5.Sistemes d’Inequacions Lineals_MACS

Viatge a LaputaVaig sollicitar perms al rei per anar a veure les curiositats de Laputa. Mel va con-cedir de bon grat i va ordenar al meu preceptor que macompanys. El que ms minteressava saber era a quin principi natural o tcnic devia lilla la seva capacitat de moviments. A continuaci nofereixo un informe filosfic al lector.

[]

En virtut de la fora magntica daquesta pedra, lilla seleva, descendeix i es trasllada dun cant a laltre, perqu un dels costats de limant est dotat de poder datracci i laltre de repulsi respecte de la part del planeta on sestenen els dominis del monarca. Collocant-lo en posici erecta amb el pol datracci encarat cap a terra, lilla descen-deix; per quan s laltre extrem el que es dirigeix cap a baix, la fora repulsiva la fa pujar cap amunt. Quan la posici de la pedra s obliqua, el moviment de lilla tamb ho s, perqu les forces daquest imant sempre actuen en parallel a la seva direcci.

Amb el moviment de translaci obliqua, lilla recorre les diferents parts del domini reial. Per explicar aquest sistema de desplaament, traarem una lnia imaginria A B que dividir el territori de Balnibarbi per la meitat. Amb c d representarem limant, on d ser el pol datracci i c el de repulsi, i situarem lilla al punt C. Posem ara la pedra en posici c d amb el pol de repulsi cap a baix i tindrem que lilla experimen-tar un moviment dascensi oblic vers el punt D. Quan hagi arribat a D, farem girar la pedra sobre el seu eix fins que el pol datracci ens quedi encarat al punt E: lilla es traslladar obliquament cap a E. Si aleshores tornem a fer girar la pedra sobre el seu eix fins a obtenir la posici E F, amb el pol de repulsi cap a baix, lilla selevar obliquament cap a F. Des daquest punt, dirigim el pol datracci cap a B i podrem desplaar lilla a G. De G podem passar a H, fent girar la pedra de manera que lex-trem repulsiu miri cap a baix. I aix, canviant lorientaci de la pedra dacord amb cada necessitat, lilla es fa pujar i baixar alternativament en direcci obliqua, i amb aquesta combinaci de moviments ascendents i descendents (lobliqitat s de poca consideraci) va passant duna part a laltra de limperi.

Cal dir, per, que aquesta illa no es pot moure ms enll de lextensi dels dominis de terra ferma i que no es pot elevar a una altura de ms de 6.436 metres. []

JONATHAN SWIFT

Si considerem uns eixos de coordenades en els quals el centre de lilla s un punt i considerem els dominis de Balnibarbi com el segment dextrems A(0, 0) i B(50.000, 0), escriu quines sn les condicions de la regi en les quals es pot moure lilla del Prncep; s a dir, les inequacions de la regi.Quines sn les restriccions de la regi per sobre dels nvols?

Sistemes dinequacions lineals5L I T E R AT U R A I M AT E M T I Q U E S

Inequacions lineals amb dues incgnitesSistemes dinequacionsFunci objectiuLocalitzaci de solucions

917475 _ 0096-0113.indd 96 29/7/09 10:50:02

97Sistemes dinequacions lineals

Sistemes dinequacions lineals

ABANS DE COMENAR RECORDA

Comprovem si x 1 i x 6 sn solucions daquesta inequaci:

x 2 5 x 1 1 2 5 x 1 s soluci de la inequaci. x 6 6 2 5 x 6 no s soluci de la inequaci.

1 Calcula tres valors de x que siguin soluci daquestes inequacions.

a) x 5 2 b) x2

4 0 q c) 3x 2 a 3

Repassa

Resolem la inequaci amb una incgnita: 2 x 30 a 5x 3Prenem la inequaci com una equaci, substituint la desigualtat per una igualtat, i la resolem:

2 5 3x x x x 30 3 33 333

11m m

La soluci divideix la recta real en dos intervals. Agafem un punt qualsevol de cada interval, per exemple, x 12 de (`, 11) i x 0 de (11, `).Comprovem si aquests punts sn solucions de la inequaci. Si un punt verifica la desigualtat, aleshores tot linterval ns soluci.

Si x 12 54 a 57 (`, 11) no s soluci. Si x 0 30 a 3 (11, `) s soluci.Comprovem si lextrem com dels intervals s soluci de la inequaci:

Si x 11 52 a 52 x 11 s soluci.

La soluci de la inequaci s [11, `). [11, `)

11

2 Resol la inequaci 12

4 1x x a 3 . Raona els passos que fas per resoldre-la.

Repassa

Resolem aquest sistema dinequacions: xx

2 12 13

Per fer-ho, resolem cada una de les inequacions per separat: xx

xx

2 12 1

1 13 33

Soluci:m }}}}mm

( , )

`mm m ( , )x 1 1Soluci: `

Escollim linterval que verifica les dues inequacions: (1, `)

(`, 1)La soluci s linterval (1, 1).

3 Calcula les solucions daquests sistemes dinequacions.

a) xx

3 51 112

b) 15 86

q

73 14

xx x

Repassa

InequacionsUna inequaci s una desigualtat que es compon de dues expressions algebraiques separades per un dels signes: , , a o q.La soluci duna inequaci est formada per tots els valors que fan que la desigualtat numrica sigui certa.

