4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

Ecuaciones de segundo grado

Parte teórica

Para resolver ecuaciones de segundo grado se aplica.

Esta ecuación se denomina ecuación cuadrática.

La ecuación puede tener:

Dos soluciones

Ejemplo

x2 + 6 x – 27 = 0

x1=3

x2=-9

Una solución

Ejemplo

3x2 + 6x + 3 = 0

x1 = x2 Tiene solución única.

Soluciones imaginarias.

Ejemplo

x2 - 4x + 5 = 0

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4to. 1ra. T. T. - MatemáticaProf. Flavia Terrizzano

x1 = 2 + 2i

x2 = 2 – 2i

Ecuaciones bicuadradas

Se llama ecuación bicuadrada a una ecuación de la forma a x4 + b x2 + c = 0 (a 0)

Para resolver una ecuación de este tipo hacemos la siguiente sustitución x2 = z y x4 = z2

luego, puede escribirse a z2 + bz + c = 0 y resolverse como una ecuación de segundo

grado. Finalmente se vuelve a sustituir z por x.

Ejemplo

Hallar las raíces de la ecuación x4 – 3 x2 + 2 = 0

Sustituimos z = x2 y nos queda

z2 – 3 z + 2 = 0

z1 = 1 x1,22 = 1 x1= 1

x2 = -1

z2 = 2 x3,42 = 2 x3 =

x4 = -

Factorización del trinomio de segundo grado

Si x1 y x2 son las raíces de la ecuación a x2 + b x + c = 0 (a 0) entonces el trinomio de segundo grado puede escribirse

a x2 + b x + c = a (x – x1) (x – x2)

Ejemplo

Factorear el trinomio 4 x2 – 16 x – 48.

Hallamos las raíces

x1 = 6

x2 = -2

Factoreamos el trinomio teniendo en cuenta que a = 4, x1 = 6 y x2 = -2

4 x2 – 16 x – 48 = 4 . (x-6) (x + 2)

Parte Práctica

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1) Resolver las siguientes ecuaciones:

a) x2 – 2 (x + 4) = 0 b)

c) x (x-1) + 2x = x + 25 d) (x – 1)2 = (x + 3) (x – 1) – 4x2

e) 3 x ( x-1) – 2 (2x2 – 2x) = - 6 f) 7 – 5 x (x – 2) = x (2 – 6x)

g) h) (2x – 1)2 – 9 = 0

i) j)

k) l)

2) Dado x2 – 2x – 1 = 0. Hallar x12 + x2

2

3) La suma de dos números es 4 y su producto es 1 ¿Cuáles son los números?4) La superficie de un rectángulo es de 48 cm2 y el perímetro es de 28 cm. Calcular la

diagonal del rectángulo.5) Los lados de un triángulo rectángulo son números consecutivos. Calcular el

perímetro del rectángulo.6) Si al triple de un número se le suma la mitad de su cuadrado, se obtiene el duplo del

mismo número. ¿Cuáles son los números que cumplen esa condición?7) Dada mx2 + 4x + 4 = 0. Hallar m para que las raíces sean iguales.

8) Resolvera) 4 (x2 – 1)2 + 3x2 – 3 = 0 b) 2 x2 + 4 = - (x2 + 2).(x2 – 2)

9) Factorear

a) x2 – 4x – 5 = b) x2 + 5x + 8 = c) x2 – 6x = d) 9x2 + 6x +1 =

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