7 Funcion de Transferencia Primer Orden

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

ILM 1

7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER

ORDEN

Introducción

Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de

ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de

función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una

salida y(t). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada

U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se

denomina función de transferencia g(s).

De modo que Y(s) = g(s)×U(s) .

Sistemas de primer orden

Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general

aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable de estado). O

sea que se reducen al formato siguiente:

donde k se denomina ganancia del proceso y es la constante de tiempo del sistema.

En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables

“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 ,

u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le

extrae el mismo caudal:

ukydt

dyτ

skUsYs

skUsYssY

skUsYyssY

1τ

τ

0τ

1τ

1τ

s

ksg

sUsgsY

sUs

ksY


ILM 2

Del balance de materia

Como V es constante porque entra y sale el mismo caudal

Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto

Que es de la forma

donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s

Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas

Seguimos manejándonos con el esquema

donde

Escalón de magnitud U a tiempo t = 0

Sabemos que

Por lo tanto

vCvC

dt

VCdin

CV

vC

V

v

dt

dCin

ssinins CC

V

vCC

V

v

dt

CCd

sinins

s CCCCdt

CCd

v

V

ukydt

dyτ

1

s

ksg

s

UU

L

1τs

s

UksY


ILM 3

Tomando antitransformadas

O bien

Que escrito en forma adimensional es

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t/tau

sa

lida

ad

ime

nsio

na

l

Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m3 con v = 1 m

3/min, concentración en

estado estacionario 1.25 mol/m3. Considerar un cambio en la concentración de entrada

desde 1.25 mol/m3

a 1.75 mol/m3.

U = 0.5 mol/m3

= 5 min

Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será

Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será

0 5 10 15 20 251.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

t (min)

C (

mo

l/m

3)

Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos).

τ1

1τ

1 tess

1-L

τ1 teUkty

τ1 teUk

ty

ss

sY

ss

UsU

5.0

15

1

5.0

515.0 tety

515.025.1 tetC


ILM 4

Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se

pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso:

Estimación de la ganancia:

O bien

Estimación de la constante de tiempo:

Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:

O bien evaluando

en t = 0

Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando

de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig como se muestra

en la figura.

U

y

U

tyk

t

sGks 0lim

UkeUky 632.01τ 1

ττ

teUk

dt

dy

τ0

Uk

dt

dy

t

gpmpsiggpm

psig

U

Yk 2

205.17

5055

UkeUky 632.01τ 1

5minτ

2.535632.050

psigP


ILM 5

Impulso

O en forma adimensional

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

sa

lida

ad

ime

nsio

na

l

t/tau

Procesos autorregulados

Son aquellos en los cuales un cambio en las variables de entrada conduce a un nuevo

estado estacionario en forma automática. Por ejemplo los sistemas de primer orden.

Veamos un ejemplo: un RCAI con una reacción química de primer orden r = k C

Del balance de masa

En estado estacionario dC/dt = 0

Restando la ecuación de balance en estado estacionario

AA δL

sUk

sY1τs

1τs

Ak

sY

τ

1τ

1 tes

1-L

τteAkty

τtekA

ty

kVCvCvC

dt

VCdin

inCV

vCk

V

v

dt

dC

kV

v

CV

v

Csin

s

sinins

s CCV

vCCk

V

v

dt

CCd


ILM 6

Que es de la forma

con

Véase „ejem7.2.sce‟.

Otro ejemplo: RCAI con reacción química de 2º orden r = k C2

En estado estacionario dC/dt = 0

Si linealizamos la función

Que también es de la forma

con

Ver „ejem7.3.sce‟.

sinins

s CC

kV

vV

v

CCdt

CCd

kV

v

1

ukydt

dyτ

sinins CCuCCy

kv

Vk

V

vV

v

k

kV

v

1

11τ

2

2VCkvCvCdt

VCdin

2

2CkCV

vC

V

v

dt

dCin

02

2 sinss CV

vC

V

vCk

2

2

2

2

4

k

CV

vk

V

v

V

v

C

sin

s

sinin

sin

s

s

s CCC

fCC

C

f

dt

CCd

sinin

s

ss

s

CC

CkV

vV

v

CCdt

CCd

CkV

v

22 22

1

ukydt

dyτ

sinins

ssss

CCuCCyv

VCkCk

V

vV

v

k

V

vCk

V

v

CkV

v

2222 21

1

2212

1τ


ILM 7

Sistemas de primer orden más tiempo muerto

Muchas veces en los procesos industriales se introducen tiempos muertos;

particularmente en la industria química suelen asociarse al transporte de fluidos por

cañerías. Por ejemplo, en el siguiente esquema, si se produce un cambio en la

concentración de entrada Cin puede demorar un cierto tiempo en que dicho cambio

llegue a la entrada del tanque.

La forma general de estos procesos será

Y en el ejemplo que estamos viendo será = Vtubería / v por lo que

Del balance de masa en el tanque

Llamando u = Cin – Cin s , y = C – Cs , = V/v y tomando transformadas

Si en un proceso de primer orden con tiempo muerto hay un cambio en escalón de

magnitud U a tiempo t = 0

θτ tukydt

dy

θ* tCtC inin

*

inCV

vC

V

v

dt

dC

θ tCV

vC

V

v

dt

dCin

sUeksYs

sUeksYssY

sUeksYyssY

s

s

s

1τ

τ

0τ

1τ

1τ

s

eksg

sUsgsY

sUs

eksY

s

s

s

UU

L

s

UeksY

s

1τs


ILM 8

antitransformando

0 5 10 15 20 250

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t (min)

y

Procesos integradores

Veamos el siguiente ejemplo: sea un tanque de almacenamiento, con área transversal

100 ft2 , inicialmente está entrando y saliendo el caudal vin = vout = 5 ft

3/min , h0 = 4 ft ,

H tanque = 10 ft . A la 1:00 pm el flujo de entrada se cambia a 6 ft3/min .