Inequacions de primer grau amb una incgnita

Una inequaci de primer grau amb una incgnita es resol com si fos una equaci, i sen determina linterval soluci mitjanant tempteig.La soluci duna inequaci de primer grau amb una incgnita s un interval de la recta real.

Sistemes dinequacions amb una incgnita

Per trobar la soluci dun sistema dinequacions, resolem per separat cada una de les inequacions i, desprs, escollim les solucions comunes.

1 0 1

917475 _ 0096-0113.indd 97 5/8/09 10:58:14

98 Unitat 5

1 Dibuixa la regi del pla que determinen les solucions de les segents inequacions lineals amb dues incgnites:a) x y 4 b) 2 x 3y 2 c) x 3y a 0d) x y q 2

2 Determina inequacions les solucions de les quals sn aquestes regions del pla::

ACTIVITATS

Inequacions lineals amb dues incgnites

Una inequaci lineal amb dues incgnites s una desigualtat algebraica que es pot escriure duna daquestes maneres:

ax by c ax by c ax by c ax by c a qen qu x i y sn les incgnites, a i b sn els coeficients de les incgnites i c s el terme independent.

La seva soluci est formada per totes les parelles de valors de x i de y que fan que la desigualtat sigui certa.

COM RESOLEM UNA INEQUACI LINEAL AMB DUES INCGNITES

Resol aquesta inequaci amb dues incgnites: 3x y 3

PRIMER. Considerem la desigualtat com una igualtat, Y

X

1 (1, 0)

(0, 3)

donem valors a x i y i representem la recta que expressa.

3x y 3 x 0 y 3 Punt (0, 3) 3x y 3 y 0 x 1 Punt (1, 0)

SEGON. La recta divideix el pla en dues regions.

(0, 0)

(2, 2)1

Y

X

Prenem dos punts, un de cada regi del pla.

El punt (0, 0) pertany a la regi inferior del pla.

El punt (2, 2) pertany a la regi superior del pla.

TERCER. Comprovem si aquests punts sn solucions de la inequaci. Si un punt verifica la desigualtat, aleshores tota la regi ns soluci.

Si x 0, y 0 3 0 0 3 0 3 Y

X

1

(0, 0) no s soluci.

Si x 2, y 2 3 2 2 3 8 3 (2, 2) s soluci.

La soluci de la inequaci s la regi del pla formada per tots els punts situats a la mateixa regi que (2, 2).

Com que la desigualtat no cont el signe , la recta no forma part de la soluci.

Fes-ho aix

1

ax by c

X

Y

ax by c

ax by c

1

1

1

X

Y

1

1

917475 _ 0096-0113.indd 98 29/7/09 10:50:16


3 Resol aquests sistemes dinequacions de dues inequacions i dues incgnites.

a) a

q

2 22 3 2

x yx y

b) a

a

x yx y

2 42 4 1

4 Resol el sistema dinequacions x yx y

xy

a

a

aq

12 1

44

lineals segent:

ACTIVITATS

Sistemes dinequacions amb dues incgnites

Un sistema dinequacions lineals amb dues incgnites s un conjunt dine-quacions lineals amb dues incgnites de les quals volem trobar la soluci comuna.

COM RESOLEM UN SISTEMA DINEQUACIONS AMB DUES INCGNITES

Calcula la soluci daquest sistema dinequacions 22 3

3x yx y a a

1018

lineals amb dues incgnites:

PRIMER. Resolem cada una de les inequacions per separat i representem la regi del pla que s soluci de cada una de les inequacions.

Per a la inequaci 2x y a 10 tenim que:2 x y 10 x 0 y 10 Punt (0, 10)

X

Y

1

2 x y 10 y 0 x 5 Punt (5, 0)Per al punt (0, 0) es verifica que:

2 x y a 10 x 0, y 0 2 0 0 a 10 (0, 0) s soluci.

Per a la inequaci 2 x 3y a 18 tenim que:

2 x 3y 18 x 0 y 6 Punt (0, 6)

X

Y

1

2 x 3y 18 y 0 x 9 Punt (9, 0)

Per al punt (0, 0) es verifica que:

2 x 3y a 18 x 0, y 0 2 0 3 0 a 18 (0, 0) s soluci.

SEGON. Representem, en els mateixos eixos,

X

Y

1

la regi del pla que s soluci de cada inequaci.

TERCER. Escollim la regi del pla que verifica

X

Y

1

totes dues inequacions.La soluci del sistema s la regi del pla intersecci de les dues anteriors.En aquest cas, les rectes tamb sn soluci perqu la desigualtat cont el signe .

Fes-ho aix

2

1

2x y

10

1

1

1

2x 3y 18

917475 _ 0096-0113.indd 99 29/7/09 10:50:20

100 Unitat 5

La funci objectiu

3.1. Introducci

Una funci objectiu s una funci una funci lineal de dues variables z f ( x, y) de la forma z f ( x, y) ax by, amb a, b R*.

Amb aix, per a cada punt del pla obtenim un valor diferent de la variable z.

3

2 Dibuixa el conjunt de restriccions segent: x

x yx y

q

a

q

00

2 5 20

Les grfiques de cadascuna de les inequacions sn les segents:

La soluci del sistema s la regi de punts que compleixen les tres inequacions a la vegada.La regi soluci del sistema s, en general, un polgon convex del pla.

