1

Institut Alexandre Satorras

Departament de Matemàtiques

Primer de Batxillerat

(ciències socials)

MATEMÀTIQUES

curs 2013/14

2

FUNCIONS I GRÀFICS

1. Nombres i conjunts de nombres Els nombres naturals són 0, 1, 2, ... S'utilitzen per a comptar. Sense sortir d'ells es poden fer sumes i multiplicacions. El conjunt dels nombres naturals es designa per N.

Els nombres enters són els resultat d'afegir als naturals els nombres -1, -2, ... que s'anomenen els nombres negatius . Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes i multiplicacions. El conjunt dels nombres enters es designa per Z.

Els nombres racionals són el resultat d'afegir als enters els nombres de la forma a/b, on a i b són enters i b ≠ 0, que s'anomenen els nombres fraccionaris . Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes, multiplicacions i divisions. El conjunt dels nombres racionals es designa per Q.

Els nombres racionals coincideixen amb els nombres decimals periòdics.

Els nombres reals són el resultat d'afegir als racionals els nombres decimals no periòdics (com ara π o els radicals), que s'anomenen els nombres irracionals . Sense sortir d'ells es poden fer sumes, restes, multiplicacions, divisions i arrels (excepte les d'índex parell i radicand negatiu). El conjunt dels nombres reals es designa per R. Són els que s'utilitzen per descriure variables contínues.

Es té doncs N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, on el signe ⊂⊂⊂⊂ significa "inclòs a".

Més endavant sorgeix un altre conjunt, ampliació de R, i que no tractarem aquí, que és el conjunt dels nombres complexos, dins del qual qualsevol equació de segon grau té solució.

Els nombres de les quatre classes anteriors poden representar-se en un eix graduat , és a dir en una línia recta en què hi ha marcats el 0 i el 1. La representació de R és completa: els nombres reals coincideixen exactament amb els punts de l'eix graduat. Per això els nombres reals s'utilitzen per a mesurar.

Si α i β són dos nombres, es designa per [α, β] i s’anomena interval tancat d'extrems α i β al conjunt de nombres x tals que α β≤ ≤x , i es designa per (α, β) i s’anomena interval obert d'extrems α i β al conjunt de nombres x tals que α <x<β .

Un interval es representa en un segment de l'eix graduat, i la longitud d'aquest segment és l'amplada de l'interval.

Si α és un nombre, es designa per (α, +∞) i s’anomena semirecta dreta d'origen α, al conjunt de nombres x tals que α<x, i es designa per (-∞ , α) i s’anomena semirecta esquerra d'origen α, al conjunt de nombres x tals que x<α.

Un interval conté un nombre finit de valors de N o de Z, i un nombre infinit de valors de Q i de R.

Els nombres irracionals que no siguin radicals es coneixen només en forma d’intervals limitats per dos decimals finits que són les seves aproximacions per defecte i per excés . La que està més a prop del nombre donat, és l'arrodoniment del nombre.

Per exemple el nombre ...141592,3=π , que ja hem dit que és un nombre irracional, es pot arrodonir als centèsims amb 3’14 (agafant l’aproximació per defecte) i als deumilèsims amb 3’1416 (agafant l’aproximació per excés).

3

2. Models funcionals

La gran majoria de les interpretacions matemàtiques de fenòmens naturals i socials pren la forma de l'establiment d'una o més relacions entre vàries magnituds mesurables, que canvien de valor i que s'anomenen variables . Aquestes relacions expressen el valor que tindrà una de les magnituds quan es coneixen els valors de les altres. A tercer curs ja ho havíem estudiat això...

El conjunt de relacions que descriuen i permeten preveure l'evolució d'un d'aquests fenòmens s'anomena un model del fenomen.

Un exemple d'aquestes relacions és la fórmula y = ax + b de la recta de regressió que estudiarem a la part d’estadística i que relaciona aproximadament dues variables estadístiques x i y en una població. En molts casos, però, aquesta relació és inadequada i cal emprar fórmules més complicades.

Un model encaixa amb un fenomen només aproximadament. Quan l'ajust és complet, el model permet elaborar una teoria científica del fenomen. Aquesta és la missió de les anomenades "ciències exactes". A les "ciències humanes" i "ciències socials" això no acostuma a passar.

Normalment un fenomen depèn de moltes variables. En casos extrems, com la predicció del temps o l'economia d'un país, poden ser centenars de variables. Però en aquest tema treballarem només amb dues.

A la pàgina següent trobareu una col·lecció de fórm ules de funcions que s'utilitzen habitualment en la descripció de fenòmens de les ci ències naturals i socials.

Per a expressar matemàticament la relació de dependència entre dues variables utilitzarem el concepte matemàtic de funció.

Direm que la variable dependent y és funció de la variable independent x (“y depèn de x”), si existeix una regla (normalment és una fórmula matemàtica) per la qual a cada valor de x, pertanyent a un cert conjunt de nombres, anomenat domini de la funció, li correspon un únic i ben determinat valor de y.

Podríem dir també que una funció és una relació establerta entre dos conjunts, que permet transformar cada element del primer conjunt en un element únic i ben determinat del segon.

