debida a
errores de medida o al mal uso de la escala utilizada.
o Esférico (figura 49)
ahsiah
ah
m ≤≤
−− 0
³³
21
23
1
=)(hC
ahsi ≥0
Indicando a, la distancia a partir de la cual la correlación es
nula y la meseta m , el valor que coincide con la varianza
del proceso.
C(0) m
a h
Figura 49: Covariograma teórico denominado “esférico”
El efecto pepita puro puede ser considerado como un caso
particular de éste en el caso en el que el alcance sea
infinitamente pequeño. Sin embargo hay una diferencia
importante entre los dos y es que, mientras el modelo de
covarianza de efecto pepita describe un fenómeno
discontinuos cuyos valores cambian repentinamente de
una localización a otra, el modelo esférico representa un
fenómeno continuo aunque no diferenciable, es decir, la
representación gráfica de un fenómeno puede representar
cambios bruscos de pendiente.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 98
o Exponencial (figura 50)
0m,asiendoem=)h(C ah
f
Como puede observarse, el parámetro a la rapidez con
que decrece la función de covarianza. En este caso, el
valor de covarianza cero se alcanza de forma asintótica
por lo que se puede hablar de a3 como la distancia a partir
de la cual la covarianza es prácticamente 0 ya que a3 es el
valor en el cual la covarianza ha decrecido el 95 % del valor
que tomaba en el origen.
C(0) m
a h
Figura 50: Covariograma teórico denominado “exponencial”
• Covariograma experimental
En la práctica, de lo que se dispone es de una muestra de la variable
objeto de estudio, es decir, de un conjunto de datos georreferenciados
en un dominio determinado. De esta muestra se deberá inferir la
estructura de dependencia espacial que presenta el fenómeno. Para
estimar esta covarianza experimental en la bibliografía consultada48 se
recurre al siguiente estimador, denominado covariograma experimental
y representado como C* (h):
( )( )
( )( ) ( )( )( )
∑=
−−+=hN
i
ii XsXXhsXhN
hC1
,1
*
48 MONTERO LORENZO J.M. Y LLARRAZ IRIBAS B. (2008): “Introducción a la Geoestadística Lineal”, Netbiblo, La Coruña.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 99
Es éste un estimador que puede calcularse a partir de la información
disponible, donde )(hN es el número de parejas de localizaciones que se
encuentran a una distancia que és el módulo de .h
Sin embargo el estimador ha de ser ajustado a uno de los modelos
teóricos expuestos anteriormente, ya que:
1.- No es una función definida en todo el campo positivo sino sólo en
algunos puntos.
2.- Debería tener algún significado físico.
3.- La utilización de uno de los covariogramas teóricos expuestos
garantiza la la positividad de la varianza de cualquier combinación
lineal de valores muestrales. Si se utilizase directamente el covariograma
experimental en el sistema de ecuaciones de krigeado, pudiera ocurrir
que la varianza del error de estimación fuese negativa.
A pesar de la utilidad de la función de covarianza como herramienta
para describir la estructura de la dependencia espacial del fenómeno
de interés, es el semivariograma el instrumento generalmente utilizado
para tal fin debido a que es capaz de modelar también fenómenos más
amplios que los estacionarios de segundo orden, en aquellos casos en
los que la covarianza puede no existir en el origen. Si el fenómeno
objeto de estudio es el de estacionariedad de segundo orden, ambas
funciones son equiparables desde el punto de vista teórico.
b. Semivariograma
• Definición
El semivariograma, por definición puede definirse como:
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 100
[ ])()(21
),( jiji sXsXVss −=γ
de manera más específica, atendiendo a los desplazamientos que se
producen en la región objeto de estudio:
[ ])()(21
),( sXhsXVhss −+=+γ
El uso más frecuente del semivariograma viene motivado porque en el
caso de que el proceso sea no estacionario (la esperanza no es
constante y la función aleatoria presenta deriva), la varianza tiende a
infinito, por lo que la covarianza no está definida en el origen.
• Elementos
Cabe decir que, como función, es semivariograma es una función
monótona que expresa gráficamente a la perfección una idea intuitiva
que ya se ha mencionado “las cosas que está más cercanas se
parecen más entre sí que aquellas que están más distantes.” En la figura
51 pueden apreciarse los elementos característicos de la función.
