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TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
119
Unidad VI
TTRRAANNSSFFOORRMMAADDAA DDEE LLAAPPLLAACCEE
1. CONCEPTOS BSICOS
Definicin:
Sea f(t) una funcin de t definida para t > 0. La Transformada de Laplace de f(t) se define como:
f(t)dte F(s) } f(t) { L st-
==
0
Notacin:
Cuando se indique con minsculas una funcin de t, como f(t), g(t), y(t), la transformada de Laplace de dicha funcin se denotara por la correspondiente letra mayscula, es decir, F(s), G(s), Y(s).
Algunas Propiedades de la Transformada de Laplace:
1. Suma y Resta: Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y
f2(t) respectivamente. Entonces:
(s)F(s)F } (t)f(t)f {L 2121 =
2. Multiplicacin por una constante: Sea k una constante y F(s) la transformada de Laplace de f(t). Entonces:
F(s)k } f(t)k {L =
3. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes y f1(t) y f2(t) son funciones cuyas
transformadas de Laplace son F1(s) y F2(s) respectivamente, entonces:
(s)F c(s)Fc} (t)L{fc(t)}L{f c } (t)fc(t)f {cL 221 12 2112 211 ==
4. Diferenciacin: Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es el lmite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
f(0) - F(s) st)f(-F(s) s dt
df(t)L
0t==
lim
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
120
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
)0(f-.......-(0)fs-f(0)s-F(s)sdt
f(t)dL 1)-(n(1)2-n1-nn
n
n=
5. Teorema del Valor Inicial: Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s),
entonces: F(s)s t)f(
s0t=
limlim si el lmite existe.
Ejemplo: Sea, f(t) = 1, calcular: L{f(t)} = F(S)
Por definicin: f(t)dte F(s) } f(t) { L st-
==
0
axax
0
st- ea
1e:recordar dt1eF(s)L{f(t)} ===
[ ] [ ] [ ] [ ]10s
1ee
s
1ee
s
1e
1F(s)L{f(t)} s0-s-0
st-st-0
st- =====
s
Si: f(t) = 1 s
1F(s)L{f(t)} ==
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
121
Transformadas de Laplace de algunas Funciones Elementales
f(t) L {f(t)} = F(s)
1 k s
k s > 0
2 A t 2sA
s > 0
3 t n 1nsn!+
s > 0 n! = 1x2x3x
4 e a t a-s
1 s > a
5 t x e a t 2a)-(s1
s > a
6 sen at 22 asa
+ s > 0
7 cos at 22 ass
+ s > 0
8 sen (at+) 22 as cos a sen s
+
+ s > 0
9 cos (at+) 22 as sen a cos s
+
+ s > 0
10 e -a t sen wt 22 wa)(sw
++ s > 0
11 e -a t cos wt 22a)(sa)(s
w++
+ s > 0
12 sen h at 22 asa
s > |a|
13 cos h at 22 ass
s > |a|
14 d f / d t )f(0(s)s + F s > 0
15 tdtf )( s
)0(
s
(s) 1 ++
fF s > 0
16 f(t t1) (s)es1-t F
17 f1(t) + f2(t) (s)(s) 21 FF +
18 t1/2 s2s
1 s > 0
19 t -1/2 s
s > 0
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
122
Ejemplo 1: Hallar la Transformada de Laplace de: tettf = 22)(
Aplico Transformada de Laplace:
}{}{2}{}2{}2{ } )( { 222 ttt eLtLeLtLetLtfL ===
+=
=
+ 1
122
)1(
1!22} )( {
312 sssstfL
0)1(
44} )( {
3
3>
+
+= s
ss
sstfL
Ejemplo 2: Hallar la Transformada de Laplace de: )2( senh53 sen6)( tttf =
Transformada de Laplace:
)}2( senh{5}3 sen{6)}2( senh53 sen6{ } )( { tLtLttLtfL ==
+=
=
+ 4
25
9
36
2
25
3
36)}({
222222 sssstfL
2)4)(9(
1628)}({
22
2>
+