Els conjunts entre els quals s'estableix una funció són en general subconjunts del conjunt R dels nombres reals.

Exemples.- Hi ha una fórmula per calcular l’àrea de mig cercle que és A= 21 2r⋅π i que és una funció en la

qual la variable independent és el valor del radi (que serà un nombre real positiu) i la variable dependent és el valor de l’àrea. A cada valor del costat li correspon un únic valor de l’àrea.

Hi ha una fórmula per calcular l’altura des de la que cau un cos sotmès a la llei de la gravetat i que és

2tg21

a ⋅⋅= , on el temps és la variable independent i l’altura és la variable dependent.

Com podeu veure les dues fórmules són molt semblants i aleshores en matemàtiques el que es fa es tractar

una fórmula “abstracta” on prescindint de què signifiquen les variables i escrivim 2xc21

y ⋅⋅= , on les

variables són x i y, i la c és una constant com ho eren π i g en els casos particulars.

4

3. Funcions elementals Si f designa una funció s'escriu y = f(x), on f(x) serà una fórmula matemàtica que depèn de la variable x. Quan en un problema intervenen més funcions les podem designar per altres lletres com g, h, etc... i tindríem y=g(x), y=h(x), etc...

Donat un valor de x, direm que la imatge de x per la funció f és el valor de la y que surt quan substituïm el valor de la x a la fórmula i fem les operacions indicades.

I donat un valor de y, direm que una antiimatge (o un original) de y per la funció f és el valor de x que substituït a la fórmula ens produeix el valor de y donat.

El càlcul d'una imatge per tant es fa per substitució, i el càlcul d'una antiimatge és la resolució d'una equació.

Per exemple: Si agafem la funció y=3x-1

la imatge de x=2 és y=3·2-1=5

la antiimatge de y=2 és la solució de l’equació 2=3x-1 que és x=1

ATENCIÓ: Cada x pot tenir una sola imatge, però un valor de y pot tenir moltes antiimatges.

Els valors de x que tenen imatge constitueixen el domini de la funció i els de y que tenen antiimatge formen el recorregut.

Presentació de les funcions.-

Les funcions es presenten en tres formes:

a) com a fórmules : expressions que combinen la variable x, constants numèriques i certes funcions especials mitjançant diverses operacions

b) com a taules de valors, on consten les parelles de valors de la x i la y que estan relacionats

c) com a gràfics : el gràfic de f el formen els punts de coordenades (x,y) on y = f(x).

El gràfic d'una funció pot tenir moltes formes, però mai conté dos punts amb la mateixa abscissa (a la mateixa vertical), o sigui que si tracem una paral·lela a l’eix vertical el de les y) no pot tallar dues o més vegades a la gràfica. Recíprocament, tot conjunt de punts del pla que compleixi això és la gràfica d'una funció.

A partir d’una fórmula es pot construir una taula de valors, i a partir d’aquesta el gràfic aproximat de la funció, però en canvi el pas invers, el de trobar una fórmula a partir d’un gràfic o d’una taula de valors és molt més complicat en la majoria dels casos.

Tipus del funcions.-

Les funcions construïdes a partir de la variable x mitjançant les operacions de suma, diferència, producte, quocient, potenciació i radicació són les funcions algebraiques , que es divideixen en polinòmiques, racionals i irracionals.

Quan apareixen operacions diferents d’aquestes es diuen funcions transcendents, dintre de les quals destaquen les trigonomètriques, exponencials i logarítmiques.

5

4. Funcions polinòmiques Una funció polinòmica és la relació entre dues variables x i y que té una fórmula del tipus

o12

21n

1nn

n axaxa...xaxay +++++= −−

L'expressió o12

21n

1nn

n axaxa...xaxa)x(P +++++= −− s'anomena polinomi . El nombre n és el

grau del polinomi, i o121nn a,a,a,...,a,a − en són els coeficients . El coeficient 0a és el terme independent .

El domini d’aquestes funcions és sempre tot el conjunt dels nombres reals.

Una igualtat de la forma P(x) = 0, o sigui 0axaxa...xaxa o12

21n

1nn

n =+++++ −− , s'anomena

equació polinòmica de grau n.

Les solucions de l’equació són les arrels del polinomi P(x).

El càlcul exacte de les arrels d'un polinomi només pot fer-se en alguns casos:

- Quan n=2 (equació de segon grau):

a2

ac4bbx és ,0cbxax si

22 −±−==++

- Quan n=4 i els coeficients de x i de x3 són 0 (equació biquadrada):

a2

ac4bbx és ,0cbxax si

224 −±−±==++

També hi ha una fórmula general amb radicals per resoldre qualsevol equació de tercer grau però és molt complicada.

La divisió d'un polinomi P(x) entre x-α dóna per residu el valor P(α). Aquest és el Teorema del residu . En particular,si α és una arrel de P(x), llavors x-α divideix P(x) i es té P(x) = (x-α)·Q(x).

Per fer la divisió i obtenir Q(x) s’empra el mètode de Ruffini.

Per exemple, per dividir x3- 3x-2 entre x-2 es fa: 1 0 -3 -2

2 2 4 2

1 2 1 0

i el quocient de la divisió és x2+2x+1.