Rango o alcance
Meseta
C(0)
γ(h)
Distancia integral
Efectopepita
Figura 51: Elementos de un semivariograma
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 101
o Efecto pepita
Representa una discontinuidad puntual del
semivariograma en el origen. Puede ser debido a errores
de medición en la variable o a la escala de la misma. En
algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de
la estructura espacial se concentra a distancias inferiores
a las observadas.
o Meseta
Es la cota superior del semivariograma. También puede
definirse como el limite del semivariograma cuando la
distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no
finita. Los semivariogramas que tienen meseta finita
cumplen con la hipótesis de estacionariedad fuerte;
mientras que cuando ocurre lo contrario, el
semivariograma define un fenómeno natural que
cumple sólo con la hipótesis intrínseca. Si se interpreta la
pepita como un error en las mediciones, esto explica
porque se sugiere que en un modelo que explique bien
la realidad,
la pepita no debe representar mas del 50% de la
meseta. Si el ruido espacial en las mediciones explica en
mayor proporción la variabilidad que la correlación del
fenómeno, las predicciones que se obtengan pueden
ser muy imprecisas.
o Rango
En términos prácticos corresponde a la distancia a partir
de la cual dos observaciones son independientes. El
rango se interpret a como la zona de influencia. Existen
algunos modelos de semivariograma en los que no existe
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 102
una distancia finita para la cual dos observaciones sean
independientes; por ello se llama rango efectivo a la
distancia para la cual el semivariograma alcanza el 95%
de la meseta. Cuanto más pequeño sea el rango, más
cerca se esta del modelo de independencia espacial.
o Distancia integral
Un buen indicador del nivel de correlación es la
denominada distancia integral que puede definirse
como la distancia a partir de la cual el área por debajo
de la curva semivariográfica coincide con el área por
encima de ella y bajo la asíntota horizontal C(0). Una
distancia integral pequeña es indicativa de que la
correlación existe sólo en distancias cortas. Una distancia
estructural grande es característico de un fenómeno
poco estructurado, en el sentido de que en las distancias
cortas la correlación existente es escasa y además
decreciente.
Se trata esta de una curva muy interesante, más si cabe desde la
perspectiva del experto inmobiliario. Si la curva fuese “plana” no habría
dependencia espacial. En el ámbito que nos ocupa estaríamos en un
espacio heterogéneo, de difícil comparación de unas partes con otras
dentro del espacio objeto de estudio. Por el contrario, la existencia de
pendiente distinta de 0 indica la existencia de dependencia. Otro
aspecto interesante es el cambio brusco de pendiente que anuncia el
paso a una estructuración distinta en el espacio.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 103
• Principales modelos teóricos de semivariogramas:
Los semivariogramas denominados teóricos no son más que funciones
con una expresión analítica sencilla que satisface la condición de ser
condicionalmente negativos y que se utilizan para representar los
semivariogramas experimentales que se obtienen a partir de la
información disponible, ya que éstos pueden no satisfacerlas, lo cual
daría lugar a distintos problemas a la hora de llevar a cabo el proceso
de Krigeado49.
Hay que tener presente que estos modelos no se han deducido a partir
de ninguna hipótesis especial, ni pretenden representar procesos
específicos. Tan solo se tratan de “funciones sencillas”,
condicionalmente negativas, que se suelen construir en función de su
comportamiento en el origen y de su comportamiento a grandes
distancias (básicamente, si existe meseta o no)
El comportamiento en el origen, que traducirá el grado de regularidad
de la regionalización, puede ser continuo (lineal o parabólico) o
discontinuo.
Igual que en el caso de los covariogramas, de entre los principales
modelos teóricos, nos centraremos en los isotrópicos, es decir, aquellos
que sólo dependen de la distancia que separa las distintas
localizaciones y no la dirección del vector que las une. A la hora de
clasificarlos50, se ha optado por tomar como primer criterio de
clasificación si t ienen o no meseta. Posteriormente, los primeros se
vuelven a clasificar según su comportamiento en el origen (según
49 LARRAZ IRIBAS, Beatriz, “Introducción a la geoestadística lineal”. Netbiblo, la Coruña. 2.008. 50 Tesis doctoral “Técnicas de Cokrigeado para el análisis económico. Estimación de precios de inmuebles en el casco histórico de la ciudad de Toledo” Beatriz Larraz Lorenzo.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 104
pendiente de la recta tangente a la curva en el origen). En la figura 52
se recogen los diferentes tipos de semivariogramas teóricos isotrópicos:
Figura 52: Tipos de semivariogramas teóricos isótropos
5.5.- Predicción de valores en localizaciones no muestreadas: Krigeado
Una de las principales ventajas de esta técnica de estimación es el
hecho de tener en cuenta la correlación espacial entre las variables
aleatorias que componen el proceso. Gracias a esta consideración se
obtendrán estimaciones más fiables.