= s
ss
stfL
Ejemplo 3: Hallar la Transformada de Laplace de: 22 )1()( += ttf
Transformada de Laplace: }1{}{2}{}12{ } )( { 2424 LtLtLttLtfL ++=++=
sssssstfL
122
121!22
!4)}({
351214+=+=
++
0244
)}({ 5
24>
++= s
s
sstfL
Ejemplo 4: Hallar la Transformada de Laplace de: 2)3cos3 sen()( tttf =
Transformada de Laplace:
}3cos3cos3 sen23 sen{)3cos3 sen{( } )( { 22}2 ttttLttLtfL +==
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
123
22 6
61}6 sen{}1{
2
6cos1}6 sen{
2
6cos-1 } )( {
+==
++=
sstLL
tLtL
tLtfL
)36(
366)}({
2
2
+
+=
ss
sstfL
Ejemplo 5: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f (t):
84
35cos
2
13)( 34 +++= ttetf t
Aplico Transformada de Laplace:
} 84
35cos
2
13 { } )( { 34 +++= tteLtfL t (1)
Ya que la Transformada de Laplace de una suma es igual a la suma de las Transformadas de Laplace de cada trmino, (1) se puede expresar como:
} 8 { } 4
3 { } 5cos
2
1 { }3 { } )( { 34 LtLtLeLtfL t +++=
} 8 { }{ 4
3}5{cos
2
1}{ 3} )( { 34 LtLtLeLtfL t +++= (2)
Ahora slo queda reemplazar cada trmino de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:
sss
s
ssFtfL
8! 3
4
3
52
1
4
13 )(} )( {
422++
++
+==
por lo tanto:
( ) ssss
sF8
2
9
524s
2 )(
422+
+
++
+=
Ejemplo 6: Hallar la Transformada de Laplace de la siguiente f (t):
12 52cos34)( += etttf
Aplico Transformada de Laplace:
} 52cos34 { } )( { 12 += ettLtfL (1)
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
124
Ya que la Transformada de Laplace de una suma y/o diferencia es igual a la suma y/o diferencia de las Transformadas de Laplace de cada trmino, (1) se puede expresar como:
} 5{}2cos3{}4 { } )( { 12 += eLtLtLtfL
} {5}2{cos3}{ 4} )( { 12 += eLtLtLtfL (2)
Ahora slo queda reemplazar cada trmino de (2) por su correspondiente Transformada expresada en la tabla, y aplicar las propiedades:
++
+==
1
15
23
!24)(} )( {
223 ss
s
ssFtfL
1
5
4
38)(
23 ++
+
=
ss
s
ssF
2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Conceptos bsicos
Definicin:
Sea F(s) la Transformada de Laplace de una funcin f(t). La Transformada Inversa de Laplace (o Antitransformada) de F(s) se denota:
L-1 { F(s) } = f(t)
Mtodo para hallar la antitransformada de Laplace:
Existen varios mtodos para determinar la antitransformada de Laplace; a continuacin se explicar el Mtodo de las Fracciones Parciales. Cualquier funcin racional de la forma P (s) / Q (s), donde: P (s) y Q (s) son polinomios en los cuales el grado de P (s) es menor que el de Q (s), puede escribirse como una suma de fracciones parciales de la forma:
rb)(as
A
+ donde: A es una constante y r = 1,2,3, ....
Al hallar las antitransformadas de cada fraccin parcial, se halla
)(
)(1sQsP
L
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
125
Ejemplo 1: Hallar
++
+
4
5
16
3
2
422
1
ss
s
sL
++
+
4
15
163
2
14
21
211
sL
s
sL
sL
++
+
221
2211
2
15
43
2
14
sL
s
sL
sL
tttf t 2 sen2
54cos3e4)( 2 +=
Ejemplo 2: Hallar
+
32
732
1
ss
sL
Como se ve, es de la forma
)(
)(1sQsP
L
Donde: P (s) = 3s + 7
Q (s) = s 2 - 2s 3, el grado de Q (s) > P (s).