Exemple

3.2. El conjunt de restriccions

Anomenem conjunt de restriccions el sistema dinequacions lineals amb dues incgnites al qual ha destar sotmesa una funci objectiu.

5 Donada la funci f ( x, y ) x y, dibuixa en el pla la recta soluci que surt per al valor f ( x, y ) 10.

6 Representa grficament la regi del pla que s soluci del conjunt de restriccions segent

ACTIVITATS

xyx yx

qqaq

00210

1 Donada la funci f ( x, y ) 3x y, esbrina els punts del pla que compleixin que f ( x, y ) 4. Dibuixa el conjunt de punts i escriu les coordenades de dos punts que tinguin coordenades enteres.

La soluci a lequaci de tots els punts que compleixin aquesta funci s 3x y 4 i, com ja sabem, aquests punts formen una recta en el pla.Dos punts amb coordenades enteres sn A (3, 5) i B (2, 2).

Exemple

X

Y

2

A

B

6

4

2

24 4 6

3x

y

4

X

Y

2

8

6

4

2

4 6 8 X

Y

20

8

6

4

2

4 6 8

x y

0

X

Y

20

8

6

4

2

4 6 8

2x 5y

20

x 0

x y

0

A(0, 0)X

Y

2

8

6

4

2

4 6 8

2x 5y

20

C 203

203

,

917475 _ 0096-0113.indd 100 29/7/09 10:50:24


3.3. Regi factible

La regi soluci del conjunt de restriccions sanomena regi factible, i es tracta duna regi poligonal, ja que s la intersecci de diverses rectes en el pla.

En general s un polgon convex, s a dir, una regi acotada, per tamb es poden donar regions no acotades. La regi factible s la regi

del pla que s soluci del sistema dinequacions que formen les restriccions.

Fixa-thi

7 Dibuixa la regi factible que representen aquestes restriccions:a) 3 1

2 600

x yx y

xy

q

qa

b) 2 16

00

x yx y

xy

q

qa

8 Determina les restriccions que representen la regi factible segent:

ACTIVITATS

X

Y

1

1

1

3 Determina la regi factible que representen aquestes restriccions:

2 802 10000

x yx yxy

a aqq

X

Y

2x y 80

x 2y 100

10

10

Resolem el sistema dinequacions:2 80 0 80 40 0

2 100x yx y

mm

Passa per i( , ) ( , ).PPassa per i( , ) ( , ).0 50 100 0

Com que x q 0 i y q 0, agafem la part de la regi soluci continguda en el primer quadrant.

4 Determina la regi factible representen

X

Y

1

1

x y 4

2x y 4

Regi factible acotada

aquestes restriccions:

a) 2 44

0 0

x yx yx y

a aq q

,

Resolem el sistema dinequacions:

2x y 4 Passa per (0, 4) i (2, 0). x y 4 Passa per (0, 4) i (4, 0).

b) x yx y

x y

a

aq q

3 36 3 6

0 0,

Regi factible no acotada

Y

1

1 X

x 3y 36

x 3

y

6

Resolem el sistema dinequacions:

x 3y 3 Passa per (0, 1) i (3, 0).

6x 3y 6 Passa per (0, 2) i (1, 0).

Exemples

917475 _ 0096-0113.indd 101 29/7/09 10:50:29

102 Unitat 5

Localitzaci de solucions

4.1. Vrtexs de la regi factible

Els vrtexs de la regi factible sn els punts dintersecci entre els diversos segments que limiten la regi factible.

COM DETERMINEM ELS VRTEXS DUNA REGI FACTIBLE

Calcula els vrtexs de la regi factible representada 2 802 100

0 0

x yx y

x y

a aq q

,

per les restriccions segents:

PRIMER. Transformem cada una de les inequacions en equacions i plantegem tots els sistemes de dues equacions que podem formar. Resolem aquests sistemes.

2 802 100

20 40x yx y

x y

m ,

2 800

0 80x yx

x y

m ,

2 800

40 0x yy

x y

m ,

x yx

x y

2 1000

0 50m ,

x yy

x y

2 1000

100 0m ,

xy

x y

00

0 0m ,

SEGON. Les solucions dels sistemes sn les coordenades dels possibles vrtexs. Per determinar si ho sn, hem de veure si verifiquen totes les restriccions.

A( , ),

20 402 20 40 8020 2 40 10020 0 40 0

m a aq q

a aq q

B( , )

,40 0

2 40 0 8040 2 0 10040 0 0 0

m

aC( , )100 0 2 100 0 80m

D

E

( , )

( , )

0 80 0 2 80 100

0 502 0 50 800 2 50 1

m

m

a a a 000

0 0 50 0

0 02 0 0 800 2 0 10

q q

a a

,

( , )F m 000 0 0 0q q

,

Els vrtexs sn els punts A(20, 40), B (40, 0), E(0, 50) i F(0, 0).

Fes-ho aix

El clcul de vrtexs s ms senzill si tenim la regi factible representada.

