02/06/2012 05:04 p.m. DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS F S I C A2 MOVIMIENTO 0NDULATORIO II Autor:Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-2012 MOVIMIENTO ONDULATORIO ONDAS SONORAS Laondassonorassonelejemplomsimportantedeondas longitudinales.Lasondassonorashacenvibraralaspartculasdelmediopor dondeviajan,produciendocambiosenladensidadypresinalo largo de la direccin de su movimiento. Las zonas de alta presin sedenominancondensacionesyzonasdebajapresinrarefac-ciones.Segnlafrecuencia,lasondassonorasseclasificanentres categoras.Lasondassonoraspuedenviajaratravsdeunmedioconuna velocidad que depende de las propiedades del medio. 02/06/2012 05:04 p.m.2Segundo L. Gallardo Zamora Si la fuente generadora de las ondas sonoras vibra senoidalmente, la variacin de presin tambin vara senoidalmente. MOVIMIENTO ONDULATORIO 1)Ondas audibles. Sonlas ondas que estn en el rango de audibili-dad del odo humano. Este rango de frecuencias est entre 20 [Hz] y 20000 [Hz]. Estas ondas pueden generarsede diversas formas, tales como por ejemplo tocando un instrumento musical, mediante la voz obtenida por vibracin de las cuerdas bucales, mediante parlantes, etc. 2)Ondasinfrasnicas.Sonlasondascuyasfrecuenciasestnpor debajo de la frecuencia mnima audible (20 Hz). Estas ondas son producidasporloselefantesparacomunicarseyporlosondas ssmicas en los terremotos.3)Ondasultrasnicas.Sonlasondascuyasfrecuenciasestnpor encimadelafrecuenciamximaaudible(20000Hz).Los murcilagos y ballenas pueden emitir y captar ondas sonoras de este tipo.02/06/2012 05:04 p.m.3Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO VELOCIDAD DE LAS ONDAS SONORAS Elmovimientolasondassonorasunidimensionalessepuede describirmediantelasondasgeneradasenuntubodegascomo las que se mostraron en la Fig. 1.Figura 1 Almoverseelpistnhaciala derechaconrapidez+ uproduceen el gas zonas de alta densidad (partes oscuras o condensaciones) y al moverse hacia la izquierda con rapidez -u produce zonas de baja densidad(partesclarasorarefacciones.Lasdoszonasse desplazan hacia la derecha con velocidad V. La velocidad de oscila-cin del pistn( u )no es igual a la velocidad V de las ondas. 02/06/2012 05:04 p.m.4Segundo L. Gallardo Zamora u Pistn -sm +sm V MOVIMIENTO ONDULATORIO La distancia entre dos condensaciones sucesivas( o dos rarefacciones sucesivas) es igual a una longitud de onda . Enelcasodeunaondasonoraenunfluido(lquidoogas),la propiedadelsticaeselmdulodevolumtricoode compresibilidad B = - V (AP / AV) y la propiedad de inercia es la densidad. v =B (1) V =Propiedad elstica del medio Propiedad de inercia del medio Lavelocidaddepropagacindelasondasmecnicasenmedios slidos, lquidos o gases depende de dos propiedades. 02/06/2012 05:04 p.m.5Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Para el caso de una barra slida la propiedad elstica es el mdulo de Young E. Por lo tanto la velocidad de una ondaa lo largo de la barra es: Donde331[m/s]eslavelocidaddelsonidoenelairea0C,yTc eslatemperatura,engradosCelsius,alacualdeseamos determinar la velocidad. Usando esta ecuacin, encontramos que la velocidad del sonido a 20C es aproximadamente vs = 343 m/s v =E (2) v = 331 1+ Tc 273C (3) Lavelocidaddelsonidotambindependedelatemperaturadelmedio. Para ondas sonoras en el aire, la relacin entre la velocidad y la temperatura del medio es 02/06/2012 05:04 p.m.6Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Ondas Sonoras Peridicas En la Fig.2, se muestra el MAS con que un