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Universidad Nacional Abierta MATEMTICA V(739) Vicerrectorado Acadmico PRIMERA PRUEBA PARCIAL rea de Matemtica Fecha 21- 02- 2004

Lapso 2004-4

MODELO DE RESPUESTA PRIMERA PARCIAL MATEMTICA V(739)

21-02-2004

OBJ 1 PTA 1: Sea S xn una serie de trminos reales cualesquiera de la que se sabe que lm xn =0 y que la serie S yn que se obtiene de asociar de p en p (pIN) los trminos de la serie S xn , es convergente . Pruebe que la serie S xn es convergente y tiene la misma suma que S yn . Respuesta: Si sn y rn son las sumas n-simas de S xn y S yn , respectivamente ,para cualquier mIN ser: smp =rn , snp +1 =rm +xmp+1 , ..,smp+p-1=rm+xmp+1++xmp+p-1 y por l tanto , si es s(sIR o s= ) la suma de S yn, se tiene : limsmp =lm rm =s, lmsmp+1 =lm(rn+xmp+1)=s+o,,lmsmp+p-1 = lm (rm+xmp+1++xmp+p-1) =s+o+ o++ o. Entonces si la sucesin (sn) tiene lmites , es decir : si sIR , S xn converge y su suma es s ; y si s= , S xn diverge a = .

OBJ 2 PTA 2 A partir del desarrollo en serie de Mac Laurin de ln(1+x) obtenga la suma de la siguiente serie.

=

-

-1n

12n

12nx

Respuesta: Para IxI

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Derivando, se tiene =

x

u excosy ; =

y

u- exseny ; =

x

v - exseny ; =

y

v -excosy

Dado un punto z=x+iy cualquiera segn el teorema N 5 de la seccin # 65 , para que exista f(z) es necesario que se satisfagan en dicho punto las ecuaciones de

Cauchy-Riemann, =

x

u

y

v

; y

u

=-x

v

las cuales en este caso se expresan bajo la

forma excosy = - excos y ; -exseny = exsen y. (i )

Si se cumple la primera de estas relaciones, se deduce, sucesivamente,cos y = - cos y

cos y = 0 ;y = pp k+2

, k entero.

En el caso en que k es par, se tiene sen y = 1 ,y si k es impar, sen y = - 1 .En ambos casos, la segunda de las relaciones en (i) es equivalente a la expresin - ex= ex, la cual no es vlida, cualquiera sea el nmero real x. Se concluye entonces que las ecuaciones de Cauchy-Riemann no se satisfacen en punto alguno, y, de acuerdo con teorema N 5 de la seccin # 65, que f'(z) no existe, cualquiera sea z.

FIN DE MODELO