Per a un polinomi de grau 3 com x3+bx2+cx+d amb tres arrels α, β i γ es té x3+bx2+cx+d = (x-α)(x-β)(x-γ) i d’aquí d = α·β·γ. Per això si un polinomi de tercer grau té alguna arrel entera, aquesta divideix el terme independent. I el mateix val si és de grau superior a 3.

Per obtenir les arrels d'un polinomi cal fer:

1) obtenir els divisors del terme independent

2) comprovar si algun és una arrel

3) si algun α és una arrel, dividir P(x) entre x-α emprant la regla de Ruffini

4) si Q(x) és el quocient, tornar al pas (1) amb Q(x) i seguir així fins que el polinomi sigui de grau 2; llavors es pot resoldre com una equació de segon grau.

6

Si P(x) té per arrels a, b, c, ... llavors P(x) = (x-a)(x-b)(x-c) .... Aquesta és la factorització de P(x).

Aleshores si a és una solució de l’equació P(x)=0, a és una arrel del polinomi P(x) i

(x-a) és un factor de la descomposició de P(x).

Els polinomis de grau parell poden no tenir cap arrel, però els de grau senar sempre tenen alguna arrel real.

El nombre total d'arrels reals d'un polinomi és com a màxim igual al seu grau.

Quan una equació P(x)=0 de grau igual o superior a 3 no té solucions enteres, per trobar-les es pot emprar un mètode aproximat anomenat mètode de Bolzano :

si P(a)>0 i P(b)<0, llavors P(x)=0 té una solució situada entre a i b

S’haurà d’anar “encaixant” la solució dins d’un interval cada vegada més estret, fins arribar a l’aproximació que vulguem.

5. Funcions racionals i irracionals: dominis

Una funció racional és una relació entre les variables x i y que té per fórmula )x(Q)x(P

y = ,

on P(x) i Q(x) són polinomis, o que és una funció polinòmica sumada o multiplicada amb una expressió d'aquest tipus.

Per calcular el domini d’aquestes funcions, hem de tenir en compte que els valors d'una funció racional només poden calcular-se quan Q(x) ≠ 0, és a dir quan x no és una arrel de Q(x). Haurem de resoldre l’equació Q(x)=0 i els seves solucions seran els nombres que quedaran exclosos del domini que se sol escriure com { }0)x(QquetalsxdevalorsR =−

Les més senzilles són les del tipus y=xn

, on n és un nombre real. Són les anomenades

funcions de proporcionalitat inversa.

Una funció irracional és una relació entre les variables x i y que té per fórmula n )x(fy = , on f(x) és una funció racional, o que és una funció racional sumada o multiplicada amb una expressió d'aquest tipus. El nombre n és l'índex de la funció irracional.

Per calcular el seu domini hem de tenir en compte que els valors d'una funció irracional d'índex parell només poden calcular-se quan f(x)>0 o f(x)=0.

Per això haurem de resoldre una inequació com f(x) 0≥

Per fer-ho resoldrem l’equació f(x)=0 i després farem un estudi de com queda el signe de f(x) dintre de cada zona en que les solucions parteix a la recta real.

El domini se sol expressar utilitzant intervals o semirectes, o unió d’ells.

Per exemple:

La resolució de 04x5x2 ≥+− la farem resolent l’equació

04x5x2 =+− , que dóna per solucions x=1 i x=4 després

analitzant quin signe té el polinomi als intervals ( )1,∞− , ( )4,1 i ( )∞+,4 agafant un valor de cada un d’ells, per exemple x=0, x=3 i x=6.

Com que P(0)=4, P(3)=-2 i P(6)=10, tindrem que el domini és ( )1,∞− ∪ ( )∞+,4

7

6. Gràfiques de les funcions algebraiques 6.1 Funcions de primer grau: rectes

Les gràfiques de les funcions polinòmiques de primer grau y = ax+b, són rectes.

El valor a es diu pendent, i és l’augment o disminució de la y per cada unitat que augmenta la x, i el valor b l’ordenada a l’origen , i és el punt per on la línea recta talla a l’eix de les y.

Quan a>0 són creixents i quan a<0 són decreixents.

Quan b>0 tallen per damunt de l’origen de coordenades i quan b<0 tallen per sota.

És important tenir clar que a la gràfica de la funció hi ha tots els punts del pla que verifiquen la fórmula de la funció.

Heu de tenir molta facilitat en representar aquestes funcions, ja que tenint en compte que són rectes només ens calen dos punts.

Per exemple per representar y= 2x-3, només ens caldria agafar dos valors de x, per exemple x=1 i x=4 i trobar les seves imatges, que són y=-1 i y=5.

Aleshores tenim els punts (1, -1) i (4, 5) i unint-los tenim la gràfica de la funció.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

També es pot fer tenint en compte el que signifiquen els seus coeficients.

Si ens fixem que l’ordenada a l’origen (el terme independent de la fórmula) és -3, vol dir que la recta talla a l’eix vertical tres unitats per sota de l’origen, i com que el pendent (coeficient de la x) és 2, vol dir que cada unitat que ens desplacem a la dreta la recta puja dues unitats.