elemento cualquier del mediooscilaendireccinparalelaaladireccindepropagacin delaonda,paralelaalejeS.EldesplazamientoS(x,t)deun elementodelmediorespectoasuposicindeequilibrio,estar dado por la funcin armnica S(x,t) = Sm cos ( k x e t ) (4) Donde:Smeselmximodesplaza-mientodelmediorespectoasu posicindeequilibrio,queasuvez eslaamplituddelaonda,kesel nmerodeondayeesla frecuencia angular de la onda. X -Sm +Sm Figura 2 S v o 02/06/2012 05:04 p.m.7Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Como la presin en un fluido vara peridicamente,entonces laonda de presin(AP)en el fluido,viajando en el sentido del eje +X, est definida por la funcin armnica DondeAPmeslamximavariacindepresinoamplitudde presin del medio respecto a su valor de equilibrio y su valor est dado por Donde: ,es la densidad del medio. Para el aire a temperatura ambiente o = 1,29[kg/m3]. e Sm = um ,es la mxima velocidad del MAS que ejecuta cada elemento de volumen del medioA P= A Pm sen ( k x e t ) (5) A Pm = v e Sm (6) v ,es la velocidad de propagacin de la onda ComparandolasEcs.4y5vemosquelaondadepresin,AP(x,t) est desfasada en t/2 respecto a la onda de desplazamiento S(x,t). 02/06/2012 05:04 p.m.8Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO El desfasaje inicial entre las funciones S(x,t)yAP(x,t), de las ondas sonoras en un tubo de aire se muestra en los grficos de la Fig. 3. Tambinseobservaqueel desplazamientoescero cuandolapresines mxima y viceversa. 02/06/2012 05:04 p.m.9Segundo L. Gallardo Zamora S X AP X sm - sm - APm o o Figura 3 APm Enestosgrficosse muestracomolaondade presinestdesfasadaent/2respectodelaondade desplazamiento. ENERGA DE LAS ONDAS SONORAS PERIDICAS MOVIMIENTO ONDULATORIO En el tubo de aire de la Fig. 4 el pistn, al oscilar con frecuencia e, generaondassonorassenoidalesalasquetransmiteuna cantidaddeenergaencadaciclo.Paracalcularlacantidadde energatransmitidaalasondas,consideremosunpequeo elementocilndricodeairedealturadxymasadm,queoscila debido a esta energa recibida. v Figura 4 dx dm 02/06/2012 05:04 p.m.10Segundo L. Gallardo Zamora u Pistn -sm +sm MOVIMIENTO ONDULATORIO La energa cintica de este elemento de masa es Donde: v =S(x,t) ,es la velocidad con que oscila el elemento de volumen en la direccin S. c c t dEk = dm v2 (7) Sicongelamoslaondaent=0,laenergacinticainstantneadel elemento de volumen es dEk = A dx [ e Sm sen ( k x e (0) ) ] 2 dm = A dx,es la masa del volumen cilndrica elemental conbase de rea A y altura dx. La densidad del aire es v = [ Sm cos ( k x e t ) ] =e Sm sen ( k x e t ) c c t Luego v =e Sm sen ( k x e t ) (8) dEk = Ae2 (Sm)2 sen2 k x dx (9) 02/06/2012 05:04 p.m.11Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Estaenergaesrecibidaporlamasadmencadaciclode oscilacin,procesoduranteelcuallaondaavanzaunadistancia igual a una longitud de onda. Por lo tanto, la energa cintica total promedio que absorbe cada porcin cilndrica de aire de una altura igualaunalongituddeonda,puedehallarseintegrandolaEc.(9) desde x = 0 hasta x = .Ek = A e2 (Sm) 2 sen2 k x dx . 0 Ek = A e2 (Sm) 2 / 4(10) Aligualqueenlacuerda,laenergapotencialtotal.enuna longitud de onda tiene el mismo valor que la energa cintica. (11) Ep = A e2 (Sm) 2 / 4 02/06/2012 05:04 p.m.12Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Luego energa mecnica total para una longitud de onda es (12)E = Ek + Ep = A e2 (Sm)2Larapidezconqueestaenergaestransmitidaporlaondaa travs del aire en el tubo es la POTENCIAde la onda.P== A e2(Sm) 2 () E T TDonde=v, es la velocidad de propagacin de la onda. T P= A v e2 (Sm) 2 (13) Luego: 02/06/2012 05:04 p.m.13Segundo L. Gallardo Zamora En esta expresinAes el rea de la superficie a travs de la cual fluye la onda sonora. MOVIMIENTO ONDULATORIO Intensidad de Onda Laintensidaddeondasedefinecomolapotenciaquefluyea travsdeunaunidaddereaperpendicularaladireccinde propagacin de la onda. I=P A I = v e2 (Sm) 2

