IMPULSO y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

INTRODUCCIÓN

De acuerdo a las leyes de Newton aplicados a partículas o a cuerpos rígidos sabemos que si sobre una partícula no actúan fuerzas entonces su velocidad en los sistemas inerciales permanece invariable, pero si consideramos partículas en interacción mutua que no están fijamente unidas como un cuerpo rígido, de modo que puedan tener movimiento relativo entre si, al cual llamaremos “sistemas de partículas” , tienen un punto común llamado centro de masa cuyo movimiento de traslación es representativo del conjunto de partículas. Podemos asumir que la masa del sistema esta concentrada en el centro de masa y podemos tratar al sistema como si fuera una única partícula ubicada en el centro de masa. La aplicación de la Segunda ley de Newton al centro de masa nos conduce a definir la ley de la conservación de la cantidad de movimiento lineal

Si definimos el concepto de sistema aislado, comprendiendo con ello el conjunto de partículas que interactúan entre sí donde existen una serie de magnitudes relacionadas con las velocidades que no varían con el tiempo, como por ejemplo la cantidad de movimiento del sistema. Este nuevo enfoque (vectorial) representa un complemento de la descripción energética (escalar), vista en el capítulo de trabajo y energía, y las leyes de Newton para el estudio de los problemas mecánicos.

Este tercer modo de tratar problemas de dinámica, solo nos muestra como el hombre puede explicar una gran cantidad de fenómenos naturales y darse cuenta como la física no es tan compleja como muchos consideran, es decir, no basta con querer aprender de memoria una serie de formulas, es necesario analizar cuidadosamente los problemas para poder elegir el camino mas fácil para resolverlos. Gracias a esta nueva descripción se ha podido descubrir la existencia del núcleo del átomo, estudiar la formación de las diferentes etapas geológicas de la tierra, enviar una nave espacial a la Luna, además de entender problemas sencillos como el patear un balón, etc.

m

vi vf

t= ∆I F

IMPULSO

Es una cantidad física vectorial que caracteriza la acción integrada de una fuerza F en un intervalo de tiempo ∆t. El impulso causa un cambio de velocidad.

La interacción entre el pie y la pelota produce una fuerza sobre la pelota en un tiempo ∆t.

IMPULSO DE UNA FUERZA CONSTANTE:

Supongamos que una fuerza F constante actúa sobre la masa m durante un intervalo de tiempo ∆t, tal como se indica en la figura

Una fuerza constante F actuando sobre una masa m durante un tiempo Δt, le cambia su

cantidad de movimiento

Se define el impulso de la fuerza F como el producto de la fuerza por el intervalo de tiempo de interacción:

: en [Ns]

El impulso tiene la misma dirección que la fuerza que la produce

Sí graficamos la fuerza versus el tiempo, podemos observar que el área bajo la curva nos proporciona la magnitud del impulso de la fuerza F

Impulso = Area = F ∆t

V2

F

V1

Gráfica F versus t

= ∆ tmI F

t m t= ∆ = ∆I F a

2 1t ( )m v v= ∆ = −I F

t m= ∆ =I F ΔvΔvΔvΔv

IMPULSO DE UNA FUERZA CON MAGNITUD VARIABLE

Si la magnitud de una fuerza F varia con el tiempo tal como se observa en la figura

“La magnitud del impulso recibido por la partícula en el intervalo de tiempo ∆t es igual al área bajo la curva de la gráfica F versus t”

En esta ultima ecuación la fuerza Fm que aparece es la fuerza media que ha actuado sobre la partícula en el intervalo ∆t. El impulso tiene la misma orientación que la fuerza F que la produce.

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Cuando se estudió la primera ley de Newton se estableció: que toda partícula que se mueve con velocidad constante o permanece en reposo en algún sistema de referencia inercial, permanecerá en dicho estado indefinidamente a menos que un agente externo le modifique su estado de movimiento. Esto es, si el sistema está aislado:

ΣΣΣΣF = 0

Si se aplica una fuerza F constante a la partícula el efecto será el cambio de velocidad o aceleración constante

V1 V2

F

2 1t mv mv= ∆ = −I F

t tf i

− ∆= =∆ ∆

p p pF

m

v�

α

p�

∆ = ∆tF p

∆ = −2 1tF p p

= mp v�

t2 1

= ∆ = − = ∆I F p p p

tm

∆=∆p

F

El impulso produce el cambio en la cantidad mvvvv asociado al movimiento de la partícula

La ecuación anterior se escribe como

Se define la “Cantidad de movimiento o momentum lineal de la partícula de masa m” la cantidad = mp v�� en kg ms−1, donde m es una propiedad del cuerpo y v

depende del sistema de referencia

La fuerza se puede escribir

Redefiniendo la segunda ley de Newton de la siguiente manera:

“El cambio en la cantidad de movimiento de una partícula con el tiempo es igual a la fuerza promedio que ha actuado sobre la partícula en el intervalo de tiempo ∆t”

La primera ley de Newton se reinterpretaría como “ Toda partícula que se mueve con p constante o que permanezca en reposo con p = 0, se mantendrá en dicho estado en forma indefinida a menos que algún agente externo le modifique su estado inicial

La cantidad de movimiento permite diferenciar entre dos partículas con masa distinta que se mueven con la misma velocidad. Identifica el estado de movimiento de la partícula

P1= m1 v1 P2= m2 v2

t2 1

= ∆ = − = ∆I F p p p

Toda fuerza F que actúa sobre una masa m, cambia su cantidad de movimiento de p1 hasta p2

Es decir; el impulso de la fuerza F produce el cambio de la cantidad de movimiento de la partícula.

Esta última relación recibe el nombre “teorema del impulso y la cantidad de movimiento” y nos permite obtener el impulso que recibe la masa m sin necesidad de conocer la fuerza F.

SISTEMA DE PARTÍCULAS

Un sistema de partículas es un conjunto de partículas con alguna característica común que permita delimitarlo y en el que la posición y movimiento de una partícula depende de la posición y movimiento de las demás. Un sistema de partículas puede ser discreto o continúo. Un sistema de partículas se reduce al movimiento de una partícula utilizando el concepto de centro de masa

Un sistema de partículas se puede aislar con el fin de estudiar su movimiento. La elección de las partículas que conforman el sistema es completamente arbitraria

En el sistema S1 puede considerarse a las bolas 1, 14 y 37 y en el podemos analizar el movimiento de dichas bolas cuando interactúen con las bolas que estén fuera del sistema. También se puede considerar otros sistemas como S2 formado por las bolas 17,82, 23, 37.

FUERZAS INTERNAS Y EXTERNAS

Las interacciones entre las partículas se manifiestan a través de fuerzas que pueden ser de contacto, eléctricas, electromagnéticas, gravitacionales, etc.

Cuando las fuerzas de interacción se producen dentro del sistema donde se encuentran las partículas se denominan fuerzas internas. Siempre aparecen en pares como acción y reacción lo que hace que su resultante sea cero, lo que hace que no cambie la cantidad de movimiento del sistema.

Las fuerzas externas son las fuerzas entre partículas que se encuentran fuera del sistema y partículas que se encuentran dentro del sistema. Como son fuerzas externas al sistema cambia la cantidad de movimiento del sistema.

SISTEMAS AISLADOS Y NO AISLADOS

Un sistema es aislado cuando no actúan sobre él fuerzas externas. Las únicas interacciones son las que se dan entre las partículas del sistema

Un sistema es no aislado cuando sobre el sistema actúan fuerzas externas además de las internas

Fuerzas internas y externas

CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE DOS PARTÍCU LAS:

La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es igual a la suma de la cantidad de movimiento de cada partícula

Dado un sistema de dos partículas de la figura se define la cantidad de movimiento del sistema como la suma de la cantidad de movimiento de cada una ellas

p = p1 + p2

21

12

6

11 Fuerzas externas

Partícula externa

al sistema

Sistema aislado de dos partículas

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN S ISTEMA DE DOS PARTÍCULAS

Supongamos un sistema de dos partículas sujetas a su interacción mutua F12 , F21 y a las fuerzas externas Fext.1 y Fext.2 tal como se muestra en la figura:

Observamos que la cantidad de movimiento de cada partícula no es constante debido a las fuerzas que actúan sobre ellas, entonces nos preguntamos ¿la cantidad de movimiento del sistema se mantendrá constante?

Para contestar esta pregunta analicemos cada partícula por separado:

p1 no es constante pues sobre m1 actúa la fuerza F12 y Fext.1 aplicando la segunda ley de Newton tenemos:

t∆

1∆

ext,112

pFF =+

análogamente podemos decir que p2 no es constante pues sobre m2 actúan las fuerza F21 y Fext.2

t∆

2∆

ext,221

pFF =+

si sumamos estas dos ecuaciones y ordenamos adecuadamente:

ttextext ∆

2∆p

∆

1∆p

2,F1,F21F12F +=+++

o

t∆

)21

∆(

ext,2ext,12112

ppFFFF

+=+++

por la tercera ley de Newton (ley de acción y reacción):

F12 + F21 = 0

∆p0

∆ t=

n........