8

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Respecte a la funció anterior, i passaria el mateix amb qualsevol altre, també és interessant considerar que parteix el pla en dues zones, i en una d’elles els punts compleixen que y>2x-3 (imatge de l’esquerra) i a l’altre y<2x-3

Ho pots comprovar amb els dos punts que hi ha marcats:

El punt (1, 3) verifica que 3>2·1-3 i el punt (4,1) verifica que 1<2·4-3

Les de les funcions y=ax, que expressen la proporcionalitat directa, són rectes que passen per l’origen de cooordenades.

6.2 Funcions de segon grau: paràboles

Les gràfiques de les funcions polinòmiques de segon grau y = ax2+bx+c són sempre paràboles .

Quan a>0 són còncaves i quan a<0 són convexes, i com més gran és aquest coeficient en valor absolut més curvatura té la paràbola.

Per a=3 és molt més tancada que per a=0’5, un coeficient per al qual és molt més oberta.

Els punts on tallen l’eix de les x són les solucions de l’equació de segon grau.

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

A l’esquerra podeu veure les gràfiques de y=x2-2x en traç continu i la de y=-x2+2x en traç discontinu.

A la dreta podeu veure les gràfiques de y=3x2 en traç continu i la de y=0,5x2 en traç discontinu.

9

6.3 Funcions polinòmiques de grau superior, raciona ls i irracionals

A continuació hi ha exemples de gràfiques de funcions polinòmiques de tercer, quart i cinquè grau.

y = x3 y = x3-x f.polinòmica de grau 4

f.polinòmica de grau 5 hipèrbola y = 1/x

Les gràfiques de les funcions racionals són molt variades.

La més senzilla és la funció y = x1

, un exemple de proporcionalitat inversa . La gràfica

d’aquesta funció s’anomena hipèrbola , i la tens dibuixada més amunt.

Les funcions irracionals més senzilles són y = x i y = 3 x . A continuació hi ha les seves gràfiques.

arrel quadrada arrel cúbica

10

7. Les funcions exponencials S’anomena exponencial a una potència ab, on a i b són nombres reals i a és positiu .

El nombre a rep el nom de base i el nombre b el nom d’exponent .

Segons el sistema numèric de l'exponent, una exponencial pot interpretar-se de diferents formes, algunes de les quals són conegudes de l'estudi de les potències:

- si b és natural, ab és un producte: ab = a·a·...·a (b factors)

- si b és enter negatiu, ab és un quocient: a-n = na

1

- si b és fraccionari, ab és una arrel: q pq

p

aa =

Si b és irracional, i té dues aproximacions b' i b", llavors ab està aproximat per bb a i a ′′′ .

El càlcul efectiu del valor aproximat d'una exponencial es fa amb les tecles y1

y xix de les calculadores.

La base més freqüent a les exponencials que s'utilitzen a la ciència i a les matemàtiques és la base e = 2,7182818286...

Les exponencials de base e poden calcular-se amb una tecla especial de les calculadores, retolada amb ex.

Les regles de càlcul amb exponencials són les mateixes que amb potències:

ccc ba)ba( ⋅=⋅

cbcb aaa +=⋅

c

cc

b

aba =

cbc

b

aa

a −=

( ) cbcb aa ⋅=

La funció exponencial de base a és la relació entre dues variables x i y que té per fórmula

y ax=

Hi ha diverses funcions exponencials, segons el valor de la base, la principal de les quals és la que té per base el nombre e.

La gràfica de les funcions exponencials és d'un dels dos tipus següents:

11

base a>1 base a<1

Totes les gràfiques de funcions exponencials passen pel punt (0,1).

La importància de les funcions exponencials està en què descriuen tots els fenòmens en què una magnitud varia amb el temps amb un ritme de variació relativa constant, que vol dir que en cada interval de temps igual el percentatge (o el tant per u) d’augment o de disminució serà el mateix. Per exemple hi ha tipus de bactèries que es reprodueixen per “mitosi” dividint-se en dos en intervals determinats (per posar-ho fàcil cada hora). Aleshores el nombre de bactèries que tindrem passades 1,2,3,4,5 hores serà de 2,4,8,16,32,... i la funció seria y=2x.

12

8. Les funcions logarítmiques El logaritme del nombre b respecte del nombre a és l'exponent x a què cal elevar a per obtenir b:

baxblog xa =⇔=

En l'expressió bloga el nombre a és la base del logaritme i el nombre b n'és l'argument .

O sigui que tal com en una igualtat del tipus x3=5 per aillar la x fem servir l’arrel cúbica (o d’índex 3),per fer-ho en una igualtat del tipus 3x=5 , el que utilitzarem serà el logaritme de base 3.

Es verifiquen les següents relacions fonamentals: ba i balog balogba ==

Hi ha diversos sistemes de logaritmes, segons la seva base. Els principals són:

a) els logaritmes decimals o de base 10. S'escriuen sense indicació de base, posant només log . És a dir: b10xb log x =⇔=

Es calculen amb la tecla log de les calculadores.