Del balance global de masa

Y como el área transversal es constante

Restando la solución de estado estacionario

Si el flujo de salida es constante

Que es de la forma

si llamamos

Tomando tranformadas

antitransformando

1τs

s

eUksY

s

tparaty 00

tparaeUkty t τ1 U = 0.5 a t = 0

k = 2 [unidades salida/entrada]

= 5 min = 5 min

outin vvdt

dV

outin vA

vAdt

dh 11

soutoutsinins vv

Avv

Adt

hhd

11

sinins vv

Adt

hhd

1

ukdt

dy

sinins vvuA

khhy 1

tukty

s

uksY

sUs

ksY

yskUyssY

2

000

t

ft

ftfth

tvA

hh ins

2

3

100

min/564

1


ILM 9

Resolviendo por ejemplo para h = 10 ft

0 100 200 300 400 500 6004

5

6

7

8

9

10

tiempo (min)

h (

ft)

Procesos caracterizados por más de una variable

Cuando un proceso está caracterizado por más de una variable de estado, la(s) salida(s)

puede(n) estar dada(s) por varias funciones de transferencia. Consideremos por ejemplo

un tanque agitado calentado eléctricamente, a caudal constante.

Del balance de energía

Si el proceso estaba inicialmente en estado estacionario

Entonces

O escribiendo en variables desviación

El término V/w tiene unidades de tiempo y puede llamarse , la constante de tiempo

del sistema.

A su vez 1/wC puede denominarse K, la ganancia del sistema, pues relaciona la variable

de entrada con la de salida en estado estacionario:

hrft

ftftftt 10min600

min/56

100410

2

2

QTTwCdt

dTCV in

sssin QTTwC ,0

sssinin QQTTTTwCdt

dTCV ,

sssinins QQ

wCTTTT

dt

TTd

w

V

1,

QwC

TTdt

Td

w

Vin

1

..1

eeenQwC

TT in


ILM 10

O sea que escribimos

Tomando transformadas y como T’(0)=0

Para concretar más el ejemplo, supongamos que el tanque agitado es de 1.60 ft3, opera

con un flujo de 200 lb/min de un líquido con C = 0.32 Btu/lbºF y = 62.4 lb/ft3. Se ha

alcanzado el estado estacionario con un flujo de calor de 1920 Btu/min y una

temperatura de entrada de 70ºF. Calcular la respuesta de un sistema frente a un cambio

súbito de la temperatura de entrada a 90ºF.

Como el Q se mantiene constante sólo debemos ocuparnos de hallar la G2(s) ,

relacionada con Tin

Entonces

Debemos escribir las ecuaciones en variables desviación. Para ello calculamos la

temperatura de estado estacionario:

la señal de entrada en forma de escalón es:

Multiplicándola por la G2

Antitransformando

Y escribiéndolo en variables reales

QKTTdt

Tdin

QKTTL

dt

TdL in

sKssss QTTT in

ss

ss

Ks inT

1

1Q

1T

sssss in21 TGQGT

min5.0min200

4.6260.1 33

lb

ftlbft

w

V

15.0

12

ssG

FFlbBtulb

BtuF

Cw

QTT

s

ssins º100

.º32.0min200

min1920º70,

ss

s207090

Tin

ss

s20

15.0

1T

tetT 2120


ILM 11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

t (min)

T (

ºF)

Considérese ahora que al mismo tiempo que la temperatura de entrada aumenta a 90ºF

el flujo de calor es cambiado a 1600 Btu/min

Ambos cambios en las señales de entrada contribuyen al cambio en la señal de salida.

Esto se esquematiza con el siguiente diagrama de bloques:

Ahora

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5100

105

110

115

T (

ºF)

t (min)

Ver „ejem7.2.cos‟.

tetT 2120100

ss

s207090

Tin

sss

32019201600Q

ssss

Ks

20

1

1320

1T

min

º1056.1

.º32.0min200

1

min5.0

2

Btu

F

FlbBtulbK

15.0

15

15.0

20

15.0

5T

sssssss

tetT 2115100


ILM 12

Procesos en serie

La función de transferencia de procesos en serie resulta de multiplicar las funciones de

transferencia correspondientes a cada proceso por separado.

Consideremos por ejemplo dos tanques en serie (sistema linealizado)

Del balance de materia para el primer tanque

Suponiendo que el caudal de salida es lineal con la altura

Por lo que sustituyendo en la anterior

En variables desviación

Tomando transformadas

Del mismo modo para el segundo tanque

Podemos relacionar todas estas funciones de transferencia

11

1 qqdt

dhA in

1

1

1

1h

Rq

1

1

11

1h

Rq

dt

dhA in

1

1

1

11

1

1h

Rq

qqdt

dhA in

11Q

H

1

1

11

1

in

1

s

K

sRA

R

s

s

111

1 11

H

Q

KRs

s

2

2

2

212

2

1h

Rq

qqdt

dhA

11Q

H

2

2

22

2

1

2

s

K

sRA

R

s

s

222

2 11

H

Q

KRs

s


ILM 13

Puede verse claramente que la función de transferencia total es el producto de la función

de transferencia del primer proceso ( 1/(1s+1) ) y de la del segundo ( 1/(2s+1) ) .

La representación en un diagrama de bloques sería

11

1

Q

Q

1

1

1

1

Q

H

H

Q

Q

H

H

Q

Q

Q

21in

2

1

1

12

2

2

in

1

1

1

1

2

2

2

in

2

sss

s

s

K

Ks

K

K

s

s

s

s

s

s

s

s

s

s

7 Funcion de Transferencia Primer Orden

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