El polinomio Q (s) se puede expresar como s 2 - 2s - 3 = (s + 1) (s 3). Entonces:
13)1)(3(
73
32
732 +
+
=+
+=
+
s
B
s
A
ss
s
ss
s
(1) Multiplicando por (s 3) (s + 1) se obtiene: 3s + 7 = A (s + 1) + B (s 3) = (A + B)s + A 3B (2) Igualando los coeficientes de las potencias iguales de s a ambos lados de la ecuacin resultante (2), hallamos los valores de los coeficientes A y B: A + B = 3 A 3B = 7
Calculando, resulta: A = 4 y B = -1
Reemplazando en (1): 11
3
4
13)1)(3(
73
+
=
++
=
+
+
sss
B
s
A
ss
s
(3)
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
126
Para hallar la Antitransformada de Laplace, se busca en la Tabla de Transformadas de Laplace y se reemplazan los trminos:
+
=
+
=
+
+
1
1
3
14
1
1
3
4
)1)(3(
73 11111s
Ls
Ls
Ls
Lss
sL
t3t e4ef(t) =
Ejemplo 3: Hallar
+
)5(11ss
L
)5(
5)(
)5(
5
)5(
)5(
5)5(
1
+
++=
+
++=
+
++=
++=
+ ss
ABAs
ss
ABsAs
ss
BssA
s
B
s
A
ss
51
51
150
5)(105)(1 ==
==+
++=+++= BAABA
ABAssABAs
+
+=
+
++=
+
55151
)5(1
5)5(1 11
ssL
ssL
sB
sA
ss
+
=
+
+
51
511
51
55151 1111
sL
sL
sL
sL
)e1(51
e51
)1(51
)( 55 tttf ==
3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
Aplicacin de la Transformada de Laplace a las Ecuaciones Diferenciales
La Transformada de Laplace presenta gran utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Si se quiere resolver una ecuacin diferencial de segundo orden:
)('" sea o )(2
2
tFyyytFydt
dy
dt
yd=++=++ (1)
Donde: y son constantes sometidas a ciertas condiciones iniciales o condiciones de frontera y (0) = A e y '(0) = B (2) Tomando la Transformada de Laplace a cada lado de (1) y usando (2), se obtiene una ecuacin algebraica para determinar L { y (t) } = Y(s).
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
127
La solucin requerida se obtiene al calcular la antitransformada de Laplace de Y(s).
Ejemplo 1: Resolver
1 (0) :para 08)(' sea o 08
)(
==+=+ fttfttdtfd
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial:
01
8)()(0}8{)}('{0}8)('{2
=
+=+=+
sofsstLtfLttfL F
Utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
322
81)(
181)(0
181)(
sss
sss
sss =
==
+ FFF
Aplicando Antitransformada a cada trmino:
= 3
11 81L)}({Lss
sF
=
= 2
81)(1
L81
L)}({L2
3111 ttf
sssF
241)( ttf =
Ejemplo 2: Resolver 1 (0) :para 0)(2)(' ==+ ftftf
Tomando la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial:
0)(2)()(0)}({2)}('{0)}(2)('{ =+=+=+ sofsstfLtfLtftfL FF Utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
[ ]2
1)(012)(0)(21)(
+==+=+
sssssss FFFF
Aplicando Antitransformada a cada trmino:
+=
2ss
1L)}({L 11 F
ttf 2e)( =
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
128
Ejemplo 3: Resolver y'' + y = t, con y (0) = 1, y'(0) = -2
Tomando la Transformada de Laplace en ambos lados de la ecuacin diferencial, y utilizando las condiciones iniciales dadas, se tiene:
L { y '' } + L { y } = L { t }..ver anexo (a)
22
s
1(s)(0)y'sy(0)(s)s =+ YY