La part entera del logaritme d’un nombre ens dóna la quantitat de xifres que té el nombre menys una. Per exemple: log 876= 2,9425..., o log 67.345= 4,8283...

b) els logaritmes neperians o de base e. S'escriuen posant ln. És a dir, xey= xln y =⇔

Es calculen amb la tecla ln de les calculadores.

Per calcular un logaritme en una altra base a cal fer servir la regla de canvi de base:

a ln xln

a log

xlogxloga ==

En particular, log x i ln x són múltiple l'un de l'altre; aproximadament log x = 0,4343 ln x

En totes les bases es té:

- el logaritme de 1 és 0

- el zero i els nombres negatius no tenen logaritme

Els logaritmes són generalment nombres irracionals. La seva part entera s’anomena característica , i la seva part decimal s’anomena mantissa . En el cas dels logaritmes decimals, la característica de log x és una unitat inferior al nombre de xifres enteres de x.

Els logaritmes es relacionen amb les operacions de la forma següent:

ylogxlog)yx(log aaa +=⋅

ylogxlogyx

log aaa −=

xlogyxlog ay

a ⋅= y

xlogxlog ay

a =

13

No hi ha cap relació entre )yx(loga + i els logaritmes dels sumands.

La funció logarítmica de base a és la relació entre dues variables x i y que té per fórmula

xlogy a=

Hi ha diverses funcions logarítmiques, segons el valor de la base, la principal de les quals és la que té per base el nombre e. La gràfica de les funcions logarítmiques és d'un dels dos tipus següents:

base a>1 base a<1

Totes les gràfiques de funcions logarítmiques passen pel punt (1,0).

14

EXERCICIS SOBRE FUNCIONS

1. Escriu utilitzant intervals i semirectes:

“ els nombres reals entre -1 i 2, inclosos aquests ”

“ els nombres reals que no passin de 4 ”

“ els x tals que -6 < x ≤ 6 “

“ els negatius superiors a -3 ”

“ la part comú a [3,7] i (2,5) “

“ la part comú a (3,7) i [2,5] “

2. Calcula les imatges de x = 0, x = 3, x = -1, x = 34

, x = − 12

, x = 0,55, x = 2 5 per cada una de

les funcions següents, escrivint arrodonit a les centèsimes els que siguin irracionals:

y = x2-x+4 y = 11−x

y = 2 1 2x x+ −

3. Calcula les antiimatges de -1, 0, 2/3 i 3 per a cada una de les tres funcions:

y = 2x-1 y = x²-x y = xx

+−

23

4. Fes una taula de valors per a x variant de -3 a 3 de 0,5 en 0,5, i la gràfica de les funcions:

y = 2x

- 1 y = -3x+2 y = 1-x² y = x+|x| y = [2x] y = x-[x] y = |x2-4|

y = x + x1

y = 22 1x

1

)( −

5. Divideix, utilitzant el mètode de Ruffini:

a) 2x3 - 3x2 + 5x + 1 entre x - 2

b) x5 + 3x4 + 6x3 - 12x2 + 24x - 36 entre x+4

c) x4 + 1 entre x+2

d) x6 - 1 entre x - 1

e) 4x4 - 2x3 - 2x2 + 7x - 6 entre x - 12

6. Resol les equacions polinòmiques

x2-8x+15 = 0 x2-25 = 0 x2-6x+9 = 0

3x2+6x+3 = 0 9x2-16 = 0 x2-2x+10 = 0

x3-7x-6 = 0 x3+x = 0 x3-x2-14x+24 = 0

x3+x2+5x+5 = 0 x4-6x2+5 = 0 x4+8x2-9 = 0

15

7. Fes aquestes operacions amb fraccions algebraiques:

1xx

1xx

−+

+

))(())(( 3x1x2

2x1x3

−+−

−+

4 - 4x

3

x

1x22 −

+−

4x

9x3x

2x2

22

−−⋅

+− )(

1x1x

xx

1x2

3

+−

+−:

−⋅+ x

1x

1x1

8. Resol les equacions racionals:

21

3xx

+ = 1

21

516x x+

−+

= 22x

53

1x2 =+

−−

9. Calcula el màxim possible:

x12x3 ⋅ ( )5x2 x12x3 + ( ) x23x2 −

x23x2 ⋅− 3x85x23 ⋅ 1x21x2 +⋅− ( )21x −

( ) ( )2x2x +⋅− 2

2 xx4x3

−−

10. Resol les equacions irracionals:

2 3 2 3x x+ = − x x− + =1 3 2 3 3− + + =x x

11. Calcula fins a les mil·lèsimes la solució de l'equació x3-x+3 = 0 en l'interval [-2,-1].

12. Calcula el domini de les següents funcions algebraiques:

yxx

= −+

2 13 4

yx

x x= −

− +4 1

4 32 y x= +3 1 y x= −25 2

y =x

x− 3

y =xx− 3

y = x

x

− 3 y =

xx − 3

y = x

x − 3 y =

x

x − 3

13. Compara les funcions y = x, ( )y x= 22

, y = x (valors, domini, gràfiques)