1 2 n ii 1

= + + + = ∑

=p p p p p

entonces :

t

)(

∆

∆

ext,2ext,121

ppFF

+=+

ó

t∆

∆

Ext

pF =

donde FExt es la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema

FExt = Fext,1 + Fext,2

Es decir, el cambio en la cantidad de movimiento del sistema con el tiempo es igual a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema

Ahora si la fuerza resultante externa es cero

FExt = Fext,1 + Fext,2 = 0

entonces tendremos:

∆p 0=

esto significa que el cambio en la cantidad de movimiento del sistema en el intervalo de tiempo ∆t es cero:

p = p1 + p2 = cte

Si la fuerza externa que actúa sobre el sistema es cero entonces su cantidad de movimiento se mantiene constante en todo momento

Resumiendo:

Sí: FExt = Fext,1 + Fext,2 = 0

entonces p = p1 + p2 = cte

Esta condición recibe el nombre del principio de conservación de la cantidad de movimiento del sistema y podemos generalizarla a un sistema conformado por varias partículas:

Dado un sistema de n partículas se define la cantidad de movimiento del sistema como:

1

0n

i

F=

=∑

1

0n

i

I=

=∑

∆p 0=

a) Si sobre el sistema actúan varias fuerzas externas se cumple que:

donde Fext. = ∑j

Fj

es la suma de todas las fuerzas externas al sistema y p = ∑=

n

1i

p i

b) Si la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema es cero el principio de conservación de la cantidad de movimiento establece que:

p = ∑=

n

i 1

p i = cte

es importante notar que las fuerzas internas no cambian la cantidad de movimiento del sistema de partículas.

CENTRO DE MASA

Cuando se estudio en cinemática el movimiento bidimensional se vio que todo cuerpo lanzado al aire, bajo la influencia de la gravedad, describiría una trayectoria parabólica y tomamos como ejemplo un proyectil, una pelota, etc. Pero todos ellos fueron tratados como partículas puntuales sin dimensiones, pero la realidad es que todos estos cuerpos están conformados por muchas partículas. Por ejemplo si lanzamos una mancuerna al aire de la figura

El centro de masa de la mancuerna lanzada al aire describe una trayectoria parabólica

Un observador que se encuentra lejos verá que ésta efectivamente describe una trayectoria parabólica, pero qué verá el observador si se acerca más y ve detalladamente lo que sucede

El observador dirá que cada masa en forma individual no describe una trayectoria parabólica, sino que están girando y moviéndose caprichosamente, pero sin embargo el punto marcado en la mancuerna si describe una parábola, este punto particular del sistema recibe el nombre de Centro de masa (CM) y se comporta como una partícula puntual de masa M + m. Ver figura

El centro de masa de la mancuerna se comporta como una

partícula puntual de masa M+m

CM

nm

m m ...... m i i1 1 2 2 n n i 1

nm m ........ m1 2 n m

ii 1

∑+ + + == =+ + +

∑

=

rr r r

R

PROPIEDADES DEL CM.

Hemos definido el CM como un punto tal que si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él, el sistema se comportaría como una partícula.

1.- El CM permite reducir un sistema de partículas a una sola partícula.

2.- El CM de un sistema se mueve como un punto material cuya masa es la masa total del sistema, impulsado por las fuerzas exteriores.

3.- Todas las fuerzas exteriores al sistema se suponen aplicadas en su CM. La aceleración del CM coincide, pues, con la aceleración del sistema.

4.- La cantidad de movimiento de un sistema es igual al producto de la masa del sistema por la velocidad de sus CM.

5.- Si las fuerzas que actúan sobre un sistema tienen una resultante y un momento nulos, el CM se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme. Las fuerzas internas no modifican el movimiento del CM.

6.- Si se toma el CM como origen de referencia, la cantidad de movimiento del conjunto de partículas es siempre nula.

7.- El movimiento más general que puede tener un sistema se puede reducir a un movimiento de traslación de su CM más una rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto.

UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA

Si se tiene un sistema de partículas la ubicación de su centro de masa esta dado por:

Sistema de varias partículas, su centro de masa se denota por RCM

CM

nm ∆i i

i 1∆CM M

∑

==r

R

nmi i

i 1C M M

∑

==r

R

como ∑=

n

1i

mi es la masa total M del sistema esta ecuación se convierte:

donde r es el vector posición de la masa im

VELOCIDAD DEL CENTRO DE MASA

El movimiento de cada una de las partículas del sistema nos advierte que el centro de masa de la misma deberá estar moviéndose también, si analizamos una de ellas, digamos la j-esima partícula, en un tiempo ∆t ésta deberá haberse desplazado ∆r j, entonces el desplazamiento del CM en ese mismo intervalo de tiempo será:

si dividimos esta expresión por ∆t y hacemos que este intervalo de tiempo sea lo mas pequeño posible ( 0t →∆ ) obtendremos:

M

tm

t∑

==→∆

→∆

n

1i ∆

i∆limi

∆t

∆lim

0CM

0t

r

R

esta es justamente la velocidad instantánea, entonces la velocidad del centro de masa vCM queda determinada por:

M

m i

n

1ii

CM

v

v

∑

==

vi es la velocidad instantánea de la i-esima partícula.