Mediante esta técnica (importada de la Geología) se pueden realizar
distintos tipos de estimaciones. Lo más usual por su utilidad práctica, es
la estimación puntual, es decir, la estimación del valor de un proceso
estocástico en una localización no muestreada. Por medio de ella se
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 105
podrá disponer, por ejemplo, de la estimación del valor de una vivienda
en una localización cualquiera, utilizando para ello la información
facilitada por los valores de los precios de las viviendas en su entorno.
Para estimar el valor de una función aleatoria en un punto )(so no
muestreado se utilizará el estimador lineal;
)()(*1 ss i
n
i ioXX ∑ =
= λ
construido a partir de las variables aleatorias )(siX correspondientes a
las n localizaciones )(si del entorno )(so .
Su principal ventaja frente a otras técnicas de estimación espacial de
carácter interpolador es que no sólo tiene en cuenta las características
geométricas como el número y configuración de las localizaciones
observadas, sino que también considera la estructura de la correlación
espacial que se deduce de la información disponible a través de las
estructuras semivariográficas, dando lugar a predicciones más fiables.
Además proporciona el mejor estimador lineal, en el sentido de ser
insesgado y de mínima varianza51, en presencia de dependencia
espacial entre las variables aleatorias que forman el proceso. Además,
hay que resaltar su capacidad de medir la precisión de la estimación
mediante el cálculo de la varianza del error de estimación, pudiendo
aportarse un mapa estándar de estimación. Cabe también señalar a su
favor que el estimador de krige es un interpolador exacto, lo que implica
que los puntos que forman parte de la muestra la estimación krigeada
51 LARRAZ IRIBAS, B. “Técnicas de Cokrigeado para el análisis económico. Estimación de precios de bienes inmuebles en el Casco Histórico de la ciudad de Toledo” . Director: José María Montero Lorenzo. Universidad de Castilla la Mancha, Departamento de Economía y Empresa, Área de Estadística, 2004.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 106
coincide con el valor observado, siendo por tanto nula la varianza de
estimación asociada.
Existen varios tipos de krigeado dependiendo de las necesidades
planteadas a la hora de estimar . En el caso que nos ocupa, en el que
deseamos realizar estimaciones puntuales, se utiliza el krigeado puntual
(otras herramientas son el krige por bloques y el krige de la media).
a. Krigeado puntual
Esta metodología se aplica en el caso de que la cantidad a estimar sea
un valor puntual )(X so , desconocido, en un punto so no perteneciente a
la muestra. Para ello se ut ilizará toda la información disponible acerca
de la variable regionalizada, bien en los puntos del dominio completo o
bien en un subconjunto del mismo denominado vecindad.
La cuestión de la vecindad es uno de los asuntos que deben ser
aclarados. Se define como vecindad de Krigeado el subconjunto del
dominio que contiene el punto en el que se quiere estimar la función
aleatoria y las localizaciones muestrales correspondientes a los datos
que van a ser utilizados en la estimación52.
La elección de este entorno se puede realizar de dos modos diferentes,
cada uno de ellos con sus ventajas e inconvenientes, tal y como se
muestra a continuación:
• Criterio de vecindad única: en él se utilizan todos los datos
disponibles en el dominio completo para estimar el valor de la
función aleatoria en el punto deseado.
52 Ibid.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 107
Este criterio no podrá ser utilizado en el caso de que el proceso
presente deriva, excepto si ésta es estimada previamente y
eliminada de los datos.
Otro inconveniente que plantea este criterio es el excesivo tiempo
de cálculo necesario para cada estimación en el caso de que se
disponga de un número elevado de datos.
