7

TECSUP - PFR Matemtica Aplicada

135

Unidad VII

SSEERRIIEE DDEE FFOOUURRIIEERR

1. SERIE DE FOURIER

Las funciones peridicas se presentan frecuentemente en problemas de ingeniera. Su representacin, en trminos de funciones peridicas sencillas tales como el seno y el coseno, es un tema de gran importancia prctica que conduce a las series de Fourier. Estas series, que reciben su nombre en honor del fsico francs JEAN BAPTISTE FOURIER (1768-1830), representan una herramienta muy poderosa en relacin con varios problemas que conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Mientras que la teora de las series de Fourier es complicada, su aplicacin es muy sencilla. En cierto modo, las series de Fourier son ms universales que la serie de Taylor, debido a que muchas funciones peridicas discontinuas, que tienen un gran inters prctico, pueden desarrollarse mediante las series de Fourier y, sin embargo, no tienen representacin con la serie de Taylor.

Es importante tener conocimientos bsicos de clculo integral.

FUNCIONES PERIDICAS SERIES TRIGONOMTRICAS

Se dice que una funcin f (x) es peridica si est definida para toda x real y si existe algn nmero positivo T de manera que

f (x + T) = f (x), para toda x (1)

El nmero T recibe el nombre de perodo de f (x). La grfica que se muestra a continuacin, de una funcin de este tipo se obtiene mediante una repeticin peridica de la grfica correspondiente a cualquier intervalo de longitud T.

Funcin peridica

Matemtica Aplicada TECSUP - PFR

136

De (1) se sigue que, si n es un entero cualquiera

f (x + n T) = f (x), para toda x

De modo que, cualquier mltiplo entero n T 0)( n de T, tambin es perodo.

Otro ejemplo se muestra a continuacin:

Por otro lado, si f (x) y g (x) tienen el perodo T, entonces la funcin

h (x) = a f (x) + b g (x) (a, b, constantes)

Tambin tiene el perodo T.

Ejemplos familiares de las funciones peridicas son las funciones seno y coseno.

Es necesario hacer notar que la funcin f = c = constante tambin es una funcin peridica de acuerdo con el sentido de la definicin, puesto que satisface la ecuacin (1) para cualquier nmero positivo T.

f (x) = f (x + T) = C

T T T T

f(x)

x x x + T x + 2T x + 3T0

T T T T

f(x)

x x x + T x + 2T x + 3T0


137

La problemtica radica en la representacin de varias funciones de perodo 2 en trminos de funciones sencillas cos x, sen x, cos 2x, sen 2x, . . . , cos nx, sen nx, . . .

que tienen el perodo 2.

Funciones seno y coseno que tienen el periodo 2

La serie a la que se llegar en este caso ser de la forma

a0 + a1 cos x + b1 sen x + a2 cos 2x + b2 sen 2x + . . . .

Donde a0, a1, a2....., b1, b2, . . . son constantes reales. Esta serie recibe el nombre de serie trigonomtrica y las constantes an y bn, se llaman coeficientes de la serie. Se ve que cada trmino de la serie tiene el perodo 2. De aqu que, si la serie converge, su suma ser una funcin de perodo 2.

Con frecuencia sucede que las funciones peridicas que se encuentran en los problemas de ingeniera son complicadas y, por lo tanto, es conveniente representarlas en trminos de funciones peridicas sencillas. Se ver que casi toda funcin peridica f (x) de perodo 2 que se presenta en las aplicaciones, por ejemplo en relacin con las vibraciones, puede representarse mediante una serie trigonomtrica

SERIES TRIGONOMTRICAS DE FOURIER

Toda forma de onda peridica puede expresarse por una serie de Fourier.

Dada una funcin peridica f (x) con periodo 2, se puede formar la serie trigonomtrica:

...sincos...sincos 110 ++++++= nxbnxaxbxaa(x)f nn

Y por lo tanto, esta serie recibe el nombre de serie de Fourier, la cual se puede representar por:

)sincos( 1

0 nxbnxaa(x)f nnn

++=

=


138

En donde a 0, a n, b n se les denomina coeficientes de Fourier de f (x) y estn dados por las siguientes frmulas:

=

=

=

0

sin)(1

cos)(1

)(21

dxnxxfb

dxnxxfa

dxxfa

n

n

Debido a la periodicidad de los integrados, el intervalo de integracin de los coeficientes de Fourier, pueden sustituirse por cualquier otro intervalo de longitud 2.