5 Determina els vrtexs daquesta regi factible:

A(0, 0) B(4, 0)

3 4 12

5 2 202813

6013

x yx y

Cm ,

D(0, 3)

Exemple

4

X

Y

2x y 80

x 2y 100

D

Y

1

1

5x 2y 20

3x 4y 12

XA B

C

9 Determina els vrtexs de la regi segent:

10 Troba els vrtexs de les regions factibles que representen aquestes restriccions.

a) x yx y

x y

aq q

52 0

0 0,

b) x yx yx y

x y

a aq q

52 0

2 80 0,

ACTIVITATS

Y

X

1

1

x y 3

x 2y

2

10

10

917475 _ 0096-0113.indd 102 29/7/09 10:50:39


11 Calcula els punts que fan la funci f ( x, y ) x y mxima i mnima en relaci al conjunt de restriccions segents:

12 Troba la soluci ptima que maximitza la funci f ( x, y ) x 2y en la regi factible segent:

ACTIVITATS

4.2. Optimitzaci de la funci objectiu. Teorema de localitzaci

La soluci ptima duna funci sotmesa a un conjunt de restriccions s el con-junt de punts de la regi factible que fan que aquesta funci prengui el seu valor ptim (mxim o mnim).

Teorema de localitzaci: si una funci objectiu subjecta a un conjunt de restriccions t soluci i est acotada, el valor ptim de la funci sobt en un dels vrtexs de la regi factible o en un dels seus costats.

1

1

x y 3

Y

X

x y 5

6 Considera la funci objectiu f ( x, y ) 2x y i el conjunt de restriccions segent: xy

x y

qq

a

31

3 12. Troba el punt de la regi factible que fa mnima la funci

i el punt que la fa mxima.

Per trobar les solucions mxima i mnima de la funci objectiu, i per aplicar el teorema de localitzaci, hem de representar la regi factible com a intersecci de totes les inequacions del sistema.

Posteriorment, en calculem els vrtexs, que sn els resultats de resoldre tres sistemes dequacions, agafant-les de dues en dues:

xy

A yx y

B

31

3 1 13 12

9 1m m( , ) ( , )) ( , )xx y

C

33 12

3 3m

Calculem el valor de la funci en cada un dels vrtexs:z (A) f (3, 1) 2 3 1 7z (B) f (9, 1) 2 9 1 19z (C ) f (3, 3) 2 3 3 9

Per tant, la funci es fa mxima al punt B i mnima al punt A.

Exemple

0

C

A B

X

Y

2

8

6

4

2

4 6 8

xy

x yx y

qq

a a

01

3 2 187

917475 _ 0096-0113.indd 103 5/8/09 10:58:44

104 Unitat 5

4.3. Solucions en regions no acotadesEn el cas en qu la regi factible no s acotada, la soluci ptima pot estar entre els punts dalguna de les semirectes que conformen la regi.

7 Considera la funci objectiu z f ( x, y ) 3x y i el conjunt de restriccions

segent:

xy

x yx y

qq

q q

02

2 83 2 12

. Troba el punt de la regi factible que fa mnima

la funci i el punt que la fa mxima.

Dibuixem les quatre inequacions i calculem la regi factible, que s una regi no acotada.

Calculem els tres punts de tall:

xx y

A

03 2 12

0 6m ( , )

x yx y

B

2 83 2 12

2 3m ( , )

yx y

C

22 8

4 2m ( , )

Calculem el valor de la funci en cada un dels vrtexs:

z (A) f (0, 6) 3 0 6 6z (B) f (2, 3) 3 2 3 9z (C) f (4, 2) 3 4 2 14

Per tant, la funci es fa mnima en el punt A i no t mxim perqu no est acotada.

Exemple

0

x 2y 8

3x 2y 12

y 2

x 0

X

Y

2

12

10

8

6

4

2

4 6 8 10 12 14

13 Determina la soluci ptima que maximitza la funci f (x, y) = 2x y en aquesta regi factible:

14 Troba la soluci ptima que maximitza la funci f (x, y) x 2y en la regi factible segent:

ACTIVITATS

Y

1 1

x y 15x 3

y 15

x y 3

Y

x y 5

917475 _ 0096-0113.indd 104 29/7/09 10:50:47


15 Donada la funci f ( x, y ) x 4y, calcula, mitjanant els feixos de rectes paralleles a la funci, el punt que loptimitza en la regi factible segent:

16 Considera la funci f ( x, y ) x y. Calcula, mitjanant els feixos de rectes paralleles a la funci, el punt que loptimitza en la regi factible segent:

ACTIVITATS

4.4. s de feixos de rectesEls problemes que hem vist en els apartats anteriors tamb es poden resoldre de manera grfica: nhi ha prou a dibuixar el feix de rectes paralleles a la funci objectiu f ( x, y) ax by, s a dir, el feix ax by k i esbrinar en quin dels punts de la regi el valor de k es fa mxim o mnim.

Si la regi no s acotada, la soluci ptima pot no existir.

Podem traar infinites rectes paralleles que sempre tallen la regi factible. Per tant, no tindr mxim.

No te noblidis

Y

X

8 Determina les solucions ptimes per a la funci f ( x, y) 75x 80y, sotmesa al conjunt de restriccions:

2 802 1000 0

x yx yx y

a aq q

,

Per trobar la soluci ptima, hem desbrinar els punts ( x, y) de la regi factible que fan que el valor 75 x 80 y sigui mxim. Donem valors a la k en el feix de rectes:

k F x y y x 0 0 7580

m m( , )

k F x y y x 800 800 7580

10m m( , )

k F x y y x 1 600 1 600 7580

20. ( , ) .m m

A mesura que augmenta el valor de k, sincrementa el valor de lordenada. Hem dobservar en quin punt de la regi lordenada de la recta s ms gran per al mxim i ms petita per al mnim.