}
22
s
1(s)2)(s(1)(s)s =+ YY
[ ]
22
22
s
12)(s1s(s)
s
1(s)2s(s)s =+=++ YYY
[ ] 2)(ss
11s(s)
22 +=+Y
1s
2)(ss
1
(s)2
2
+
+=Y
1s
2
1s
s
1s
1
s
1(s)
2222 +
++
+=Y
1s3
1s
s
s
1(s)
222 +
++=Y
Aplicando Antitransformada a cada trmino:
+
++=
1s
13
1s
s
s
1L(s)}{L
22211 Y
tttty sen 3cos)( += Anexo (a)
L { y'' }
L{ y } = Y(s) L{ y' } = s Y(s) y(0)
L{ z } = Z(s) L{ z' } = s Z(s)
z(0)
Y' = z L{ y' } = L{ z }
L{ y' } = Z(s) L{ z' } = s Z(s) z(0)
L{ ( y' )' } = s [L{ y' }] y '(0)
L{ y'' } = s [s Y(s) y(0)] y'(0)
L{ y' } s Y(s) y(0)
L{ y'' } s2 Y(s) s y(0) y'(0)
L{ y''' } s3 Y(s) s2 y(0) - s y'(0) y ''(0)
L{ yIV } s4 Y(s) s3 y(0) s2 y'(0) s y''(0)
y'''(0)
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
129
4. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Circuitos Elctricos y Transformada de Laplace
PROBLEMA 1: En el circuito elctrico serie RL con R = 20 ohmios y L = 0,1 henrio se aplica en el instante t = 0 una tensin constante de 80 voltios. Hallar la intensidad de la corriente en el circuito aplicando el mtodo de la transformada de Laplace.
Donde: R = 20 ohmios
L = 0,1 henrio
E = 80 voltios
Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: aresistencibobinatotal VVV +=
Paso 2. Donde: RiVtdid
LV resisteniabobina
==
Paso 3. Sustituyendo: itdid
+= 20
1,080 Modelo matemtico del circuito.
Paso 4. Aplicando la transformada a toda la ecuacin:
}{20)](}{[1,080
soisss
II +=
Paso 5. Factorizando la transformada: }{2010
}{80s
sss
II
+
=
Paso 6. Resolviendo: ]200[)(800)(200)(800 22 sssssss +=+= III
Paso 7. Despejando la transformada: )200(
800)(
+=
sssI
Paso 8. Aplicando la transformada inversa a toda la ecuacin:
+=
)200(800
)( 1ss
Lti
Paso 9. Simplificando la expresin, en una suma de fracciones parciales:
)200(200)(
)200(200
)200()200(
200)200(800
+++
=+
++=
+++
=+
+=+ ss
ABAsss
BsAAsss
BssAs
BsA
ss
E
R
I
+-
L
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
130
Paso 10. Resolviendo se tiene:
==
==+
++=+4
4800200
0200)(8000
BA
ABA
ABAss
Paso 11. Sustituyendo stos valores
+
=
+
+= 20044
200)( 11
ssL
sB
sA
Lti
Paso 12. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas:
)e1(4)( 200tti =
PROBLEMA 2: En el circuito elctrico serie RC, con resistencia R= 10 ohmios y condensador C = 50 F, la carga inicial del condensador es q (0) = 2 500 C. En el instante t = 0 se cierra el interruptor con lo cual se aplica al circuito una fuente de tensin constante de 100 voltios. Obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace.
Donde: R = 10 ohmios
C = 50 faradios
E = 100 voltios
q (0) = 2 500 coulomb
Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff: capacitoraresistencitotal VVV +=
Paso 2. Donde: Cq
VRiV capacitoresistenia ==
Paso 3. Sustituyendo: 61050
10100
+=q
i
Paso 4. Resolver primero para q (t): sustituir td
qdi
=
Paso 5. 61050
10100
+=
qtdqd Modelo matemtico del circuito.