La sumatoria que aparece en esta ultima expresión, es la cantidad de movimiento p del sistema de partículas

∑

==∑

==

n

1ii

n

1iii pvp m

por lo tanto vCM M

p=

Es decir, la velocidad del centro de masa, es igual a la cantidad de movimiento del sistema de partículas entre la masa total del sistema

Esto nos permite expresar la cantidad de movimiento del sistema como:

p = M vCM

CMExtM

=F

a

CM

mi iM

∑=

aa

por el principio de conservación de la cantidad de movimiento, si la fuerza resultante externa es cero entonces la cantidad de movimiento de sistema se mantiene constante por lo tanto vCM deberá también permanecer constante, como si se tratase de una partícula de masa M, esto confirma una vez mas que el centro de masa se comporta como una partícula puntual de masa M y velocidad vCM.

ACELERACIÓN DEL CENTRO DE MASA

Si sobre el sistema de partículas actúan varias fuerzas externas, hemos demostrado

antes que: ∆t

∆

Ext

pF = donde ∑=

jjExt FF es la suma de todas las fuerzas

externas al sistema y p = ∑=

n

1i

p i = MvCM

Combinando estas ecuaciones

t

Mt

M

t ∆

∆

∆

)∆(

∆

∆

ExtCMCM vvp

F ===

finalmente obtenemos:

FExt. = M aCM

es decir la aceleración del centro de masa es igual a la fuerza resultante externa que actúa sobre el sistema entre la masa M del sistema de partículas

o equivalentemente:

I

IMPULSO DE FUERZAS IMPULSIVAS

Son aquellas fuerzas que actúan durante un intervalo de tiempo

muy pequeño ( s10 4−≈ )

y que tienen una magnitud promedio muy grandes.

La fuerza en la definición del impulso I = Fm Δt es una fuerza media constante ya que la fuerza real que actúa durante el intervalo de tiempo pequeño es muy difícil de determinar

En la figura el pico representa la fuerza impulsiva y el área bajo la curva del rectángulo equivale al impulso La fuerza impulsiva puede variar en módulo, dirección y sentido, por lo que el grafico solo representa la magnitud de la fuerza impulsiva en función del tiempo

Ejemplo

Una pelotita de 0.5 kg se lanza horizontalmente contra una pared con una rapidez de 40 m/s. Si esta rebota con la misma rapidez, determine la fuerza promedio que la pared ejerce sobre la pelotita. El tiempo de interacción pared-pelota es aproximadamente 10-3 s

Solución:

Determinemos la cantidad de movimiento de la pelotita p = m v

Antes de chocar con la pared:

Pi = (0,5 kg)(−40i m/s ) = −20i Ns

después de rebotar en la pared

pf = (0,5 kg)(40i m/s ) = 20i Ns

El cambio en la cantidad de movimiento será : ∆p = pf − p i = 40i Ns

La fuerza promedio que actuó sobre la pelotita es:

Fp = ∆p/∆t = 40i Ns / 10−3 s = 40 000 i N

Durante la colisión no solo a actuado la fuerza de la pared sobre m, también lo ha hecho el peso, pero si comparamos el peso con la fuerza impulsiva Fp notaremos Que esta solo representa el 0,0125% de Fp, por lo cual no ha sido considerado en el calculo.

F

COLISIONES ELÁSTICAS E INELÁSTICAS EN UNA DIMENSIÓN

Supóngase que dos masas m1 y m2 colisionan frontalmente, como se observa en la ver figura , durante la colisión aparece, por la tercera ley de Newton, la fuerza de interacción entre ellas, las cuales son iguales y opuestas, estas fuerzas como ya se menciono antes no cambia la cantidad de movimiento de las masas

Existen tres tipos de colisiones:

I) Colisión elástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas inmediatamente antes y después de la colisión permanece constante

II) Colisión inelástica. En este tipo de colisión la energía de las partículas no se mantiene constante, parte de ella se pierde en forma de calor y en la deformación que sufren los cuerpos durante el choque. Figura 19

Durante una colisión inelástica, parte de la energía cinética de las masas

se convierte en calor

III) Colisión completamente inelástica. Es considerada también una colisión inelástica pero en este caso los cuerpos permanecen unidos después del choque.