Per tant, el mxim de la funci s en el punt B, i el mnim en el punt D (lorigen de coordenades).

Exemple

Y

X

40

20

20 40 60A

D

CB

Y

X

6

5

4

3

2

1

0 2 3 4 5 6

Y

X

4

3

2

1

1

2

3

2 3 4 5 6

917475 _ 0096-0113.indd 105 29/7/09 10:50:52

106 Unitat 5

Regi factible

1. COM REPRESENTEM UNA REGI FACTIBLE QUAN HI HA RESTRICCIONS DEL TIPUS x a k, y a k

9 Representa la regi factible donada pel sistema dinequacions:

x yxy

x y

qaq

q

12

1

3 12

SOLUCIPRIMER. Determinem la regi del pla que representen les inequacions del tipus x a k i y a k.

x a k Regi del pla que est a lesquerra de la recta x kx q k Regi del pla que est a la dreta de la recta x ky a k Regi del pla que est per sota de la recta y ky q k Regi del pla que est per sobre de la recta y k

En aquest cas:

X

Y

1

1

SEGON. Calculem la soluci del sistema format per la resta dinequacions en la regi del pla que hem delimitat en el pas anterior.

x y

x y

q

q

1

3 12

Y

1

1 X

2. COM DETERMINEM LES RESTRICCIONS, SI CONEIXEM LA REGI FACTIBLE

10 Escriu un sistema dinequacions lineals que tinguin com a zona de soluci linterior del parallelogram que t els vrtexs A(1, 1), B(5, 5), C (3, 8) i D(1, 4).

SOLUCI

PRIMER. Representem grficament el recinte.

SEGON. Trobem les rectes que limiten la regi factible substituint els punts en lequaci de la recta y ax b.t Recta que passa per A(1, 1) i B(5, 5)

1 15 5

a ba b

y xm

t Recta que passa per C(3, 8) i D(1, 4)8 34 1

5

a ba b

y x( )

m

t Recta que passa per C(3, 8) i B(5, 5)8 35 5

32

252

a ba b

y xm

t Recta que uneix A(1, 1) i D(1, 4)1 14 1

32

52

a ba b

y x( )

m

TERCER. Escollim un punt de linterior de la regi factible i transformem les igualtats del pas anterior en inequacions que tinguin aquest punt com a soluci. Les desigualtats seran estrictes ( o ) si els segments que la delimiten no pertanyen a la regi factible.

El punt (3, 5) pertany a la regi factible.

5 3

5 3 5 5

532

3

5

q

a

a

}}}}}m

}}}}}m

y x

y x

y x

y x

q

252

32

252

532

352

32

252}}}}}m

}}

y x

y x

}}}}my x

y x

3

2

5

2 32

52

Aix, les restriccions sn:

y xy x

y x

532

2552

32

52

y x

PROBLEMES RESOLTS

Y

Xk

Y

X

k

D

Y

1

XA

B

C

1

(Activitats de Selectivitat)

917475 _ 0096-0113.indd 106 29/7/09 10:50:59


3. COM AFEGIM RESTRICCIONS PER OBTENIR UNA REGI FACTIBLE DETERMINADA

11 Afegeix inequacions al sistema x yy xaa

3 12

perqu la regi de les solucions del sistema que en resulti tingui forma de parallelogram.

SOLUCI

PRIMER. Representem la regi factible i tracem rectes fins que delimitem la figura que ens demanen.

Tracem una parallela a y x i la desplacem, per exemple, 4 unitats cap a lesquerra: y x 4i 4 unitats cap a baix:

y x 3

4m y x3

SEGON. Determinem els signes x yy xy x

y x

aa a

q

3 124

3

de les desigualtats que corresponen a les regions del pla necessries.

Optimitzaci de funcions

1. COM DETERMINEM EL MXIM I EL MNIM DUNA FUNCI EN UNA REGI FACTIBLE ACOTADA

12 Representa grficament la regi del pla definida per les desigualtats:

x y x y y x a q a 2 4 2 2 0 3 4i troba els valors mxim i mnim de la funci F(x, y ) x y, quan ( x, y ) recorre aquesta regi.

SOLUCIPRIMER. Representem la regi factible.

SEGON. Calculem els vrtexs de la regi factible.A(0, 2) B(4, 0) C (2, 2)

TERCER. Substitum les coordenades dels vrtexs a la funci objectiu i determinem els punts que la optimitzen.

F x y x y F x yA

B( , ) ( , )

( , )

}}m m}}m

0 20 2 2 Mnim

(( , )

( , )( , )

( , )

4 0

2 24 0 4

2

F x y

F x yC

m}}m

Mxim

2 0

2. COM DETERMINEM EL MXIM I EL MNIM DUNA FUNCI EN UNA REGI FACTIBLE NO ACOTADA

13 Representa grficament la regi S x y y x y q a{( , )/ , }3 6 1 0 i calcula el valor mxim i el mnim, si existeixen, de la funci f ( x, y ) 3y 8x en S.

SOLUCI

PRIMER. Representem la regi factible.