Si f (x) es continua o, por lo menos seccionalmente continua (continua excepto para un nmero finito de saltos en el intervalo de integracin), las integrales dadas en los coeficiente de Fourier existen y, en consecuencia, pueden ser calculadas.

Ejemplo 1: Determinar la serie de Fourier para la onda representada en la

siguiente Figura.

La onda es continua para 0 < x < 2 y viene dada por 2

10)(

xxf

= , con

discontinuidades para x = n 2, siendo n = 0, 1, 2. . . .

Clculo de a 0

=

0 )(2

1dxxfa

==

=

2

0 20

2

0 0

2

0 0

2

5

210

21

210

21

dxxadxxadxxa

Recordar: 1

)()(

1

+=

+

nxfdxxfn

f(x)

x 0 2 4

10


139

=

= 0

24

2

5

22

5 2

20

2

0

2

20

ax

a 50 =a

Clculo de a n

=

xcos)(

1dnxxfan

=

=

2

0 2

2

0 cos

5 cos

2101

dxnxxadxnxxa nn

Integrando por partes:

==== cos cos dxnxdvdxnxdvdxdx Recordar: zdz =

nxn

vndxnxn

v sin1

cos1

==

== sin1

sin1

dxnxn

nxn

xIduvvuI

22 2

cossin )cos(

1sin sin

1sin

n

nxn

nxxInx

nnx

nx

Indxnxn

nxnx

I +

===

+

+

=

+

=

2222

2

0 22

0cos0sin02cos2sin25

cossin5

nnn

nn

n

na

n

nxn

nxxa nn

=

=

222

222

115

0cos2cos5

nna

nn

na nn

0=na Para todos los valores enteros de n.


140

Clculo de b n

=

sin)(

1dxnxxfbn

=

=

2

0 2

2

0 sin

5 sin

2101

dxnxxbdxnxxb nn


==== sin sin dxnxdvdxnxdvdxdx

Recordar: zdz =

nxn

vnxn

vndxnxn

v cos1

)cos(1

sin1

===

== )cos(1

cos1

dxnxn

nxn

xIduvvuI

22 2

sincos )(sin

1cos cos

1cos

n

nxn

nxxInx

nnx

nx

Indxnxn

nxnx

I +

=+=+=

+

+

=

+

=

2222

2

0 22

0sin0cos02sin2cos25

sincos5

nnn

nn

n

nb

n

nxn

nxxb nn

( ) ( )110 2cos25 2cos25 2

2 n

bnn

bn

nb nnn

=

=

=

n

bn =

10

Por lo tanto, de la ecuacin general tenemos:

)sincos( 1

0 nxbnxaa(x)f nnn

++=

=

Y mediante los coeficientes calculados anteriormente,

0=na nbn

=10


141

La serie ser:

......3sin310

2sin210

sin10

5)( = xxxxf

=

=1

sin105)(

nnnx

xf

2. SERIE DE FOURIER

SIMETRIA DE LAS FORMAS DE ONDA

Las series pueden contener nicamente trminos en seno sumados a una constante, otras formas de onda tienen solamente trminos en coseno y, a veces, nicamente existen en la serie armnicas impares, tanto si la serie contiene senos, cosenos o ambos a la vez. Este es el resultado de ciertos tipos de simetra asociados a la forma de onda. El conocimiento de tal simetra da lugar a una reduccin de los clculos en la determinacin de las series. A este respecto, son importantes las definiciones siguientes:

FUNCIN PAR: Una funcin f (x) es par cuando f (x) =f (x).

La funcin f (x) = 2 + x 2 + x 4 es un ejemplo de funcin par, ya que los valores de la funcin para x y para - x son iguales. El coseno es una funcin par, puesto que su desarrollo en serie es:

......!8!6!4!2

1cos8642

++=xxxx

x

La suma de dos o ms funciones pares es otra funcin par, y la adicin de una constante no vara la naturaleza par de una funcin.