(14) Entrminosdelaamplituddevariacindepresin(Ec.6)A Pm = v e Sm , la intensidad se puede expresar como (15) (APm)2 2 v I =La intensidad sonora se mide en [ W / m2 ] 02/06/2012 05:04 p.m.14Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Variacin de la Intensidad con la Distancia. Las compresiones hacia fuera o rarefacciones hacia adentro en el medio,correspondenacapasesfricasenexpansinllamadas frentes de onda, que se alejan radialmente desde la fuente sonora como se muestra en la Fig. 5. Figura 5 Si el amortiguamiento es despreciable la potencia sonora que pasa por cada cascarnesfricoderadiorse conserva y su valor esta dado por: Paradoscapasderadiosr1yr2 podemos escribir I1 [4 t (r1) 2 ] = I2 [4 t (r2) 2 ] P= I (4 t r 2 )(16) r1 r2 Las ondas sonoras se alejan en todas direcciones desde la fuente generadora y por consiguiente son tridimensionales. 02/06/2012 05:04 p.m.15Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO que despus de simplificar y ordenar se tiene I1 I2 = (r2)2 (r1)2 (17) NIVEL SONORO Si bien es cierto que el odo humano puede percibir sonidos en el rangodefrecuenciasde20y20000[Hz],norespondeigualmentebienatodaslasfrecuenciasyconsecuentementea todas las intensidades Elodohumanotienesensibilidadmximaasonidosqueestn dentro de una zona de frecuencias de 1000 a 3000 [Hz].Elsonidomsdbilquepuedepercibirelodohumanoauna frecuenciade1000[Hz]esdeunaintensidadde10-12[W/m2]que se denomina umbral de audicin.02/06/2012 05:04 p.m.16Segundo L. Gallardo Zamora El sonido ms fuerte que puede soportar a sta frecuencia tiene una intensidad de 1 [W/m2] al cual se denomina umbral del dolor. MOVIMIENTO ONDULATORIO Una forma prcticade expresar la intensidadesmedianteelusodeuna escalalogartmica o deciblica, lacualdefineelllamado nivel sonoroen la forma: | = 10 log ()IIo (18) Donde,Io=10-12[W/m2]eslaintensidaddereferenciaestndar quecorrespondealumbraldeaudicineIeslaintensidadala cual deseamos medir el nivel sonoro. La unidad del nivel sonoro es el decibel, abreviado [dB], en honor a Alexander Graham Bell inventor del telfono.En esta escala el umbral de audicin tiene un nivel sonoro de | = 10 log ( ) = 10 log (1) 10-12 10-12 |o = 0 [dB] 02/06/2012 05:04 p.m.17Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO El nivel sonoro del umbral del dolor es | = 10 log ( ) = 10 log (1012) = 10 (12) log (10) 1 10-12 |m = 120[dB] Unaexposicinprolongadaanivelessonorosaltospuedecausar daos irreversibles en la audicin. Se recomienda niveles sonoros menoresde90[dB].Recientesevidenciasmuestranquela polucinsonorapuedecontribuiralapresinalta,ansiedady estrs de las personas que viven en ambientes con mucho ruido. EL EFECTO DOPPLER El efecto Doppler es el fenmeno devariacin de la frecuencia de lasondascuandoexistemovimientorelativoentrelafuenteyel observador (o detector).EstefenmenofuedescubiertoporelfsicoaustriacoChristian JohannDoppler(1803-1853)alhacerestudiosdeinvestigacinde la luz. 02/06/2012 05:04 p.m.18Segundo L. Gallardo Zamora Posiblemente varios de nosotros hemos percibido que la frecuencia del sonido de la bocina de un automvil es