14. Escriu com a potències de 2:

( ) ( ) 153

3-4 3334

3 222 28 22 82 8

2 4

161 −−

⋅

⋅

15. Escriu com a potències d'a:

( ) 233

1

3 22-4 3 2

4

3

2

21

aa

aa

aa

1a aa

a

a

a

a

−−−

−

⋅

⋅⋅

16

16. Escriu com a producte de potències d'a i de b:

( ) ( ) ( ) ( ) 13 221-213432-3

12

3bab baba ba

a

b −−−−−−

−

⋅⋅

17. Aïlla x en les igualtats següents:

3x = 81 52x = 53 2x+1 = 1/16 21-x² = 1/8 3x = 24 53x = 15 2x+2 = 12

18. Calcula els logaritmes:

552422162532

1006592

5log 32log 8log )8(log 6log 5log 2log

log1000 0,01 log 1000000log 216log )25(log 3log 32log

−

−

19. Calcula els logaritmes en base 2 de totes les expressions de l'exercici 14.

20. Calcula x sabent que:

log5 x = 2 log4 x = 1/2 log7 x = 0 log9 x = 1 log4 x = -2 log x = -3

log8 x = 1/3 log3 x3 = 1/2 log2 1/x = -6

21. Calcula a sabent que:

loga16 = 2 loga1000 = 3 loga9 = 1/2 loga3 = 1/3 loga8 = 3/4 loga2197 = 3

loga0,001 = -3 loga3/4 = 1 loga 3 = 1/2 loga1/3=1/2

22. Calcula: 93log3 73log3 105log5 42log2 24log2 22log4 52log4

23. Suposant log 2 = 0,3 calcula, sense calculadora, els logaritmes decimals de:

16 5 0,4 320 0,1 0,25 400 0,002 125 250 18

2

2 53 008,0

24. Si en una base desconeguda és log a = 1,2 i log b = 0,5 calcula els logaritmes en aquesta base de:

aba ab a ba ba b

a

ab 7353

2

25. Calcula el nombre de xifres de 300300 i de 999

26. Calcula el domini de les funcions transcendents:

y = ln(x-2) y = ln(x²-4) y = +1 ln x y = ex + 1

yx= −−

11 ln x

y = −1 ln xx - 1

ye x=

−1

3 2

17

SUCCESSIONS I MATEMÀTICA FINANCERA

1.Successions Una successió és una llista, possiblement infinita, de nombres reals, cada un dels quals ocupa un lloc en la successió a partir del lloc 1. Els nombres que apareixen en una successió s'anomenen els seus termes .

El terme de posició n s'escriu an i la successió com un tot s'escriu { an }.

Hi ha dos procediments principals de definir una successió:

a) donar una fórmula que per a cada n produeixi an. Aquesta fórmula és el terme general de la successió.

b) donar una regla de construcció que relacioni un terme amb els anteriors i permeti obtenir-lo a partir d'ells. Aquesta regla que expressa an a partir d'an-1, an-2, etc. és una relació de recurrència .

Coneixent una relació de recurrència i el terme o els termes inicials es poden obtenir d'un en un tots els termes.

Les successions més corrents a les ciències naturals o socials són les formades pels valors d'una magnitud que varia amb el temps, i que es prenen al cap de 1, 2, 3, ... intervals de temps iguals.

2. Progressions Una successió és una progressió aritmètica si ve definida per una relació de recurrència de la forma an = an-1 +d, on d és constant (positiva o negativa) i s’anomena la diferència de la progressió.

El terme general d'una progressió aritmètica és an = a1+(n-1)d

La suma dels termes d'una progressió aritmètica compresos entre els llocs 1 i n rep el nom de suma parcial de lloc n i es designa per Sn. Es calcula fent

2

n)aa(S n1

n+=

El fet de trobar un nombre determinat de termes situats entre dos de donats d’una progressió aritmètica s’anomena interpolació lineal.

Per interpolar n termes entre a i b (a < b), de manera que formin progressió aritmètica, hem de

calcular la diferència, que serà d=1nab

+−

i després anar afegint aquesta quantitat al més petit dels

dos nombres donats.

Una successió és una progressió geomètrica si ve definida per una relació de recurrència de la forma an = an-1 r, on r és constant i s'anomena la raó de la progressió.

El terme general d'una progressió geomètrica és 1n1n raa −⋅=

La suma dels termes d'una progressió geomètrica compresos entre els llocs 1 i n rep el nom de suma parcial de lloc n i es designa per Sn. Es calcula fent

r1

raaS n1

n −⋅−=

18

Quan la raó és un nombre menor de la unitat, la progressió geomètrica és decreixent i aleshores es pot trobar el valor al qual s’acosta tant com es vulgui la suma de tots els seus termes, que seria:

r1

aS 1

−=

Les progressions geomètriques més importants són les formades pels valors d'una magnitud que varia amb ritme constant durant successius períodes de temps. Si el valor inicial és a1 i en cada període augmenta p%, el valor al cap de n períodes és el que correspon a una progressió geomètrica de raó 1+p/100:

1n

1n 100p

1aa−

+=

3. Matemàtica financera Els diners es compren i es venen. El preu del diner no coincideix amb el seu valor, sinó que resulta d’afegir al valor una quantitat variable que s’anomena interès .