SEGON. Calculem els vrtexs de la regi factible.

y xy

A

3 61 0

73

1m ,

TERCER. Determinem les rectes f ( x, y ) k que passen pels vrtexs.

Agafem x 73

i y 1 en la funci f (x , y) 3y 8x:

f73

1 3 1 873

653

, ( )

La recta que passa pel vrtex s: 3 8653

y x

QUART. Tracem aquestes rectes i observem la seva intersecci amb la regi factible. Noms existeix soluci si la intersecci s nicament un vrtex o un segment que delimita la regi factible.

En aquest cas, la recta talla la regi factible nicament en el punt A.

CINQU. Si la soluci existeix, analitzem el signe del coeficient de y en la funci objectiu.

Coeficient de y 3 0A s un mxim, ja que la recta que passa per A s la dordenada ms gran.El mnim no existeix, ja que podem traar rectes que tallen la regi factible cada vegada amb ordenada ms petita.

1

Y

X1

Y

1X

A

B

C

1

Y1

X1

y 3x 6

y 1

Y1

X1

38

65 3

yx

917475 _ 0096-0113.indd 107 29/7/09 10:51:08

108 Unitat 5

ACTIVITATS

Inequacions lineals amb dues incgnites

17 Comprova que el punt (2, 3) pertany al semipl determinat per la inequaci:

3x 2y a 1Troba les coordenades duns altres dos punts de la mateixa regi del pla.

18 Resol grficament les inequacions:a) x a 3 c) x 0b) y 4 d) y a 5

19 Resol les segents inequacions lineals amb dues incgnites.a) 4 3x y c) q4 3x yb) 4 3x y a d) 4 3x y

20 Resol grficament aquestes inequacions:

a) x y2 3

1 a

b) 23

2x y

21 Determina les inequacions que tenen com a solucions els semiplans segents:

a)

c)

b)

d)

Sistemes dinequacions lineals22 Resol els sistemes dinequacions segents:

a) xyxy

qqaa

0064

d) xy

x yx y

aq a

q

00

3 4 125 10

b) xyxy

qqaa

2355

e) xy

y xx y

qq

a q

00

2 48

c) xy

x y

qq a

00

2 6

f ) xx yx y

q q

a

03 0

7

23 Troba les regions del pla determinades pels sistemes dinequacions i indica, en cada cas, si sn acotades o no.

a) xyx yx y

qq a a

00

3 5 154

b) xy

x yx y

qq q q

00

3 32 4

24 Representa grficament la regi x yx yx y

xy

q

q qqq

4 169 7 23 2 6

00

determinada per aquest sistema dinequacions. Hi sobra alguna inequaci?

25 Dibuixa la regi del pla definida xy

y x

qa a a

00 2

2 4

per les inequacions segents:

(Activitat de Selectivitat)

26 Representa la regi soluci 3 2 31

x yx y

a a

del sistema dinequacions lineals segent:

Determina tres punts dabscissa x 2 i ordenada entera que siguin soluci del sistema.(Activitat de Selectivitat)

27 Considera el sistema dinequacions segent:

x yx yx y

a q

a

2 85

5 0

a) Solucional grficament.b) Troban totes les solucions enteres.(Activitat de Selectivitat)

28 Determina un sistema dinequacions per a cada soluci representada en aquestes grfiques:

a)

c)

b)

d)

29 Determina un sistema dinequacions que tingui com a conjunt de solucions linterior i els costats del triangle del pla amb vrtexs (0, 0), (2, 3) i (3, 1).(Activitat de Selectivitat)

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

Y

1 X

1

917475 _ 0096-0113.indd 108 29/7/09 10:51:26


Funci objectiu. Regi factible30 Representa grficament el conjunt de punts que verifiquen

el sistema dinequacions segent:

xy

x yx y

x yx

qq

q

q a

q

00

2 43 15

2 201 6

Calcula els vrtexs de la regi.

31 Escriu les inequacions que defineixen el recinte de la figura segent:

Y

224 4 6 8

B

CD

A

X

8

6

4

2

2

4

32 Escriu el sistema dinequacions que defineixen el recinte daquesta figura:

Y

2 4 6 8 10 12 X

12

10

8

6

4

2

33 Dibuixa la regi del pla formada pels punts (x, y) que compleixen les desigualtats segents:

xy

x yx y

qq

a q

004

2 1

(Explica detalladament per qu el dibuix que has fet correspon a la regi demanada.)(Activitat de Selectivitat)

34 a) Escriu lequaci a de les tres rectes del pla que limiten la regi puntejada del dibuix.

b) Escriu les tres desigualtats que determinen aquesta regi.


35 Determina el sistema de quatre inequacions amb dues incgnites que t per soluci el polgon ombrejat dibuixat a la grfica segent, suposant que els costats tamb sn soluci.

1 2 3 4 5

4

3

2

1

0


36 Determina el sistema de tres inequacions i dues incgnites que t per soluci el triangle assenyalat en la grfica segent, suposant que els costats del triangle tamb formen part de la soluci.

1 2 3 4 5

4

3

2

1

0


37 Troba un sistema dinequacions que tingui com conjunt de solucions linterior i els costats del triangle de vrtexs (0, 1), (2, 0) i (3, 4).(Activitat de Selectivitat)

Localitzaci de solucions. Optimitzaci38 Considera la regi factible segent.