mayor cuando se acerca y es menor cuando se aleja. Este se debe al efecto Doppler como se muestra en la Fig.6. Figura 6 O MOVIMIENTO ONDULATORIO 0 S 0 S 02/06/2012 05:04 p.m.19Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO Considerando que el aire est en reposo y que el observador (0) yla fuente sonora (S) estn en movimiento relativo, la frecuencia escuchada fo por un observador y la frecuencia emitida fs por una fuente sonora estn relacionadas mediante la siguiente expresin 02/06/2012 05:04 p.m.20Segundo L. Gallardo Zamora fo = ( ) fs v vo v vs

(19) v = 343 [m/s], es lavelocidad con que se propaga la onda sonora, desde la fuente hacia el observador, (a T = 20C y P=1atm).Elsentidovseconsiderasiemprecomo positivo Donde: vo , es la velocidad del observador. vs , es la velocidad de la fuente sonora. MOVIMIENTO ONDULATORIO CASOS I.- Observador en reposo y fuente en movimiento. Vo=0 O s vs v Fig.7. Fuente Acercndose al observador fo = ( ) fs v v vs

(20) 02/06/2012 05:04 p.m.21Segundo L. Gallardo Zamora Fig.8. Fuente Alejndose del observador fo = [ ] fs v v (vs )(21) vo=0 O s vs v fo = ( ) fs v v+ vs s vs=0 v MOVIMIENTO ONDULATORIO II.- Fuente en reposo y observador en movimiento. Fig.9. Observador Acercndose a la fuente fo = [] fs v (vo) v (22)fo = ( ) fs v + vo v vo O 02/06/2012 05:04 p.m.22Segundo L. Gallardo Zamora s vs=0v Fig.10 Observador Alejndose de la fuente vo O Cmo sera la relacin de frecuencias? (23) vo O s vs v MOVIMIENTO ONDULATORIO III.- Observador y fuente en movimiento sobre la mismarecta. Fig.11. Acercndose el uno al otro fo = [] fs v (vo) v vs (24)fo = ( ) fs v + vo v vs 02/06/2012 05:04 p.m.23Segundo L. Gallardo Zamora vs v s Fig.12. Fuente y observador Alejndoseuno del otro vo O (25) Cmo sera la relacin de frecuencias? MOVIMIENTO ONDULATORIO vs v s vo O (26) Cmo sera la relacin de frecuencias? 1.-Cmoseralarelacindefrecuencias?siobservadoryfuente se movieran en sentido opuesto a la velocidad del sonido. Fig.13. Fuente y observador movindose en la misma dirEccin 02/06/2012 05:04 p.m.24Segundo L. Gallardo Zamora Trabajo para casa N06 2.-Analizarotroscasosdondefuenteyobservadorconvergeno divergen en su movimiento sobre direcciones diferentes.(Es una aplicacin del movimiento a analizar en la siguiente diapositiva) v vs s MOVIMIENTO ONDULATORIO III.- Observador y fuente movindose en diferentes direcciones. En este caso se usan las componentes de las velocidades a lo largo de la lnea que une fuente y observador Ejemplo.Veamoselcasoenelcuallasdireccionesde movimiento son convergentes.vo O o| so vs vo vs cos ovo cos | v (27)fo = ( ) fs v + vo cos | v vs cos o Figura 14. Fuente y observador movindose en diferentes direcciones 02/06/2012 05:04 p.m.25Segundo L. Gallardo Zamora MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.26Segundo L. Gallardo Zamora Ejemplos 1.- Una onda sonora armnica se puede describir en el modo desplazamiento por la expresin: S(x, t) = 2 [m] Cos{(15,7 [m-1] x - 858 [s-1] t }. Encuentre laamplitud,longitudyrapidezdeondayestablezcaenqumaterialse propaga esta onda, (Ver Tabla 17.1, pag.469, Serway R, Fsica: Tomo I). b)Determineeldesplazamientoinstantneodelasmolculasdeaireenla posicinx=6[cm]yt=4[ms].c)Determinarlavelocidadmximadel movimiento oscilatorio de las molculas de aire. MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.27Segundo L. Gallardo Zamora 2.-Unexperimentadordeseagenerarenelaireondassonorasquetengan unaamplituddedesplazamientoiguala5,5x10-6[m].Laamplituddela presinestlimitadaa0,84[Pa].Culeslalongituddeondamnima que puede tener la onda? 3.