COLISION ELASTICA EN UNA DIMENSIÓN

Supongamos dos partículas moviéndose en la misma dirección tal como se indica en la figura 7.15

En la figura se indican las velocidades de las masas inmediatamente antes y después de la colisión elástica

Si conocemos sus velocidades antes de la colisión ¿cuáles serán sus velocidades inmediatamente después del choque?

Por ser una colisión elástica su energía se debe conservar, por lo tanto:

2

1m1 (v1)

2 + 2

1m2(v2)

2 = 2

1m1 (v1′)2 +

2

1m2 (v2′)2

de aquí se obtiene

m1((v1)2 − (v1′)2 ) = m1((v2′)2 − (v1)

2 )

por conservación de la cantidad de movimiento

p1 + p2 = p′1 + p′2

como están en la misma dirección podemos eliminar el vector unitario i

m1v1 + m 2v 2 = m1v1′ + m 2v 2′

de aquí: m1(v1 − v 1′) = m2 (v 2′ − v 2)

dividiendo las ecuaciones

(v1 −−−− v2) = (v2′′′′ −−−− v1′′′′) o:

(v1 −−−− v2) = −−−− (v 1′′′′ −−−− v 2′′′′)

la cual nos indica que la velocidad relativa de acercamiento es igual y opuesta a la velocidad relativa de alejamiento

Resolviendo las ecuaciones obtenemos las velocidades después de la colisión:

2)21

(

22

1v

)21

(

)21

('1

vvmm

m

mm

mm

++

+

−=

2)21

(

)12

(

1)21

(

12

'2

vvvmm

mm

mm

m

+

−+

+=

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN:

Retomemos nuevamente la ecuación

(v1 − v2) = − (v 1′ − v 2′)

y analicemos la siguiente situación:

Supongamos dos partículas moviéndose una al encuentro de la otra con velocidades de 10 m/s y 30 m/s tal como se indica en la figura

Si fijamos un observador en la partícula 1

¿Qué verá este observador antes y después de la colisión?

El observador en todo momento asumirá que la partícula 1 no se mueve respecto de él y que la partícula 2 se le aproxima con una rapidez de 40 m/s (ver figura)

Velocidad de las partículas vistas por un observador fijo en la partícula 1

además como la colisión es elástica, el observador con seguridad dirá que la energía cinética de la partícula 2 será la misma antes y después de la colisión es decir su velocidad no cambia, (ver figura)

El entonces puede afirmar que la velocidad de acercamiento y la velocidad de alejamiento de la partícula 2 son iguales y opuesta, es decir:

vacercamiento = −valejamiento

Velocidad de alejamiento de la partícula 2 vista por el 0bservador fijo en 1

Ahora ¿qué vera el observador si la colisión es inelástica?

La rapidez de alejamiento de la partícula 2 medida por el observador es menor que la

de acercamiento

En este caso el observador vera que debido a la colisión se ha liberado calor y se ha producido una deformación en ambas partículas, tal como se indica en la figura 25

En este caso el observador puede afirmar que la rapidez de acercamiento es mayor que la rapidez de alejamiento, es decir:

vacercamiento > valejamiento

Por ultimo ¿qué vera el observador si la colisión fuera completamente inelástica?

En este caso el observador vera que la partícula 2 queda unida a la partícula 1 y ha perdido toda su energía como consecuencia de la colisión completamente inelástica, es decir: valejamiento = 0

En una colisión completamente inelástica, para el observador ligado a la partícula 1, la partícula 2 no se mueve

Tengamos en cuenta que la velocidad que mide el observador ligado a la partícula 1 es la velocidad relativa de la partícula dos respecto de la partícula 1, entonces para un observador en tierra las ecuaciones correspondientes serán:

1 2' '

2 1

1− =−

v v

v v

Para una colisión elástica: (v1 − v2) = − (v 1′ − v 2′)

para una colisión inelástica: (v1 − v2) < − (v 1′ − v 2′)

ó 1

12

'' 21 <−

−vv

vv

y para una colisión completamente inelástica: (v 1′ − v 2′) = 0

ó equivalentemente:

0

12

'' 21 =−

−vv

vv

Se define el coeficiente de restitución como:

ε = 12

'' 21

vv

vv

−−

el cual nos permite analizar que tipo de colisión se ha efectuado

si 1ε = la colisión es elástica

si 1ε0 << la colisión es inelástica y

si 0ε = la colisión es completamente inelástica