1 X

1

Y

Troba els punts en els quals les funcions agafen els valors mxims.a) f x y x y( , ) 3 c) f x y x y( , ) 3 2 1b) f x y x y( , ) 2 1

39 Calcula els punts de la regi

on sassoleix el valor mnim daquestes funcions.a)b)

f x y x yf x y x y( , )( , )

44

Y

1 X

1

(2, 2)

(3, 0)(4, 0)

917475 _ 0096-0113.indd 109 5/8/09 10:59:37

110 Unitat 5

ACTIVITATS

40 Donada la regi factible, determina el mxim i el mnim de les funcions segents:a) f x y x y( , ) 2b) f x y x y( , ) 3 2 3

Y

1 X

1

41 a) Representa grficament la regi determinada per les restriccions segents:

2 6 4 10

3 0 0x y x yx y x y a a

a q q i determinan els vrtexs. b) Calcula el mxim de la funci f x y x y( , ) 4 2 3

en el recinte anterior i indica on sassoleix.(Activitat de Selectivitat)

42 Dun problema de programaci lineal es dedueixen les restriccions segents:

4 3 12 3010

20 0x y y x

yx y q a a q q

a) Representa grficament la regi factible del problema i calculan els vrtexs.

b) Maximitza en aquesta regi factible la funci objectiu F x y x y( , ) 3 .c) El punt (11, 10) pertany a la regi factible?(Activitat de Selectivitat)

43 a) Troba els vrtexs de la regi determinada per les inequacions segents:

3 60 2 32

2 2 3 1x y x y yx

x y a q q q

b) Calcula els punts de la regi on la funci f x y x y( , ) 3 2 assoleix els valors mxim i mnim i determinals.


44 Determina els valors mxim i mnim de la funci z x y 5 3 subjecta a les restricccions:

3 4 6 0 5 5x y x y y x q a a a a(Activitat de Selectivitat)

45 Considera el sistema x yx yx y

q q a

1 01

3 13

dinequacions segent:

a) Representa grficament la regi factible.b) Calcula el mxim de la funci f x y x y( , ) 3

en aquesta regi.(Activitat de Selectivitat)

46 Es vol minimitzar la funci lineal:3 4 2 10 3 18x y x y ( ) ( )

amb les restriccions: x y x yx y x yq q q q a a

0 0 10 0 18 013 10 18 2 16( ) ( )

Es demana:a) Representaci grfica del conjunt factible.b) Trobar les coordenades de tots els seus vrtexs.c) Trobar totes les solucions ptimes.(Activitat de Selectivitat)

47 Considerem el recinte pla limitat per les inequacions segents:x y y x x y x y a q q q q4 2 7 2 13 0 0 0a) Representa el recinte i calculan els vrtexs.b) Troba en quins punts daquest recinte la funci

F x y x y( , ) 4 2 1 assoleix els valors mxim i mnim.(Activitat de Selectivitat)

48 Representa el recinte definit per les inequacions:0 4 3 2 12 0a a q ay x y x y x

i troba els valors mxim i mnim de la funci F x y y x( , ) 2 en aquest recinte.(Activitat de Selectivitat)

49 Considera T x y y x y x y q a a{( , )/ , , }3 6 1 0 8 3 67 i f x y y x( , ) 3 8 .a) Representa grficament la regi T.b) Calcula el valor mxim i el mnim, si existeixen, de la

funci f ( x, y ) en T i digues en quins punts sassoleixen.(Activitat de Selectivitat)

50 Considera el sistema dinequacions xyx yx y

qq a a

003 18

10

segent:a) Representa grficament

la regi de solucions.b) Determina el mxim

de la funci f ( x, y ) 3x 5y en aquesta regi i per a quins valors sassoleix aquest mxim.

c) Determina el mxim de la funci f ( x, y ) 3x 3y en aquesta regi i per a quins valors sassoleix.


51 Considera la funci f ( x, y ) x y.a) Representa el conjunt: A x y x y y x x y y q a a q{( , )/ , , , }3 15 5 2 3 60 0 i calcula el valor mxim de f ( x, y ) en A. Es podria

eliminar alguna de les desigualtats que defineixen el conjunt A de manera que encara fos el mateix conjunt?

b) Digues si la funci f ( x, y ) assoleix valor mxim en el conjunt:

B x y x y x y x a q q{( , )/ , , }3 15 5 0En cas afirmatiu, calcula aquest valor.


917475 _ 0096-0113.indd 110 29/7/09 10:51:46


52 En un problema de programaci lineal, la regi de solucions s el quadrat de vrtexs (1, 1), (1, 3), (3, 3) i (3, 1), i la funci objectiu s B( x, y ) 3x 2y.

a) Determina en quin punt la funci objectiu s mxima i quin s aquest valor mxim.

b) Dna un conjunt dinequacions que determini la regi de solucions.


53 En un problema de programaci lineal, la regi factible s el conjunt convex format pel triangle de vrtexs: (0, 0), (0, 1) i (1, 0). La funci objectiu s parallela a la recta x y 0. Troba els punts en els quals la funci objectiu assoleix:a) El mnim.b) El mxim.


54 Sigui la funci f ( x, y ) ax by. Si es consideren les restriccions segents:

2 3 182 10

00

x yx y

xy

a aqq

determina la relaci que ha dexistir entre a i b perqu el mxim de la funci f ( x, y ) sassoleixi en el punt (3, 4).