Las ondas que se muestran a continuacin, representan funciones pares, siendo simtricas respecto del eje vertical.

xoo x x o

o x


142

FUNCIN IMPAR: Una funcin f (x) es impar cuando f (x) = f (x).

La funcin f (x) = x + x 3 + x 5 es un ejemplo de funcin impar, ya que los valores de la funcin para x y x son de signo contrario. El seno es una funcin impar, puesto que su desarrollo en serie es:

......!9!7!5!3

1sin9753

++=xxxx

x

La suma de dos o ms funciones impares es otra funcin impar pero la adicin de una constante destruye la naturaleza impar de la funcin, ya que f (x) no es ya igual a f (x). El producto de dos funciones impares es una funcin par.

Las ondas que se muestran a continuacin representan funciones impares.

FUNCIN PERIDICA: Una funcin peridica f (x) tiene una simetra de semionda si:

f (x) = - f (x + T /2), siendo T el periodo.

En las siguientes figuras se representan dos ejemplos de este tipo.

Una vez establecido el tipo de simetra de una onda se llega a las conclusiones siguientes:

Si la forma de onda es par, todos los trminos de la serie correspondiente

son, cosenos con una constante si la onda tiene un valor medio distinto de cero. En consecuencia, no es preciso calcular las integrales para hallar los coeficientes b n, ya que no puede haber trminos en seno.

Si la forma de onda es impar, la serie solo contiene senos. La onda solo puede

ser impar despus de eliminar la constante, en cuyo caso su representacin de Fourier contendr simplemente tal constante y una serie de trminos en seno.

T xo x To

xoo x x o


143

Si la onda tiene simetra de semionda, en la serie habr solamente armnicos impares. Estas series contendrn trminos en seno y coseno a menos que la funcin sea tambin par o impar. En todo caso, a n y b n son nulos para n = 2, 4, 6, . . . y para cualquier onda con simetra de semionda.

Por lo tanto:

Si f (x) es par:

=

0 )( 2

1dxxfa =

0 0 )(

1a dxxf

=

cos)(

1dxnxxfan =

0 cos)(

2dxnxxfan

=

sin)(

1dxnxxfbn 0=nb

Serie de Fourier de cosenos:

=

+=1

0 cos)(n

n nxaaxf

Si f (x) es impar:

=

0 )( 2

1dxxfa 0a0 =

=

cos)(

1dxnxxfan 0=na

=

sin)(

1dxnxxfbn =

0 sin)(

2dxnxxfbn

Serie de Fourier de senos:

=

=1

sin)(n

n nxbxf


144

3. FUNCIONES DE PERIODO ARBITRARIO

En trminos generales la serie de Fourier para un periodo T tenemos:

=T/2

T/2 0 )(

1dttf

Ta

=T/2

T/2 cos)(

2dtnwttf

Tan

=T/2

T/2 sin)(

2dtnwttf

Tbn

Para: n = 1, 2, 3, .

Donde: T

w2

=

=

++=1

0 )sincos()(n

nn nwxbnwtaatf

Funcin Par

=T/2

0 0 )(

2dttf

Ta

=T/2

0 cos)(

4dtnwttf

Tan

0=nb

Serie de Fourier de cosenos:

=

+=1

0 cos)(n

n nwtaatf


145

Funcin impar:

0a0 =

0=na

=T/2

0 sin)(

4dtnwttf

Tbn

Serie de Fourier de senos:

=

=1

sin)(n

n nwtbtf

Ejemplo 1: Hallar la serie de Fourier de la funcin: f (x) = | x |

f (x) = f (x + 2) periodo: T = 2

Funcin PAR:

Clculo de a 0

=T/2

0 0 )(

2dttf

Ta

1

0

2

0

1

0 0

T/2

0 0 2

a 22

a )( 2

a

=== xdxxdxxfT

21

a0 =

x

f (x)