Paso 6. Aplicando la transformada a toda la ecuacin:
}{1050
1)]0(}{[10
1006
qLqqLss
+=
E
R
C
I
+-
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
131
Paso 7. Reemplazando valor inicial: }{1050
1]10500 2}{[10
1006
6 qLqLss
+=
Paso 8. Factorizando la transformada: }{)50
1010(105,2
100 62 qLss
+=++
Paso 9. Despejando la transformada: )000 2(
1025,010}{
2
++
=
sss
qL
Paso 10. Aplicando la transformada inversa a toda la ecuacin:
++
=
)000 2(101025,0
)(2
1
sss
Ltq
Paso 11. Simplificando, en una suma de fracciones parciales:
)000 2()000 2(101025,0 2
++=
++
sB
sA
sss
Paso 12. Resolviendo se tiene: sBsAs ++=+ )2000(101025,0 2
AsBAs ++=+ 000 2)(101025,0 2
4001
2001
000 210)(1025,0 2 ===+= BAABA
Paso 13. Sustituyendo stos valores:
+
=
+
+=
++
=
000 21
40011
2001
000 24001
2001
)000 2(101025,0
)( 1112
1
sL
sL
ssL
sss
Ltq
Paso 14. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas:
ttq
= 000 2e
4001
2001
)(
= ttq 000 2e
21
12001
)(
Clculo de la corriente:
=
== tt eti
tdqd
ti 000 2000 2 )000 2(21
02001
)(e21
12001
)(
tti = 000 2e5)(
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
132
PROBLEMA 3: En el circuito elctrico que se indica obtener la carga y la corriente para cualquier tiempo.
Si para: t = 0, tenemos q = 0, i = 0.
Donde: R = 20 ohmios
L = 1 henrio C = 1 x 10-2 faradios
E = 10 voltios
Paso 1. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:
capacitoraresistencibobinatotal VVVV ++=
Paso 2. Donde: c
qVRiV
td
idLV capacitoresisteniabobina ===
Paso 3. Sustituyendo: qitd
id++= 10020
110
Paso 4. Resolver primero para q (t ): sustituir td
qdi
=
Paso 5. qtd
qd
td
qd
td
d++=
100
20
110
Paso 6. qtd
qd
td
qd++= 100
20
110
2
2
Modelo matemtico del circuito.
Paso 7. Aplicando la transformada a toda la ecuacin:
}{100}{20}{10 2 qLqLsqLss
++=
Paso 8. Factorizando la transformada: }{)10020(10 2 qLsss
++=
Paso 9. Despejando la transformada: )10020(
10}{
2 ++=
sssqL
E
R
C
I
+-
L
-
TECSUP - PFR Matemtica Aplicada
133
Paso 10. Aplicando transformada inversa:
+=
++=
21
21
)10(
10
)10020(
10)(
ssL
sssLtq
Paso 11. Simplificando la expresin, en una suma de fracciones parciales:
2)10()10()10(
102 +
++
+=+ s
C
s
B
s
A
ss
Paso 12. Resolviendo se tiene:
sCssBsA ++++= )10()10(10 2
sCsBsBAsAsA +++++= 101002010 22
ACBAsBAs +++++= 100)1020()(10 2
A = 0,1 ; B = - 0,1 ; C = - 1
Paso 13. Sustituyendo stos valores:
+
+
+
+=
+=
21
21
)10(
1)10(
1,01,0
)10(
10)(
sssL
ssLtq
Paso 14. Obteniendo la transformada inversa mediante las frmulas: tt ttq = 1010 ee1,01,0)(
Clculo de la corriente:
ttt t
tdqd
ti ++== 101010 ee10e)10(1,00
)(
ttti = 10e10)(
-
Matemtica Aplicada TECSUP - PFR
134
Las grficas correspondientes se presentan a continuacin. Grfica de la carga Grfica de la corriente