L’interès s’estableix i es paga amb relació a un període de temps que acostuma a ser l’any. L’interès anual per unitat s’anomena taxa d’interès .

Si al final d’aquest període els interessos se separen del capital i aquest continua produint es parla d’interès simple.

Les quantitats de diners a interès simple formen una progressió aritmètica que té per diferència la taxa d’interès i.

Cn = C0 + C0·i·n

on C0 és el capital inicial, Cn el capital després de n períodes, i n el nombre de períodes.

Quan els interessos no se separen del capital i també es deixen a produir durant un altre període es parla d’interès compost .

Les quantitats de diners a interès compost formen una progressió geomètrica que té per raó 1+i, on i és la taxa d’interès.

Cn = C0 · (1 + i)n

Sovint els interessos no s’acumulen cada any sinó en períodes més curts, k vegades l’any. Llavors

en cada període es paga un interès ki

. A final de l’any l’interès que això representa no és i

(interès nominal ), sinó un valor que s’anomena TAE o taxa anual equivalent.

La relació entre tots dos és:

1 + TAE = 1+

ik

k

S’anomena renda al pagament periòdic d’una quantitat determinada. Són exemples: els plans de pensions, les assegurances, la devolució d’un prèstec o les vendes a terminis.

Quan el capital no està disponible fins al final de la renda es parla d’una operació de capitalització . Si la renda es paga al principi del període és una capitalització avançada; si es paga al final, és una capitalització retardada.

19

El capital obtingut per una capitalització retardada és VF = C·( )1 1+ −i

i

n

i per una capitalització avançada VF = C· )i1(i

1)i1( n

+−+

on VF: valor final del capital, i: taxa d’interès, n: nombre de períodes, C: valor de cada pagament (quota)

Quan el capital està disponible al principi de la renda es parla d’una operació d’amortització .

Llavors si VA és el valor actual del capital es té: =+⋅ n)i(VA 1 C·i

1)i1( n −+

20

SUCCESSIONS I MATEMÀTICA FINANCERA: EXERCICIS

1. Comprova que nn

+−

12 3

és el terme general de la successió -2,3, 4/3,1,...

2. Escriu els termes de lloc 1, 2, 3, 4, 5, 10, 50 i 100 de les successions

an = n²+n+1 bn = 1

3 12n − cn=

13

−+

nn

dn = (-2)nn

en = 1 1

2+ −( )n

fn = mcd(n,6) gn = [ n ] hn =n

n

2

10+

3. Escriu el terme general de les successions que comencen per:

a) 10, 1000, 100000, 10000000,... b) 2, 20, 200, 2000, 20000,...

c) 0,1 , 0,01 , 0,001 , 0,0001 ,... d) 0,5 , 0,05 , 0,005 , 0,0005 ,...

e) 1,2 , 1,02 , 1,002 , 1,0002 ,... f) 1, 4, 9, 16, 25, 36,....

g) 2, 5, 10, 17, 26, 37,... h) -1, 4,- 9, 16, -25, 36,....

i) 4, 9, 16, 25, 36, 49,... j) 3, 5, 9, 17, 33,...

k) 1, 3, 5, 7, 9, 11,... l) ,...6,5,2,3,2,1

m) ,...165

,94

,43

,2 p) ,...111

,91

,71

,51

,31

4. Escriu els 10 primers termes de les successions definides per les següents relacions de recurrència:

an = 3an-1, a1 = -2 bn = bn-1 - bn-2, b1 = 1, b2 = 3

ccn

n=

+=

−

11

01

, c1 1e ,e

2e 1

1nn ==

−

d d dn n n= + = =− −2 0 11 2, , d d1 2 2f ,1f ,f

f1f 21

2n

1nn ==

+=

−

−

5. Escriu el terme general de:

a) una progressió aritmètica amb a1 = 5, d = 2/3

b) una progressió geomètrica amb b1 = -1/2, r = 4

c) una progressió aritmètica amb c1= -11, d= -5

d) una progressió geomètrica amb d1 = 1000, r = 1/5

6. Calcula x per a que x-2, x+1, 3x-3 siguin:

a) termes consecutius d'una progressió aritmètica

b) termes consecutius d'una progressió geomètrica

21

7. Calcula el terme vuitè en una progressió aritmètica de diferència 0,5 on el segon terme és -3.

8. a) Interpola tres termes entre els nombres 5 i 29.

Calcula el terme general de la progressió aritmètica si el 5 és el tercer terme.

b) Interpola 7 termes entre 3 i 17.

Calcula quin seria el terme vintè de la progressió si el 3 és el primer terme.

9. Una pilota cau de 60 metres i al botar perd cada cop 1/3 de l'altura. Calcula quant pujarà després de tocar a terra per setena vegada.

10. En una progressió geomètrica el tercer terme és 0,02 i el vuitè és 0,21. Calcula la seva raó.

11. En una progressió geomètrica el primer terme és 2, la raó és 1,04 i hi ha un terme igual a 4,74. Calcula quin lloc ocupa aquest terme.

12. El consum de cervesa a Espanya fa 30 anys era 4 litres per habitant i any, i ara és de 59. Si ha crescut en progressió geomètrica, calcula el percentatge d’increment anyal.