• Criterio de vecindad móvil: en este caso sólo se utilizan los valores
de la realización del proceso correspondientes a puntos cercanos
a la localización en la que se quiere realizar la estimación. A la
hora de seleccionar comparables este ha sido siempre el sistema
que se ha utilizado en el ámbito de la valoración inmobiliaria,
seleccionando comparables lo más cercanos posibles.
Dado que intervienen distintos puntos en cada estimación se
hace necesario definir previamente la forma y el tamaño del
vecindario, siempre centrado en el punto )(soen el que se quiere
realizar la estimación.
• Tamaño: habrá que elegirlo teniendo en cuenta que en la región
de vecindad el proceso estocástico debe ser estacionario de
segundo orden o intrínseco para así eliminar la posibilidad de
existencia de deriva local. Así mismo su tamaño no debería ser
muy grande ya que conforme van aumentando el
semivariograma experimental va perdiendo fiabilidad debido a la
escasez de parejas implicadas en su estimación, mientras que a
distancias cortas el semivariograma capta bien la estructura de
dependencia espacial de los datos. Sin embargo tampoco resulta
conveniente elegirlo demasiado pequeño, ya que en este caso la
estimación se hace demasiado sensible a los datos vecinos que
intervienen en el cálculo. Además, a la hora de estimar en todas
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 108
las localizaciones del dominio, este hecho puede ocasionar
discontinuidades en determinadas localizaciones del mapa.
Otro hecho a tener en cuenta es la densidad del muestro, es decir
que el número de datos por vecindario sea suficiente.
Para encontrar el equilibrio en lo que respecta al tamaño del
vecindario resulta útil recurrir a la validación cruzada, pudiendo
cambiar el vecindario y elegir el que aporte resultados más
favorables.
Es necesario que tenga en cuanta la anisantropía de la variable
(las propiedades varían en función de la dirección en la que es
examinada la variable) .
Un criterio de decisión sobre los puntos que forman parte del
vecindario móvil y cuales no atienden a los conceptos de distancia
máxima, distribución angular y proximidad. De esta manera,
formarán parte del vecindario de )(so aquellos puntos que se hallen
a una distancia de él menor que un radio r , que se encuentren
distribuidos de forma que se acepte un mínimo de p localizaciones
por octante o cuadrante y además que resulten ser las n
localizaciones más próximas. En la figura 53 puede verse un ejemplo
de decisión de muestras
Figura 53: Elección de vecindario móvil de radio r, p=2 y n = 12
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 109
Dependiendo del tipo de proceso estacástico que más se adecue al
fenómeno a estudiar, hablaremos de krigeado simple, ordinario o
universal.
b. Krigeado simple
b.1. Condiciones
Para poder aplicar el krigeado simple, es necesario que el proceso sea
estacionario de segundo orden, con media constante y conocida,
varianza constante y función de covarianza exclusivamente
dependiente del vector .h
b.2. Ecuaciones
Sea X(s) una función aleatoria estacionaria de segundo orden, con
media µ constante y conocida, varianza constante y conocida C(0) =
²s y función de covarianza conocida C(h)53.
Se supone que se desea realizar la estimación del valor desconocido
)(soX , siendo )(so una localización que no forme parte de la realización
del proceso. En estas condiciones, el proceso se puede expresar como;
)()( sesX += µ
donde e(s) tiene esperanza nula.
Con objeto de facilitar los cálculos, como la media del proceso es
constante y conocida, se puede definir otro proceso estocástico
µ−= )()( sXsY de esperanza constante nula. De esta manera, para este
53 La notación C(h) significa que la función de covarianza no depende de las localizaciones en las que se encuentren situadas las variables, sino sólo de la distancia que separa dichas localizaciones.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 110
nuevo proceso Y(s), se pretende una estimación en el punto )(so
mediante el estimador lineal:
)()(*1
ss i
n
iioYY ∑
=
= λ
y una vez obtenidos los ponderadores λ i , se suma µ con el fin de
obtener la estimación de )(soX de la forma
[ ]µµ λ −+= ∑=
)()(*1
ss i
n
iio
XX
La estimación de estos ponderadores λ i , correspondientes al valor de
la función aleatoria en cada localización )(si , se llevará a cabo
mediante la imposición de ciertas condiciones al error de estimación;
• Qué el valor esperado del error de estimación sea nulo:
( ) ( )[ ] 0* =− ss ooYYE
En el caso del krigeado simple esta condición se cumple
siempre
• Que tenga la mínima varianza del error de estimación, se trata
por tanto de minimizar
( ) ( )[ ]ss ooYYV −*
con la condición de insesgadez, siendo ( )soY desconocido.