- Los niveles sonoros de dos fuentes que suenan simultneamente son 75 [dB] y 80 [dB] respectivamente. a) Cul es la intensidad total?y b)Cul es el nivel del sonido combinado? MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.28Segundo L. Gallardo Zamora 4.- Un chofer conduce un automvil hacia el norte por una autopista con una rapidez de 90 [km/h]. Desde el sur se aproxima un patrullero con una ra-pidez de 144 [km/h] haciendo sonar su sirena con una frecuencia de 1800 [Hz]. a)Qu frecuencia escuchar el chofer a medida que se acerca el patrullero? b)Qu frecuencia escuchar el chofer despus que el patru-llero lo ha pasado? MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.29Segundo L. Gallardo Zamora Trabajo de grupo en aula N06 5.- Dos vehculos A y B se desplazan por dos autopistas que forman un ngu-lo de 36. El vehculo A se mueve a razn de 93,6 [km/h] y el B a razn de 64,8 [km/h]. Cuando el vehculo A est a 300 [m] de la interseccin el con-ductor hace sonar su bocina con una frecuencia de 1400 [Hz]. En tal ins-tante el vehculo B est a 600 [m] de la interseccin. Calcular la frecuencia instan-tnea escuchada por el conductor del vehculo B cuando los dos ve hcu-los se aproximan a la interseccin. 1.-Las45personasquehanacudidoauncocktailseencuentranruidosa-mentehablandoconigualnivelsonoro.Sisloestuviesehablandouna persona,elnivelserade72dB.Calcularelnivelsonorocuandolas45 personas hablen a la vez. MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.30Segundo L. Gallardo Zamora 3.-Losnivelesdeintensidaddedosondassonorasdifierenena)10 [dB], b) 20 [dB]. Hallar el cociente entre las intensidades y entre sus amplitudes de presin. 5.-Estandoelcrucedeunaavenidaseescuchaunafrecuenciade650 [Hz] que proviene de la sirena de un patrullero que se cerca. Despus que pas el patrullero la frecuencia observada de la sirena es de 540 [Hz]. Calcular la velocidad del patrullero. 4.- El nivel sonoro a 2 [m] de una fuente es de 90 [dB]. a)Cul es el nivel so-noro a 5 [m] de la fuente?. b)Cun lejos se debe encontrar la fuente para que el nivel sonoro sea de 80 [dB]? Trabajo para casa N07 1.- Una onda en una cuerda est descrita por Y = 18 Sen[(t/16)(2x - 64t)], donde Y yx se expresan en [cm] y t en [s]. a) Calcular la mxima velocidad trans-versal de un punto de la cuerda, b) calcular la velocidad transversal en x = 7 [cm] y en t = 0,30 [s]. MOVIMIENTO ONDULATORIO 02/06/2012 05:04 p.m.31Segundo L. Gallardo Zamora 2.-Un chofer conduce un automvil hacia el norte por una autopista con una rapidezde97,2[km/h].Desdeelnorteseaproximaunpatrulleroconuna rapidezde136,8[km/h]haciendosonarsusirenaconunafrecuenciade 1800[Hz].a)Qufrecuenciaescucharelchoferamedidaqueseacerca el patrullero? b)Qu frecuencia escuchar el chofer despus que el patru-llero lo ha pasado? 3.- Dos vehculos A y B se desplazan por dos autopistas que forman un ngulo de 35. El vehculo A se mueve a razn de 93,6 [km/h] y el B a razn de 64,8 [km/h]. Cuando el vehculo A est a 300 [m] de la interseccin el conductor hace sonar su bocina con una frecuencia de 1400 [Hz]. En tal instante el ve-hculo B est a 600 [m] de la interseccin. Calcular la frecuencia instantnea escuchada por el conductor del vehculo B en los siguientes casos: a) losdos vehculos se alejan de la interseccin, c) el vehculo A se acerca y el B se aleja de la interseccin, d) el vehculo A se aleja y el B se acerca a la interseccin F IN