55 La funci objectiu dun problema de programaci lineal s f ( x, y ) ax by c, on a, b, c sn nombres positius. Esbrina en quin dels dos punts A o B del grfic la funci objectiu pren un valor ms gran. Raona la resposta.


56 Representa grficament la regi factible determinada per les desigualtats segents:

xy

x yx y

qq

q a

005

4 3 30

Calcula la soluci que fa mnima la funci objectiu z x 2y sotmesa a les restriccions anteriors.(Activitat de Selectivitat)

57 Dibuixa la regi del pla determinada per les desigualtats

2 24 0

0

x yx y

y

a qq

Calcula desprs el mxim de la funci z x y en aquesta regi.


58 El quadrilter ABCD s la regi soluci dun sistema dinequacions lineals. Els costats del quadrilter tamb formen part de la regi soluci.

4

3

2

1

0

1

A

D

B

C

2 3 4

a) Troba el valor mxim i el mnim de la funci F ( x, y ) x 3y en aquesta regi.

b) En quins punts de la regi soluci la funci de lapartat anterior assoleix el mxim i en quins, el mnim?


59 Maximitza la funci f ( x, y ) 2x 3y amb les restriccions:x 2y a 24 2x y a 10 x q 0 y q 0


60 a) Determina la regi soluci del sistema i el seu vrtex:

3 103 0

x yx y q

a

b) Calcula el valor de la funci F ( x, y ) x 4y en el vrtex i explica raonadament si correspon a un extrem de F ( x, y ) i de quina classe s.


61 Calcula en quins punts de la regi determinada pel sistema dinequacions

x yx y

x y

q q q a

0 04 3 4 0

3 5 15

,

la funci F x yx

y( , ) 43

pren els seus valors mxim

i mnim, i quins sn aquests valors.


Y

5

X

A B

2

917475 _ 0096-0113.indd 111 5/8/09 10:59:54

112 Unitat 5

PREPARA LA SELECTIVITAT

Sigui S la regi del pla de coordenades ms grans o igual que zero i tal que els seus punts compleixen que:i) la mitjana aritmtica de les coordenades s menor o igual que 5

ii) el doble de labscissa ms lordenada s ms gran o igual que 5

a) Representa grficament el conjunt S.b) Determina en quins punts de S la funci F ( x, y ) 2x y pren el valor mxim.(Activitat de Selectivitat)

IDEA CLAU

Les condicions del problema sn un conjunt de restriccions que donen lloc a un sistema dinequacions la soluci del qual ser la regi del pla demanada.

a) Les restriccions sn:

t Coordenades ms grans o iguals que zero xyqq

00

t (i) Mitjana aritmtica de les coordenades menor o igual que 5:

52

5 10m mx y x y q a

t (ii) El doble de labscissa ms lordenada ms gran o igual que 5: 2x y q 5

Per tant, el sistema dinequacions que representen les restriccions i la regi factible soluci del sistema sn els segents:

xy

x yx y

qq

a q

0010

2 5

m

Y

10

6

4

2

X

A

B

C D

2 4

x y 10

2x y

5

y 0

x

0

8 10

Els punts dintersecci sn: A(0, 10), B(10, 0), C(5/2, 0) i D(0, 5).

b) Calculem el valor de la funci en cada un dels vrtexs:

z A Fz B F( ) ( , )( ) ( , )

0 10 2 0 10 1010 0 2 10 0 200

52

0 252

0 5

0 5

z C F

z D F

( ) ,

( ) ( , )

2 0 5 5

Per tant, en el punt B(10, 0) la funci pren el valor mxim z (B ) 20.

917475 _ 0096-0113.indd 112 29/7/09 10:51:54


(Activitats de Selectivitat)

1 Escriu un sistema de quatre inequacions (amb dues variables x i y ) de tal manera que la regi del pla que determini aquest sistema sigui la regi ombrejada del dibuix segent:

2 a) Representa grficament la regi de solucions del sistema dinequacions segent:

x

x yx y

a q

q

42

2 4 0

b) Calcula el mnim de la funci F ( x, y ) x 2y en la regi soluci del sistema anterior. En quins punts daquesta regi sassoleix aquest mnim?

3 Dibuixa la regi del pla determinada pel sistema dinequacions segent:

x yx y

x yy

a

a q

q

51

2 20

i calcula el mxim de la funci f ( x, y ) 2x 2y en aquesta regi.

4 Troba els punts de la regi del dibuix on la funci F ( x, y ) 2x 4y 5 pren el valor mxim i digues quin s aquest valor mxim.

Y

2

1

X1 2 3 40

5 Considera el sistema dinequacions segent:

x yx y

x yx y

q q

a a

4 114

4 69

a) Dibuixa la regi de solucions del sistema.b) Una funci objectiu f ( x, y ) ax by c pren el valor mnim en aquesta regi en el punt (4, 15/4).

Digues si tamb pren el valor mnim en altres punts de la regi i, si s aix, determinals.

Posat a prova

Y

4

3

2

1

X1 2 3 40

917475 _ 0096-0113.indd 113 29/7/09 10:51:57

5.Sistemes d’Inequacions Lineals_MACS

Documents

Transcript of 5.Sistemes d’Inequacions Lineals_MACS