Operando bajo esas premisas llegamos a un sistema de n
ecuaciones con n incognitas:
( ) ( ) niCC ssss iji
n
jj
,...,1,0
1
=∀−=−∑=λ
SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO SIMPLE
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 111
Una vez obtenidos los ponderadores de λ i que multiplican a
los valores de las variables en las localizaciones muestrales, se
puede obtener el valor de la estimación ( )soY * . Posteriormente
es necesario sumar a esta estimación el valor de la media del
proceso ( )sX para obtener la estimación del valor de ( )soX .
La varianza del error de estimación resultante, recordemos que
es mínima, sería:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )ssssss i
n
iiooooCCYYVXXV
01
0** −−=−=− ∑=
λ
MÍNIMA VARIANZA DEL ERROR DE ESTIMACIÓN
c. Krigeado ordinario
c.1. Condiciones
Para poder aplicar el krigeado ordinario, deben verificarse las mismas
condiciones que en el caso anterior, excepto que la media del proceso
puede ser desconocida y puede también aplicarse al caso en el que el
proceso sea intrínseco, y por tanto de media constante pero con
varianza del proceso no acotada.
En estas situaciones las ecuaciones de krigeado ordinario pueden ser
expresadas, en el primer caso en términos de la función de covarianza
y en el segundo, en términos de semivariograma, ya que no existe la
función de covarianza.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 112
c.2. Ecuaciones
En este caso, como hemos visto, los sistemas de ecuaciones se pueden
expresar en términos de la función de la covarianza54:
( ) ( ) niCC ssss iji
n
jj
,...,1,0
1
=∀−=−−∑=
αλ
11
=∑=
n
iiλ
SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO ORDINARIO (COVARIANZA)
Una vez resuelto el sistema se pude obtener la varianza mínima del error
de estimación:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) αλ +−−=− ∑=
ssss ii
iooCCXXV
01
0*
MÍNIMA VARIANZA DEL ERROR DE ESTIMACIÓN
O en términos del semivariograma del proceso:
( ) ( ) nissss iji
n
jj
,...,1,0
1
=∀−=+−∑=
γαγλ
11
=∑=
n
iiλ
SISTEMA DE ECUACIONES DE KRIGEADO ORDINARIO (SEMIVARIOGRAMA)
Con un mínimo error de estimación de:
( ) ( )[ ] ( ) αγλ +−=− ∑=
ssss i
n
iioo
CXXV0
1
*
54 Se ve como aparece un nuevo parámetro α que aparece al minimizar la varianza del error de estimación mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
5. GEOESTADISTICA COMO HERRAMIENTA DE MEJORA
JAVIER GONZALEZ MARTINEZ 113
d. Krigeado universal
d.1. Condiciones
Por último, el krigeado universal tiene su utilidad cuando la media del
proceso no es constante, es decir, para procesos que presenten deriva.
d.2. Ecuaciones
La operativa en este caso es descomponer el proceso en dos
componentes: una determinista )s(µ y otro estocástica )s(e que se
puede tratar como un proceso como un proceso intrínseco55 de
esperanza nula. Tras una larga serie de operaciones se deducen las
siguientes expresiones:
( ) ( ) ( ) ( )ssssfss oieik
P
kkjie
N
jj
Niso
,...,1,0
1
)(
1
=∀−=+− ∑∑==
γαγλ
( ) ( ) pks
sfsfkik
N
ii
o
,...,1,0
)(
1
=∀=∑=λ
Obsérvese que en este caso ( )soN,...,1=i en vez de n,...,1=i . Esto se debe
a que la expresión de la deriva es sólo válida localmente, por lo que
( )soN representa el número de observaciones en un entorno ( )( )nN ss oo≤
La mínima varianza del error de estimación es la siguiente:
( ) ( )[ ] ( ) ( )sfssss ok
P
kkoie
N
iioo
sXXV
o
∑∑==
+−=−1
)(
1
* αγλ
55 Media constante (de hecho se sabe que es nula) pero no así su varianza.