0-1 1

1


146

Clculo de a n

=T/2

0 cos)(

4dtnwttf

Tan

=

T/2

0

2cos)(

4dx

Txn

xfT

an =

T/2

0 cos)(

4dxxnxf

Tan

=1

0 cos 2 dxxnxan


==== cos cos dxxndvdxxndvdxdx Recordar: zdz =

xnn

vdxnxnn

v

sin1

cos1

==

== sin1

sin1

dxxnn

xnn

xIduvvuI

)cos()(

1sin sin

)(

1sin

2 2xn

nxn

nx

Idxnxnn

xnnx

I

==

2)(

cossin

n

xnn

xnxI +

=

1

0 2

1

0

1

0 2 )(

cossin2

)(

cossin2

+

=

+

=

n

xnn

xnxa

n

xnn

xnxa nn

[ ]

+= onn

nn

an coscos)(

1]0[sin

12

2

[ ]

+= 1cos)(

102

2

n

nan

{ }1cos222

=

nn

an

=

==

etc. ,6 ,4 ,2 0

etc. ,5 ,3 ,1 4

22

n

nnan


147

Clculo de la serie

=

+=1

0 cos)(n

n nwxaaxf

=

+=

12

2cos

21

)(n

n xnaxf

...x5cos25

4x3cos

9

4xcos

421

)x(f222

=

Ejemplo 2: Encontrar la serie de Fourier de la funcin peridica f (x) que se muestra a continuacin:

La representacin analtica es:


148

Clculo de a n

=T/2

T/2 cos)(

2dtnwttf

Tan

++

==

0

0

cos)(cos)(

1

22

cos)(22

dxnxkdxnxkadxxnxfa nn

++

=

0

0

cos)(

1cos)(

11ndxnxk

nndxnxk

nan

+

=

0

0

- sinsin

1nx

nk

nxnk

an

[ ] [ ]

+= )0sin()sin()sin()0sin(

1

n

nk

nnk

an

( ))0sin()sin()sin()0sin( ++=

nnnk

an

( ))0sin(2)sin()sin( +=

nnnk

an

0=na

Debido a que: sin nx = 0 en: , o, para todo n = 1, 2, 3,..


149

Clculo de b n

=T/2

T/2 sin)(

2dtnwttf

Tbn

++

==

0

0

sin)(sin)(

1

22

sin)(22

dxnxkdxnxkbdxxnxfb nn

++

=

0

0

sin)(

1sin)(

11ndxnxk

nndxnxk

nbn

+

=

0

0

- coscos

1nx

nk

nxnk

bn

[ ] [ ]

= )0cos()cos()cos()0cos(

1

n

nk

nnk

bn

( ))0cos()cos()cos()0cos( +=

nnnk

bn

Puesto que: cos (-) = cos y cos (0) = 1, se llega a:

)cos1(2

nnk

bn =

Clculo de b n funcin IMPAR

=T/2

0 sin)(

4dtnwttf

Tbn

+==

0

0 sin)(

2

22

sin)(24

dxnxkbdxxnxfb nn

+=

0 sin)(

12ndxnxk

nbn


150

0 cos

2

= nx

nk

bn

[ ]

= )0cos()cos(

2

n

nk

bn

( ))0cos()cos(2 +=

nnk

bn

Puesto que: cos (0) = 1, se llega a:

)cos1(2

nnk

bn =

Ahora, cos = -1, cos 2 = 1, cos 3 = -1, etc., en general:

=+

=par para 0impar para 2

cos1 as, ypar para 1impar para 1

cosnn

nnn

n

De aqu, los coeficientes b n de Fourier son:

,....54

,0 ,34

,0 ,4

54321 k

bbk

bbk

b =====

Clculo de la serie

Puesto que a 0 y a n son nulos, la serie de Fourier correspondiente es:

=

++=1

0 )sincos()(n

nn nwxbnwtaatf

=

=

=++=11

sin)( )22

sin0(0)(n

nn

n nxbxfxnbxf

+++= ...5sin

51

3sin31

sin4

)( xxxk

xf


151

Las sumas parciales son:

etc. ,3sin31

sin4

,sin4

21

+== xx

kSx

kS

Y sus grficas, mostradas a continuacin, parecen indicar que la serie es convergente y tiene por suma f (x), la funcin dada. Se nota que en x= 0 y x = , los puntos de discontinuidad de f (x), todas las sumas parciales tienen el valor cero, la media aritmtica entre los valores - k y k de la funcin.


152

ANOTACIONES:

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................................

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