Calcula quants anys han de passar a aquest ritme fins arribar al consum d’Alemanya: 122 litres per persona i any.

13. A una ciutat es creen dos clubs de futbol. El club A comença amb 10.000 socis i preveu augmentar 500 socis cada any. El club B comença amb 5.000 socis i preveu augmentar cada any el 10%. Calcula quants anys han de passar perquè el club B tingui més socis que el club A.

14. Un treballador guanya cada mes 1.000 euros i es gasta cada mes el 90% dels diners que té. Segueix el seu estat de comptes durant 6 mesos.

15. Una lletra del Tresor es compra per certa quantitat, i quan es ven, al cap d’un any, es cobra sempre 6.000 euros. Si l’interès d’una Lletra és el 4,5%, quant cal pagar al comprar-la?

16. Un banc anuncia que a qui posi 15.000 euros li donarà un 5,4% d’interès, però que els primeres 1.000 euros no produeixen res. Quin interès real paga?.

17. Una caixa d'estalvis ofereix el 9% d'interès per una imposició de 18.000 euros i paga els interessos en una altra llibreta. Quants diners hi haurà en aquesta després de 4 anys?

18. En què es converteixen 1.500 euros al 8% d’interès durant 5 anys?

19. Quants anys calen perquè un capital posat a interès del 6,5% es dupliqui?

22

20. Una llibreta va començar amb 125 euros i al cap de 10 anys en tenia 165. A quin interès estava?

21. Un banc ens paga cada dos mesos el 0,83% d’interès. Calcula quin TAE aplica.

22. Un dipòsit bancari anuncia un TAE de 7,25% i paga interessos mensualment. Si hi poses 4.000 euros, quant cobraràs cada mes?

23. El pare d’en Jaume li obre una llibreta quan neix i cada any hi posa 300 euros. La llibreta té interès 5%. Quan en Jaume arribi als 18 anys, quants diners hi haurà a la llibreta?.

Si el pare hagués volgut que tingués 10.000 euros als 18 anys, quants diners hauria d’haver posat cada any?

I si ho hagués volgut fer ingressant els diners cada mes?

24. Una llibreta dóna un interès del 3%. S’hi ingressen:

1 de gener: 30 euros 1 d’abril: 25 euros 15 de novembre 33 euros

Fes la liquidació d’interessos a final d’any.

25. Compara si és millor posar 35.000 euros al banc a un termini fix de 2 anys al 6,5% anual o a un compte a la vista del 5,5% d’interès anual pagable mensualment.

26. Un senyor demana un prèstec de 20.000 euros al 10,5% d’interès i es compromet a tornar-lo tot de cop amb els interessos passats 4 anys. Quants diners haurà de pagar llavors?

27. En un pla de pensions al 7,2% al principi de cada any es dipositen 1.300 euros durant 30 anys. De quants diners es disposa al final?

28. Una persona es vol comprar un cotxe de 15.000 euros d’aquí a dos anys i per això posa cada final de mes al banc uns diners al 6%. Quants diners ha de posar cada mes? (suposa que en els dos anys el cotxe no puja de preu)

29. Una parella que es vol comprar un pis demana un crèdit de 55.000 euros al 10% d’interès a tornar en 20 anys. Quant ha de pagar cada any? I si prefereix pagar cada mes?

30. Un senyor està pagant un crèdit del 9,5% d’interès a tornar en 8 anys, i cada any paga 3.310 euros. De quant és el crèdit?

31. Una persona demana un crèdit de 30.000 euros al 10,5% i només pot pagar 4.500 euros l’any. Calcula quants anys trigarà a tornar-lo.

32. Compara l’efecte de tornar un prèstec de 24.000 euros al 11,5% en 5 anys, segons si els pagaments es fan anualment o mensualment.

23

33. Una companyia d’assegurances preveu que una persona viurà 26 anys més i li fa una assegurança de vida de 60.000 euros, que capitalitza al 6%. Quina és la prima anual que ha de pagar l’assegurat?

34. Un concessionari d’automòbils financia la compra d’un cotxe de 11.500 euros proposant una entrada de 3.500 euros i la resta en pagaments mensuals amb:

si és en 2 anys, TAE de 7,16%

si és en 3 anys, TAE de 10,46%

si és en 4 anys, TAE de 12,17%

Calcula en cada cas quant serà la quota mensual.

35. Una furgoneta es ven “només per 95 euros al mes, amb entrada de 2.225 euros i 60 quotes mensuals, amb TAE 8,62%”. Quant valdria comprar-la al comptat? Quants diners es paguen per ella, fent-ho en 5 anys?

36. Un banc ofereix als clients un viatge a Singapur pagant 12 quotes mensuals de 210 euros a un TAE del 9%. Quant costa el viatge pagat així? Quant costa pagar-lo al comptat?

37. Un matrimoni vol comprar un pis de 110.000 euros i només en té 48.000. Va al banc a demanar un prèstec pel que falta, i els el concedeixen al 9,2% d’interès anual, a pagar a final de cada mes durant 12 anys. Calcula quant han de pagar cada mes. Al final, quant els haurà costat el pis?