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CAPÍTULO 8

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2)

Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con eluso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de lasfunciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos.

Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas in-versas, así como de su escritura, son:

a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento.

b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir,la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última esnegativa; la fórmula de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendoésta última negativa. Y algo semejante sucede con la arco secante y la arco cose-cante.

c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, de-be ser arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “senocuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que

Funciones trigonométricas inversas

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abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponentea la menos uno, por ejemplo, A- 1 significa el inverso de A.

Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, paraevitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significadosdiferentes, resulta incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primerasimbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el se-no inverso, la otra como

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1 1sen u cscusen u sen u

− = = =

8.2 FÓRMULAS:

(17)21

dud dxarc sen udx u

=−

(18)21

dud dxarc cos udx u

= −−

(19) 2 1

dud dxarc tan udx u

=+

(20) 2 1

dud dxarc cot udx u

= −+

Funciones trigonométricas inversas

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(21)2 1

dud dxarc sec udx u u

=−

(22)2 1

dud dxarc csc udx u u

= −−

Ejemplo 1: Derivar ( )3y arc sen x x= −

Solución: El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17):

( )

( )

3

231

d x xdy dxdx x x

−=

− −

( )

2

23

3 1

1

dy xdx x x

−=

− −

Ejemplo 2: Calcular la derivada de y arc tan x=

Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene:u x=

( )21

d xdy dxdx x

=+

Funciones trigonométricas inversas

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12

1dy xdx x

=+

( )1

2 1dydx x x

=+

Ejemplo 3: Calcular la derivada de 1y arc secx

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Solución: El argumento es , por lo que conforme a la fórmula (21) se obtiene:11u xx

−= =

( )

1

21 1 1

d xdy dxdx x x

−

− −=

−

2

1 2

1

1

dy xdx x x

−

− −

−=

−

2

2

1

1 1 1

dy xdx

x x

−=

−

Aplicando la ley de la herradura en las dos fracciones que aparecen afuera del radical y sa-cando común denominador adentro del radical:

Funciones trigonométricas inversas

135

22

21

dy xdx xx

x

−=

−

2

2

1

1

dydx xx

x

−=

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1

1

dydx x

−=

−

Funciones trigonométricas inversas

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EJERCICIO 14 (Área 2)

Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas:

1) 2)4

5y arc sen

x= ( )3 8y arc cos x= −

3) 4)( )75y arc tan x= −2

3 1y arc cot

x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

5) 6)2xy arc sec e= ( )84 1y arc csc x= −

7) 8)5 3 11y arc sen x= − ( )734 1y arc cos x= −

9) 10)( )23 11 5y arc tan x x= − + ( )75y arc cot x x= −

11) 12)( )35y arc sec x x= − ( )6y arc csc x= − −

13) 14)1y arc senx

=72y arc cos

x⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

15) 16)

26

7xy arc tan

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 75

xy arc cot −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

17) 18)27 813

xy arc sec⎛ ⎞+

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

8 79

xy arc csc −⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

19) 20)7 2y arc sen x= 5 7y arc cos x=

21) 22)( )6 2 19y arc tan x= − 6y arc cot x=

23) 24)6y arc sec x= 87y arc csc x=